Brasil 2006

Determinação da Viscosidade Absoluta de Um Líquido (100 pontos)

O movimento de queda de um corpo no interior de um fluido pode ser analisado sob ação de três forças: gravitacional, empuxo e atrito. Denominamos este regime de laminar quando o número de Reynolds $R\le 1$. Neste regime, o fluido se comporta como se fosse composto por camadas muito finas que deslizam umas sobre as outras devido ao atrito. Enquanto a ação das forças gravitacional e empuxo não dependem da velocidade, a força de atrito crescerá a partir do repouso até uma velocidade limite $v_{\text{lim}}$, quando a força total sobre o corpo se tornará nula, mantendo assim o movimento retilíneo uniforme (MRU).

Considerando que a força de atrito viscoso é $F_{\text{visc}}=-6\pi \eta rv$, onde $\eta$ é a viscosidade absoluta do fluido a ser determinada, $r$ é o raio da esfera de aço e $v$ a velocidade da esfera, o número de Reynolds é:

$R=\frac{2Vr}{\xi }$

onde $\xi$ é a viscosidade cinemática definida como:

$\xi =\frac{\eta }{{\rho }_{\text{oˊleo}}}=2,3{\text{cm}}^2/\text{s}$

Dados:

• Aceleração da gravidade local: $g=9,78{\text{m/s}}^2$
• Densidade da esfera de aço: ${\rho }_{\text{ac¸o}}=7,85{\text{g/cm}}^3$
• Densidade do óleo lubrificante: ${\rho }_{\text{oˊleo}}=0,95{\text{g/cm}}^3$

Na prática, a proximidade das paredes do tubo influencia o valor da velocidade limite por um fator $1/f$, onde $f=1+x+x^2$ e $x=\frac{9r}{2D}$, sendo $D$ o diâmetro interno do tubo e $r$ o raio da esfera de aço. A velocidade mensurável no tubo é:

$v_{\text{limD}}=\frac{v_{\text{lim}}}{f}$

O experimento proposto é a determinação da constante $k$ experimentalmente utilizando esferas de raios diferentes com diferentes velocidades limites, e posterior comparação da viscosidade do óleo obtida com o valor tabelado, com discussão de possíveis causas de erros.

Todas as medidas devem ser tomadas em condição de MRU ajustando dois marcadores (anéis de plástico preto) em alturas convenientes, determinando assim o início e término do trecho de MRU. Existem esferas de aço de vários diâmetros diferentes; utilizar uma de cada diâmetro para efetuar teste de lançamento, estimar o intervalo de tempo para percorrer $\Delta h$, e medir o diâmetro da esfera com micrômetro antes do lançamento definitivo.

(a) Escreva a equação da segunda lei de Newton para este corpo antes de atingir a velocidade limite, em termos dos dados acima. (5 pontos)

(b) Mostre que $v_{\text{lim}}=k{r}^2$, onde $k$ depende somente dos dados acima. (10 pontos)

(c) Mostre que: $\eta =\frac{2g}{9k}({\rho }_{\text{ac¸o}}-{\rho }_{\text{oˊleo}})$ (5 pontos)

(d) Escreva os valores de $\Delta h$, $D$ e os valores do raio de cada esfera com seus respectivos erros (definir o instrumento de medida). (10 pontos)

(e) Monte uma tabela com os valores de tempos medidos, $v_{\text{limD}}$, $v_{\text{lim}}$ e outros valores necessários com seus respectivos erros. (20 pontos)

(f) Trace uma reta utilizando o método gráfico ou mínimos quadrados com os respectivos valores de coeficiente angular e linear e seus desvios. O que significa o coeficiente linear diferente de zero neste experimento? (20 pontos)

(g) Determinar o valor da constante $k$ com respectivo erro, e compare com o valor fornecido. (15 pontos)

(h) Como e em que lugar do cilindro foi definida a altura de marcação do $\Delta h$? Quais foram os cuidados para determinar o intervalo de tempo de queda da esfera nessa distância? (15 pontos)

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Sphere, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.2

**Determinazione della viscosità assoluta di un liquido (100 punti) **

Il movimento di caduta di un corpo all’interno di un fluido può essere analizzato sotto l’azione di tre forze: gravitazionale, spinta e attrito. Chiamiamo questo regime laminar quando il numero di Reynolds $R\le 1$. In questo regime, il fluido si comporta come se fosse composto da strati molto sottili che scivolavano l’uno sull’altro a causa dello scratto. Finché l’azione delle forze gravitazionali e di spinta non dipende dalla velocità, la forza di attrito crescerà dal riposo a una velocità limite $v_{\text{lim}}$, quando la forza totale sul corpo diventerà nulla, mantenendo così il movimento reticolare uniforme (MRU).

Considerando che la forza di attrito viscosa è $F_{\text{visc}}=-6\pi \eta rv$, dove $\eta$ è la viscosità assoluta del fluido da determinare, $r$ è il raggio della sfera di acciaio e $v$ la velocità della sfera, il numero di Reynolds è:

$R=\frac{2Vr}{\xi }$

in cui $\xi$ è la viscosità cinematica definita come:

$\xi =\frac{\eta }{{\rho }_{\text{oˊleo}}}=2,3{\text{cm}}^2/\text{s}$

Dati:

• Accelerazione della gravità locale: $g=9,78{\text{m/s}}^2$
• Densità della sfera in acciaio: ${\rho }_{\text{ac¸o}}=7,85{\text{g/cm}}^3$
• Densità dell’olio lubrificante: ${\rho }_{\text{oˊleo}}=0,95{\text{g/cm}}^3$

In pratica, la vicinanza delle pareti del tubo influisce sul valore della velocità limite da un fattore $1/f$, dove $f=1+x+x^2$ e $x=\frac{9r}{2D}$, mentre $D$ è il diametro interno del tubo e $r$ il raggio della sfera in acciaio. La velocità misurata nel tubo è:

$v_{\text{limD}}=\frac{v_{\text{lim}}}{f}$

L’esperimento proposto è quello di determinare la costante $k$ sperimentalmente utilizzando sfere di raggi diversi a diverse velocità di limite, e poi confrontare la viscosità dell’olio ottenuto con il valore di tabella, discutendo possibili cause di errori.

Tutte le misure devono essere prese in condizioni di MRU, con due marcatori (anelli di plastica nera) ad altezza conveniente, determinando così l’inizio e la fine del tratto di MRU. Esistono sfere di acciaio di diversi diametri; utilizzare una di ciascuna diametro per effettuare un test di lancio, stimare l’intervallo di tempo per percorrerlo $\Delta h$ e misurare il diametro della sfera con micrometro prima del lancio definitivo.

Scrivi l’equazione della seconda legge di Newton per questo corpo prima di raggiungere la velocità limite, in termini di dati sopra. 5 punti)

**(b) ** Mostra che $v_{\text{lim}}=k{r}^2$, dove $k$ dipende solo dai dati sopra. (cfr.

**(c) ** Mostri che: $\eta =\frac{2g}{9k}({\rho }_{\text{ac¸o}}-{\rho }_{\text{oˊleo}})$ 5 punti)

**(d) ** Scrivi i valori di $\Delta h$, $D$ e i valori del raggio di ciascuna sfera con i loro rispettivi errori (definire l’impianto di misura). (cfr.

**(e) ** Metti in una tabella i valori di tempo misurati, $v_{\text{limD}}$, $v_{\text{lim}}$ e altri valori necessari con i loro rispettivi errori. (cfr.

**(f) ** Traccia una linea utilizzando il metodo grafico o minime quadrati con i rispettivi valori di coefficiente angolare e lineare e le loro deviazioni. Cosa significa il coefficiente lineare diverso da zero in questo esperimento? (cfr.

**(g) ** Determina il valore della costante $k$ con l’errore rispettivo e confronta con il valore fornito. 15 punti)

**(h) ** Come e in che luogo del cilindro è stata definita la quota di marcatura del $\Delta h$? Quali sono state le cure per determinare l’intervallo di tempo di caduta della sfera a questa distanza? 15 punti)

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Sphere, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.2

The total viscosity of a liquid shall be determined by the following formula:

The falling motion of a body inside a fluid can be analyzed by the action of three forces: gravitational, push, and friction. We call this **lamin ** when the Reynolds number $R\le 1$. In this regime, the fluid behaves as if it were composed of very thin layers that slide over each other due to friction. As long as the action of gravitational forces and thrust does not depend on speed, the friction force will increase from rest to a limit speed $v_{\text{lim}}$, when the total force on the body will become zero, thus maintaining uniform reticle movement (MRU).

Whereas the viscous friction force is $F_{\text{visc}}=-6\pi \eta rv$, where $\eta$ is the absolute viscosity of the fluid to be determined, $r$ is the radius of the steel sphere and $v$ the speed of the sphere, the Reynolds number is:

$R=\frac{2Vr}{\xi }$

where $\xi$ is the kinematic viscosity defined as:

$\xi =\frac{\eta }{{\rho }_{\text{oˊleo}}}=2,3{\text{cm}}^2/\text{s}$

The data:

• Local gravity acceleration: $g=9,78{\text{m/s}}^2$
• Density of the steel sphere: ${\rho }_{\text{ac¸o}}=7,85{\text{g/cm}}^3$
• Density of lubricating oil: ${\rho }_{\text{oˊleo}}=0,95{\text{g/cm}}^3$

In practice, the proximity of the tube walls influences the limit velocity value by a factor $1/f$, where $f=1+x+x^2$ and $x=\frac{9r}{2D}$, with $D$ the inner diameter of the tube and $r$ the radius of the steel sphere. The measurable speed in the tube is:

$v_{\text{limD}}=\frac{v_{\text{lim}}}{f}$

The proposed experiment is to determine the $k$ constant experimentally using different beam spheres with different limit speeds, and then compare the viscosity of the oil obtained with the value in the table, discussing possible causes of errors.

All measures shall be taken under MRU condition by adjusting two markers (black plastic rings) at appropriate heights, thus determining the start and end of the MRU section. There are steel spheres of several different diameters; use one of each diameter to perform a launch test, estimate the time interval to travel $\Delta h$, and measure the diameter of the sphere with a micrometer before the final launch.

Write the equation of Newton’s second law for this body before it reaches the speed limit, in terms of the data above. (five points)

**(b) ** Show that $v_{\text{lim}}=k{r}^2$ where $k$ depends only on the above data. (Figure 1)

**(c) ** Show that: $\eta =\frac{2g}{9k}({\rho }_{\text{ac¸o}}-{\rho }_{\text{oˊleo}})$ (five points)

**(d) ** Write the values of $\Delta h$, $D$ and the radius values of each sphere with their respective errors (defining the measuring instrument). (Figure 1)

**(e) ** Mount a table with the measured time values, $v_{\text{limD}}$, $v_{\text{lim}}$ and other values required with their respective errors. (A) the number of points

**(f) ** Draw a straight line using the graph or least squares method with the respective angular and linear coefficient values and their deviations. What does the linear coefficient other than zero mean in this experiment? (A) the number of points

**(g) ** Determine the value of the constant $k$ with the respective error, and compare it with the value provided. (Fifteen points)

How and where on the cylinder was the marking height of the $\Delta h$ defined? What care was taken to determine the time interval of the fall of the sphere at this distance? (Fifteen points)

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Sphere, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.2