Brasil 2006

Questão 1 (25 pontos). A corda da figura abaixo tem $L=120\text{cm}$ de comprimento e a distância $d$ até o pino fixo P é de $75\text{cm}$. Quando a bola é liberada, a partir do repouso na posição indicada na figura, descreve a trajetória indicada pela linha tracejada. Qual é a velocidade da bola:

• A. quando está passando pelo ponto mais baixo da trajetória (05)
• B. quando chega ao ponto mais alto da trajetória depois que a corda toca o pino? (10)
• C. Mostre que, para que a bola faça uma volta completa em torno do pino devemos ter $d>3L/5$. (10).

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Energy Conservation Method, Conservation of Energy, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, String, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 1 (25 punti). La corda della figura seguente è $L=120\text{cm}$ di lunghezza e la distanza $d$ fino al pinetto fisso P è di $75\text{cm}$. Quando la palla viene rilasciata, dalla posizione indicata nella figura, descrive la la tragittoria indicata dalla linea tracciata. Qual è la velocità della palla:

• A. quando sta attraversando il punto più basso della trajectoria (05)
• B. quando chega ao ponto mais alto da trajetória depois que a corda toca o pino? (10)
• C. Mostre que, para que a bola faça uma volta completa em torno do pino devemos ter $d>3L/5$. (10).

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Energy Conservation Method, Conservation of Energy, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, String, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2

Question 1 (25 points). The string in the figure below is $L=120\text{cm}$ long and the distance $d$ to the fixed pin P is $75\text{cm}$. When the ball is released, from the position shown in the figure, describe the trajectory indicated by the traced line. What is the speed of the ball:

• A when passing the lowest point of the trajectory (05)
• When you reach the highest point of the trajectory after the rope touches the pin? (10)
• **C ** Show that for the ball to make a full spin around the pine we must have $d>3L/5$. (10).

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Energy Conservation Method, Conservation of Energy, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, String, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2

Questão 2 (25 pontos). Um cubo de gelo de $10\text{kg}$ a $0{}^{\circ }\text{C}$ será fundido com chumbo líquido a $327{}^{\circ }\text{C}$. Para isto, sendo que o volume de gelo maior do que o de chumbo, deverá ser feita previamente uma cavidade cúbica no gelo para inserção do chumbo. a) Calcule o volume e a aresta dessa cavidade de modo a conseguir fundir exatamente o gelo todo, ficando como resultado a água e chumbo sólido a $0{}^{\circ }\text{C}$. Suponha que todo o conjunto possa estar no interior de um recipiente perfeitamente isolante com uma tampa que se fecha depois de colocado o chumbo líquido. Para evitar a fusão do gelo enquanto se escava o gelo, o mesmo está a $-10{}^{\circ }\text{C}$ durante este processo, mas logo se coloca a $0{}^{\circ }\text{C}$ antes de injetar o chumbo na cavidade cúbica. (10) b) A condutividade térmica do gelo é baixa em relação ao chumbo, e devido à pressão do chumbo, se funde primeiro a parte do gelo que está abaixo deste. Faça hipóteses razoáveis para simplificar o cálculo e estime em quanto tempo o chumbo afunda, perfurando o gelo completamente até fazer contato com a base isolante do recipiente. (15) Densidade do chumbo e gelo: $11300$ e $920{\text{kg/m}}^3$ Calor específico do chumbo e gelo: $130$ e $2100\text{J/kg}\cdot {}^{\circ }\text{C}$ Calor de fusão ou latente do chumbo e gelo: $24500$ e $334000\text{J/kg}$ Temperatura de fusão do chumbo e gelo: $327$ e $0{}^{\circ }\text{C}$ Condutividade térmica do chumbo e gelo: $36$ e $1,6\text{W/m}\cdot {}^{\circ }\text{C}$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 2 (25 punti). Un cubo di ghiaccio $10\text{kg}$ a $0{}^{\circ }\text{C}$ deve essere fonduto con il piombo liquido a $327{}^{\circ }\text{C}$. Per questo, essendo il volume di ghiaccio superiore a quello di piombo deve essere precedentemente creato una cavità cubica nel ghiaccio per l’inserimento del piombo. a) Calcolare il volume e l’orlo di questa cavità in modo da poter fondere esattamente il ghiaccio La produzione di acqua e di piombo solido è di $0{}^{\circ }\text{C}$. Supponiamo che l’insieme può essere all’interno di un contenitore perfettamente isolante con una copertura che si chiude dopo aver messo il piombo liquido. Per evitare che il ghiaccio si fusi mentre si scava Il ghiaccio è $-10{}^{\circ }\text{C}$ durante questo processo, ma viene poi messo $0{}^{\circ }\text{C}$ prima di iniettare il piombo nella cavità cubica. (10) b) La conducibilità termico del ghiaccio è bassa rispetto al piombo, e a causa della pressione del Il piombo, prima di tutto, deve fondere la parte di ghiaccio che è sotto questo. Fate delle ipotesi ragionevoli per semplificare il calcolo e stimare quanto tempo il piombo si affonda, perforando il ghiaccio fino a che non si ottiene contatto con la base isolante del recipiente. (15) Densità di piombo e ghiaccio: $11300$ e $920{\text{kg/m}}^3$ Calore specifico di piombo e ghiaccio: $130$ e $2100\text{J/kg}\cdot {}^{\circ }\text{C}$ Calore latente o di fusione del piombo e del ghiaccio: $24500$ e $334000\text{J/kg}$ Temperatura di fusione del piombo e del ghiaccio: $327$ e $0{}^{\circ }\text{C}$ Conduzione termico del piombo e del ghiaccio: $36$ e $1,6\text{W/m}\cdot {}^{\circ }\text{C}$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Question 2 (25 points). A cube of ice $10\text{kg}$ to $0{}^{\circ }\text{C}$ shall be melted with liquid lead $327{}^{\circ }\text{C}$. For this, since The volume of ice greater than that of lead must be made a cubic cavity in the ice for inserting lead. (a) Calculate the volume and edge of the cavity so that the ice can be melted exactly The resulting water and solid lead to $0{}^{\circ }\text{C}$. Suppose that the whole set It may be contained in a perfectly insulating container with a lid that closes after placing the liquid lead. To prevent ice from melting while excavating the ice, the same is $-10{}^{\circ }\text{C}$ during this process, but it is soon put to $0{}^{\circ }\text{C}$ before Inject the lead into the cubic cavity. (10) (b) The thermal conductivity of the ice is low relative to lead, and due to the pressure of the Lead, if you melt the part of the ice that’s under this one first. Make reasonable assumptions To simplify the calculation and estimate how long lead sinks, drilling the ice completely until contact with the container’s insulating base. (15) Lead and ice density: $11300$ and $920{\text{kg/m}}^3$ Lead and ice specific heat: $130$ and $2100\text{J/kg}\cdot {}^{\circ }\text{C}$ Heat of fusion or latent of lead and ice: $24500$ and $334000\text{J/kg}$ Lead and ice melting temperature: $327$ and $0{}^{\circ }\text{C}$ Heat conductivity of lead and ice: $36$ and $1,6\text{W/m}\cdot {}^{\circ }\text{C}$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Questão 3 (20 pontos) Considere uma fonte de luz homogênea em forma de cruz, com $10\text{cm}$ de altura e $10\text{cm}$ de largura queremos formar em um anteparo localizada a um metro de distância, uma imagem de uma cruz de $20\text{cm}$ de altura e $5\text{cm}$ de largura sem o uso de lentes. Para isto, utilizamos dois diafragmas ou íris de forma retangular com uma largura fixa e altura variável. Estes diafragmas podem ser posicionados ao longo do eixo em qualquer posição entre a fonte e o anteparo. Determine:

• A. O posicionamento dos dois diafragmas em relação a fonte em forma de cruz. (10)
• B. A altura ou abertura dos dois diafragmas. (10)

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Screen, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 3 (20 punti) Considera una fonte luminosa omogenea a forma di croce, con $10\text{cm}$ di altezza e $10\text{cm}$ di larghezza Vogliamo formare su un anteprocesso situato a un metro di distanza, un’immagine di una croce. di $20\text{cm}$ di altezza e $5\text{cm}$ di larghezza senza l’uso di lenti. Per questo, usiamo due diaframmi o iris di forma rettangolare con una larghezza fissa e un’altezza variabile. Questi diaframmi possono essere posizionati lungo l’asse in qualsiasi posizione tra la fonte e l’anticipo. Determina:

• A. Il posizionamento dei due diaframmi rispetto alla fonte in forma di croce. (10)
• B. La altezza o l’apertura dei due diaframmi. (10)

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Screen, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question 3 (20 points) Consider a uniform cross-shaped light source with $10\text{cm}$ height and $10\text{cm}$ width We want to form on a frontal view located one meter away, an image of a cross. of $20\text{cm}$ in height and $5\text{cm}$ in width without the use of lenses. For this, we use two diaphragms or a rectangular iris with a fixed width and variable height. These diaphragms can be positioned along the axle in any position between the source and the front. Determine:

• A. The positioning of the two diaphragms with respect to the cross-shaped source. (10)
• B. The height or aperture of the two diaphragms. (10)

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Screen, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.3

Questão 4 (30 pontos) Em um decaimento radiativo, o núcleo atômico emite radiações denominadas alfa, beta e gama. A radiação gama são fótons de alta energia, que ao interagir com o material que compõe o detector pode sofrer três tipos de interação, denominados efeito fotoelétrico, produção de par elétron pósitron, e espalhamento Compton. Em 1923 mostrou-se que os fótons carregam momentum e energia quantizada. Utilizando a relação massa-energia de Einstein $E=m{c}^2$ e quantização da energia do fóton $E=h\nu$, e sabendo-se que a fonte radiativa ${}^{137}$Cs que tem meia vida de $30,17$ anos e emite radiação gama de $\gamma =661,6\text{keV}$, determinar: 1 – Equação de conservação de energia e momentum na interação da radiação gama com elétron. (05) 2 – Relação entre o gama incidente e espalhado em termos de massa do elétron e o ângulo de espalhamento. (10) 3 – Qual o ângulo de espalhamento em que se obtém maior energia do elétron possível, e qual o seu valor? (05) 4 – Qual é a velocidade do elétron espalhado nesta condição considerando efeito relativístico? (10) Dados: Massa do elétron $=9,11\times 10^{-31}\text{kg}$ Velocidade da luz $=3,00\times 10^8\text{m/s}$ $1\text{eV}=1,602\times 10^{-19}\text{J}$

Topic: Modern-Quantum Physics, Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Conservation Laws, Relativistic Energy-Momentum, Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon, Electron, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 4 (30 punti) In un decadimento radiativo, il nucleo atomico emette radiazioni chiamate alfa, beta e gamma. A Le radiazioni gamma sono fotoni ad alta energia che, quando interagiscono con il materiale che compone il rilevatore, può subire tre tipi di interazione, denominati effetto fotoelettrico, produzione di par di elettrone Positrone, e diffusione Compton. Nel 1923 è stato dimostrato che i fotoni portano impulso e energia quantificata. Usando il rapporto massa-energia di Einstein $E=m{c}^2$ e la quantificazione della la energia fotonica $E=h\nu$, e sapendo che la fonte di radiazione ${}^{137}$Cs che ha una media vita $30,17$ anni e emette $\gamma =661,6\text{keV}$ di radiazioni gamma, determinare: 1 Equation di conservazione di energia e di momentum nell’interazione tra radiazione gamma ed elettrone. (05) 2 Relazione tra gamma incidentale e diffusa in massa dell’elettrone e angolo di diffusione. (10) 3 Qual è l’angolo di diffusione in cui si ottiene la massima energia possibile dall’elettrone, e quale è il il suo valore? (05) 4 Qual è la velocità dell’elettrone sparso in questa condizione considerando l’effetto relativistico? (10) Dati: Massa di elettrone $=9,11\times 10^{-31}\text{kg}$ Velocità della luce $=3,00\times 10^8\text{m/s}$ $1\text{eV}=1,602\times 10^{-19}\text{J}$

Topic: Modern-Quantum Physics, Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Conservation Laws, Relativistic Energy-Momentum, Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon, Electron, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question 4 (30 points) In a radiative decay, the atomic nucleus emits radiation called alpha, beta, and gamma. A gamma radiation are high energy photons, which when interacting with the material that makes up the detector can undergo three types of interaction, called photoelectric effect, electron pair production Positrone, and Compton spread. In 1923 it was shown that photons carry momentum and quantified energy. Using the Einstein mass-energy ratio $E=m{c}^2$ and quantizing the The photon energy $E=h\nu$, and it is known that the radiative source ${}^{137}$Cs which has a half-life of $30,17$ years and emits gamma radiation of $\gamma =661,6\text{keV}$, to determine: 1 Equation of energy and momentum conservation in gamma radiation interaction with electron. (05) 2 Ratio between the incident and scattered range in terms of electron mass and the angle of incidence The spread. (10) 3 What is the angle of propagation at which the electron gets the most energy possible, and what is the What’s your value? (05) 4 What is the velocity of the electron scattered in this condition considering the relativistic effect? (10) The data: The mass of the electron $=9,11\times 10^{-31}\text{kg}$ Velocidade da luz $=3,00\times 10^8\text{m/s}$ $1\text{eV}=1,602\times 10^{-19}\text{J}$

Topic: Modern-Quantum Physics, Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Conservation Laws, Relativistic Energy-Momentum, Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon, Electron, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.3