QUESTÃO 1 (30 pontos) – Considere duas polias idênticas de massa M e dois corpos também idênticos de massa m dispostos como indicado na figura abaixo. Todos os fios utilizados no sistema são ideais (não tem massa e são inextensíveis). Considere a aceleração gravitacional local como g.
m m M M
- A. (10 pontos) Determine a aceleração das massas m no caso em que (M=0).
- B. (20 pontos) Determine a aceleração das massas m para . Faça M=0 na expressão obtida e reproduza o resultado do item (a).
Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pulley, Block, String Fonte: Testo (PDF) — p.2
QUESTIONE 1 (30 punti) Considerate due poli identiche di massa M e due corpi identici di massa m disposti come indicato nella figura seguente. Tutti i fili utilizzati nel sistema sono ideali (non sono massa e inespandibili). Considera l’accelerazione gravitazionale locale come g.
m m M M
- A. (10 punti) Determina l’accelerazione delle masse m nel caso in cui (M=0).
- B. (20 punti) Determina l’accelerazione delle masse m per . M=0 nell’espressione ottenuta e riproduce il risultato di cui alla lettera a).
Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pulley, Block, String Fonte: Testo (PDF) — p.2
Question 1 (30 points) Consider two identical M-mass polys and two identical bodies of mass m arranged as shown in Figure below. All wires used in the system are ideal (not It has mass and is inextensible. Consider the local gravitational acceleration as g.
m m M M
- A. (10 points) Determine the acceleration of masses m in the case where (M=0).
- B. (20 points) Determine the acceleration of masses m to . Make M=0 in the resulting expression and reproduces the result of point (a).
Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pulley, Block, String Fonte: Testo (PDF) — p.2
QUESTÃO 2 (35 pontos) – Uma fonte em linha de ondas eletromagnéticas está próxima a uma tira metálica infinita e paralela a esta, conforme ilustra a figura abaixo:
A largura da tira é l e sua distancia até a fonte é d. A fonte produz ondas cilíndricas com o campo elétrico paralelo à ela. Considere que o campo elétrico, produzido pela fonte, seja harmônico e a uma distancia d (da fonte) sua intensidade seja:
ܧൌܧݏ݁݊߱ݐ
onde ߱ൌ2ߨ݂ൌ2ߨܿ/ߣ é a freqüência angular e ߣ é o comprimento de onda. 3
Veja o seguinte esquema, no qual a fonte está perfurando a página:
Seja ܧௗ o campo elétrico da onda que chega direto da fonte e ܧ o campo da onda que foi refletida. Assuma que ߣا ݀ ݁ ݈, de modo que valham os princípios da ótica geométrica e, além disto, possamos desprezar a difração nas bordas da tira condutora. Deseja-se saber o campo elétrico ܧ num ponto P muito distante, a uma distancia r do centro da tira e a um ângulo ߠ, representados no esquema anterior, de modo que possamos considerar os raios diretos e refletidos, que chegam nesse ponto, praticamente paralelos.
a) (5 pontos) Calcule o campo direto ܧௗሺݎ, ߠሻ para pontos P(ݎ, ߠ) muito distantes, em função de r, ߠ, do tempo t e dos parâmetros básicos do problema como d, l, E0 e ߱. b) (5 pontos) Calcule o campo refletido ܧሺݎ, ߠሻ que chega aos mesmos pontos P, em função dos mesmos parâmetros e variáveis. c) (10 pontos) Calcule o campo elétrico total ܧሺݎ, ߠሻ para pontos muito distantes, em função dos mesmos parâmetros e variáveis. d) (15 pontos) Suponha que se coloque um anteparo muito afastado da fonte e paralelo a tira metálica. Mostre que a intensidade relativa da onda eletromagnética no anteparo, ܫ/ܫ, é dado por, aproximadamente,
ܫ/ܫൌݏ݁݊ሺ݇݀ܿݏߠሻ ݏ݁݊ሺ݇݀ሻ ൨ ଶ
Onde k é o numero de onda 2ߨ/ߣ, ܫ é a intensidade num dado ângulo ߠ e ܫ é a intensidade no centro do anteparo, isto é, para ߠൌ0. Observe que se está falando de intensidade média, isto é, o valor médio das intensidades sobre o tempo. Note que embora kd seja muito grande (já que d >>ߣ), ܿݏߠ varia muito pouco perto de ߠൌ0, de modo que pode ser possível obter um espectro de interferência bem definido no anteparo, se restringirmonos a um intervalo suficientemente pequeno de ângulo em torno do 0.
Topic: Wave Optics, Electromagnetism, Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle, Interference & Diffraction Analysis, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2
DOMANDA 2 (35 punti) Una fonte in linea di onde elettromagnetiche è vicino a una banda metallo infinito e parallelo, come illustrato nella figura seguente:
La larghezza della fascia è l e la sua distanza dalla fonte è d. La fonte produce onde cilindriche con il campo elettrico parallelo a essa. Considerare che il campo elettrico prodotto dalla fonte sia armonioso e a Distanza d (dalla fonte) la sua intensità è:
ܧൌܧݏ݁݊߱ݐ
dove ൌ2ൌ2/ è la frequenza angolare e è la lunghezza d’onda. 3
Vediamo il seguente schema, in cui la fonte sta perforazione pagina:
Che sia il campo elettrico dell’onda che arriva direttamente dalla fonte e il campo dell’onda che è stata riflessa. Supponiamo che , in modo che valga i principi di ottica geometrica e, oltre a questo, Possiamo disprezzare la diffrazione ai bordi della banda conduttiva. Si desidera conoscere il campo elettrico in un punto P molto lontano, a una distanza r dal centro della striscia e ad un angolo , rappresentato nel diagramma precedente, in modo da poter considerare i raggi diretti e che raggiungono questo punto, praticamente paralleli.
a) (5 punti) Calcola il campo diretto ሺ, ሻ per punti P(, ) molto lontani, in funzione di r, , del tempo t e dei parametri di base del problema come d, l, E0 e . b) (5 punti) Calcola il campo riflesso ሺ, ሻ che arriva agli stessi punti P, in funzione dei gli stessi parametri e le stesse variabili. c) (10 punti) Calcola il campo elettrico totale ሺ, ሻ per punti molto lontani, in funzione dei gli stessi parametri e le stesse variabili. d) (15 punti) Supponiamo che si metta un anteparco molto lontano dalla fonte e parallelo alla tira metallo. Mostra che l’intensità relativa dell’onda elettromagnetica in antepolazione, /, è data per circa:
/ൌሺsha ݏ݁݊ሺ݇݀ሻ ൨ ଶ
Dove k è il numero d’onda 2/, è l’intensità in un angolo determinato e è l’intensità al centro del preparo, cioè per o0. Si noti che si parla di intensità media, cioè il valore medio delle intensità sul tempo. Nota che anche se kd è molto grande (d’altro canto, varia molto poco vicino a ൌ0, di la misurazione del livello di interferenza è sufficiente per ottenere uno spettro di interferenza ben definito all’avanguardia, se si restringe ad un intervallo sufficientemente piccolo di angolo intorno a 0.
Topic: Wave Optics, Electromagnetism, Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle, Interference & Diffraction Analysis, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2
PROBLEM 2 (35 points) – An electromagnetic wave source is located near an infinite metallic strip parallel to it, as illustrated in the figure below:
The width of the strip is l and its distance from the source is d. The source emits cylindrical waves with the electric field parallel to it. Consider that the electric field generated by the source is harmonic, and at a distance d (from the source) its intensity is:
E = E₀ sin(ωt)
where ω = 2πf = 2πc/λ is the angular frequency and λ is the wavelength.
See the following diagram, in which the source is piercing the page:
Let E_d be the electric field of the wave arriving directly from the source and E_r be the field of the wave that has been reflected. Assume that λ ≪ d and l, so that geometric optics principles apply, and furthermore, we may neglect diffraction at the edges of the conducting strip.
We wish to determine the electric field E at a distant point P, located at a distance r from the center of the strip and at an angle θ, as shown in the previous diagram, such that we may consider the direct and reflected rays reaching this point to be approximately parallel.
a) (5 points) Calculate the direct field ܧௗሺݎ, ߠሻ for points P(ݎ, ߠ) very far away, in terms of r, ߠ, time t, and the basic parameters of the problem such as d, l, E₀, and ߱.
b) (5 points) Calculate the reflected field ܧሺݎ, ߠሻ arriving at the same points P, in terms of the same parameters and variables.
c) (10 points) Calculate the total electric field ܧሺݎ, ߠሻ for points very far away, in terms of the same parameters and variables.
d) (15 points) Suppose a screen is placed very far from the source and parallel to the metallic strip. Show that the relative intensity of the electromagnetic wave on the screen, ܫ/ܫ, is approximately given by
ܫ/ܫൌݏ݁݊ሺ݇݀ܿݏߠሻ ݏ݁݊（݇݀） ൨ ଶ
where k is the wave number 2ߨ/ߣ, ܫ is the intensity at a given angle ߠ, and ܫ is the intensity at the center of the screen, that is, for ߠൌ0. Note that we are referring to average intensity, i.e., the time-averaged value of the intensities.
Note that although kd is very large (since d >> ߣ), ܿݏߠ varies only slightly near ߠൌ0, so it may be possible to obtain a well-defined interference spectrum on the screen if we restrict ourselves to a sufficiently small angular interval around 0.
QUESTÃO 3 (35 pontos) – Da teoria do eletromagnetismo de Maxwell que a energia carregada por uma onda eletromagnética é representada pelo vetor de Poynting 4
ܵԦ ൌ1 ߤ ܧሬԦ ൈܤሬԦ Sendo que seu sentido indica o sentido do fluxo de energia e seu módulo representa a energia por unidade de tempo e área (perpendicular a sua direção) que passa por este elemento de área.
Desta forma seria de se esperar que a integral do produto escalar ܵԦ ݀ܣԦ sobre uma dada superfície representasse a potencia atravessando tal superfície. No entanto isso nunca foi demonstrado para campos estáticos (apenas para ondas/campos que se propagam). Mas algo já demonstrado é o teorema de Poynting, que diz que a integral de ܵԦ ݀ܣԦ sobre uma superfície fechada é igual a potencia saindo desse volume compreendido pela superfície.
Considere o seguinte circuito, formado por um resistor de resistência R e um gerador de fem constante ɛ ligados por dois fios condutores perfeitos paralelos e muito longos:
Já foi mostrado que a teoria eletromagnética é capaz de chegar nos resultados da teoria de circuitos, com muito mais precisão, embora com muito mais dificuldade (não tirando, pois, o credito da teoria de circuitos).
Na teoria de circuitos costuma-se pensar que a energia dissipada no resistor sai da bateria e é transportada pelos fios que os ligam. No entanto, o eletromagnetismo diz que, na verdade, a energia sai da bateria e se propaga pelo espaço até chegar ao resistor, onde será dissipada na forma de calor, sendo que os fios só servem como um guia para a energia, sem que nenhuma energia de fato vá dentro deles. a) (5 pontos) Vamos assumir que o vetor de Poynting realmente indique o sentido do fluxo de energia num dado ponto, mesmo para campos estáticos. Mostre que na região entre os fios ideais há um fluxo de energia que vai da bateria até o resistor e mostre também que o fluxo de energia no interior dos fios ideais é nulo.
b) (10 pontos) Usando o teorema de Poynting, prove para um resistor cilíndrico que a potencia total penetrando pela sua superfície (de fora para dentro) é justamente o previsto pela teoria de circuito, , sendo R sua resistência e I a corrente passando por ele. Considere que o resistor é homogêneo (e que a corrente se distribua homogeneamente por sua secção).
c) (10 pontos) Suponha que uma gigantesca chapa condutora perfeita seja colocada entre a bateria e o resistor com apenas dois pequenos furos para passarem os fios ideais, sem fazer contato com eles. 5
Suponha que a chapa se entenda infinitamente. Com a visão eletromagnetismo, de que a energia viaja pelo espaço e não por dentro do fio, esperar-se-ia que toda a energia teria que passar pelos pequenos furos na chapa, já que um condutor perfeito blinda completamente a passagem da energia eletromagnética. Mostre que mesmo assim os resultados são compatíveis como o da teoria de circuitos, isto é, o campo elétrico realmente aumenta nas proximidades dos furos. Prove ainda que se os furos forem muito pequenos (isto é, o raio do furo é aproximadamente igual ao raio dos fios ideais), então a potencia que passa da bateria para o resistor continua sendo ߝܫ, como esperado pela teoria de circuitos.
d) (10 pontos) Se os furos forem fechados até tocarem nos fios ideais, então a energia que sai da bateria seria completamente blindada pela chapa e nenhuma energia seria dissipada no resistor. Isto está de acordo com a teoria de circuitos? Explique.
Produto Escalar entre dois vetores:
z z y y x x b a b a b a b a + +
r r
Produto Vetorial entre dois vetores:
z b a b a y b a b a x b a b a b a x y y x z x x z y z z y ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( + +
r r
Topic: Electromagnetism, Circuits, Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Kirchhoff’s Laws, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Battery, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.3
Quesito 3 (35 punti) – Secondo la teoria dell’elettromagnetismo di Maxwell, l’energia trasportata da un’onda elettromagnetica è rappresentata dal vettore di Poynting 4
ܵԦ ൌ1 ߤ ܧሬԦ ൈܤሬԦ
Il suo verso indica il senso del flusso di energia, mentre il modulo rappresenta l’energia per unità di tempo e area (perpendicolare alla sua direzione) che attraversa un elemento di superficie.
Si potrebbe quindi supporre che l’integrale del prodotto scalare ܵԦ ݀ܣԦ su una superficie data rappresenti la potenza che attraversa tale superficie. Tuttavia, questo non è mai stato dimostrato per campi statici (solo per onde/campi che si propagano). Tuttavia, è già stato dimostrato il teorema di Poynting, che afferma che l’integrale di ܵԦ ݀ܣԦ su una superficie chiusa è uguale alla potenza uscente da tale volume racchiuso dalla superficie.
Si consideri il seguente circuito, formato da un resistore di resistenza R e da un generatore di forza elettromotrice costante ɛ collegati tramite due fili conduttori perfetti, paralleli e molto lunghi:
È già stato dimostrato che la teoria elettromagnetica è in grado di ottenere i risultati della teoria dei circuiti con molto maggiore precisione, anche se con una grande complessità (senza però togliere merito alla teoria dei circuiti).
Nella teoria dei circuiti si tende a pensare che l’energia dissipata nel resistore provenga dalla batteria e venga trasportata dai fili che li collegano. Tuttavia, l’elettromagnetismo afferma che in realtà l’energia esce dalla batteria e si propaga nello spazio fino ad arrivare al resistore, dove viene dissipata sotto forma di calore, mentre i fili servono soltanto da guida per l’energia, senza che in realtà alcuna energia vi scorra all’interno.
a) (5 punti) Supponiamo che il vettore di Poynting indichi effettivamente la direzione del flusso energetico in un dato punto, anche per campi statici. Dimostri che nella regione tra i fili ideali esiste un flusso di energia che va dalla batteria al resistore, e dimostri anche che il flusso di energia all’interno dei fili ideali è nullo.
b) (10 punti) Utilizzando il teorema di Poynting, dimostri che per un resistore cilindrico la potenza totale che penetra nella sua superficie (dall’esterno verso l’interno) è esattamente quella prevista dalla teoria dei circuiti, , dove R è la sua resistenza e I è la corrente che lo attraversa. Si assuma che il resistore sia omogeneo (e che la corrente si distribuisca uniformemente sulla sua sezione trasversale).
c) (10 punti) Supponiamo che una gigantesca lastra conduttrice perfetta sia posta tra la batteria e il resistore, con soltanto due piccoli fori per far passare i fili ideali, senza che questi entrino in contatto con la lastra.
Supponiamo che la lamina sia infinita. Nella visione dell’elettromagnetismo, poiché l’energia viaggia nello spazio e non all’interno del filo, ci si aspetterebbe che tutta l’energia debba passare attraverso i piccoli fori nella lamina, poiché un conduttore perfetto scherma completamente il passaggio dell’energia elettromagnetica. Dimostrare che, nonostante ciò, i risultati sono comunque compatibili con la teoria dei circuiti, ovvero che il campo elettrico aumenta effettivamente nelle vicinanze dei fori. Dimostrare inoltre che, se i fori sono molto piccoli (cioè il raggio del foro è approssimativamente uguale al raggio dei fili ideali), la potenza che passa dalla batteria al resistore rimane ߝ𝐼, come previsto dalla teoria dei circuiti.
d) (10 punti) Se i fori vengono chiusi fino a toccare i fili ideali, allora l’energia uscente dalla batteria sarebbe completamente schermata dalla lamina e nessuna energia verrebbe dissipata nel resistore. Questo è in accordo con la teoria dei circuiti? Spiegate.
Prodotto scalare tra due vettori:
z z y y x x b a b a b a b a + +
r r
Prodotto vettoriale tra due vettori:
z b a b a y b a b a x b a b a b a x y y x z x x z y z z y ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) + +
r r
QUESTION 3 (35 points) – From Maxwell’s theory of electromagnetism, the energy carried by an electromagnetic wave is represented by the Poynting vector 4
ܵԦ ൌ1 ߤ ܧሬԦ ൈܤሬԦ Given that its direction indicates the direction of energy flow and its magnitude represents the energy per unit time and area (perpendicular to its direction) that passes through this area element.
Thus, one would expect that the integral of the dot product ܵԦ ݀ܣԦ over a given surface would represent the power crossing such surface. However, this has never been demonstrated for static fields (only for waves/fields that propagate). But something already demonstrated is Poynting’s theorem, which states that the integral of ܵԦ ݀ܣԦ over a closed surface is equal to the power leaving the volume enclosed by the surface.
Consider the following circuit, formed by a resistor of resistance R and a generator of constant emf ɛ connected by two perfect parallel conducting wires that are very long:
It has already been shown that electromagnetic theory is capable of arriving at the results of circuit theory, with much greater precision, although with much greater difficulty (not thereby taking away the credit of circuit theory).
In circuit theory it is commonly assumed that the energy dissipated in a resistor comes from the battery and is transported through the wires connecting them. However, electromagnetism states that in reality energy leaves the battery and propagates through space until it reaches the resistor, where it is dissipated as heat; the wires only serve as guides for energy propagation and do not actually carry any energy within them.
a) (5 points) Let us assume that the Poynting vector indeed indicates the direction of energy flow at a given point, even for static fields. Show that in the region between ideal wires there is an energy flux going from the battery to the resistor, and also show that the energy flux inside the ideal wires is zero.
b) (10 points) Using Poynting’s theorem, prove that for a cylindrical resistor the total power entering its surface (from outside to inside) is exactly as predicted by circuit theory, , where R is its resistance and I is the current passing through it. Assume that the resistor is homogeneous (and that the current distributes uniformly across its cross-section).
c) (10 points) Suppose a gigantic perfectly conducting plate is placed between the battery and the resistor, with only two small holes allowing the ideal wires to pass through, without making contact with the plate.
Assume the plate is infinitely extended. From the electromagnetic perspective, where energy travels through space rather than inside the wire, one would expect all energy to have to pass through the small holes in the plate, since a perfect conductor completely shields electromagnetic energy transmission. Show that despite this, the results are still consistent with circuit theory, i.e., the electric field indeed increases near the holes. Additionally, prove that if the holes are very small (i.e., the hole radius is approximately equal to the ideal wire radius), then the power transferred from the battery to the resistor remains ߝ𝐼, as expected by circuit theory.
d) (10 points) If the holes are closed until they touch the ideal wires, then all energy leaving the battery would be completely shielded by the plate and no energy would be dissipated in the resistor. Is this consistent with circuit theory? Explain.
Scalar Product between two vectors:
a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_zb_z
Vector Product between two vectors:
a × b = ˆx (aᵧb_z − a_zbᵧ) + ˆy (a_zbₓ − aₓb_z) + ˆz (aₓbᵧ − aᵧbₓ)