Spagna 2021

1. Daniela corre a una velocidad de $4 m s^{- 1}$ y se lanza sobre un trineo que está inicialmente en reposo sobre la cima de una colina cubierta de nieve sin fricción. Después de que han descendido una distancia vertical de 5 m, su hermano, que está inicialmente en reposo, se monta en el trineo detrás de ella y juntos continúan bajando por la colina. ¿Cuál será su velocidad al final de la pendiente si el descenso vertical total es de 15 m?

Datos: $g = 9, 8 m s^{- 2}$ ; masas $m_{Daniela} = 50 kg$ ; $m_{trineo} = 5 kg$ ; $m_{hermano} = 30 kg$

Por favor, denomine:

$V_{1}$ : la velocidad inicial del conjunto trineo más Daniela
$V_{2}$ : la velocidad final del conjunto trineo más Daniela (tras los 5 m)
$V_{3}$ : la velocidad inicial del trineo con Daniela y su hermano
$V_{4}$ : la velocidad final del trineo, Daniela y su hermano

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.1

Daniela corre a una velocità di $4 m s^{- 1}$ e lancia su un bagliardo che è inizialmente a riposo sulla cima di una collina ricoperta di neve senza attrito. Dopo che hanno scesa una distanza verticale di 5 metri, suo fratello, che è inizialmente a riposo, si monta sul baglione dietro di lei e insieme continuano a scendere sulla collina. Qual è la sua velocità alla fine della pendenza se la discesa verticale totale è di 15 m?

Dati: $g = 9, 8 m s^{- 2}$ ; masse $m_{Daniela} = 50 kg$ ; $m_{trineo} = 5 kg$ ; $m_{hermano} = 30 kg$

Per favore, chiamate:

$V_{1}$ : velocità iniziale del gruppo di scheggia più Daniela
$V_{2}$ : velocità finale del gruppo di trineo più Daniela (dopo 5 m)
$V_{3}$ : velocità iniziale dello sciame con Daniela e suo fratello
$V_{4}$ : velocità finale dello sciame, Daniela e suo fratello

1. Daniela runs at a speed of $4 m s^{- 1}$ and throws herself onto a slide that is initially resting on top of a snow-covered hill without friction. After they have descended a vertical distance of 5 m, her brother, who is initially at rest, climbs the sled behind her and together they continue down the hill. What will your speed be at the end of the slope if the total vertical descent is 15 m?

Datos: $g = 9, 8 m s^{- 2}$ ; masas $m_{Daniela} = 50 kg$ ; $m_{trineo} = 5 kg$ ; $m_{hermano} = 30 kg$

Please name:

$V_{1}$ : the initial speed of the sleigh set plus Daniela
$V_{2}$ : the final speed of the sleigh set plus Daniela (after 5 m)
$V_{3}$ : the initial speed of the sled with Daniela and her brother
$V_{4}$ : the final speed of the sled, Daniela and her brother

2. Dos cargas puntuales positivas, $q_{1} = + 10 μ C$ y $q_{2} = + 5 μ C$ , están situadas a una distancia mutua de 1 m. Llamemos $A$ al punto medio situado a lo largo de la línea imaginaria que conecta las dos cargas.

a) Calcule el módulo, la dirección y sentido del campo eléctrico en el punto $A$ .

b) Calcule el potencial eléctrico en el punto $A$ .

c) Si colocamos una carga puntual negativa, $q = - 2 μ C$ , en el punto $A$ , calcule el módulo, dirección y sentido de la fuerza ejercida sobre dicha carga.

DATO: Constante eléctrica de Coulomb $K = 9 \times 1 0^{9} N m^{2} C^{- 2}$

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.1

Due carichi puntuali positivi, $q_{1} = + 10 μ C$ e $q_{2} = + 5 μ C$ , sono situati a 1 m di distanza tra loro. Chiamiamo $A$ il punto medio situato lungo la linea immaginaria che collega le due cariche.

a) Calcolare il modulo, la direzione e il senso del campo elettrico nel punto $A$ .

b) Calcolare il potenziale elettrico al punto $A$ .

c) Se si pone un carico punteggiato negativo, $q = - 2 μ C$ , nel punto $A$ , calcoli il modulo, la direzione e il senso della forza esercitata su tale carico.

DATO: Costante elettrica di Coulomb $K = 9 \times 1 0^{9} N m^{2} C^{- 2}$

(a) Calculate the module, direction and direction of the electric field at $A$ .

(b) Calculate the electrical potential at $A$ .

(c) If we place a negative point load, $q = - 2 μ C$ , at the point $A$ , calculate the module, direction and direction of the force applied on that load.

DATO: Constante eléctrica de Coulomb $K = 9 \times 1 0^{9} N m^{2} C^{- 2}$

3 y 4. Un tren gravitacional es un hipotético medio de transporte que conecta dos puntos de la Tierra, recorriendo subterráneamente un túnel rectilíneo. Vamos a estudiar la Física que subyace en este tipo de transporte.

Considere primero una masa perfectamente esférica de densidad uniforme y radio $R_{T}$ , que podemos suponer que sea la Tierra. Para calcular la fuerza gravitacional sobre un objeto que está a una distancia $r < R_{T}$ del centro del planeta, serán útiles los siguientes teoremas de Newton:

TEOREMA 1. La fuerza de gravedad generada por una esfera homogénea en el exterior de ella, es la misma que si toda su masa estuviera en el centro.

TEOREMA 2. La fuerza de gravedad dentro de una corona esférica homogénea es cero (en geometría, una corona esférica es la región del espacio comprendida entre dos esferas concéntricas de distinto radio).

a) Usando estos dos teoremas y conociendo la masa de la Tierra $M_{T}$ , la constante gravitatoria $G$ y el radio terrestre $R_{T}$ , calcule la fuerza de gravedad que actúa sobre un tren de masa $m$ que se encuentra a una profundidad $R_{T} - r$ . (Recuerde que, según los teoremas enunciados, solo es relevante la parte de la Tierra que está debajo del tren.)

Albany es una ciudad del estado de New York, que está a una latitud muy próxima a la de León. Un túnel recto que una estas dos ciudades (separadas unos 5400 km sobre la superficie terrestre) podría utilizarse como medio de transporte, simplemente dejando caer el tren desde cualquiera de las dos ciudades.

b) Tomando el sistema de referencia $(x, y)$ de la Fig. 2, calcule la fuerza neta a la que se ve sometido el tren cuando está en el punto $(x, 0)$ si no hay rozamiento con el aire o los raíles.

El tren se verá acelerado por la fuerza gravitatoria hasta llegar al punto $(0, 0)$ , desde el que comenzará a decelerar, hasta llegar a la estación de destino.

c) Si se compara este movimiento con el generado por un resorte de constante $k$ sobre un objeto de masa $m$ (sometido, por tanto, a la fuerza $F = - k x$ ), determine el valor de la constante $k$ de un hipotético muelle que originase un movimiento similar al del tren gravitacional. Tome $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$ , $M_{T} = 5, 98 \times 1 0^{24} kg$ , $R_{T} = 6370 km$ y $m = 1 0^{5} kg$ .

d) ¿Cuánto tardará el tren, inicialmente en reposo, desde que sale de una estación hasta que llega a su destino?

e) Compare ese tiempo con el periodo de un satélite que orbite justamente sobre la superficie de la Tierra.

(Fíjese en que no ha tenido que utilizar la distancia entre las ciudades, por lo que la duración del viaje es independiente de la distancia entre el origen y el destino. Además, no es preciso proporcionar energía a este tren: sin rozamientos, la acción de la gravedad es suficiente para ejecutar el movimiento completo.) Analicemos ahora el comportamiento de la energía.

f) Antes de estudiar el balance energético, determine la máxima velocidad que alcanza el tren.

g) Calcule ahora la diferencia de energía potencial gravitatoria del tren entre el punto central de su trayectoria $(0, 0)$ y la estación de destino.

Fig. 1: León y Albany, mapa y globo

Fig. 2: túnel subterráneo con sistema (x,y)

Topic: Gravitation, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Simple Harmonic Motion Analysis, Conservation of Energy, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Planet, Spring, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2

Un treno gravitazionale è un ipotetico mezzo di trasporto che collega due punti della Terra, percorrendo sotterraneamente un tunnel rettilineo. Studiamo la fisica che sta alla base di questo tipo di trasporto.

Considerate prima una massa perfettamente sferica di densità uniforme e di raggio $R_{T}$ , che possiamo supporre sia la Terra. Per calcolare la forza gravitazionale su un oggetto situato a una distanza $r < R_{T}$ dal centro del pianeta, saranno utili i seguenti teoremi di Newton:

**TEOREMA 1. ** La forza di gravità generata da una sfera omogenea all’esterno è la stessa che se tutta la sua massa fosse al centro.

**TEOREMA 2. ** La forza di gravità all’interno di una corona sferica omogenea è zero (in geometria, una corona sferica è la regione dello spazio compresa tra due sfere concentriche di radius diverso).

a) Usando questi due teoremi e conoscendo la massa della Terra $M_{T}$ , la costante gravitazionale $G$ e il raggio terrestre $R_{T}$ , calcoli la forza di gravità che agisce su un treno di massa $m$ situato a una profondità $R_{T} - r$ . (Ricorda che, secondo i teoremi esposti, è rilevante solo la parte della Terra che è sotto il treno.)

Albany è una città dello stato di New York, che è a una latitudine molto vicina a quella di Leone. Un tunnel retto che una di queste due città (separata circa 5400 km sulla superficie terrestre) potrebbe essere utilizzato come mezzo di trasporto, semplicemente lasciando cadere il treno da una delle due città.

b) Prendendo il sistema di riferimento $(x, y)$ di Fig. 2, calcolare la forza netta a cui il treno è sottoposto quando è al punto $(x, 0)$ se non vi è rottura con l’aria o i binari.

Il treno sarà accelerato dalla forza gravitazionale fino a raggiungere il punto $(0, 0)$ , da cui inizierà a rallentare, fino a raggiungere la stazione di destinazione.

c) Se si confronta questo movimento con quello generato da una risorsa di costante $k$ su un oggetto di massa $m$ (sottoposto, quindi, alla forza $F = - k x$ ), determinare il valore della costante $k$ di un ipotetico molo che origini un movimento simile a quello del treno gravitazionale. Prendete $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$ , $M_{T} = 5, 98 \times 1 0^{24} kg$ , $R_{T} = 6370 km$ e $m = 1 0^{5} kg$ .

d) Quanto tempo il treno, inizialmente a riposo, avrà da partire da una stazione fino a raggiungere la destinazione?

e) Compare quel tempo con il periodo di un satellite che orbita proprio sulla superficie della Terra.

(Sicorre che non è necessario utilizzare la distanza tra le città, quindi la durata del viaggio è indipendente dalla distanza tra l’origine e la destinazione. Inoltre, non è necessario fornire energia a questo treno: senza rotture, l’azione della gravità è sufficiente per eseguire il movimento completo.) Analisiamo ora il comportamento dell’energia.

f) Prima di studiare il bilancio energetico, determinare la velocità massima raggiunta dal treno.

g) Calcola ora la differenza di gravità potenziale tra il punto centrale del treno $(0, 0)$ e la stazione di destinazione.

Fig. 1: Leone e Albany, mappa e globo

Fig. 2: tunnel sotterraneo con sistema (x,y)

A gravitational train is a hypothetical means of transport connecting two points on Earth, through a rectangular tunnel underground. Let’s study the physics that underlies this type of transport.

Consider first a perfectly spherical mass of uniform density and radius $R_{T}$ , which we can assume is Earth. To calculate the gravitational force on an object at a distance $r < R_{T}$ from the centre of the planet, the following Newton theorems will be useful:

The force of gravity generated by a homogeneous sphere on the outside of it is the same as if its entire mass were at the centre.

THEOREMA 2. The gravitational force within a homogeneous spherical corona is zero (in geometry, a spherical corona is the region of space between two concentric spheres of different radii).

(a) Using these two theorems and knowing the mass of the Earth $M_{T}$ , the gravitational constant $G$ and the earth radius $R_{T}$ , calculate the gravitational force acting on a mass train $m$ at a depth $R_{T} - r$ . (Remember that, according to the theorems stated, only the part of the Earth that is under the train is relevant.)

Albany is a city in New York state, which is very close to the latitude of Leon. A straight tunnel that one of these two cities (separated some 5400 km above the earth’s surface) could be used as a means of transport, simply dropping the train from either of the two cities.

(b) Taking the reference system $(x, y)$ from Fig. 2, calculate the net force to which the train is subjected when it is at the point $(x, 0)$ if there is no friction with the air or the rails.

The train will be accelerated by gravity until it reaches the point $(0, 0)$ , from which it will start to slow down, until it reaches the destination station.

(c) If this motion is compared with that generated by a spring of constant $k$ on an object of mass $m$ (therefore subject to force $F = - k x$ ), determine the value of constant $k$ of a hypothetical dock that gives rise to a motion similar to that of the gravitational train. Take $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$ , $M_{T} = 5, 98 \times 1 0^{24} kg$ , $R_{T} = 6370 km$ and $m = 1 0^{5} kg$ .

(d) How long will it take the train, initially at rest, from leaving a station to reaching its destination?

(e) Compare that time to the period of a satellite orbiting just above the Earth’s surface.

(Note that you do not have to use the distance between cities, so the duration of the trip is independent of the distance between the origin and destination. Also, it is not necessary to provide energy to this train: without friction, gravity action is enough to execute the entire motion.) Let us now analyze the behavior of energy.

(f) Before studying the energy balance, determine the maximum speed attained by the train.

(g) Now calculate the difference in the train’s gravitational potential energy between the centre of its trajectory $(0, 0)$ and the destination station.

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 1: Lion and Albany, map and balloon*

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 2: underground tunnel with system (x,y)*

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