OPhO 2020 — Invitational

A Party Trick (20 pts)

It is a well known party trick that by pulling the tablecloth very quickly and suddenly, the plates on top of the table can stay nearly in place.

(a) (2 pt) Start with a circular table $D = 1 m$ in diameter with a very flat and small (and dimensionless for now) plate in the centre. How fast must you pull the tablecloth so the plate remains on the table? Assume the static friction coefficient is $μ_{s} = 0.5$ and kinetic friction is $μ_{k} = 0.3$ (for any contacts with the tablecloth) and that the tablecloth accelerates instantaneously. The tablecloth does not overhang the table.

(b) (4 pts) Mythbusters famously attempted to replicate the same trick with a giant tablecloth and a motorbike. We will simplify the experiment by assuming that the table was only set with plates placed $d = 0.5 m$ apart from each other and from both ends. Assuming a $ℓ = 7 m$ long table, how fast must the bike be travelling to successfully carry out this experiment? The mass of the cloth and plates are negligible compared to the mass of the motorbike. Assume small plates and that the tablecloth does not overhang the table.

(c) (6 pts) A young boy places his toy car in the centre on the table from part (b). He believes that since it has wheels, it will stay on the table easier. Confirm or deny this statement and find the significant speeds that the tablecloth is pulled at that would cause the car to stay on the table. Assume the car (including wheels) has mass $2 m$ , and that each wheel is a uniform disk of mass $m /4$ . The car is small in comparison to the table.

(d) (8 pts) We run the experiment one last time with the glass, with same mass as a plate, placed on top of each plate on the tablecloth, which in turn, is on a frictionless table. The static and kinetic coefficient between the glass and the plate are $μ_{s}^{'} = 0.30$ and $μ_{k}^{'} = 0.15$ respectively. How fast must the tablecloth be pulled so that the glasses stay completely on the plate and the plates stay completely on the table? Do not assume that the either plate or glass is dimensionless this time. A diagram is provided below:

Two plates (each with a glass on top) on the tablecloth: glass width 10 cm, plate-to-table height 15 cm, plates 30 cm apart centre-to-centre, 50 cm of cloth to the table edge, then the tablecloth being pulled off the edge.

Fonte: Testo (PDF) — p.4 Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Cart, Wheel

**Un trucco di partito (20 punti) **

È un noto trucco di festa che, tirando il tappietto molto rapidamente e improvvisamente, i piatti sopra il tavolo possono rimanere quasi in posizione.

**(a) (2 pt) ** Inizia con una tavola circolare $D = 1 m$ di diametro con una piastra molto piatta e piccola (e non dimensionata per il momento) al centro. Quanto veloce deve tirare il tovaglio per far rimanere il piatto sul tavolo? Supponiamo che il coefficiente di attrito statico sia $μ_{s} = 0.5$ e la frizione cinetica sia $μ_{k} = 0.3$ (per qualsiasi contatto con il tappieto) e che il tappieto accelera istantaneamente. Il tappietto non si appende sopra il tavolo.

I Mythbusters hanno provato a replicare lo stesso trucco con un gigantesco tovaglio e una moto. Simplificheremo l’esperimento supponendo che la tabella sia stata impostata solo con piastre posizionate $d = 0.5 m$ a distanza tra loro e da entrambe le estremità. Supponendo un tavolo lungo $ℓ = 7 m$ , a che velocità deve viaggiare la moto per poter eseguire con successo questo esperimento? La massa del tessuto e delle lastre è insignificante rispetto alla massa della moto. Supponiamo che siano piccoli piatti e che il tovaglio non sia sopra il tavolo.

Un ragazzino mette la sua auto giocattolo al centro sul tavolo della parte b. Crede che, dato che ha ruote, rimarrà più facile sul tavolo. Confirmare o negare questa affermazione e trovare le velocità significative che il tappo di tavolo viene tirato a che avrebbe causato l’auto a rimanere sul tavolo. Supponiamo che l’auto (compreso il ruota) abbia una massa $2 m$ e che ogni ruota sia un disco uniforme di massa $m /4$ . L’auto è piccola rispetto al tavolo.

**(d) (8 pts) ** Esperienza eseguita per l’ultima volta con il vetro, con la stessa massa di una piastra, posizionato sopra ogni piastra sul tavolo, che a sua volta è su una tavola senza attrito. Il coefficiente statico e cinetico tra vetro e piastra sono $μ_{s}^{'} = 0.30$ e $μ_{k}^{'} = 0.15$ rispettivamente. Quanto velocemente deve essere tirato il tappietto per far rimanere completamente i bicchieri sul piatto e le piatti sul tavolo? Non supponi che la piastra o il vetro siano senza dimensioni questa volta. Un diagramma è riportato di seguito:

Due piastre (ogni una con un vetro sopra) sul tavolo: larghezza di vetro 10 cm, altezza da tavolo a tavolo 15 cm, piastre a 30 cm di distanza dal centro al centro, 50 cm di tessuto al bordo del tavolo, poi il tavolo viene tolto dal bordo.

Solar Sails (26 pts)

Much research is being done on the possibility of using solar sails to reach far away reaches in out galaxy. This is a method of propulsion that use light from the sun to exert a pressure on what is usually a large mirror. The sails themselves are often made of a thin reflective film. Compared to traditional spacecraft, while these sails have very limited payloads, they offer long operational lifetimes and are relatively low cost. The most significant advantage is speed: since solar sails do not depend on onboard propellant, they can travel much faster than a standard rocket, with the possibility of reaching a significant percentage of the speed of light. For all parts, assume the solar sails are only under the influence of gravity from the sun only. In addition, you may necessary variables such as the mass and power output of the sun.

(a) (2 pt) Assume the solar sails are not revolving around the sun. Assume they are very reflective thin discs and that all of the mass is in the sail. What is the maximum area density so that the sail does not fall towards the sun? Does the distance matter (find the general density to distance equation if it does matter)?

(b) (3 pts) Assume the solar sails are a thin spherical shell and made of a perfectly absorbent material instead. The area density is exactly half the maximum area density so that it does not fall towards the sun. What is its final speed if it starts at a stationary position $1 Au$ from the sun?

(c) (5 pts) Assume the solar sails are a thin spherical shell and made of material having reflectance $r$ . With the same area density as in part (b), what is the final speed (it can reach this speed either when crashing into the sun, escaping the solar system, or remain in orbit)? This time, assume it starts in circular orbit $1 Au$ away from the sun as the starting condition. What is the orbital shape?

(d) (6 pts) Simply not falling into the sun is insufficient for solar sails. Most are planned to reach relativistic speeds. A way to achieve this is to fire large Earthbound lasers at the sail. How powerful must the lasers be to accelerate the sail up to $v = 0.2 c$ in 50 days? Since this far exceeds the value obtained in part 3, neglect the effects of the sun.

(e) (10 pts) Suppose a perfectly reflecting solar sail in the shape of a thin disk (with mass $m$ and radius $r$ ) orbiting around the star in a circular orbit of radius $d ≫ r$ . It is also spinning around itself, such that the spin angular velocity is in the same direction as the orbital angular velocity, and its axis of symmetry always remains parallel to the plane of the orbit. If its initial spin velocity is $ω_{0}$ find its spin velocity after it revolves an angle $θ$ around the star.

Fonte: Testo (PDF) — p.5 Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Kepler’s Laws, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Mirror, Star, Disk

**Viglie solari (26 pts) **

Molte ricerche sono state fatte sulla possibilità di usare le vele solari per raggiungere le distanze lontane che raggiungono le galassie esterne. Si tratta di un metodo di propulsione che utilizza la luce del sole per esercitare pressione su quello che di solito è un grande specchio. Le vele stesse sono spesso fatte di un sottile film riflettente. Rispetto alle navi spaziali tradizionali, queste vele hanno carichi utili molto limitati, offrono una lunga durata operativa e sono relativamente economiche. Il vantaggio più significativo è la velocità: poiché le vele solari non dipendono dal propellente a bordo, possono viaggiare molto più velocemente di un razzo standard, con la possibilità di raggiungere una percentuale significativa della velocità della luce. Per tutte le parti, supponiamo che le vele solari siano solo sotto l’influenza della gravità del sole. Inoltre, potresti aver bisogno di variabili come la massa e la potenza del sole.

**(a) (2 pt) ** Supponiamo che le vele solari non girino attorno al sole. Supponiamo che siano dischi sottili molto riflessivi e che tutta la massa sia nella vela. Qual è la densità massima di superficie per evitare che la vela cadga verso il sole? La distanza conta (trova la densità generale all’equazione di distanza se conta)?

**(b) (3 pts) ** Supponiamo che le vele solari siano una scia sferica sottile e siano invece realizzate in un materiale perfettamente assorbente. La densità di superficie è esattamente la metà della densità massima di superficie in modo che non caduca verso il sole. Qual è la sua velocità finale se parte in posizione stazionaria $1 Au$ dal sole?

**(c) (5 pts) ** Supponiamo che le vele solari siano una scia sferica sottile e realizzate in materiale di riflettività $r$ . Con la stessa densità di superficie della parte (b), quale è la velocità finale (può raggiungere questa velocità quando si schianta contro il sole, fugge dal sistema solare o rimane in orbita)? Questa volta, supponiamo che comincia in orbita circolare $1 Au$ lontano dal sole come condizione di partenza. Qual è la forma orbitale?

**(d) (6 pts) ** Il semplice non cadere al sole non è sufficiente per le vele solari. La maggior parte è progettata per raggiungere velocità relativistiche. Un modo per raggiungere questo obiettivo è quello di sparare grandi laser connessi alla Terra alla vela. Quanto potenza devono avere i laser per accelerare la vela fino a $v = 0.2 c$ in 50 giorni? Poiché questo valore supera di gran lunga quello ottenuto nella parte 3, si deve trascurare gli effetti del sole.

**(e) (10 pts) ** Supponiamo una vela solare perfettamente riflessa a forma di disco sottile (con massa $m$ e raggio $r$ ) che orbita attorno alla stella in un’orbita circolare di raggio $d ≫ r$ . Si sta anche girando intorno a se stesso, in modo che la velocità angolare di spin sia nella stessa direzione della velocità angolare orbitale, e il suo asse di simmetria rimanga sempre parallelo al piano dell’orbita. Se la sua velocità di rotazione iniziale è $ω_{0}$ , trova la sua velocità di rotazione dopo aver girato un angolo $θ$ attorno alla stella.

Electron Escape (28 pts)

An infinite wire with current $I$ has a radius $a$ . The wire is made out of a material with resistivity $ρ$ and heat conductivity $κ$ . The temperature outside the wire is a constant $T_{0}$ .

(a) (4 pts) After a long time, determine the temperature $T (r)$ at a distance $r$ from the center of the wire. Assume that the current in the wire is uniformly distributed.

(b) (4 pts) Now, the outer surface of the wire is maintained at a potential of $- V$ , where $V$ is positive. The wire is surrounded by an infinite cylindrical shell with radius $b > a$ that is grounded. Somehow, an electron is able to escape from the wire. Assume that it is at rest just as it escapes. You can neglect radiation from the electron.

Draw a qualitative graph of the physical path that the electron takes, along with a diagram of the wire.

(c) (6 pts) Find the maximum distance $r_{m a x}$ of the electron from the center of the wire in the subsequent motion as a function of $V$ , and also in terms of $I$ , $a$ , and $b$ . Ignore all relativistic effects in this part only.

(d) (12 pts) Redo the calculation in the previous part with relativistic effects.

(e) (2 pts) Graph the maximum radius $r_{m a x}$ according to part (d) as a function of $V$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.5 Topic: Electromagnetism, Special Relativity Metodi: Ampère’s Law, Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Relativistic Energy-Momentum Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wire, Electron, Cylinder

**Escapamento elettronico (28 pts) **

Un filo infinito con corrente $I$ ha un raggio $a$ . Il filo è costituito da un materiale con resistività $ρ$ e conducibilità termico $κ$ . La temperatura al di fuori del filo è costante $T_{0}$ .

**(a) (4 pts) ** Dopo un lungo periodo di tempo, determinare la temperatura $T (r)$ a una distanza $r$ dal centro del filo. Supponiamo che la corrente nel filo sia distribuita uniformemente.

**(b) (4 pts) ** Ora, la superficie esterna del filo è mantenuta ad un potenziale di $- V$ , dove $V$ è positivo. Il filo è circondato da una conchiglia cilindrica infinita con raggio $b > a$ che è a terra. In qualche modo, un elettrone è in grado di sfuggire dal filo. Supponiamo che sia in riposo proprio mentre scappa. Si può trascurare la radiazione dell’elettrone.

Disegna un grafico qualitativo del percorso fisico che l’elettrone percorre, insieme a un diagramma del filo.

**(c) (6 pts) ** Trova la distanza massima $r_{m a x}$ dell’elettrone dal centro del filo nel movimento successivo come funzione di $V$ , e anche in termini di $I$ , $a$ e $b$ . Ignorare tutti gli effetti relativistici solo in questa parte.

**(d) (12 punti) ** Riprendi il calcolo nella parte precedente con effetti relativistici.

**(e) (2 punti) ** Grafica il raggio massimo $r_{m a x}$ secondo la parte (d) come funzione di $V$ .

Bullet in Cylinder (20 pts)

A hollow cylinder of mass $M$ and radius $R$ rests on a rough horizontal surface. A projectile of mass $m < M$ having a velocity $u$ directed horizontally exactly towards the middle of the cylinder as shown in the figure. The shell gets stuck in the cylinder wall, after which the shell starts to move, slipping on the surface. The coefficient of static and kinetic friction between the cylinder and the horizontal surface are the same, and are equal to $μ < 2$ .

A projectile of mass $m$ with horizontal velocity $u$ aimed at the centre of a hollow cylinder of mass $M$ and radius $R$ resting on a horizontal surface with friction coefficient $μ$ .

(a) (4 pt) In which direction does the cylinder rotate? State your answers for different values of $μ$ .

(b) (6 pts) Find its angular acceleration about the centre of the cylinder just after the impact.

(c) (10 pts) It is known that some time after the impact, the horizontal projection of the velocity of the center of mass of the system is equal to $v$ , and the angular velocity of the cylinder is $Ω$ . Till this point, the cylinder has rotated through an angle $φ$ . How much heat was released in the system till this point, if the cylinder all the time after the impact moved with slipping, rotating in one direction? Assume that all energy losses are dissipated in the form of heat.

Fonte: Testo (PDF) — p.6 Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Momentum, Impulse-Momentum Theorem, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Projectile

**Bullet in Cylinder (20 pts) **

Un cilindro vuoto di massa $M$ e di raggio $R$ si posa su una superficie orizzontale ruvida. Un proiettile di massa $m < M$ con velocità $u$ diretto orizzontalmente esattamente verso il centro del cilindro come mostrato nella figura. Il guscio si blocca nella parete del cilindro, dopo di che il guscio inizia a muoversi, scivolando sulla superficie. Il coefficiente di attrito statico e cinetico tra il cilindro e la superficie orizzontale è lo stesso ed è uguale a $μ < 2$ .

Un proiettile di massa $m$ con velocità orizzontale $u$ mirato al centro di un cilindro vuoto di massa $M$ e di raggio $R$ che si posa su una superficie orizzontale con coefficiente di attrito $μ$ .

**(a) (4 pt) ** In che direzione ruota il cilindro? Indicare le risposte per i diversi valori di $μ$ .

**(b) (6 pts) ** Trova la sua accelerazione angolare intorno al centro del cilindro subito dopo l’impatto.

**(c) (10 pts) ** Si sa che qualche tempo dopo l’impatto, la proiezione orizzontale della velocità del centro di massa del sistema è uguale a $v$ , e la velocità angolare del cilindro è $Ω$ . Fino a questo punto, il cilindro è rotato in un angolo $φ$ . Quanto calore è stato rilasciato nel sistema fino a questo punto, se il cilindro si muoveva sempre dopo l’impatto scivolando, ruotando in una direzione? Supponiamo che tutte le perdite di energia si dissipino sotto forma di calore.

Mathematical Physics (18 pts)

The study of mathematics has almost always paved the way for the development of new ideas in physics. Newtonian mechanics could not be possible without first inventing calculus, and general relativity could not have existed without heavy development in tensors. However, there are numerous cases where physical insight have paved the way for mathematics.

Perhaps the most notable would be the Brachistochrone problem, which asks for the path that leads to the fastest descent influenced by gravity between two given points. While it is solvable through the calculus of variations, Newton proposed an easier solution by modelling the path of light through a medium with a variable index of refraction. You may read about this problem and the fascinating history behind it here.

We will not be dealing with this specific problem, but rather multiple short mathematics problems that can be can be represented with a physical analog. To receive points, you must use the suggested physical set-up.

(a) (4 pts) Show that for small values of $x$ , we have $cos (x) = 1 - \frac{x ^{2}}{2} .$ Physical Setup: Consider a small object moving in a circle.

(b) (8 pts) A ladder of length $ℓ$ with a thickness of $0.3 m$ is transported around a right angled corner where the two hallways leading up to it have a width of $3 m$ and $5 m$ . What is the maximum length of the ladder such that it can be successfully transported across?

Physical Setup: Consider the ladder as a compressed spring that can freely expand in only its longitudinal direction. Do not explicitly take derivatives. Instead, consider a force/torque balance. You may or may not need to solve an equation numerically.

(c) (6 pts) Prove the AM-QM inequality: $\frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} \leq \frac{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} + \dots + a _{n}^{2}}{n}$ Physical Setup: Design circuit(s) and compare their measurable quantities with each other qualitatively (or otherwise).

Fonte: Testo (PDF) — p.6 Topic: Mathematics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Approximation & Series Expansion, Symmetry Argument, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring

**Fisica matematica (18 pts) **

Lo studio della matematica ha quasi sempre aperto la strada allo sviluppo di nuove idee in fisica. La meccanica newtoniana non poteva essere possibile senza inventare il calcolo, e la relatività generale non poteva esistere senza un pesante sviluppo dei tensori. Tuttavia, ci sono numerosi casi in cui la comprensione fisica ha aperto la strada alla matematica.

Forse il più notevole sarebbe il problema di Brachistochrone, che chiede il percorso che porta alla discesa più veloce influenzata dalla gravità tra due punti dati. Mentre è risolvibile attraverso il calcolo delle variazioni, Newton ha proposto una soluzione più facile modellare il percorso della luce attraverso un mezzo con un indice variabile di rifrazione. Qui potete leggere di questo problema e della sua storia affascinante.

Non si tratta di questo problema specifico, ma piuttosto di molti problemi di matematica breve che possono essere rappresentati con un analogo fisico. Per ricevere punti, è necessario utilizzare la struttura fisica suggerita.

**(a) (4 pts) ** Mostra che per i valori piccoli di $x$ , abbiamo $cos (x) = 1 - \frac{x ^{2}}{2} .$ *Settatura fisica: * Considera un piccolo oggetto in movimento in cerchio.

**(b) (8 punti) ** Una scala di lunghezza $ℓ$ con spessore $0.3 m$ viene trasportata intorno a un angolo retto dove i due corridoi che la portano hanno una larghezza $3 m$ e $5 m$ . Qual è la lunghezza massima della scala in modo tale da poterla trasportare con successo?

Configurazione fisica: Considerare la scala come una sorgente compressa che può espandersi liberamente solo nella sua direzione longitudinale. Non assumere esplicitamente derivati. Invece, considera un equilibrio tra forza e coppia. Potresti o non potresti aver bisogno di risolvere un’equazione numericamente.

**(c) (6 punti) ** Dimostra la disuguaglianza AM-QM: $\frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} \leq \frac{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} + \dots + a _{n}^{2}}{n}$ Configurazione fisica: Progettazione di circuiti e confronta qualitativamente (o in altro modo) le loro quantità misurabili.

Flat Earth (22 pts)

In this problem, we will explore the true gravitational model of the earth, not the one that is claimed in most textbooks. Contrary to popular belief, the Earth is a flat circle of radius $R$ and has a uniform mass per unit area $σ$ . The Earth rotates with angular velocity $ω$ .

(a) (5 pts) A pendulum of length $ℓ$ that is constrained to only move in one plane is placed on the ground at the center of the Earth. The pendulum has more than one angular frequency of small oscillations. Find the value of each angular frequency of small oscillations $Ω (0), Ω_{1} (0), \dots$ in terms of $σ, ω, ℓ$ , and physical constants and the equilibrium angle $θ, θ_{1}, \dots$ that the frequency occurs at. Assume for all parts that $ℓ ≪ R$ .

An equilibrium angle corresponds to the angle with respect to the vertical where there is an equilibrium point.

(b) (2 pt) Investigate the stability of each equilibrium position with varying angular velocity of the Earth.

(c) (12 pts) The entire pendulum is moved a horizontal distance $r ≪ R$ away from the center of the Earth. It is oriented so that it is constrained to only move in the radial direction. Now, find the new angular frequency $Ω (r)$ of small oscillations about the lowest equilibrium point in terms of the given parameters, assuming that $ω^{2} r$ is much less than the local gravitational acceleration.

(d) (3 pts) The angular frequencies $Ω (0)$ and $Ω (r)$ are both measured and the difference is found to be $ΔΩ$ . Assuming that $ΔΩ ≪ Ω (0)$ and $ω^{2} ≪ \frac{g}{ℓ}$ , determine $σ$ in terms of $ω, r, Ω (0), ΔΩ$ , and physical constants.

Fonte: Testo (PDF) — p.7 Topic: Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Simple Harmonic Motion Analysis, Small-Angle Approximation, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Planet, Pendulum, Disk

**Terra piatta (22 pts) **

In questo problema, esploreremo il vero modello gravitazionale della terra, non quello che viene affermato nella maggior parte dei libri di testo. Contrariamente alla credenza popolare, la Terra è un cerchio piatto di raggio $R$ e ha una massa uniforme per unità di area $σ$ . La Terra ruota con velocità angolare $ω$ .

**(a) (5 pts) ** Un pendolo di lunghezza $ℓ$ che è costretto a muoversi solo in un piano è posizionato sul terreno al centro della Terra. Il pendolo ha più di una frequenza angolare di piccole oscillazioni. Trova il valore di ogni frequenza angolare di piccole oscillazioni $Ω (0), Ω_{1} (0), \dots$ in termini di $σ, ω, ℓ$ , e delle costanti fisiche e dell’angolo di equilibrio $θ, θ_{1}, \dots$ a cui si verifica la frequenza. Supponiamo per tutte le parti che $ℓ ≪ R$ .

Un angolo di equilibrio corrisponde all’angolo rispetto alla verticale dove c’è un punto di equilibrio.

**(b) (2 pt) ** Investigare la stabilità di ciascuna posizione di equilibrio con velocità angolari variabili della Terra.

**(c) (12 pts) ** L’intero pendolo è spostato a distanza orizzontale $r ≪ R$ dal centro della Terra. È orientata in modo tale che sia costretta a muoversi solo nella direzione radial. Ora, troveremo la nuova frequenza angolare $Ω (r)$ di piccole oscillazioni intorno al punto di equilibrio più basso in termini di parametri dati, supponendo che $ω^{2} r$ sia molto inferiore all’accelerazione gravitazionale locale.

**(d) (3 pts) ** Le frequenze angolari $Ω (0)$ e $Ω (r)$ sono entrambi misurate e la differenza è risultata essere $ΔΩ$ . Se si suppone che $ΔΩ ≪ Ω (0)$ e $ω^{2} ≪ \frac{g}{ℓ}$ , si determina $σ$ in termini di $ω, r, Ω (0), ΔΩ$ e di costanti fisiche.

Boltzmann Statistics (24 pts)

In this problem, we will explore Boltzmann Statistics and using it to build similar models for quantum particles such as bosons and fermions.

(a) (8 pts) Consider a energy of a gaseous molecule in space is given by $E = E_{0} (∣ x ∣^{r} + ∣ y ∣^{r} + ∣ z ∣^{r})$ where the coordinates of the molecule are represented by $(x, y, z)$ , $E_{0}$ is a constant with appropriate units, and $r$ is a non-negative real number. The system is in thermal equilibrium with a reservoir of temperature $T$ . Calculate explicitly using appropriate statistical methods, the average energy of a thermodynamic system consisting of such gaseous molecules, considering the Maxwell-Boltzmann distribution. Analyse your result and provide a qualitative argument to support it.

Hint: If you are not familiar with how to solve this part, try part (b) first.

(b) (6 pts) Consider a specific case in which $E = E_{0} (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ except where $∣ x ∣, ∣ y ∣, ∣ z ∣ < 2$ and particles can only exist at integer values of $x, y, z$ . If the system is still in thermal equilibrium at a temperature $T$ , calculate the average energy.

(c) (6 pts) In this system, there are two particles. What is the probability that at least one of these particles will be in the ground state (energy is zero) if:

(i) The two particles are distinct.

(ii) The two particles are identical bosons.

(iii) The two particles are identical fermions (fermions follow Pauli exclusion principle).

For each of the parts, assume that there are no other interactions (e.g. electromagnetism) and focus mainly on a statistical argument.

(d) (4 pts) Rank the probabilities in part (c) from highest to lowest when the temperature is

(i) high

(ii) low

For each, explain qualitatively why this must be true.

Fonte: Testo (PDF) — p.7 Topic: Kinetic Theory, Modern-Quantum Physics Metodi: Statistical Averaging, Kinetic Theory of Gases, Calculus-Integration, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas

**Statistiche di Boltzmann (24 pts) **

In questo problema, esploreremo la statistica di Boltzmann e la useremo per costruire modelli simili per particelle quantistiche come bosoni e fermioni.

**(a) (8 pts) ** Considerate che l’energia di una molecola gassosa nello spazio è data da $E = E_{0} (∣ x ∣^{r} + ∣ y ∣^{r} + ∣ z ∣^{r})$ se le coordinate della molecola sono rappresentate da $(x, y, z)$ , $E_{0}$ è una costante con unità appropriate e $r$ è un numero reale non negativo. Il sistema è in equilibrio termico con un serbatoio di temperatura $T$ . Calcolare esplicitamente utilizzando metodi statistici appropriati, l’energia media di un sistema termodinamico costituito da tali molecole gassose, tenendo conto della distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Analizzare il risultato e fornire un argomento qualitativo a sostegno di esso.

Se non è familiare con la soluzione di questa parte, prova prima la parte (b).

**(b) (6 punti) ** Considerate un caso specifico in cui $E = E_{0} (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ esclusi i casi in cui $∣ x ∣, ∣ y ∣, ∣ z ∣ < 2$ e le particelle possono esistere solo a valori interi di $x, y, z$ . Se il sistema è ancora in equilibrio termico a una temperatura $T$ , calcolare l’energia media.

**(c) (6 pts) ** In questo sistema, ci sono due particelle. Qual è la probabilità che almeno una di queste particelle sia in stato di base (energia è zero) se:

le due particelle sono distinte.
Le due particelle sono bosoni identici.
Le due particelle sono fermioni identici (i fermioni seguono il principio di esclusione di Pauli).

Per ciascuna delle parti, supponiamo che non ci siano altre interazioni (ad esempio: La Commissione ha adottato una proposta di regolamento (CEE) n.

**(d) (4 punti) ** Indicare le probabilità nella parte (c) dal massimo al minimo quando la temperatura è

elevato
basso

Per ciascuno di loro, spiegate qualitativamente perché questo deve essere vero.

Radiation (40 pts)

The Nobel Prize in Physics 2019 was awarded for providing a new understanding of the universe’s structure and history, and the first discovery of a planet orbiting a solar-type star outside our solar system.

Since ancient times, humans have speculated whether there are worlds like our own, with points of views at the extremes expressed thousands of years ago. In modern times, the possibility of observing planets orbiting stars other than the Sun was proposed more than 50 years ago, and has grown into a vast and ever-expanding theory to make the evolution of the universe more clear to us than ever before. In 1995, the very first discovery of a planet outside our solar system, an exoplanet, orbiting a solar-type star was made. This discovery challenged our ideas about these strange worlds and led to a revolution in astronomy. The more than 4,000 known exoplanets are surprising in their richness of forms, as most of these planetary systems look nothing like our own, with the Sun and its planets. These discoveries have led researchers to develop new theories about the physical processes responsible for the birth of planets.

(Taken from the Nobel Prize in Physics 2019 summary, and the Laureates’ popular science and scientific views.)

In this problem, we analyse and create a model for a system of two fictitious celestial bodies: an exoplanet and a solar-type star. Unless specified otherwise, consider the two bodies to be solely in each other’s gravitational influence and rotate about their barycentre. In the three parts that follow, we will model the physics of a star, of the star-planet model, and the planet respectively.

Part A

The star, with mass $M_{s} = 2 M_{⊙}$ (twice the mass of our Sun) and radius $R_{⊙}$ uses nuclear fusion reactions to provide pressure against gravity and electron degeneracy pressure, so as to maintain hydrostatic equilibrium in the star. As long as the hydrostatic equilibrium is preserved, the star is said to be in “main sequence”. However, once the energy from the reactions taking place in its core start running out, the star’s outer layers swell out to form a red giant. The core of the star (having a radius $R_{c}$ ) starts to shrink, becoming hot and dense; the temperature of the core rises to over a 100 billion degrees, and the pressure from the proton-proton interactions in the core exceeds that of gravity, causing the core to recoil out from the heart of the star in an explosive shock wave. In one of the most spectacular events in the Universe, the shock propels the material away from the star in a tremendous explosion called a supernova. The material spews off into interstellar space.

Being solar-type, this star has the same proton-proton nuclear fusion chain reaction as our Sun: essentially, this is conversion of four protons (mass of a proton is $m_{P}$ ) into 1 He nucleus having mass $m_{H e}$ . The star is said to have a “stable lifetime” as long as it is in its “main sequence”. The energy emitted by the star passing a sphere of radius $r$ per unit time is $P (r)$ , constant over time and the surface of the imaginary sphere of radius $r$ . The density of the exoplanet having radius $r_{E}$ is a constant, $ρ$ , and it orbits around the star in a circular orbit of radius $r_{S E}$ . Neglect any convection effects in the star.

(a) (4 pts) Treating the solar-type star as a perfect black-body, estimate the temperature of the surface of the star $T_{⊙}$ (assumed in thermal equilibrium) by integrating over all frequencies using Planck’s distribution for the energy density (defined as the energy per unit volume for a given frequency interval $(ν, ν + d ν)$ : $u (ν) d ν = \frac{8 π h ν ^{3}}{c ^{3}} \frac{d ν}{( e ^{\frac{h ν}{k T _{⊙}}} - 1 )}$ where the constants $h$ and $k$ have their usual meanings. For this part only, note that the energy flux from the star onto the exoplanet is $J_{0}$ . You can use $T_{⊙}$ as the surface temperature in the later parts.

(b) (8 pts) Estimate an expression for, during the main sequence of the star:

(i) the number of protons being fused together per second.

(ii) the stable lifetime of the star, assuming $η = 1%$ mass of the star can undergo nuclear fusion. The change in the temperature or size of the star is insignificant. Assume the only fusion is between protons.

(c) (8 pts) Find the temperature gradient $d T (r) / d r$ of the star as a function of the radial distance $r$ from the center, such that $R_{c} \leq r \leq R_{⊙}$ if the star is in its main sequence, or in a hydrostatic equilibrium. Neglect any quantum-mechanical pressure effects such as electron degeneracy pressure, and assume that pressure from electromagnetic radiation is much larger than any other pressure. State all assumptions.

(d) (1 pts) What is the temperature at $r = R_{c}$ , the outermost layer of the core?

(e) (2 pt) From experiments, it was found that the temperature gradient of the star is actually $\frac{d T ( r )}{d r} = - \frac{9 k G M _{⊙} c P ( r )}{128 π ^{2} σ r ^{2} T ^{3}}$ Here the modulus of $k$ is one, and has appropriate dimensions. For what value of $P (R_{⊙})$ ( $P_{r}$ evaluated at the surface of the star) will the star’s main sequence end, leading to the formation of a supernova?

Part B

In this part, we will analyse the radiation effects from the star onto the exoplanet. Assume only black body radiation from the star on the exoplanet. No light is absorbed in the region between the star’s and the exoplanet’s surface.

(f) (5 pts) The distance between the star and the exoplanet is $r_{S E}$ . For this part, assume the surface of the exoplanet has a constant and uniform reflectance $γ$ . What is the force exerted by the radiation from the star on the exoplanet? For the exoplanet’s gravitational force to completely balance out the radiation force, how large must the radius of the exoplanet $r_{E}$ be? Comment on your results and their feasibility.

Part C

(g) (2 pt) Find the temperature $T_{E}$ of the outermost surface of the planet, assumed constant over the whole surface from (a). Assume the planet’s surface to be a perfect black body.

(h) (10 pts) Model the exoplanet to be made up of $N$ concentric shells equally spaced across the volume of the planet. Between the shells is a peculiar kind of thick type of tectonic rocks which allow no emission, reflection or absorption of energy. However, absorption or emission of radiation energy may take place. The emissivity of all the shells are the same, and are equal to $ε$ , constant and uniform over a surface. Reflection, emission and absorption of any energy due to radiation from the shells, however, may take place. Assume all conduction and convection effects to also be negligible. The temperature of the exoplanet as a function of $r$ is represented by $T (r) = T_{0} (1 - \frac{n}{10 N})$ where $n$ is the $n$ th shell from the centre of the planet and $T_{0}$ is an appropriate constant as calculated from the previous part (which is unknown, meaning that you need to answer in any variables calculated before). Calculate the total thermal energy due to radiation falling on the outermost shell per unit time. The planet is maintained in a state of thermal equilibrium; this is done by an atmospheric material that allows a fraction ( $β$ , which is unknown) of energy from the star falling on the exoplanet. This material only absorbs a fraction of energy it receives from the star. Do NOT assume any such effects for any of the other parts, since they are meant to be crude estimates of the actual calculation. Also compute $β$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Astrophysics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Mass-Energy Equivalence, Calculus-Integration, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Star, Planet

**Radiamento (40 pts) **

Il Premio Nobel di Fisica 2019 è stato assegnato per aver fornito una nuova comprensione della struttura e della storia dell’universo e per aver scoperto per la prima volta un pianeta che orbita intorno a una stella di tipo solare al di fuori del nostro sistema solare.

Fin dai tempi antichi, gli esseri umani hanno ipotizzato se ci siano mondi come il nostro, con punti di vista all’estremo espressi migliaia di anni fa. Nei tempi moderni, la possibilità di osservare pianeti che orbitano intorno ad altre stelle che non il Sole è stata proposta più di 50 anni fa, e è diventata una teoria vasto e sempre in espansione per rendere l’evoluzione dell’universo più chiara per noi che mai. Nel 1995 fu fatta la prima scoperta di un pianeta al di fuori del nostro sistema solare, un esoplaneta che orbita attorno a una stella di tipo solare. Questa scoperta ha messo in discussione le nostre idee su questi strani mondi e ha portato a una rivoluzione nell’astronomia. I più di 4.000 esopianeti conosciuti sono sorprendenti per la loro ricchezza di forme, poiché la maggior parte di questi sistemi planetari non assomigliano a nulla al nostro, con il Sole e i suoi pianeti. Queste scoperte hanno portato i ricercatori a sviluppare nuove teorie sui processi fisici responsabili della nascita dei pianeti.

(Tatto dal riassunto del Premio Nobel di Fisica 2019, e dalla scienza popolare e dalle opinioni scientifiche dei Laureati.)

In questo problema, analizziamo e creiamo un modello per un sistema di due corpi celesti fittizi: un esoplaneta e una stella di tipo solare. Salvo indicazione contraria, si considera che i due corpi siano esclusivamente influenzati dalla gravità reciproca e ruotino intorno al loro baricentro. Nelle tre parti che seguono, modelleremo la fisica di una stella, del modello stella-planeta e del pianeta rispettivamente.

Parte A

La stella, con massa $M_{s} = 2 M_{⊙}$ (duplicato della massa del nostro Sole) e raggio $R_{⊙}$ utilizza reazioni di fusione nucleare per fornire pressione contro la gravità e la pressione di degenerazione degli elettroni, in modo da mantenere l’equilibrio idrostatico nella stella. Finché l’equilibrio idrostatico è conservato, si dice che la stella sia in “sequenza principale”. Tuttavia, una volta che l’energia delle reazioni che si verificano nel suo nucleo inizia a esaurirsi, gli strati esterni della stella si gonfiano e formano un gigante rosso. Il nucleo della stella (che ha un raggio $R_{c}$ ) inizia a restringere, diventando caldo e denso; la temperatura del nucleo sale a oltre 100 miliardi di gradi, e la pressione delle interazioni protoni-protoni nel nucleo supera quella della gravità, causando il nucleo a ritirarsi dal cuore della stella in un’onda di shock esplosiva. In uno degli eventi più spettacolari dell’universo, lo shock spinge il materiale lontano dalla stella in una tremenda esplosione chiamata supernova. Il materiale spinge nello spazio interstellare.

Essendo di tipo solare, questa stella ha la stessa reazione a catena di fusione nucleare protone-protone come il nostro Sole: essenzialmente, si tratta di conversione di quattro protoni (massa di un protone è $m_{P}$ ) in 1 nucleo He con massa $m_{H e}$ . Si dice che la stella abbia una “vita stabile” finché è nella sua “sequenza principale”. L’energia emessa dalla stella che passa attraverso una sfera di raggio $r$ per unità di tempo è $P (r)$ , costante nel tempo e sulla superficie della sfera immaginaria di raggio $r$ . La densità dell’esoplaneta con raggio $r_{E}$ è una costante, $ρ$ , e orbita attorno alla stella in un’orbita circolare di raggio $r_{S E}$ . Lasciare in assenza gli effetti di convezione nella stella.

**(( (4 pts) ** Trattando la stella di tipo solare come un corpo nero perfetto, si stima la temperatura della superficie della stella $T_{⊙}$ (presumendo in equilibrio termico) integrando su tutte le frequenze utilizzando la distribuzione di Planck per la densità energetica (definita come energia per unità di volume per un dato intervallo di frequenza $(ν, ν + d ν)$ : $u (ν) d ν = \frac{8 π h ν ^{3}}{c ^{3}} \frac{d ν}{( e ^{\frac{h ν}{k T _{⊙}}} - 1 )}$ dove le costanti $h$ e $k$ hanno il loro significato usuale. Solo per questa parte, si noti che il flusso di energia dalla stella verso l’esoplaneta è $J_{0}$ . È possibile utilizzare $T_{⊙}$ come temperatura superficiale nelle parti successive.

**(b) (8 pts) ** Estimare un’espressione per, durante la sequenza principale della stella:

il numero di protoni fusi insieme al secondo.
la durata stabile della stella, supponendo che la massa $η = 1%$ della stella possa subire fusione nucleare. Il cambiamento della temperatura o della dimensione della stella è insignificante. Supponiamo che l’unica fusione sia tra i protoni.

**(c) (8 pts) ** Trova il gradiente di temperatura $d T (r) / d r$ della stella in funzione della distanza radiale $r$ dal centro, tale da $R_{c} \leq r \leq R_{⊙}$ se la stella è nella sua sequenza principale o in equilibrio idrostatico. Ignorare qualsiasi effetto di pressione quantomeccanica come la pressione di degenerazione degli elettroni, e assumere che la pressione della radiazione elettromagnetica è molto maggiore di qualsiasi altra pressione. - Dichiara tutte le ipotesi.

**(d) (1 pts) ** Qual è la temperatura a $r = R_{c}$ , lo strato più esterno del nucleo?

Dall’esperimento, è stato scoperto che il gradiente di temperatura della stella è in realtà $\frac{d T ( r )}{d r} = - \frac{9 k G M _{⊙} c P ( r )}{128 π ^{2} σ r ^{2} T ^{3}}$ Qui il modulo di $k$ è uno e ha le dimensioni appropriate. Per quale valore di $P (R_{⊙})$ ( $P_{r}$ valutato alla superficie della stella) finirà la sequenza principale della stella, portando alla formazione di una supernova?

Parte B

In questa parte analizzeremo gli effetti della radiazione proveniente dalla stella sull’esoplaneta. Supponiamo solo la radiazione del corpo nero proveniente dalla stella dell’esoplaneta. Nessuna luce viene assorbita nella regione tra la superficie della stella e l’esoplaneta.

**(f) (5 punti) ** La distanza tra la stella e l’esoplaneta è $r_{S E}$ . Per questa parte, supponiamo che la superficie dell’esoplaneta abbia una riflessione costante e uniforme $γ$ . Qual è la forza esercitata dalla radiazione proveniente dalla stella sull’esoplaneta? Per che la forza gravitazionale dell’esoplaneta possa bilanciare completamente la forza di radiazione, quanto deve essere grande il raggio di radius dell’esoplaneta $r_{E}$ ? Commenta i risultati e la loro fattibilità.

Parte C

**(g) (2 pt) ** Trova la temperatura $T_{E}$ della superficie più esterna del pianeta, presumendo costante su tutta la superficie a partire da (a). Supponiamo che la superficie del pianeta sia un corpo nero perfetto.

**(h) (10 pts) ** Modellare l’esoplaneta da comporre di conchiglie concentriche $N$ spaziate uniformemente sul volume del pianeta. Tra le conchiglie c’è un peculiare tipo di rocce tettoniche spesse che non permettono l’emissione, la riflessione o l’assorbimento di energia. Tuttavia, può verificarsi l’assorbimento o l’emissione di energia da radiazione. La emissività di tutti i gusci è uguale a $ε$ , costante e uniforme su una superficie. Tuttavia, può verificarsi riflessione, emissione e assorbimento di qualsiasi energia dovuta alle radiazioni provenienti dalle conchiglie. Supponiamo che anche tutti gli effetti di conduttività e convezione siano trascurabili. La temperatura dell’esoplaneta in funzione di $r$ è rappresentata da $T (r) = T_{0} (1 - \frac{n}{10 N})$ dove $n$ è la $n$ th conchiglia dal centro del pianeta e $T_{0}$ è una costante appropriata calcolata dalla parte precedente (che è sconosciuta, il che significa che è necessario rispondere in tutte le variabili calcolate prima). Calcolare l’energia termica totale dovuta alla radiazione che cade sulla conchiglia più esterna per unità di tempo. Il pianeta è mantenuto in uno stato di equilibrio termico; questo viene fatto da un materiale atmosferico che consente una frazione ( $β$ , che è sconosciuta) di energia proveniente dalla stella che cade sull’esoplaneta. Questo materiale assorbe solo una frazione dell’energia che riceve dalla stella. Non assumere tali effetti per nessuna delle altre parti, poiché sono destinate a essere calcoli grezzi del calcolo effettivo. Inoltre calcolare $β$ .

Piston Gun (40 pts)

In this problem, we examine a model for a certain type of gun that works by using the expansion of a gas to propel a bullet. We can model the bullet as a piston. Since we are assuming atmospheric pressure is negligible, we can assume that the whole setup is in a vacuum. Also, the gun is insulated.

An ideal monatomic gas of initial temperature $T_{0}$ is inside a long cylindrical container of cross-section area $A$ . One side of the container is a wall, while the other side is a piston of mass $M$ that can slide freely along the container without friction. The total mass of the gas is $m$ , and it is made up of $N$ particles. Initially, the piston is at rest and a distance $L_{0}$ away from the opposite wall. Then, the piston is released. After a time $t$ , the piston moves at a speed $v$ . Assume that throughout the process, the particles on average move very fast.

(a) (5 pts) Assume that $m$ is negligible. Find $v$ .

(b) (6 pts) From now on, do not assume that $m$ is negligible.

Find the time at which the pressure at the wall opposite the piston changes. Also, does it increase or decrease? State all assumptions.

(c) (14 pts) From now on, assume $t$ is much smaller than the mean free time of the particles of the gas, and $L_{0}$ is much smaller than the mean free path. (During this time interval $t$ , assume that all the particles still collide many, many times with the walls, but they don’t collide with each other.) Find $v$ .

(d) (6 pts) Find the recoil impulse of the gun over the time $t$ .

(e) (9 pts) Let $r > 1$ be a dimensionless parameter. Suppose at time $t$ , the piston is a distance $r L_{0}$ away from the wall; then the piston is stopped, and the gas is allowed to come to equilibrium (after a time much greater than the mean free time). Find the total entropy change (throughout the whole process) of the gas in terms of $r$ , and verify the Second Law of Thermodynamics.

Fonte: Testo (PDF) — p.10 Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Kinetic Theory of Gases, First Law of Thermodynamics, Impulse-Momentum Theorem, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas, Cylinder, Piston

**Pistola a pistone (40 pts) **

In questo problema, esaminiamo un modello di un certo tipo di pistola che funziona usando l’espansione di un gas per spingere un proiettile. Possiamo modellare il proiettile come un pistone. Poiché presumiamo che la pressione atmosferica sia trascurabile, possiamo presumere che l’intero sistema sia in vuoto. Inoltre, la pistola è isolata.

Un gas monatomo ideale di temperatura iniziale $T_{0}$ si trova all’interno di un lungo contenitore cilindrico con superficie di sezione trasversale $A$ . Un lato del contenitore è un muro, mentre l’altro è un pistone di massa $M$ che può scivolare liberamente lungo il contenitore senza attrito. La massa totale del gas è $m$ e è composta da particelle $N$ . Inizialmente, il pistone è a riposo e a una distanza $L_{0}$ dal muro opposto. Poi, il pistone viene rilasciato. Dopo un tempo $t$ , il pistone si muove a una velocità $v$ . Supponiamo che durante tutto il processo, le particelle si muovano in media molto velocemente.

**(a) (5 punti) ** Supponiamo che $m$ sia trascurabile. Trova $v$ .

**(b) (6 punti) ** Da ora in poi non si supponga che $m$ sia trascurabile.

Trova l’ora in cui cambia la pressione della parete di fronte al pistone. Inoltre, aumenta o diminuisce? - Dichiara tutte le ipotesi.

**(c) (14 pts) ** Da ora in poi, supponiamo che $t$ sia molto più piccolo del tempo libero medio delle particelle del gas, e $L_{0}$ sia molto più piccolo del percorso libero medio. (Durante questo intervallo di tempo $t$ , supponiamo che tutte le particelle collidano ancora molte, molte volte con le pareti, ma non collidono tra loro.) Trova $v$ .

**(d) (6 pts) ** Trova l’impulso di ritiro della pistola nel tempo $t$ .

**(e) (9 punti) ** $r > 1$ sia un parametro senza dimensioni. Supponiamo che al tempo $t$ il pistone sia distante $r L_{0}$ dal muro; quindi il pistone viene fermato e il gas viene permesso di entrare in equilibrio (dopo un tempo molto maggiore del tempo libero medio). Trova il cambiamento totale di entropia (durante tutto il processo) del gas in termini di $r$ , e verifica la seconda legge della termodinamica.

Magnetostatics (62 pts)

Part A

In 3-D space, a permeable medium covers the region $x > 0$ , while the rest of the space is vacuum. The medium’s relative magnetic permeability is $μ_{r} > 1$ . A magnetic dipole with dipole moment $m$ is placed a distance $d$ away from the permeable medium, at position $(- d, 0, 0)$ . The dipole is pointed towards the $+ x$ direction. Treat the dipole as ideal (point-sized).

(a) (10 pts) Find the force required to keep the dipole in place.

(b) (3 pts) How much work does it take to slowly pull the dipole from its original position to infinity (at $x = - \infty$ )?

(c) (5 pts) How much work does it take to slowly rotate the dipole from its original orientation to one that makes an angle $θ$ with the $+ x$ -axis?

After the dipole is rotated an angle $θ$ , a superconducting ring with radius $R$ and self-inductance $L$ is brought in from infinity (with initially no current). It is placed so that the dipole is located at its center and its axis is the $x$ -axis. Assume that $R ≫ d$ .

(d) (16 pts) Find the current $I$ in the ring.

(e) (8 pts) Find the force required to hold the dipole in place (not the torque).

Part B

From now on, there is no permeable medium. Ignore any radiation loss for all parts.

(f) (7 pts) The dipole (mass $M$ ), starts at a distance $h$ from the centre of the ring (kept fixed) and pointed towards the centre of the ring (along its axis), and is projected with a small velocity $v_{0}$ towards the centre. Find its speed $v$ as a function of $h$ . Ignore gravity.

(g) (7 pts) Consider another scenario, in which the dipole is placed on the axis of a thin infinite magnetic tube with surface conductivity $σ$ (defined as the ratio of surface current density and the electric field) and radius $R$ , placed at an arbitrary location inside it. (You may neglect the self inductance of the solenoid for the sake of this part.) We find that the motion of the dipole in this case is damped. Find the damping parameter of this motion. (Damping parameter is defined as the ratio of the resistive force to the speed.) Ignore gravity.

(h) (6 pts) Determine the terminal velocity of the magnet, assuming that it now falls under gravity. The tube may be considered infinitely long for all calculation purposes in this part.

Fonte: Testo (PDF) — p.11 Topic: Magnetism, Electromagnetic Induction Metodi: Lorentz Force Analysis, Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Magnetic Dipole, Coil, Solenoid

**Magnetostatiche (62 punti) **

Parte A

In uno spazio 3D, un mezzo permeabile copre la regione $x > 0$ , mentre il resto dello spazio è vuoto. La permeabilità magnetica relativa del mezzo è $μ_{r} > 1$ . Un dipolo magnetico con momento di dipolo $m$ è posizionato a una distanza $d$ dal mezzo permeabile, in posizione $(- d, 0, 0)$ . Il dipolo è indicato nella direzione $+ x$ . Trattare il dipolo come ideale (dimensione punto).

**(a) (10 pts) ** Trova la forza necessaria per mantenere il dipolo in posizione.

**(b) (3 pts) ** Quanto lavoro è necessario per tirare lentamente il dipolo dalla sua posizione originale all’infinito (a $x = - \infty$ )?

**(c) (5 pts) ** Quanto lavoro occorre per ruotare lentamente il dipolo dalla sua orientamento originale a quello che fa un angolo $θ$ con l’asse $+ x$ ?

Dopo che il dipolo è rotato in un angolo $θ$ , viene introdotto da un’infinità (in principio senza corrente) un anello superconduttore con raggio $R$ e auto-induzione $L$ . È posizionato in modo che il dipolo sia situato al suo centro e il suo asse sia l’asse $x$ . Supponiamo che $R ≫ d$ .

**(d) (16 pts) ** Trova la corrente $I$ nell’anello.

**(e) (8 pts) ** Trova la forza necessaria per mantenere il dipolo in posizione (non la coppia).

Parte B

Da ora in poi, non c’è mezzo permeabile. Ignora qualsiasi perdita di radiazioni per tutte le parti.

**(f) (7 pts) ** Il dipolo (massa $M$ ) parte a una distanza $h$ dal centro dell’anello (tenuto fisso) e punta verso il centro dell’anello (lungo il suo asse), e viene proiettato con una piccola velocità $v_{0}$ verso il centro. Trova la sua velocità $v$ come funzione di $h$ . Ignora la gravità.

**(g) (7 pts) ** Considerate un altro scenario, in cui il dipolo è posizionato sull’asse di un tubo magnetico sottile infinito con conductività superficiale $σ$ (definito come rapporto tra densità di corrente superficiale e campo elettrico) e raggio $R$ , posizionato in una posizione arbitraria all’interno di esso. (Potreste trascurare l’auto-induzione del solenoide per il bene di questa parte.) Troviamo che il movimento del dipolo in questo caso è attenuato. Trova il parametro di ammortizzazione di questo movimento. (Il parametro di ammortizzazione è definito come il rapporto tra la forza di resistenza e la velocità.)

**(h) (6 pts) ** Determina la velocità terminale del magnete, supponendo che ora sia sotto la gravità. Il tubo può essere considerato infinitamente lungo per tutti gli scopi di calcolo di questa parte.

Raccolta Gare di Fisica

Esplora

OPhO 2020 — Invitational

Part A

Part B

Part C

Parte A

Parte B

Parte C

Part A

Part B

Parte A

Parte B

Vista grafico

Indice