QUESTÃO 1 (30 pontos) – Considere duas polias idênticas de massa M e dois corpos também idênticos de massa m dispostos como indicado na figura abaixo. Todos os fios utilizados no sistema são ideais (não tem massa e são inextensíveis). Considere a aceleração gravitacional local como g.
m m M M
- A. (10 pontos) Determine a aceleração das massas m no caso em que (M=0).
- B. (20 pontos) Determine a aceleração das massas m para . Faça M=0 na expressão obtida e reproduza o resultado do item (a).
Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pulley, Block, String Fonte: Testo (PDF) — p.2
QUESTIONE 1 (30 punti) Considerate due poli identiche di massa M e due corpi identici di massa m disposti come indicato nella figura seguente. Tutti i fili utilizzati nel sistema sono ideali (non sono massa e inespandibili). Considera l’accelerazione gravitazionale locale come g.
m m M M
- A. (10 punti) Determina l’accelerazione delle masse m nel caso in cui (M=0).
- B. (20 punti) Determina l’accelerazione delle masse m per . M=0 nell’espressione ottenuta e riproduce il risultato di cui alla lettera a).
Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pulley, Block, String Fonte: Testo (PDF) — p.2
Question 1 (30 points) Consider two identical M-mass polys and two identical bodies of mass m arranged as shown in Figure below. All wires used in the system are ideal (not It has mass and is inextensible. Consider the local gravitational acceleration as g.
m m M M
- A. (10 points) Determine the acceleration of masses m in the case where (M=0).
- B. (20 points) Determine the acceleration of masses m to . Make M=0 in the resulting expression and reproduces the result of point (a).
Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pulley, Block, String Fonte: Testo (PDF) — p.2
QUESTÃO 2 (35 pontos) – Uma fonte em linha de ondas eletromagnéticas está próxima a uma tira metálica infinita e paralela a esta, conforme ilustra a figura abaixo:
A largura da tira é l e sua distancia até a fonte é d. A fonte produz ondas cilíndricas com o campo elétrico paralelo à ela. Considere que o campo elétrico, produzido pela fonte, seja harmônico e a uma distancia d (da fonte) sua intensidade seja:
ܧൌܧݏ݁݊߱ݐ
onde ߱ൌ2ߨ݂ൌ2ߨܿ/ߣ é a freqüência angular e ߣ é o comprimento de onda. 3
Veja o seguinte esquema, no qual a fonte está perfurando a página:
Seja ܧௗ o campo elétrico da onda que chega direto da fonte e ܧ o campo da onda que foi refletida. Assuma que ߣا ݀ ݁ ݈, de modo que valham os princípios da ótica geométrica e, além disto, possamos desprezar a difração nas bordas da tira condutora. Deseja-se saber o campo elétrico ܧ num ponto P muito distante, a uma distancia r do centro da tira e a um ângulo ߠ, representados no esquema anterior, de modo que possamos considerar os raios diretos e refletidos, que chegam nesse ponto, praticamente paralelos.
a) (5 pontos) Calcule o campo direto ܧௗሺݎ, ߠሻ para pontos P(ݎ, ߠ) muito distantes, em função de r, ߠ, do tempo t e dos parâmetros básicos do problema como d, l, E0 e ߱. b) (5 pontos) Calcule o campo refletido ܧሺݎ, ߠሻ que chega aos mesmos pontos P, em função dos mesmos parâmetros e variáveis. c) (10 pontos) Calcule o campo elétrico total ܧሺݎ, ߠሻ para pontos muito distantes, em função dos mesmos parâmetros e variáveis. d) (15 pontos) Suponha que se coloque um anteparo muito afastado da fonte e paralelo a tira metálica. Mostre que a intensidade relativa da onda eletromagnética no anteparo, ܫ/ܫ, é dado por, aproximadamente,
ܫ/ܫൌݏ݁݊ሺ݇݀ܿݏߠሻ ݏ݁݊ሺ݇݀ሻ ൨ ଶ
Onde k é o numero de onda 2ߨ/ߣ, ܫ é a intensidade num dado ângulo ߠ e ܫ é a intensidade no centro do anteparo, isto é, para ߠൌ0. Observe que se está falando de intensidade média, isto é, o valor médio das intensidades sobre o tempo. Note que embora kd seja muito grande (já que d >>ߣ), ܿݏߠ varia muito pouco perto de ߠൌ0, de modo que pode ser possível obter um espectro de interferência bem definido no anteparo, se restringirmonos a um intervalo suficientemente pequeno de ângulo em torno do 0.
Topic: Wave Optics, Electromagnetism, Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle, Interference & Diffraction Analysis, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2
DOMANDA 2 (35 punti) Una fonte in linea di onde elettromagnetiche è vicino a una banda metallo infinito e parallelo, come illustrato nella figura seguente:
La larghezza della fascia è l e la sua distanza dalla fonte è d. La fonte produce onde cilindriche con il campo elettrico parallelo a essa. Considerare che il campo elettrico prodotto dalla fonte sia armonioso e a Distanza d (dalla fonte) la sua intensità è:
ܧൌܧݏ݁݊߱ݐ
dove ൌ2ൌ2/ è la frequenza angolare e è la lunghezza d’onda. 3
Vediamo il seguente schema, in cui la fonte sta perforazione pagina:
Che sia il campo elettrico dell’onda che arriva direttamente dalla fonte e il campo dell’onda che è stata riflessa. Supponiamo che , in modo che valga i principi di ottica geometrica e, oltre a questo, Possiamo disprezzare la diffrazione ai bordi della banda conduttiva. Si desidera conoscere il campo elettrico in un punto P molto lontano, a una distanza r dal centro della striscia e ad un angolo , rappresentato nel diagramma precedente, in modo da poter considerare i raggi diretti e che raggiungono questo punto, praticamente paralleli.
a) (5 punti) Calcola il campo diretto ሺ, ሻ per punti P(, ) molto lontani, in funzione di r, , del tempo t e dei parametri di base del problema come d, l, E0 e . b) (5 punti) Calcola il campo riflesso ሺ, ሻ che arriva agli stessi punti P, in funzione dei gli stessi parametri e le stesse variabili. c) (10 punti) Calcola il campo elettrico totale ሺ, ሻ per punti molto lontani, in funzione dei gli stessi parametri e le stesse variabili. d) (15 punti) Supponiamo che si metta un anteparco molto lontano dalla fonte e parallelo alla tira metallo. Mostra che l’intensità relativa dell’onda elettromagnetica in antepolazione, /, è data per circa:
/ൌሺsha ݏ݁݊ሺ݇݀ሻ ൨ ଶ
Dove k è il numero d’onda 2/, è l’intensità in un angolo determinato e è l’intensità al centro del preparo, cioè per o0. Si noti che si parla di intensità media, cioè il valore medio delle intensità sul tempo. Nota che anche se kd è molto grande (d’altro canto, varia molto poco vicino a ൌ0, di la misurazione del livello di interferenza è sufficiente per ottenere uno spettro di interferenza ben definito all’avanguardia, se si restringe ad un intervallo sufficientemente piccolo di angolo intorno a 0.
Topic: Wave Optics, Electromagnetism, Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle, Interference & Diffraction Analysis, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2
Question 2 (35 points) An on-line source of electromagnetic waves is near a strip infinite metal and parallel to it, as shown in the figure below:
The width of the strip is l and its distance to the source is d. The source produces cylindrical waves with the field electrical parallel to it. Consider that the electric field produced by the source is harmonic and a distance d (from source) its intensity shall be:
ܧൌܧݏ݁݊߱ݐ
where ൌ2ൌ2/ is the angular frequency and is the wavelength. 3
See the following diagram, in which the source is drilling the page:
Whether it is the electric field of the wave coming directly from the source and the field of the wave that was reflected. Assume that , so that the principles of geometric optics are worth it and beyond that, We can disregard the diffraction at the edges of the conductive band. You want to know the electric field at a very distant point P, at a distance r from the strip center and at an angle , as shown in the previous diagram, so that we can consider the straight rays and The Commission has already taken a number of measures to ensure that the Community’s financial resources are used to finance the implementation of the common agricultural policy.
(a) (5 points) Calculate the direct field ሺ, ሻ for very distant points P(, ) as a function of r, , of time t and the basic parameters of the problem such as d, l, E0 and . (b) (5 points) Calculate the reflected field ሺ, ሻ that reaches the same points P, depending on the the same parameters and variables. (c) (10 points) Calculate the total electric field ሺ, ሻ for very distant points, according to the the same parameters and variables. (d) (15 points) Suppose a forecastle is placed too far from the source and parallel to the strip It’s metallic. Show that the relative intensity of the electromagnetic wave in the forecourt, /, is given by approximately
The Commission shall adopt delegated acts in accordance with Article 21 of this Regulation. ݏ݁݊ሺ݇݀ሻ ൨ ଶ
Where k is the wave number 2/, is the intensity at a given angle and is the intensity at the center of the forearms, that is, to o0. Note that we are talking about average intensity, that is, the average value of the intensities over time. Note that although kd is very large (since d >>), varies very little near ൌ0, from This means that a well-defined interference spectrum can be obtained in the forearm if we restrict it to a sufficiently small angle range around 0.
Topic: Wave Optics, Electromagnetism, Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle, Interference & Diffraction Analysis, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2
QUESTÃO 3 (35 pontos) – Da teoria do eletromagnetismo de Maxwell que a energia carregada por uma onda eletromagnética é representada pelo vetor de Poynting 4
ܵԦ ൌ1 ߤ ܧሬԦ ൈܤሬԦ Sendo que seu sentido indica o sentido do fluxo de energia e seu módulo representa a energia por unidade de tempo e área (perpendicular a sua direção) que passa por este elemento de área.
Desta forma seria de se esperar que a integral do produto escalar ܵԦ ݀ܣԦ sobre uma dada superfície representasse a potencia atravessando tal superfície. No entanto isso nunca foi demonstrado para campos estáticos (apenas para ondas/campos que se propagam). Mas algo já demonstrado é o teorema de Poynting, que diz que a integral de ܵԦ ݀ܣԦ sobre uma superfície fechada é igual a potencia saindo desse volume compreendido pela superfície.
Considere o seguinte circuito, formado por um resistor de resistência R e um gerador de fem constante ɛ ligados por dois fios condutores perfeitos paralelos e muito longos:
Já foi mostrado que a teoria eletromagnética é capaz de chegar nos resultados da teoria de circuitos, com muito mais precisão, embora com muito mais dificuldade (não tirando, pois, o credito da teoria de circuitos).
Na teoria de circuitos costuma-se pensar que a energia dissipada no resistor sai da bateria e é transportada pelos fios que os ligam. No entanto, o eletromagnetismo diz que, na verdade, a energia sai da bateria e se propaga pelo espaço até chegar ao resistor, onde será dissipada na forma de calor, sendo que os fios só servem como um guia para a energia, sem que nenhuma energia de fato vá dentro deles. a) (5 pontos) Vamos assumir que o vetor de Poynting realmente indique o sentido do fluxo de energia num dado ponto, mesmo para campos estáticos. Mostre que na região entre os fios ideais há um fluxo de energia que vai da bateria até o resistor e mostre também que o fluxo de energia no interior dos fios ideais é nulo.
b) (10 pontos) Usando o teorema de Poynting, prove para um resistor cilíndrico que a potencia total penetrando pela sua superfície (de fora para dentro) é justamente o previsto pela teoria de circuito, , sendo R sua resistência e I a corrente passando por ele. Considere que o resistor é homogêneo (e que a corrente se distribua homogeneamente por sua secção).
c) (10 pontos) Suponha que uma gigantesca chapa condutora perfeita seja colocada entre a bateria e o resistor com apenas dois pequenos furos para passarem os fios ideais, sem fazer contato com eles. 5
Suponha que a chapa se entenda infinitamente. Com a visão eletromagnetismo, de que a energia viaja pelo espaço e não por dentro do fio, esperar-se-ia que toda a energia teria que passar pelos pequenos furos na chapa, já que um condutor perfeito blinda completamente a passagem da energia eletromagnética. Mostre que mesmo assim os resultados são compatíveis como o da teoria de circuitos, isto é, o campo elétrico realmente aumenta nas proximidades dos furos. Prove ainda que se os furos forem muito pequenos (isto é, o raio do furo é aproximadamente igual ao raio dos fios ideais), então a potencia que passa da bateria para o resistor continua sendo ߝܫ, como esperado pela teoria de circuitos.
d) (10 pontos) Se os furos forem fechados até tocarem nos fios ideais, então a energia que sai da bateria seria completamente blindada pela chapa e nenhuma energia seria dissipada no resistor. Isto está de acordo com a teoria de circuitos? Explique.
Produto Escalar entre dois vetores:
z z y y x x b a b a b a b a + +
r r
Produto Vetorial entre dois vetores:
z b a b a y b a b a x b a b a b a x y y x z x x z y z z y ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( + +
r r
Topic: Electromagnetism, Circuits, Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Kirchhoff’s Laws, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Battery, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.3
Dalla teoria dell’elettromagnetismo di Maxwell che l’energia carica da una L’onda elettromagnetica è rappresentata dal vettore di Poynting 4
ܵԦ ൌ1 ߤ ܧሬԦ ൈܤሬԦ Il suo senso indica il senso del flusso di energia e il suo modulo rappresenta l’energia per unità di tempo e di area (perpendicolare alla sua direzione) che attraversa questo elemento di area.
Desta forma seria de se esperar que a integral do produto escalar ܵԦ ݀ܣԦ sobre uma dada superfície che rappresenta la potenza che attraversa tale superficie. Tuttavia questo non è mai stato dimostrato ai campi statici (solo per onde/campos che si diffondono). Ma una cosa già dimostrata è il teorema di Poynting, che dice che l’integrale di su una superficie chiusa è uguale alla potenza che esce da questa volume compreso dalla superficie.
Considerate il circuito seguente, costituito da un resistore di resistenza R e da un generatore di resistenza fem di una durata di almeno un anno,
È stato dimostrato che la teoria elettromagnetica è in grado di raggiungere i risultati della teoria di La Commissione ha inoltre adottato una proposta di direttiva che prevede che i circuiti di La teoria dei circuiti).
Nella teoria dei circuiti si pensa che l’energia dissipata nella resistenza esce dalla batteria e è trasportata dai fili che li collegano. Tuttavia, l’elettromagnetismo dice che l’energia viene effettivamente dal la batteria e si diffonde nello spazio fino a raggiungere la resistenza, dove viene dissipata sotto forma di calore, i fili servono solo come una guida per l’energia, senza che alcuna energia effettivamente vada dentro di loro. a) (5 punti) Supponiamo che il vettore di Poynting indichi davvero il senso del flusso di energia a un certo punto, anche per campi statici. Mostra che nella regione tra i fili ideali c’è un flusso di energia che va dalla batteria alla resistenza e mostra anche che il flusso di energia nel l’interno dei fili ideali è nullo.
b) (10 punti) Usando il teorema di Poynting, provare per una resistenza cilindrica che la potenza totale penetrando nella sua superficie (da fuori verso l’interno) è esattamente quello previsto dalla teoria del circuito, , R è la sua resistenza e I il corrente che lo attraversa. Considera che la resistenza è omogenea (e che la corrente si distribuisca uniformemente per la sua sezione).
c) (10 punti) Supponiamo che una gigantesca scheda conduttrice perfetta sia posta tra la batteria e la resistenza con solo due piccoli fori per attraversare i fili ideali senza contatto con
- E’ loro. 5
Supponiamo che la scheda si capisca infinitamente. Con la visione elettromagnetica, che la l’energia viaggia nello spazio e non all’interno del filo, si dovrebbe aspettarsi che tutta l’energia dovesse passare La maggior parte delle persone che si trovano in questo paese, come la maggior parte delle persone, non hanno la possibilità di trovare un posto per il lavoro. energia elettromagnetica. Mostra che i risultati sono comunque compatibili con quelli della teoria di circuiti, cioè il campo elettrico si aumenta davvero nei pressi dei fori. Prova ancora che se i fori sono molto piccoli (cioè, il raggio del foro è circa uguale al raggio dei Fonti ideali), quindi la potenza che passa dalla batteria alla resistenza continua a essere , come previsto per la teoria dei circuiti.
d) (10 punti) Se i fori sono chiusi fino a quando non toccano i fili ideali, allora l’energia che esce dalla la batteria sarebbe completamente protetta dalla lastra e nessuna energia sarebbe stata sprecata nella resistenza. Questo è conforme alla teoria dei circuiti? Spiegami.
Prodotto Scalare tra due vettori:
z z y y x x b a b a b a b a + +
r r
Prodotto vetorial tra due vettori:
z b a b a y b a b a x b a b a b a x y y x z x x z y z z y ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( + +
r r
Topic: Electromagnetism, Circuits, Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Kirchhoff’s Laws, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Battery, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.3
Question 3 (35 points) From Maxwell’s theory of electromagnetism that the energy charged by a The electromagnetic wave is represented by the Poynting vector 4
ܵԦ ൌ1 ߤ The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of this Regulation. Since its sense indicates the direction of the flow of energy and its module represents energy per unit time and area (perpendicular to its direction) passing through this area element.
In this way, the product integral would be expected to scale over a given surface representing the power flowing through such a surface. However this has never been demonstrated to fields static (only for propagating waves/fields). But something already proven is the theorem of Poynting, which says that the integral of over a closed surface is equal to the output power of that the volume comprised by the surface.
Consider the following circuit, consisting of an R resistor and a fem generator constant ɛ connected by two perfectly parallel and very long conductive wires:
It has already been shown that electromagnetic theory is capable of reaching the results of the theory of The Commission has therefore decided to adopt a proposal for a directive on the approximation of the laws of the Member States relating to the use of electronic circuits. Theoretical methods of calculating the electrical power supply
In circuit theory, it’s often thought that the energy dissipated in the resistor comes out of the battery and is transported by the wires that connect them. However, electromagnetism says that energy actually comes from the The battery is then spread through space until it reaches the resistor, where it is dissipated as heat. The wires only serve as a guide to energy, without any actual energy going into them. (a) (5 points) Let’s assume that the Poynting vector actually indicates the direction of the flow of energy at a given point, even for static fields. Show that in the region between the ideal wires There’s a flow of energy going from the battery to the resistor and it also shows that the flow of energy in the The inner of the ideal wires is zero.
(b) (10 points) Using Poynting’s theorem, prove for a cylindrical resistor that the total power output is penetrating its surface (from the outside into the inside) is exactly what circuit theory predicts, , where R is its resistance and I is the current passing through it. Consider that the resistor is homogeneous (and that the current is distributed homogeneously by its section).
(c) (10 points) Suppose a giant perfect conductive plate is placed between the battery and the The resistor with only two small holes to pass the ideal wires, without contact with the They’re not. 5
Suppose the plate is infinitely understood. With the electromagnetic vision, that the energy travels through space and not through the wire, you would expect all the energy to have to pass through The first is the use of the electric motor. electromagnetic energy. Show that the results are still compatible with the theory of circuits, that is, the electric field actually increases near the holes. Try it again. If the holes are very small (i.e. the radius of the hole is approximately equal to the radius of the The power flowing from the battery to the resistor is still , as expected. by the theory of circuits.
(d) (10 points) If the holes are closed until they touch the ideal wires, then the energy coming out of the The battery would be fully shielded by the plate and no energy would be dissipated in the resistor. Is this consistent with the circuit theory? - Explain that.
Product Scale between two vectors:
z z y y x x b a b a b a b a + +
r r
Vector product between two vectors:
z b a b a y b a b a x b a b a b a x y y x z x x z y z z y ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( + +
r r
Topic: Electromagnetism, Circuits, Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Kirchhoff’s Laws, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Battery, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.3