OPhO 2020 — Open

Angry Birds. A quarantined physics student decides to perform an experiment to land a small box of mass $m = 60 g$ onto the center of a target a distance $Δ d$ away. The student puts the box on top of a frictionless ramp with height $h_{2} = 0.5 m$ that is angled $θ = 3 0^{\circ}$ to the horizontal on a table that is $h_{1} = 4 m$ above the floor. If the student pushes the spring with spring constant $k = 6.5 N/m$ down by $Δ x = 0.3 m$ compared to its rest length and lands the box exactly on the target, what is $Δ d$ ? Answer in meters. You may assume friction is negligible.

Box on a frictionless ramp (height $h_{2} = 0.5 m$ , angle $θ = 3 0^{\circ}$ ) on a table of height $h_{1} = 4 m$ ; spring compression $Δ x$ launches the box, which lands at horizontal distance $Δ d$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.4 Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Energy, Hooke’s Law, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Spring, Inclined Plane

Un studente di fisica in quarantena decide di eseguire un esperimento per atterrare una piccola scatola di massa $m = 60 g$ sul centro di un bersaglio a una distanza $Δ d$ . L’allievo pone la scatola sopra una rampa senza attrito con altezza $h_{2} = 0.5 m$ che è angolata $θ = 3 0^{\circ}$ all’orizzontale su un tavolo che è $h_{1} = 4 m$ sopra il pavimento. Se lo studente spinge la molla con costante molla $k = 6.5 N/m$ verso il basso di $Δ x = 0.3 m$ rispetto alla sua lunghezza di riposo e atterra la scatola esattamente sul bersaglio, quale è $Δ d$ ? Rispondi in metri. Potresti pensare che l’attrito sia trascurabile.

Cassa su una rampa senza attrito (altezza $h_{2} = 0.5 m$ , angolo $θ = 3 0^{\circ}$ ) su una tabella di altezza $h_{1} = 4 m$ ; compressione di molla $Δ x$ lancia la scatola, che atterra a distanza orizzontale $Δ d$ .

The Wheels on the Monster Truck go Round and Round. A wooden bus of mass $M = 20, 000 kg$ ( $M$ represents the mass excluding the wheels) is on a ramp with angle $3 0^{\circ}$ . Each of the four wheels is composed of a ring of mass $\frac{M}{2}$ and radius $R = 1 m$ and 6 evenly spaced spokes of mass $\frac{M}{6}$ and length $R$ . All components of the truck have a uniform density. Find the acceleration of the bus down the ramp assuming that it rolls without slipping. Answer in $m/s^{2}$ .

A wheel modeled as a ring of radius $R$ with 6 evenly spaced spokes of length $R$ ; the bus rests on a ramp at $θ = 3 0^{\circ}$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.4 Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wheel, Inclined Plane

Le ruote del camion del mostro girano e girano. Un autobus in legno di massa $M = 20, 000 kg$ ( $M$ rappresenta la massa esclusi le ruote) è su una rampa con angolo $3 0^{\circ}$ . Ogni ruota è composta da un anello di massa $\frac{M}{2}$ e di raggio $R = 1 m$ e da 6 spuglie di massa $\frac{M}{6}$ e lunghezza $R$ spaziate uniformemente. Tutti i componenti del camion hanno una densità uniforme. Trova l’accelerazione dell’autobus in basso sulla rampa, supponendo che ruoli senza scivolare. Risposta in $m/s^{2}$ .

Una ruota modellata come un anello di raggio $R$ con 6 punti spaziati uniformemente di lunghezza $R$ ; l’autobus si posa su una rampa a $θ = 3 0^{\circ}$ .

Don’t make me reach my Tipping Point. THIS QUESTION HAS BEEN REMOVED FROM THE EXAM.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.4 Objects: —

Non farmi arrivare al mio punto di arrivo. Questa domanda è stata rimossa dall’esame.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.4 Objects: —

District 12. In an old coal factory, a conveyor belt will move at a constant velocity of $20.3 m/s$ and can deliver a maximum power of $15 MW$ . Each wheel in the conveyor belt has a diameter of $2 m$ . However a changing demand has pushed the coal factory to fill their coal hoppers with a different material with a certain constant specific density. These “coal” hoppers have been modified to deliver a constant $18 m^{3} s^{- 1}$ of the new material to the conveyor belt. Assume that the kinetic and static friction are the same and that there is no slippage. What is the maximum density of the material?

Fonte: Testo (PDF) — p.5 Topic: Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Impulse-Momentum Theorem, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wheel

**Distrito 12. ** In una vecchia fabbrica di carbone, una cintura trasportatrice si muove a una velocità costante di $20.3 m/s$ e può fornire una potenza massima di $15 MW$ . Ogni ruota della cintura trasportatrice ha un diametro di $2 m$ . Tuttavia, una domanda in evoluzione ha spinto la fabbrica di carbone a riempire le loro caselle di carbone con un materiale diverso con una certa densità specifica costante. Questi “carbone” sono stati modificati per fornire una costante $18 m^{3} s^{- 1}$ del nuovo materiale alla cintura trasportatrice. Supponiamo che la frizione cinetica e statica siano le stesse e che non ci sia alcuna scivolatura. Qual è la densità massima del materiale?

Neutrino Party. Neutrinos are extremely light particles and rarely interact with matter. The Sun emits neutrinos, each with an energy of $8 \times 1 0^{- 14} J$ and reaches a flux density of $1 0^{11} neutrinos / (s \cdot cm^{2})$ at Earth’s surface.

In the movie 2012, neutrinos have mutated and now are completely absorbed by the Earth’s inner core, heating it up. Model the inner core as a sphere of radius $1200 km$ , density $12.8 g/cm^{3}$ , and a specific heat of $0.400 J/g \cdot K$ . The time scale, in seconds, that it will take to heat up the inner core by $1^{\circ} C$ is $t = 1 \times 1 0^{N}$ where $N$ is an integer. What is the value of $N$ ?

Fonte: Testo (PDF) — p.5 Topic: Order-of-Magnitude Estimation, Thermodynamics Metodi: Order-of-Magnitude Estimation, Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Unit Conversion Objects: Sphere

Le neutrini sono particelle estremamente leggere e raramente interagiscono con la materia. Il Sole emette neutrini, ognuno con un’energia di $8 \times 1 0^{- 14} J$ e raggiunge una densità di flusso di $1 0^{11} neutrinos / (s \cdot cm^{2})$ sulla superficie terrestre.

Nel film 2012, i neutrini sono mutati e ora sono completamente assorbiti dal nucleo interno della Terra, riscaldandolo. Modellare il nucleo interno come una sfera di raggio $1200 km$ , densità $12.8 g/cm^{3}$ e calore specifico $0.400 J/g \cdot K$ . La scala di tempo, in secondi, che occorre per riscaldare il nucleo interno di $1^{\circ} C$ è $t = 1 \times 1 0^{N}$ dove $N$ è un numero intero. Qual è il valore di $N$ ?

Quarantine Secrets. A ball is situated at the midpoint of the bottom of a rectangular ditch with width $1 m$ . It is shot at a velocity $v = 5 m/s$ at an angle of $3 0^{\circ}$ relative to the horizontal. How many times does the ball collide with the walls of the ditch until it hits the bottom of the ditch again? Assume all collisions to be elastic and that the ball never flies out of the ditch.

A ball at the midpoint of the bottom of a width- $1 m$ ditch, launched at $v = 5 m/s$ and $3 0^{\circ}$ above the horizontal.

Fonte: Testo (PDF) — p.5 Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball

Secrets of Quarantine. Una palla è situata al centro della parte inferiore di un fossato rettangolare di larghezza $1 m$ . Il filmato è eseguito a velocità $v = 5 m/s$ ad un angolo di $3 0^{\circ}$ rispetto all’orizzontale. Quante volte la palla colpisce le pareti della zanzara finché non colpisce di nuovo il fondo della zanzara? Supponiamo che tutte le collisioni siano elastiche e che la palla non salga mai fuori dalla zanzara.

Una palla al centro della parte inferiore di un fossato di larghezza $1 m$ , lanciata a $v = 5 m/s$ e $3 0^{\circ}$ sopra l’orizzontale.

Planetary Proton. Professor Proton has discovered a new planet on one of his planetary expeditions. He wants to measure the magnetic field of the planet he has found. Professor Proton has brought all the necessary equipment required to carry out the following experiment. A proton is launched off a large cliff at a non-relativistic speed $v$ and an angle $θ = 3 0^{\circ}$ with respect to the horizontal plane at the magnetic equator of a distant planet. The magnetic field acting perpendicularly on the particle can be assumed to be perfectly horizontal and coming out of the page, as shown in the diagram. How strong is the magnetic field at the magnetic equator of this planet if the period of oscillation of $v_{x}$ is $4.94 \times 1 0^{- 4} s$ ? Write your answer in terms of $μ T$ (micro-Teslas).

A proton launched at angle $θ$ off a cliff into a region of magnetic field pointing out of the page.

Fonte: Testo (PDF) — p.6 Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: Point Charge, Planet

Il professor Proton ha scoperto un nuovo pianeta in una delle sue spedizioni planetarie. Vuole misurare il campo magnetico del pianeta che ha trovato. Il professor Proton ha portato tutte le attrezzature necessarie per eseguire il seguente esperimento. Un protone viene lanciato da una grande scogliera a una velocità non relativistica $v$ e un angolo $θ = 3 0^{\circ}$ rispetto al piano orizzontale all’equatore magnetico di un pianeta lontano. Il campo magnetico che agisce perpendicolare sulla particella può essere presunto perfettamente orizzontale e che esce dalla pagina, come mostrato nel diagramma. Quanto è forte il campo magnetico all’equatore magnetico di questo pianeta se il periodo di oscillazione di $v_{x}$ è $4.94 \times 1 0^{- 4} s$ ? Scrivi la tua risposta in termini di $μ T$ (micro-Teslas).

Un protone lanciato ad angolo $θ$ da una scogliera in una regione di campo magnetico che punta verso la pagina.

Angel Coaster. A frictionless track contains a loop of radius $R = 0.5 m$ . Situated on top of the track lies a small ball of mass $m = 2 kg$ at a height $h$ . It is then dropped and collides with another ball (of negligible size) of mass $M = 5 kg$ .

Ball $m$ dropped from height $h$ onto a frictionless track, colliding with ball $M$ at the bottom; the track contains a loop of radius $R$ .

Let $h$ be the minimum height that $m$ was dropped such that $M$ would be able to move all the way around the loop. The coefficient of restitution for this collision is given as $e = \frac{1}{2}$ .

Now consider a different scenario. Assume that the balls can now collide perfectly inelastically, which means that they stick to each other instantaneously after collision for the rest of the motion. If $m$ was dropped from a height $3 R$ , find the minimum value of $\frac{m}{M}$ such that the combined mass can fully move all the way around the loop. Let this minimum value be $k$ . Compute $α = \frac{k ^{2}}{h ^{2}}$ . (Note that this question is only asking for $α$ but you need to find $h$ to find $α$ .) Assume the balls are point masses (neglect rotational effects).

Fonte: Testo (PDF) — p.6 Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball

Angel Coaster. Una pista senza attrito contiene un ciclo di raggio $R = 0.5 m$ . In cima alla pista si trova una piccola palla di massa $m = 2 kg$ ad un’altezza $h$ . Il calcio è quindi scaricato e si schianta con un’altra sfera (di dimensioni trascurabili) di massa $M = 5 kg$ .

Palla $m$ caduta da un’altezza $h$ su una pista senza attrito, che si schianta con la palla $M$ in basso; la pista contiene un ciclo di raggio $R$ .

Si deve $h$ essere l’altezza minima che $m$ è stato abbassato in modo tale che $M$ sia in grado di muoversi in tutta la circonferenza del ciclo. Il coefficiente di restituzione per questa collisione è indicato come $e = \frac{1}{2}$ .

Ora consideriamo un altro scenario. Supponiamo che le palle possano collidere perfettamente inelasticamente, il che significa che si attaccano tra loro istantaneamente dopo la collisione per il resto del movimento. Se $m$ è stato abbassato da un’altezza $3 R$ , trovare il valore minimo di $\frac{m}{M}$ in modo tale che la massa combinata possa muoversi completamente in tutto il circuito. Il valore minimo è $k$ . Calcolare $α = \frac{k ^{2}}{h ^{2}}$ . (Ricorda che questa domanda chiede solo $α$ ma devi trovare $h$ per trovare $α$ .) Supponiamo che le palle siano masse puntate (neglichiamo gli effetti di rotazione).

Wannabe Twoset. Eddie is experimenting with his sister’s violin. Allow the “A” string of his sister’s violin have an ultimate tensile strength $σ_{1}$ . He tunes a string up to its highest possible frequency $f_{1}$ before it breaks. He then builds an exact copy of the violin, where all lengths have been increased by a factor of $2$ and tunes the same string again to its highest possible frequency $f_{2}$ . What is $f_{2} / f_{1}$ ? The density of the string does not change.

Note: The ultimate tensile strength is maximum amount of stress an object can endure without breaking. Stress is defined as $\frac{F}{A}$ , or force per unit area.

Fonte: Testo (PDF) — p.7 Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Wave Equation, Stress-Strain Analysis, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String

Wannabe Twoset. Eddie is experimenting with his sister’s violin. Allow the “A” string of his sister’s violin have an ultimate tensile strength $σ_{1}$ . He tunes a string up to its highest possible frequency $f_{1}$ before it breaks. Poi costruisce una copia esatta del violino, dove tutte le lunghezze sono state aumentate di un fattore $2$ e sintonizza la stessa corda di nuovo alla sua frequenza più alta possibile $f_{2}$ . Che cos’è $f_{2} / f_{1}$ ? La densità della corda non cambia.

Nota: la resistenza alla trazione massima è la quantità massima di stress che un oggetto può sopportare senza rottura. La pressione è definita come $\frac{F}{A}$ , o forza per unità di superficie.

Waterhorse or Flyinghorse. A one horsepower propeller powered by a battery and is used to propel a small boat initially at rest. You have two options:

Put the propeller on top of the boat and push on the air with an initial force $F_{1}$
Put the propeller underwater and push on the water with an initial force $F_{2}$ .

The density of water is $997 kg/m^{3}$ while the density of air is $1.23 kg/m^{3}$ . Assume that the force is both cases is dependent upon only the density of the medium, the surface area of the propeller, and the power delivered by the battery. What is $F_{2} / F_{1}$ ? You may assume (unrealistically) the efficiency of the propeller does not change. Round to the nearest tenths.

Fonte: Testo (PDF) — p.7 Topic: Fluid Mechanics Metodi: Dimensional Analysis, Conservation of Momentum, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Battery

Caballo d’acqua o Cavallo volante. Un’epiche di una potenza di cavalli alimentata da una batteria e utilizzata per spingere una piccola barca inizialmente a riposo. Hai due opzioni:

Mettete l’elica sulla parte superiore della barca e spingete in aria con una forza iniziale $F_{1}$
Mettete l’elica sotto l’acqua e spingete sull’acqua con una forza iniziale $F_{2}$ .

La densità dell’acqua è $997 kg/m^{3}$ mentre la densità dell’aria è $1.23 kg/m^{3}$ . Supponiamo che la forza sia entrambi i casi dipende solo dalla densità del mezzo, dall’area superficiale dell’elica e dalla potenza fornita dalla batteria. Che cos’è $F_{2} / F_{1}$ ? Si può presumere (irrealizzativamente) che l’efficienza dell’elica non cambie. - Rondo al decimo più vicino.

Charlie And The Chocolate Factory. A professional pastry chef is making a sweet which consists of 3 sheets of chocolate. The chef leaves a gap with width $d_{1} = 0.1 m$ between the top and middle layers and fills it with a chocolate syrup with uniform viscosity $η_{1} = 10 Pa \cdot s$ and a gap with width $d_{2} = 0.2 m$ between the middle and bottom sheet and fills it with caramel with uniform viscosity $η_{2} = 15 Pa \cdot s$ . If the chef pulls the top sheet with a velocity $2 m/s$ horizontally, at what speed must he push the bottom sheet horizontally such that the middle sheet remains stationary initially? Ignore the weight of the pastry sheets throughout the problem and the assume the sheets are equally sized.

Note: Shear stress is governed by the equation $τ = η \times rate of strain$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.7 Topic: Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: —

Un pastore professionista sta preparando un dolce che consiste di 3 fogli di cioccolato. Il cuoco lascia un vuoto di larghezza $d_{1} = 0.1 m$ tra gli strati superiori e medi e lo riempie con uno sciroppo di cioccolato con viscosità uniforme $η_{1} = 10 Pa \cdot s$ e un vuoto di larghezza $d_{2} = 0.2 m$ tra il foglio medio e il fondo e lo riempie con caramello con viscosità uniforme $η_{2} = 15 Pa \cdot s$ . Se il cuoco tira orizzontalmente la foglia superiore con una velocità $2 m/s$ , a quale velocità deve spingere orizzontalmente la foglia inferiore in modo che la foglia centrale rimanga inizialmente fermata? Ignorare il peso dei fogli di pasticceria durante tutto il problema e assumere che i fogli sono di uguale dimensione.

Nota: la tensione di taglio è regolata dall’equazione $τ = η \times rate of strain$ .

Loopy Wire. The following diagram depicts a single wire that is bent into the shape below. The circuit is placed in a magnetic field pointing out of the page, uniformly increasing at the rate $\frac{d B}{d t} = 2.34 T/s$ . Calculate the magnitude of induced electromotive force in the wire, in terms of the following labelled areas ( $m^{2}$ ). Note that $B$ is non-inclusive of $C$ and that $A = 4.23$ , $B = 2.74$ , and $C = 0.34$ .

A single bent wire enclosing labelled areas $A$ , $B$ and $C$ , in a magnetic field out of the page.

Fonte: Testo (PDF) — p.7 Topic: Electromagnetic Induction Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Superposition Principle Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Wire

Filo a pieghe. Il diagramma seguente raffigura un singolo filo che è piegato nella forma di seguito. Il circuito è collocato in un campo magnetico che punta verso la pagina, aumentando uniformemente al ritmo $\frac{d B}{d t} = 2.34 T/s$ . Calcolare la grandezza della forza elettromotrice indotta nel filo, in termini di aree segnate come segue ( $m^{2}$ ). Si noti che $B$ non include $C$ e $A = 4.23$ , $B = 2.74$ e $C = 0.34$ .

Un singolo filo piegato che racchiude le aree etichettate $A$ , $B$ e $C$ , in un campo magnetico fuori dalla pagina.

The following information applies to the next two problems. A magnetic field is located within a region enclosed by an elliptical island with semi-minor axis of $a = 100 m$ and semi-major axis of $b = 200 m$ . A car carrying charge $+ Q = 1.5 C$ drives on the boundary of the island at a constant speed of $v = 5 m/s$ and has mass $m = 2000 kg$ . Any dimensions of the car can be assumed to be much smaller than the dimensions of the island. Ignore any contributions to the magnetic field from the moving car and assume that the car has enough traction to continue driving in its elliptical path.

Let the center of the island be located at the point $(0, 0)$ while the semi major and semi minor axes lie on the $x$ and $y$ -axes, respectively.

On this island, the magnetic field varies as a function of $x$ and $y$ : $B (x, y) = k_{b} e^{c_{b} x y} \overset{z}{^}$ (pointing in the upward direction, perpendicular to the island plane in the positive $z$ -direction). The constant $c_{b} = 1 0^{- 4} m^{- 2}$ and the constant $k_{b} = 2.1 μ T$ .

Journey 2: The Magnetic Island 1. At what point on the island is the force from the magnetic field a maximum? Write the distance of this point from the $x$ -axis in metres.

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge

Le seguenti informazioni si applicano ai due seguenti problemi. Un campo magnetico si trova all’interno di una regione circondata da un’isola ellittica con asse semiminor di $a = 100 m$ e asse semimejor di $b = 200 m$ . Un’auto con carica $+ Q = 1.5 C$ si sposta sul confine dell’isola a una velocità costante di $v = 5 m/s$ e ha massa $m = 2000 kg$ . Si può presumere che le dimensioni dell’auto siano molto più piccole delle dimensioni dell’isola. Ignorare qualsiasi contributo al campo magnetico da parte della macchina in movimento e supporre che la macchina abbia abbastanza trazione per continuare a guidare nel suo percorso ellittico.

Il centro dell’isola deve essere situato al punto $(0, 0)$ mentre gli assi semi maggiori e semi minori si trovano rispettivamente sugli assi $x$ e $y$ .

In questa isola, il campo magnetico varia in funzione di $x$ e $y$ : $B (x, y) = k_{b} e^{c_{b} x y} \overset{z}{^}$ (indicando in direzione ascendente, perpendicolare al piano dell’isola nella direzione positiva $z$ ). La costante $c_{b} = 1 0^{- 4} m^{- 2}$ e la costante $k_{b} = 2.1 μ T$ .

**Viaggio 2: L’Isola Magnetica 1. ** A quale punto dell’isola la forza del campo magnetico è massima? Scrivere la distanza di questo punto dall’asse $x$ in metri.

Journey 2: The Magnetic Island 2. Assuming no slipping, what is the magnitude of the net force on the car at the point of the maximum magnetic field? (Answer in Newtons.)

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge

**Viaggio 2: L’isola magnetica 2. ** Supponendo che non ci sia scivolamento, qual è la grandezza della forza netta sull’auto al punto del campo magnetico massimo? (Risponderemo a Newton.)

Tuning Outside. Inside a laboratory at room temperature, a steel tuning fork in the shape of a U is struck and begins to vibrate at $f = 426 Hz$ . The tuning fork is then brought outside where it is $10^{\circ} C$ hotter and the experiment is performed again. What is the change in frequency, $Δ f$ of the tuning fork? (A positive value will indicate an increase in frequency, and a negative value will indicate a decrease.)

Note: The linear thermal coefficient of expansion for steel is $α = 1.5 \times 1 0^{- 5} K^{- 1}$ and you may assume the expansion is isotropic and linear. When the steel bends, there is a restoring torque $τ = - κ θ$ such that $κ \equiv G J$ where $G = 77 GPa$ is constant and $J$ depends on the geometry and dimensions of the cross-sectional area.

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Approximation & Series Expansion, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Tuning Fork

Tuning External. All’interno di un laboratorio a temperatura ambiente, viene colpito un forchetto di sintonizzazione in acciaio a forma di U e comincia a vibrare a $f = 426 Hz$ . La forchetta di sintonia viene poi portata fuori dove è $10^{\circ} C$ più calda e l’esperimento viene eseguito nuovamente. Qual è la variazione di frequenza, $Δ f$ della forchetta di sintonia? (Un valore positivo indica un aumento della frequenza e un valore negativo indica una diminuzione.)

Nota: il coefficiente termico lineare di espansione dell’acciaio è $α = 1.5 \times 1 0^{- 5} K^{- 1}$ e si può presumere che l’espansione sia isotròpica e lineare. Quando l’acciaio si piega, si verifica una coppia di ripristino $τ = - κ θ$ tale che $κ \equiv G J$ , dove $G = 77 GPa$ è costante e $J$ dipende dalla geometria e dalle dimensioni dell’area trasversale.

Too Much Potential. A large metal conducting sphere with radius $10 m$ at an initial potential of $0$ and an infinite supply of smaller conducting spheres of radius $1 m$ and potential $10 V$ are placed into contact in such a way: the large metal conducting sphere is contacted with each smaller sphere one at a time. You may also assume the spheres are touched using a thin conducting wire that places the two spheres sufficiently far away from each other such that their own spherical charge symmetry is maintained. What is the least number of smaller spheres required to be touched with the larger sphere such that the potential of the larger sphere reaches $9 V$ ? Assume that the charges distribute slowly and that the point of contact between the rod and the spheres is not a sharp point.

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Conservation Laws, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Conducting Sphere, Wire

Too Much Potential. Una grande sfera conduttrice metallica con raggio $10 m$ ad un potenziale iniziale di $0$ e un’infinita quantità di sfere conduttrici più piccole di raggio $1 m$ e potenziale $10 V$ vengono messe in contatto in modo tale: la grande sfera conduttrice metallica viene contattata con ogni sfera più piccola una alla volta. Si può anche supporre che le sfere siano toccate utilizzando un sottile filo conduttore che posiziona le due sfere abbastanza lontano l’uno dall’altro in modo che sia mantenuta la loro propria simmetria di carica sferica. Qual è il numero minimo di sfere più piccole da toccare con la sfera più grande in modo che il potenziale della sfera più grande raggiunga $9 V$ ? Supponiamo che le cariche si distribuiscano lentamente e che il punto di contatto tra la canna e le sfere non sia un punto nitido.

Particle in the Box. During high speed motion in a strong electric field, a charged particle can ionize air molecules it collides with. A charged particle of mass $m = 0.1 kg$ and charge $q = 0.5 μ C$ is located in the center of a cubical box. Each vertex of the box is fixed in space and has a charge of $Q = - 4 μ C$ . If the side length of the box is $l = 1.5 m$ what minimum speed (parallel to an edge) should be given to the particle for it to exit the box (even if it’s just momentarily)? Let the energy loss from Corona discharge and other radiation effects be $E = 0.00250 J$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Electric Potential Method, Energy Conservation Method, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge

Particella nella scatola. Durante un movimento ad alta velocità in un forte campo elettrico, una particella carica può ionizzare le molecole d’aria con cui colpisce. Una particella carica di massa $m = 0.1 kg$ e carica $q = 0.5 μ C$ si trova nel centro di una scatola cubica. Ogni vertice della scatola è fissato nello spazio e ha una carica di $Q = - 4 μ C$ . Se la lunghezza laterale della scatola è $l = 1.5 m$ quale velocità minima (parallelmente ad un bordo) deve essere data alla particella per farla uscire dalla scatola (anche se è solo momentanea)? Lasciate che la perdita di energia causata dal rilascio di Corona e da altri effetti delle radiazioni sia $E = 0.00250 J$ .

Room of Mirrors 1. Max finds himself trapped in the center of a mirror walled equilateral triangular room. What minimum beam angle must his flashlight have so that any point of illumination in the room can be traced back to his flashlight with at most 1 bounce? (Answer in degrees.) Since the room is large, assume the person is a point does not block light. Visualize the questions in a 2D setup. The floor/ceiling is irrelevant.

The point of illumination refers to any point in the room that is lit.

Fonte: Testo (PDF) — p.9 Topic: Geometric Optics, Mathematics Metodi: Ray Tracing, Symmetry Argument, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Mirror

Max si ritrova intrappolato nel centro di una stanza triangolare equilaterale murata dallo specchio. Quale angolo minimo di raggi deve avere la sua torcia per poter rintracciare ogni punto di illuminazione nella stanza alla sua torcia con un massimo di 1 rimbalzo? (Risponibile in gradi) Poiché la stanza è grande, supponiamo che la persona sia un punto che non blocca la luce. Visualizzare le domande in configurazione 2D. Il pavimento/tello è irrilevante.

Il punto di illuminazione si riferisce a qualsiasi punto della stanza illuminato.

Room of Mirrors 2. Max is again trapped at the center of the same room (from the previous problem) but with a much less powerful flashlight. What minimum beam angle must his flashlight have so that any point of illumination in the room can be traced back to his flashlight with at most 100 bounces? (Answer in degrees.)

La camera degli specchi 2. Max è di nuovo intrappolato nel centro della stessa stanza (dal problema precedente), ma con una lampada più potente. Quale angolo minimo di raggi deve avere la sua torcia per poter ritrovare ogni punto di illuminazione nella stanza alla sua torcia con al massimo 100 rimbalzi? (Raccontento in gradi.)

Secret Society. For his art project, Weishaupt cut out $N = 20$ wooden equilateral triangular blocks with a side length of $ℓ = 10 cm$ and a thickness of $t = 2 cm$ , each with the same mass and uniform density. He wishes to stack one on top of the other overhanging the edge of his table. In centimeters, what is the maximum overhang? Round to the nearest centimeter. A side view is shown below. Assume that all triangles are parallel to each other.

Note: This diagram is not to scale.

Fonte: Testo (PDF) — p.9 Topic: Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Block

Per il suo progetto d’arte, Weishaupt ha tagliato $N = 20$ blocchi triangolari equilaterali di legno con una lunghezza laterale di $ℓ = 10 cm$ e uno spessore di $t = 2 cm$ , ognuno con la stessa massa e densità uniforme. Desidera mettere uno sopra l’altro appeso al bordo del suo tavolo. In centimetri, qual è il massimo di sovrappeso? Attualmente il centimetro più vicino. Una vista laterale è mostrata qui sotto. Supponiamo che tutti i triangoli siano paralleli l’uno all’altro.

Nota: Questo diagramma non è scalabile.

The following information applies to the following three problems. Kushal finds himself trapped in a large room with mirrors as walls. Being scared of the dark, he has a powerful flashlight to light the room. All references to “percent” refer to area. Since the room is large, assume the person is a point does not block light. Visualize the questions in a 2D setup. The floor/ceiling is irrelevant. The point of illumination refers to any point in the room that is lit.

Focus On That Not This! 1. What percent of a large circular room can be lit up using a flashlight with a 20 degree beam angle if Kushal stands in the center?

Le seguenti informazioni si applicano ai seguenti tre problemi. Kushal si ritrova intrappolato in una grande stanza con specchi come muri. Avendo paura del buio, ha una potente lanterna per illuminare la stanza. Tutti i riferimenti alla parola “percentuale” si riferiscono all’area. Dal momento che la stanza è grande, supponiamo che la persona sia un punto che non blocca la luce. Visualizzare le domande in configurazione 2D. Il pavimento/tello è irrilevante. Il punto di illuminazione si riferisce a qualsiasi punto della stanza illuminato.

Concentrati su questo, non su questo! 1.** Quale percento di una grande stanza circolare può essere illuminata utilizzando una lanterna con un angolo di raggi di 20 gradi se Kushal è al centro?

Focus On That Not This! 2. Kushal stands at a focus of an elliptical room with eccentricity $0.5$ and semi major axis $= 20 m$ . He points the flashlight along the semi-major axis away from the other focus. Find the ideal position where the torch can be placed to catch fire easily by the beam from the flashlight. What is the distance from this point to Kushal? Note that the torch cannot be at the same location as the flashlight. (Answer in metres.)

Concentrati su questo, non su questo! 2.** Kushal si trova in un foco di una stanza ellittica con eccentricità $0.5$ e semi-asse maggiore $= 20 m$ . Indica la lanterna lungo l’asse semimejor lontano dall’altro foco. Trova la posizione ideale in cui la torcia possa essere posta per prendere fuoco facilmente dal fascio della lampada. Qual è la distanza da questo punto a Kushal? Si noti che la torcia non può essere nello stesso luogo della torcia. (Risposizione in metri)

Focus On That Not This! 3. Now Kushal stands at a focus of the same elliptical room as in Problem 22. Determine the minimum percent of the elliptical room that can be lit up with a flashlight of beam angle 1 degree.

Fonte: Testo (PDF) — p.10 Topic: Geometric Optics, Mathematics Metodi: Ray Tracing, Symmetry Argument, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: —

Concentrati su questo, non su questo! Ora Kushal si trova in un foco della stessa stanza ellittica come nel problema 22. Determina la percentuale minima di stanza ellittica che può essere illuminata con una torcia ad angolo di raggi di 1 grado.

Two Star Crossed Lovers… Two identical neutron stars with mass $m = 4 \times 1 0^{30} kg$ and radius $15 km$ are orbiting each other a distance $d = 700 km$ away from each other ( $d$ refers to the initial distance between the cores of the neutron stars). Assume that they orbit as predicted by classical mechanics, except that they generate gravitational waves. The power dissipated through these waves is given by:

$P = \frac{32 G ^{4}}{5} (\frac{m}{d c})^{5}$

How long does it take for the two stars to collide? Answer in seconds. Note: $d$ is the distance between the cores of the stars.

Fonte: Testo (PDF) — p.10 Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Differential Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star

**Due stelle incrociate… ** Due stelle di neutroni identiche di massa $m = 4 \times 1 0^{30} kg$ e di raggio $15 km$ si orbitano a distanza $d = 700 km$ l’una dall’altra ( $d$ si riferisce alla distanza iniziale tra i nuclei delle stelle di neutroni). Supponiamo che orbitino come previsto dalla meccanica classica, tranne che generino onde gravitazionali. La potenza dissipata attraverso queste onde è data da:

$P = \frac{32 G ^{4}}{5} (\frac{m}{d c})^{5}$

Quanto tempo ci vuole per che le due stelle si schiantino? Rispondi in pochi secondi. Nota: $d$ è la distanza tra i nuclei delle stelle.

Too Bored. The graph provided plots the $y$ -component of the velocity against the $x$ -component of the velocity of a kiddie roller coaster at an amusement park for a certain duration of time. The ride takes place entirely in a two dimensional plane.

Some students made a remark that at one time, the acceleration was perpendicular to the velocity. Using this graph, what is the minimum $x$ -velocity the ride could be travelling at for this to be true? Round to the nearest integer and answer in meters per second. The diagram is drawn to scale, and you may print this page out and make measurements.

Plot of $v_{y} (m/s)$ versus $v_{x} (m/s)$ for the ride (drawn to scale).

Fonte: Testo (PDF) — p.11 Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Experimental Data Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: —

Too Bored. Il grafico fornito mostra la componente $y$ della velocità rispetto alla componente $x$ della velocità di una montagna russa per bambini in un parco giochi per un certo periodo di tempo. Il viaggio si svolge interamente in un piano bidimensionale.

Alcuni studenti hanno fatto una osservazione che in un certo momento, l’accelerazione era perpendicolare alla velocità. Usando questo grafico, qual è la velocità minima $x$ che il viaggio potrebbe percorrere per essere vero? Rondo al numero intero più vicino e rispondi in metri al secondo. Il diagramma è disegnato a scala, e potete stampare questa pagina e fare le misurazioni.

Plot di $v_{y} (m/s)$ contro $v_{x} (m/s)$ per il viaggio (attraverso scala).

The following information applies to the next two problems: In the cosmic galaxy, the Sun is a main-sequence star, generating its energy mainly by nuclear fusion of hydrogen nuclei into helium. In its core, the Sun fuses hydrogen to produce deuterium ( $^{2} H$ ) and tritium ( $^{3} H$ ), then makes about 600 million metric tons of helium ( $^{4} He$ ) per second. Of course, there are also some relatively smaller portions of fission reactions in the Sun’s core, e.g. a nuclear fission reaction with Uranium-235 ( $^{235} U$ ).

The Fusion reaction: $^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n + Released Energy$

The Fission reaction: $^{235} U + n + (Initial Energy) \to^{144} Ba +^{90} Kr + 2 n + Released Energy$

Isotope Names	Mass (at rest) (u)
Deuterium ( $^{2} H$ )	2.0141
Tritium ( $^{3} H$ )	3.0160
Helium ( $^{4} He$ )	4.0026
Neutron ( $n$ )	1.0087
Uranium-235 ( $^{235} U$ )	235.1180
Barium-144 ( $^{144} Ba$ )	143.8812
Krypton-90 ( $^{90} Kr$ )	89.9471

You are my Sunshine 1. Calculate the kinetic energy (in MeV) released by the products in one fusion reaction.

Fonte: Testo (PDF) — p.12 Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Mass-Energy Equivalence, Conservation Laws, Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning Objects: Nucleus

*Le seguenti informazioni si applicano ai due seguenti problemi: * Nella galassia cosmica, il Sole è una stella di sezione principale, che genera la sua energia principalmente attraverso la fusione nucleare dei nuclei di idrogeno in elio. Nel suo nucleo, il Sole fusi idrogeno per produrre deuterio ( $^{2} H$ ) e tritio ( $^{3} H$ ), quindi produce circa 600 milioni di tonnellate di elio ( $^{4} He$ ) al secondo. Naturalmente, ci sono anche alcune porzioni relativamente piccole di reazioni di fissione nel nucleo del Sole, ad esempio. una reazione di fissione nucleare con uranio-235 ( $^{235} U$ ).

La reazione di fusione: $^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n + Released Energy$

La reazione di Fisione: $^{235} U + n + (Initial Energy) \to^{144} Ba +^{90} Kr + 2 n + Released Energy$

♬ Isotopi nomi ♬ Massa (a riposo) ♬ | --- | --- | | Deuterium ( $^{2} H$ ) | 2.0141 | | Tritium ( $^{3} H$ ) | 3.0160 | | Helium ( $^{4} He$ ) | 4.0026 | | Neutron ( $n$ ) | 1.0087 | | Uranium-235 ( $^{235} U$ ) | 235.1180 | | Barium-144 ( $^{144} Ba$ ) | 143.8812 | | Krypton-90 ( $^{90} Kr$ ) | 89.9471 |

**Tu sei il mio sole 1. ** Calcola l’energia cinetica (in MeV) rilasciata dai prodotti in una reazione di fusione.

Fonte: Testo (PDF) — p.12 Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Mass-Energy Equivalence, Conservation Laws, Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning Objects: Nucleus

You are my Sunshine 2. Calculate the energy produced in the core of the Sun per second from helium fusion. Answer in Joules.

Fonte: Testo (PDF) — p.12 Topic: Nuclear & Particle Physics, Astrophysics Metodi: Mass-Energy Equivalence, Order-of-Magnitude Estimation, Competenze: Unit Conversion, Estimation & Approximation Objects: Star, Nucleus

Calcola l’energia prodotta nel nucleo del Sole al secondo dalla fusione di elio. Rispondi in Joules.

Be Reflected It Must. While exploring outer space, Darth Vader comes upon a purely reflective spherical planet with radius $R_{p} = 40, 000 m$ and mass $M_{p} = 8.128 \times 1 0^{24} kg$ . Around the planet is a strange moon of orbital radius $R_{s} = 6, 400, 000 m$ ( $R_{s} ≫ R_{p}$ ) and mass $M_{s} = 9.346 \times 1 0^{19} kg$ ( $M_{s} ≪ M_{p}$ ). The moon can be modelled as a blackbody and absorbs light perfectly. Darth Vader is in the same plane that the planet orbits in. Startled, Darth Vader shoots a laser with constant intensity and power $P_{0} = 2 \times 1 0^{32} W$ at the reflective planet and hits the planet a distance of $\frac{R _{p}}{2}$ away from the line from him to the center of the planet. Upon hitting the reflective planet, the light from the laser is plane polarized. The angle of the planet’s polarizer is always the same as the angle of reflection. After reflectance, the laser lands a direct hit on the insulator planet. Darth Vader locks the laser in on the planet until it moves right in front of him, when he turns the laser off. Determine the energy absorbed by the satellite. Assume the reflective planet remains stationary and that the reflective planet is a perfect polarizer of light.

Fonte: Testo (PDF) — p.13 Topic: Electromagnetism, Gravitation Metodi: Calculus-Integration, Newton’s Law of Gravitation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite

Be Reflected It Must. While exploring outer space, Darth Vader comes upon a purely reflective spherical planet with radius $R_{p} = 40, 000 m$ and mass $M_{p} = 8.128 \times 1 0^{24} kg$ . Intorno al pianeta c’è una strana luna di raggio orbitale $R_{s} = 6, 400, 000 m$ ( $R_{s} ≫ R_{p}$ ) e massa $M_{s} = 9.346 \times 1 0^{19} kg$ ( $M_{s} ≪ M_{p}$ ). La luna può essere modellata come un corpo nero e assorbe la luce perfettamente. Darth Vader è nello stesso piano in cui orbita il pianeta. Startled, Darth Vader shoots a laser with constant intensity and power $P_{0} = 2 \times 1 0^{32} W$ at the reflective planet and hits the planet a distance of $\frac{R _{p}}{2}$ away from the line from him to the center of the planet. Quando colpisce il pianeta riflettente, la luce del laser è polarizzata. L’angolo del polarizzatore del pianeta è sempre lo stesso dell’angolo di riflessione. Dopo la riflessione, il laser atterra un colpo diretto sul pianeta isolante. Darth Vader blocca il laser sul pianeta finche’ non si muove proprio davanti a lui, quando spegne il laser. Determina l’energia assorbita dal satellite. Supponiamo che il pianeta riflettente rimanga fermo e che il pianeta riflettente sia un polarizzatore perfetto della luce.

Braking Up. A particle of rest mass $m$ moving at a speed $v = 0.7 c$ decomposes into two photons which fly off at a separated angle $θ$ . What is the minimum value of the angle of separation assuming that the two photons have equal wavelength. (Answer in degrees)

Fonte: Testo (PDF) — p.13

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Mass-Energy Equivalence, Conservation of Momentum Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Photon

Rottura. Una particella di massa di riposo $m$ in movimento a velocità $v = 0.7 c$ si decompone in due fotoni che volano fuori ad un angolo separato $θ$ . Qual è il valore minimo dell’angolo di separazione, se si suppone che i due fotoni abbiano la stessa lunghezza d’onda. (Raccontento in gradi)

Fonte: Testo (PDF) — p.13

With Great Power. Mario is racing with Wario on Moo Moo Meadows when a goomba, ready to avenge all of his friends’ deaths, came and hijacked Mario’s kart. A graph representing the motion of Mario at any instant is shown below. The velocity acquired by Mario is shown on the $x$ -axis, and the net power of his movement is shown on the $y$ -axis. When Mario’s velocity is $6 m/s$ , he eats a mushroom which gives him a super boost.

Net power $P (100 W)$ versus velocity $v (m/s)$ for Mario; drawn to scale.

You may need to make measurements. Feel free to print this picture out as the diagram is drawn to scale. Find the total distance from Mario runs from when his velocity is $0 m/s$ to when his velocity just reaches $9 m/s$ given that Mario’s mass is $m = 89 kg$ . Answer in meters and round to one significant digit.

Fonte: Testo (PDF) — p.14

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Energy Conservation Method, Calculus-Integration, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: —

Mario sta correndo con Wario su Moo Moo Meadows quando un goomba, pronto a vendicare la morte di tutti i suoi amici, viene e rapisce il kart di Mario. Un grafico che rappresenta il movimento di Mario in qualsiasi momento è mostrato qui sotto. La velocità acquisita da Mario è mostrata sull’asse $x$ , e la potenza netta del suo movimento è mostrata sull’asse $y$ . Quando la velocità di Mario è $6 m/s$ , mangia un fungo che gli dà un super impulso.

Potenza netta $P (100 W)$ contro velocità $v (m/s)$ per Mario; tracciato su scala.

Potrebbe essere necessario fare delle misure. Sentitevi liberi di stampare questa immagine mentre il diagramma viene disegnato a scala. Trova la distanza totale da Mario che va da quando la sua velocità è $0 m/s$ a quando la sua velocità raggiunge $9 m/s$ dato che la massa di Mario è $m = 89 kg$ . Rispondi in metri e rotonda a una cifra significativa.

Fonte: Testo (PDF) — p.14

I’m a little teacup. At an amusement park, there is a ride with three “teacups” that are circular with identical dimensions. Three friends, Ethan, Rishab, and Kushal, all pick a teacup and sit at the edge. Each teacup rotates about its own axis clockwise at an angular speed $ω = 1 rad/s$ and can also move linearly at the same time.

The teacup Ethan is sitting on (as always) is malfunctional and can only rotate about its own axis. Rishab’s teacup is moving linearly at a constant velocity $2 m/s$ [N] and Kushal’s teacup is also moving linearly at a constant velocity of $4 m/s$ [N $6 0^{\circ}$ E]. All three teacups are rotating as described above. Interestingly, they observe that at some point, all three of them are moving at the same velocity. What is the radius of each teacup?

Note: [N $6 0^{\circ}$ E] means $6 0^{\circ}$ clockwise from north e.g. $6 0^{\circ}$ east of north.

Fonte: Testo (PDF) — p.14

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition, Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Disk

In un parco di divertimenti, c’è una corsa con tre “teacup” che sono circolari con dimensioni identiche. Tre amici, Ethan, Rishab e Kushal, scelgono una tazza di tè e si siedono al bordo. Ogni tazza di tè ruota intorno al suo asse nel senso orario a una velocità angolare $ω = 1 rad/s$ e può anche muoversi in modo lineare allo stesso tempo.

La tazza di tè su cui Ethan si trova (come sempre) è malfunzionale e può ruotare solo intorno al suo asse. La tazza di tè di Rishab si muove linearmente a una velocità costante $2 m/s$ [N] e la tazza di tè di Kushal si muove anche linearmente a una velocità costante $4 m/s$ [N $6 0^{\circ}$ E]. Tutte le tre tazze di tè sono in rotazione come descritto sopra. È interessante notare che, in un certo momento, tutti e tre si muovono alla stessa velocità. Qual è il raggio di ciascuna tazza di tè?

Nota: [N $6 0^{\circ}$ E] significa $6 0^{\circ}$ in senso orario da nord, ad esempio $6 0^{\circ}$ a est del nord.

Fonte: Testo (PDF) — p.14

Tetrahedron Resistance. An engineer has access to a tetrahedron building block with side length $ℓ = 10 cm$ . The body is made of a thermal insulator but the edges are wrapped with a thin copper wiring with cross sectional area $S = 2 cm^{2}$ . The thermal conductivity of copper is $385.0 W/(m \cdot K)$ . He stacks these tetrahedrons (all facing the same direction) to form a large lattice such that the copper wires are all in contact. In the diagram, only the front row of a small section is coloured. Assume that the lattice formed is infinitely large.

At some location in the tetrahedral building block, the temperature difference between two adjacent points is $1^{\circ} C$ . What is the heat flow across these two points? Answer in Watts.

Note: Two adjacent points refer to two adjacent points on the tetrahedron.

A section of the infinite lattice of stacked tetrahedrons; only the front row is coloured.

Fonte: Testo (PDF) — p.15

Topic: Thermodynamics, Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wire

Resistenza del tetraedro. Un ingegnere ha accesso a un blocco di costruzione di tetraedro con lunghezza laterale $ℓ = 10 cm$ . Il corpo è costituito da un isolante termico, ma i bordi sono avvolti con un sottile cablaggio di rame con superficie trasversale $S = 2 cm^{2}$ . La conducibilità termica del rame è $385.0 W/(m \cdot K)$ . Stacca questi tetraedri (tutti rivolti nella stessa direzione) per formare una grande rete in modo che i fili di rame siano tutti in contatto. Nel diagramma, solo la prima fila di una piccola sezione è colorata. Supponiamo che la rete formata sia infinitamente grande.

In alcune località del blocco di costruzione tetraedro, la differenza di temperatura tra due punti adiacenti è $1^{\circ} C$ . Qual è il flusso di calore attraverso questi due punti? Rispondi a Watts.

Nota: Due punti adiacenti si riferiscono a due punti adiacenti sul tetraedro.

Una sezione della rete infinita di tetraedri impilati; solo la riga anteriore è colorata.

Fonte: Testo (PDF) — p.15

Topic: Thermodynamics, Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wire

AIME. Three unit circles, each with radius $1$ meter, lie in the same plane such that the center of each circle is one intersection point between the two other circles, as shown below. Mass is uniformly distributed among all area enclosed by at least one circle. The mass of the region enclosed by the triangle shown above is $1 kg$ . Let $x$ be the moment of inertia of the area enclosed by all three circles (intersection, not union) about the axis perpendicular to the page and through the center of mass of the triangle. Then, $x$ can be expressed as $\frac{aπ - b c}{d e} kg \cdot m^{2}$ , where $a, b, c, d, e$ are integers such that $g cd (a, b, d) = 1$ and both $c$ and $e$ are squarefree. Compute $a + b + c + d + e$ .

Three unit circles, each centered at an intersection point of the other two, with the central triangle marked.

Fonte: Testo (PDF) — p.16

Topic: Rotational Dynamics, Mathematics Metodi: Calculus-Integration, Symmetry Argument, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: —

AIME. Tre cerchi unitari, ciascuno con raggio $1$ metro, si trovano nello stesso piano in modo che il centro di ogni cerchio sia un punto di intersezione tra le altre due cerchi, come mostrato di seguito. La massa è uniformemente distribuita tra tutte le aree circondate da almeno un cerchio. La massa della regione chiusa dal triangolo sopra indicato è $1 kg$ . Let $x$ be the moment of inertia of the area enclosed by all three circles (intersection, not union) about the axis perpendicular to the page and through the center of mass of the triangle. Quindi, $x$ può essere espresso come $\frac{aπ - b c}{d e} kg \cdot m^{2}$ , dove $a, b, c, d, e$ sono enti così che $g cd (a, b, d) = 1$ e entrambi $c$ e $e$ sono squadrati. Calcolare $a + b + c + d + e$ .

Tre cerchi unitari, ciascuno centrato in un punto di intersezione degli altri due, con il triangolo centrale segnato.

Fonte: Testo (PDF) — p.16

Topic: Rotational Dynamics, Mathematics Metodi: Calculus-Integration, Symmetry Argument, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: —

Global Warming. Life on Earth would not exist as we know it without the atmosphere. There are many reasons for this, but one of which is temperature. Let’s explore how the atmosphere affects the temperature on Earth. Assume that all thermal energy striking the earth uniformly and ideally distributes itself across the Earth’s surface.

Assume that the Earth is a perfect black body with no atmospheric effects. Let the equilibrium temperature of Earth be $T_{0}$ . (The sun outputs around $3.846 \times 1 0^{26} W$ , and is $1.496 \times 1 0^{8} km$ away.)
Now assume the Earth’s atmosphere is isothermal. The short wavelengths from the sun are nearly unaffected and pass straight through the atmosphere. However, they mostly convert into heat when they strike the ground. This generates longer wavelengths that do interact with the atmosphere. Assume that the albedo of the ground is $0.3$ and $e$ , the emissivity and absorptivity of the atmosphere, is $0.8$ . Let the equilibrium average temperature of the planet now be $T_{1}$ .

What is the percentage increase from $T_{0}$ to $T_{1}$ ?

Note: The emissivity is the degree to which an object can emit longer wavelengths (infrared) and the absorptivity is the degree to which an object can absorb energy. Specifically, the emissivity is the ratio between the energy emitted by an object and the energy emitted by a perfect black body at the same temperature. On the other hand, the absorptivity is the ratio of the amount of energy absorbed to the amount of incident energy.

Fonte: Testo (PDF) — p.16

Topic: Earth & Environmental Science, Thermodynamics Metodi: Conservation Laws, Physical Modeling, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Planet, Star

Il riscaldamento globale non esisterebbe sulla Terra come la conosciamo senza l’atmosfera. Ci sono molte ragioni, ma una di esse è la temperatura. Esploriamo come l’atmosfera influisce sulla temperatura terrestre. Supponiamo che tutta l’energia termica che colpisce la terra si distribuisca uniformemente e idealmente sulla superficie terrestre.

Supponiamo che la Terra sia un corpo nero perfetto senza effetti atmosferici. La temperatura di equilibrio della Terra deve essere $T_{0}$ . (Il sole sorge intorno a $3.846 \times 1 0^{26} W$ , ed è $1.496 \times 1 0^{8} km$ lontano.)
Supponiamo che l’atmosfera terrestre sia isotermico. Le lunghezze d’onda corte del sole sono quasi invariate e passano direttamente attraverso l’atmosfera. Tuttavia, per lo più si trasformano in calore quando colpiscono il terreno. Questo genera lunghezze d’onda più lunghe che interagiscono con l’atmosfera. Supponiamo che l’albedo del suolo sia $0.3$ e $e$ , l’emissività e l’assorbimento dell’atmosfera sono $0.8$ . La temperatura media di equilibrio del pianeta ora sia $T_{1}$ .

Qual è l’aumento percentuale da $T_{0}$ a $T_{1}$ ?

Nota: L’emissività è il grado in cui un oggetto può emitare lunghezze d’onda più lunghe (infrarossi) e l’assorbtività è il grado in cui un oggetto può assorbire energia. In particolare, l’emissività è il rapporto tra l’energia emessa da un oggetto e l’energia emessa da un corpo nero perfetto alla stessa temperatura. D’altra parte, l’assorbimento è il rapporto tra la quantità di energia assorbita e la quantità di energia incidente.

Fonte: Testo (PDF) — p.16

Power Dissipation. THIS QUESTION HAS BEEN REMOVED FROM THE EXAM.

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.16 Objects: —

Dissipation power. QUESTIONE È stata rimossa dall’esame.

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.16 Objects: —

Flattening the Curve. Two infinitely long current carrying wires carry constant current $i_{1} = 2 A$ and $i_{2} = 3 A$ as shown in the diagram. The equations of the wire curvatures are $y^{2} - 8 x - 6 y + 25 = 0$ and $x = 0$ . Find the magnitude of force (in Newtons) acting on one of the wires due to the other.

Wire $i_{1} = 2 A$ along $x = 0$ and wire $i_{2} = 3 A$ following $y^{2} - 8 x - 6 y + 25 = 0$ ; distances in metres.

Note: The current-carrying wires are rigidly fixed. The units for distances on the graph should be taken in metres.

Fonte: Testo (PDF) — p.17

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Biot-Savart Law, Lorentz Force Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire

Alatamento della curva. Due fili portanti di corrente infinitamente lunghe portano corrente costante $i_{1} = 2 A$ e $i_{2} = 3 A$ come mostrato nel diagramma. Le equazioni delle curvature del filo sono $y^{2} - 8 x - 6 y + 25 = 0$ e $x = 0$ . Trova la grandezza della forza (in Newton) che agisce su uno dei fili dovuto all’altro.

Filo $i_{1} = 2 A$ lungo $x = 0$ e filo $i_{2} = 3 A$ dopo $y^{2} - 8 x - 6 y + 25 = 0$ ; distanze in metri.

Nota: i fili portanti corrente sono rigidamente fissati. Le unità di distanza del grafico devono essere prese in metri.

Fonte: Testo (PDF) — p.17

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Biot-Savart Law, Lorentz Force Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire

Hiking in Mountains. Mountains have two sides: windward and leeward. The windward side faces the wind and typically receives warm, moist air, often from an ocean. As wind hits a mountain, it is forced upward and begins to move towards the leeward side. During social distancing, Rishab decides to cross a mountain from the windward side to the leeward side of the mountain. What he finds is that the air around him has warmed when he is on the leeward side of the mountain.

Let us investigate this effect. Consider the warm, moist air mass colliding with the mountain and moving upwards on the mountain. Disregard heat exchange with the air mass and the mountain. Let the humidity of the air on the windward side correspond to a partial vapor pressure $0.5 kPa$ at $100.2 kPa$ and have a molar mass of $μ_{a} = 28 g/mole$ . The air predominantly consists of diatomic molecules of oxygen and nitrogen. Assume the mountain to be very high which means that at the very top of the mountain, all of the moisture in the air condenses and falls as precipitation. Let the precipitation have a heat of vaporization $L = 2.4 \cdot 1 0^{6} J/kg$ and molar mass $μ_{p} = 18.01 g/mole$ . Calculate the total change in temperature from the windward side to the leeward side in degrees Celsius.

Fonte: Testo (PDF) — p.17

Topic: Thermodynamics, Earth & Environmental Science Metodi: First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas

Le montagne hanno due lati: verso il vento e verso il levante. Il lato verso il vento è rivolto al vento e riceve tipicamente aria calda e umida, spesso proveniente da un oceano. Quando il vento colpisce una montagna, viene forzata verso l’alto e inizia a muoversi verso il lato di fondo. Durante la distanza sociale, Rishab decide di attraversare un monte dal lato a vento al lato a scia del monte. Quello che scopre è che l’aria intorno a lui si è riscaldata quando si trova sul lato di fondo della montagna.

Esaminiamo questo effetto. Considerate la massa di aria calda e umida che colpisce la montagna e si muove verso l’alto. Ignorate lo scambio di calore con la massa dell’aria e la montagna. L’umidità dell’aria sul lato verso il vento corrisponde a una pressione parziale di vapore $0.5 kPa$ a $100.2 kPa$ e ha una massa molare di $μ_{a} = 28 g/mole$ . L’aria è costituita prevalentemente da molecole diatomiche di ossigeno e azoto. Supponiamo che la montagna sia molto alta, il che significa che in cima alla montagna, tutta l’umidità nell’aria si condensa e cade come precipitazione. Lasciate che le precipitazioni abbiano un calore di vaporizzazione $L = 2.4 \cdot 1 0^{6} J/kg$ e una massa molare $μ_{p} = 18.01 g/mole$ . Calcolare il cambiamento totale di temperatura dal lato verso il vento al lato verso il leeward in gradi Celsius.

Fonte: Testo (PDF) — p.17

Me and my Crush. Two electrons are in a uniform electric field $E = E_{0} \overset{z}{^}$ where $E_{0} = 1 0^{- 11} N/C$ . One electron is at the origin, and another is $10 m$ above the first electron. The electron at the origin is moving at $u = 10 m/s$ at an angle of $3 0^{\circ}$ from the line connecting the electrons at $t = 0$ , while the other electron is at rest at $t = 0$ . Find the minimum distance between the electrons. You may neglect relativistic effects.

Two electrons in a uniform upward field; the lower one moves at angle $θ$ from the line joining them.

Fonte: Testo (PDF) — p.18

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Conservation of Energy, Conservation of Momentum Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron

Io e il mio Crush. Due elettroni sono in un campo elettrico uniforme $E = E_{0} \overset{z}{^}$ dove $E_{0} = 1 0^{- 11} N/C$ . Un elettrone è all’origine, e un altro è $10 m$ sopra il primo elettrone. L’elettrone all’origine si muove a $u = 10 m/s$ ad un angolo di $3 0^{\circ}$ dalla linea che collega gli elettroni a $t = 0$ , mentre l’altro elettrone è a riposo a $t = 0$ . Trova la distanza minima tra gli elettroni. Potresti trascurare gli effetti relativistici.

Due elettroni in un campo uniforme verso l’alto; quello inferiore si muove ad angolo $θ$ dalla linea che li unisce.

Fonte: Testo (PDF) — p.18

Can’t or can. Consider a long uniform conducting cylinder. First, we divide the cylinder into thirds and remove the middle third. Then, we perform the same steps on the remaining two cylinders. Again, we perform the same steps on the remaining four cylinders and continuing until there are 2048 cylinders.

We then connect the terminals of the cylinder to a battery and measure the effective capacitance to be $C_{1}$ . If we continue to remove cylinders, the capacitance will reach an asymptotic value of $C_{0}$ . What is $C_{1} / C_{0}$ ?

You may assume each cylindrical disk to be wide enough to be considered as an infinite plate, such that the radius $R$ of the cylinders is much larger than the $d$ between any successive cylinders.

Note: The diagram is not to scale.

Stages of the iterated removal of the middle third of conducting cylinders.

Fonte: Testo (PDF) — p.18

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction, Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder, Battery, Capacitor

Non può o non può. Considera un cilindro conduttore uniforme lungo. Prima dividiamo il cilindro in terzi e rimuoviamo il terzo medio. Quindi, eseguiamo gli stessi passi sui restanti due cilindri. Ancora una volta, eseguiamo gli stessi passi sui quattro cilindri rimanenti e continuiamo fino a quando ci saranno 2048 cilindri.

Quindi colleghiamo i terminali del cilindro a una batteria e misuriamo la capacità effettiva a $C_{1}$ . Se continuiamo a rimuovere i cilindri, la capacità raggiungerà un valore asimptotico di $C_{0}$ . Che cos’è $C_{1} / C_{0}$ ?

Si può presumere che ogni disco cilindrico sia abbastanza largo da essere considerato come una piastra infinita, in modo che il raggio $R$ dei cilindri sia molto più grande del $d$ tra i cilindri successivi.

Nota: il diagramma non è scalabile.

Fase della rimozione iterata del terzo medio dei cilindri conduttori.

Fonte: Testo (PDF) — p.18

Mom Trust the Physics! A square based pyramid (that is symmetrical) is standing on top of a cube with side length $ℓ = 10 cm$ such that their square faces perfectly line up. The cube is initially standing still on flat ground and both objects have the same uniform density. The coefficient of friction between every surface is the same value of $μ = 0.3$ . The cube is then given an initial speed $v$ in some direction parallel to the floor. What is the maximum possible value of $v$ such that the base of the pyramid will always remain parallel to the top of the cube? Answer in meters per second.

A symmetric square-based pyramid resting on a cube of side $ℓ = 10 cm$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.19

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Block

Una piramide a base quadrata (che è simmetrica) si trova in cima a un cubo con lunghezza laterale $ℓ = 10 cm$ in modo che le loro facce quadrate siano perfettamente allineate. Il cubo è inizialmente fermo su terreno piatto e entrambi gli oggetti hanno la stessa densità uniforme. Il coefficiente di attrito tra ogni superficie è lo stesso di $μ = 0.3$ . Il cubo viene quindi dato una velocità iniziale $v$ in una direzione parallela al pavimento. Qual è il valore massimo possibile di $v$ tale che la base della piramide rimanga sempre parallela alla parte superiore del cubo? Rispondi in metri al secondo.

Una piramide a base quadrata simmetrica appoggiata su un cubo laterale $ℓ = 10 cm$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.19

FBI Open Up! During quarantine, the FBI has been monitoring a young physicists suspicious activities. After compiling weeks worth of evidence, the FBI finally has had enough and searches his room.

The room’s door is opened with a high angular velocity about its hinge. Over a very short period of time, its angular velocity increases to $ω = 8.56 rad/s$ due to the force applied at the end opposite from the hinge. For simplicity, treat the door as a uniform thin rod of length $L = 1.00 m$ and mass $M = 9.50 kg$ . The hinge (pivot) is located at one end of the rod. Ignore gravity. At what distance from the hinge of the door is the door most likely to break? Assume that the door will break at where the bending moment is largest. (Answer in metres.)

Door modeled as a uniform rod pivoted at the hinge, with force $F$ applied at the far end and angular velocity $ω$ ; break point at distance $x$ from the hinge.

Fonte: Testo (PDF) — p.19

Topic: Rotational Dynamics, Elasticity & Materials Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod

Durante la quarantena, l’FBI ha monitorato le attività sospette di un giovane fisico. Dopo aver raccolto prove di settimane, l’FBI ha finalmente avuto abbastanza e perquisisce la sua stanza.

La porta della stanza si apre con una velocità angolare alta intorno alla sua cerniera. In un periodo molto breve, la sua velocità angolare aumenta a $ω = 8.56 rad/s$ a causa della forza applicata all’estremità opposta alla cerniera. Per semplificazione, trattare la porta come una barra sottile uniforme di lunghezza $L = 1.00 m$ e massa $M = 9.50 kg$ . La cerniera (pivot) si trova ad una estremità della canna. Ignora la gravità. A che distanza dalla cerniera della porta è più probabile che la porta si spezzi? Supponiamo che la porta si spezzi al momento in cui il momento di piegatura è più grande. (Risposizione in metri)

Porta modellata come una barra uniforme rotata alla cerniera, con forza $F$ applicata all’estremità lontana e velocità angolare $ω$ ; punto di rottura a distanza $x$ dalla cerniera.

Fonte: Testo (PDF) — p.19

Pappu’s Half Disk. A solid half-disc of mass $m = 1 kg$ in the shape of a semi-circle of radius $R = 1 m$ is kept at rest on a smooth horizontal table. QiLin starts applying a constant force of magnitude $F = 10 N$ at point $A$ as shown, parallel to its straight edge. What is the initial linear acceleration of point $B$ ? (Answer in $m/s^{2}$ )

Top-down view of a semicircular half-disc of radius $R$ ; force $F$ applied at $A$ parallel to the straight edge $A B$ , center $O$ .

Note: the diagram above is a top down view.

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Disk

Medi disco di Pappu. Un semidi disco solido di massa $m = 1 kg$ a forma di semicircolo di raggio $R = 1 m$ è tenuto in riposo su una tavola orizzontale liscia. QiLin inizia ad applicare una forza costante di magnitudo $F = 10 N$ al punto $A$ come mostrato, parallelo al suo bordo retto. Qual è l’accelerazione lineare iniziale del punto $B$ ? (Riposta in $m/s^{2}$ )

Vista verso l’alto di un semicircolo di mezzo disco di raggio $R$ ; forza $F$ applicata a $A$ parallela al bordo retto $A B$ , centro $O$ .

Nota: il diagramma sopra è una vista da cima a basso.

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Don’t Fall. A regular tetrahedron of mass $m = 1 g$ and unknown side length is balancing on top of a hemisphere of mass $M = 100 kg$ and radius $R = 100 m$ . The hemisphere is placed on a flat surface such that it is at its lowest potential. For a certain value of the length of the regular tetrahedron, the oscillations become unstable. What is this side length of the tetrahedron?

A regular tetrahedron $m$ balanced on top of a hemisphere $M$ of radius $R$ resting on flat ground.

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Topic: Rigid Body Statics, Oscillations & Waves Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere

Non cadere. Un tetraedro regolare di massa $m = 1 g$ e lunghezza laterale sconosciuta si sta bilanciando sopra un emisfero di massa $M = 100 kg$ e raggio $R = 100 m$ . L’emisfero è posizionato su una superficie piatta in modo tale che sia al suo potenziale più basso. Per un certo valore della lunghezza del tetraedro regolare, le oscillazioni diventano instabili. Qual è questa lunghezza laterale del tetraedro?

Un tetraedro regolare $m$ equilibrato sulla parte superiore di un emisfero $M$ di raggio $R$ che riposa su terreno piatto.

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Heartbreak. A planet has a radius of $10 km$ and a uniform density of $5 g/cm^{3}$ . A powerful bomb detonates at the center of the planet, releasing $8.93 \times 1 0^{17} J$ of energy, causing the planet to separate into three large sections each with equal masses. You may model each section as a perfect sphere of radius $r^{'}$ . The initial and final distances between the centers of any two given sections is $2 r^{'}$ . How long does it take for the three sections to collide again?

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Topic: Gravitation, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Sphere

Heartbreak. Un pianeta ha un raggio di $10 km$ e una densità uniforme di $5 g/cm^{3}$ . Una potente bomba esplode al centro del pianeta, rilasciando $8.93 \times 1 0^{17} J$ di energia, causando la separazione del pianeta in tre grandi sezioni ognuna con uguali masse. È possibile modellare ogni sezione come una sfera perfetta di raggio $r^{'}$ . Le distanze iniziali e finali tra i centri di due sezioni date sono $2 r^{'}$ . Quanto ci vuole per farsi incontrare di nuovo?

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Hot or Not. THIS QUESTION HAS BEEN REMOVED FROM THE EXAM.

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.20 Objects: —

Cazzo o no. QUESTIONE È stata rimossa dall’esame.

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.20 Objects: —

Sandwiched! A point charge $+ q$ is placed a distance $a$ away from an infinitely large conducting plate. The force of the electrostatic interaction is $F_{0}$ . Then, an identical conducting plate is placed a distance $3 a$ from the charge, parallel to the first one such that the charge is “sandwiched in.” The new electrostatic force the particle feels is $F^{'}$ . What is $F^{'} / F_{0}$ ? Round to the nearest hundredths.

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge

Sandwiched! Una carica di punto $+ q$ viene posta a una distanza $a$ da una piastra conduttrice infinitamente grande. La forza dell’interazione elettrostatica è $F_{0}$ . Poi, una piastra conduttrice identica viene posta a una distanza $3 a$ dalla carica, parallela alla prima tale che la carica sia “infiancata”. La nuova forza elettrostatica che la particella sente è $F^{'}$ . Che cos’è $F^{'} / F_{0}$ ? - Rondo al centesimo più vicino.

Fonte: Testo (PDF) — p.20

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge

The following information applies to the next three problems. Jerry spots a truckload of his favourite golden yellow Swiss cheese being transported on a cart moving at a constant velocity $v_{0} = 5 m/s \hat{i}$ along the $x$ -axis, which is initially placed at $(0, 0)$ . Jerry, driven by desire immediately starts pursuing the cheese-truck in such a way that his velocity vector always points towards the cheese-truck; however, Jerry is smart and knows that he must maintain a constant distance $ℓ = 10 m$ from the truck to avoid being caught by anyone, no matter what. Note that Jerry starts at coordinates $(0, ℓ)$ .

Tom and Jerry 1. Let the magnitude of velocity (in m/s) and acceleration (in $m/s^{2}$ ) of Jerry at the moment when the (acute) angle between the two velocity vectors is $θ = 6 0^{\circ}$ be $α$ and $β$ respectively. Compute $α^{2} + β^{2}$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.21

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart

Le seguenti informazioni si applicano ai seguenti tre problemi. Jerry vede un camion carico del suo formaggio giallo dorato svizzero preferito trasportato su un carrello che si muove a velocità costante $v_{0} = 5 m/s \hat{i}$ lungo l’asse $x$ , che è inizialmente posto a $(0, 0)$ . Jerry, guidato dal desiderio, inizia immediatamente a inseguire il furgone di formaggio in modo tale che il suo vettore di velocità punta sempre verso il furgone di formaggio; tuttavia, Jerry è intelligente e sa che deve mantenere una distanza costante $ℓ = 10 m$ dal furgone per evitare di essere catturato da nessuno, non importa cosa. Si noti che Jerry inizia alle coordinate $(0, ℓ)$ .

Tom e Jerry 1. Lascia che la magnitudine della velocità (in m/s) e dell’accelerazione (in $m/s^{2}$ ) di Jerry al momento in cui l’angolo (aguto) tra i due vettori di velocità è $θ = 6 0^{\circ}$ sia $α$ e $β$ rispettivamente. Calcolare $α^{2} + β^{2}$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.21

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart

Tom and Jerry 2. At a certain instant during Jerry’s motion, when his distance from the $x$ -axis is $2 m$ , let his distance from the $y$ -axis be $ξ$ (in metres), and let his speed at $t = 1$ second be $ψ$ m/s. Compute $ξ^{2} + ψ^{2}$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.21

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Differential Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart

Tom e Jerry 2. In un certo istante del movimento di Jerry, quando la sua distanza dall’asse $x$ è $2 m$ , la sua distanza dall’asse $y$ deve essere $ξ$ (in metri), e la sua velocità a $t = 1$ secondo deve essere $ψ$ m/s. Calcolare $ξ^{2} + ψ^{2}$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.21

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Differential Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart

Tom and Jerry 3. Tom spots Jerry’s footprints in the mud after Jerry has already travelled a distance $ℓ = 10 m$ towards the cheese truck. He starts moving at a constant speed of $5 m/s$ (except for a very large acceleration at the start, a result of his dislike for Jerry) along Jerry’s trail. Alas, as is destined, he will never be able to catch Jerry. After a long period of time, what will be the separation between them? (in meters) Assume that Tom and Jerry have the energy to maintain their velocities for a very long period of time. Tom starts chasing Jerry from the same place Jerry started running towards the cheese truck.

Fonte: Testo (PDF) — p.21

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Differential Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart

Tom vede le impronte di Jerry nel fango dopo che Jerry ha già percorso una distanza di $ℓ = 10 m$ verso il furgone del formaggio. Comincia a muoversi a una velocità costante di $5 m/s$ (ad eccezione di un’accelerazione molto grande all’inizio, risultato della sua dispettività per Jerry) lungo la pista di Jerry. Purtroppo, come è destinato, non riuscirà mai a catturare Jerry. Dopo un lungo periodo di tempo, cosa sarà la separazione tra di loro? Supponiamo che Tom e Jerry abbiano l’energia di mantenere la loro velocità per un lungo periodo di tempo. Tom inizia a inseguire Jerry dallo stesso posto dove Jerry ha iniziato a correre verso il furgone del formaggio.

Fonte: Testo (PDF) — p.21

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Differential Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart

Ghoster Coaster. A frictionless track contains a loop of radius $R = 0.5 m$ . Situated on top of the track lies a small ball of mass $m = 2 kg$ at a height $h$ . It is then dropped and collides with another ball of mass $M = 5 kg$ .

The coefficient of restitution for this collision is given as $e = \frac{1}{2}$ . Now consider a different alternative. Now let the circular loop have a uniform coefficient of friction $μ = 0.6$ , while the rest of the path is still frictionless. Assume that the balls can once again collide with a restitution coefficient of $e = \frac{1}{2}$ . Considering the balls to be point masses, find the minimum $h$ such that the ball of mass $M$ would be able to move all the way around the loop. Both balls can be considered as point masses.

Fonte: Testo (PDF) — p.21

Topic: Conservation of Energy, Conservation of Momentum Metodi: Energy Conservation Method, Conservation of Momentum, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball

Ghoster Coaster. Una pista senza attrito contiene un ciclo di raggio $R = 0.5 m$ . In cima alla pista si trova una piccola palla di massa $m = 2 kg$ ad un’altezza $h$ . Il calcio è quindi scaricato e colpito con un’altra sfera di massa $M = 5 kg$ .

Il coefficiente di restituzione per questa collisione è indicato come $e = \frac{1}{2}$ . Ora consideriamo un’alternativa diversa. Ora, lasciate che il ciclo circolare abbia un coefficiente uniforme di attrito $μ = 0.6$ , mentre il resto del percorso è ancora senza attrito. Supponiamo che le palle possano di nuovo colpire con un coefficiente di restituzione di $e = \frac{1}{2}$ . Considerando che le palle siano masse puntate, trovare il minimo $h$ in modo che la palla di massa $M$ sia in grado di muoversi tutta intorno al circuito. Entrambe le palle possono essere considerate come masse puntate.

Fonte: Testo (PDF) — p.21

Galactic Games. Two astronauts, Alice and Bob, are standing inside their cylindrical spaceship, which is rotating at an angular velocity $ω$ clockwise around its axis in order to simulate the gravitational acceleration $g$ on earth. The radius of the spaceship is $R$ . For this problem, we will only consider motion in the plane perpendicular to the axis of the spaceship. Let point $O$ be the center of the spaceship. Initially, an ideal zero-length spring has one end fixed at point $O$ , while the other end is connected to a mass $m$ at the “ground” of the spaceship, where the astronauts are standing (we will call this point $A$ ). From the astronauts’ point of view, the mass remains motionless.

Next, Alice fixes one end of the spring at point $A$ , and attaches the mass to the other end at point $O$ . Bob starts at point $A$ , and moves an angle $θ$ counterclockwise to point $B$ (such that $A O B$ is an isosceles triangle). At time $t = 0$ , the mass at point $O$ is released. Given that the mass comes close enough for Bob to catch it, find the value of $θ$ to the nearest tenth of a degree.

Assume that the only force acting on the mass is the spring’s tension, and that the astronauts’ heights are much less than $R$ .

Cross-section of the rotating spaceship: center $O$ , ground point $A$ , and Bob’s position $B$ at angle $θ$ from $A$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.22

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Differential Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Cylinder

Due astronauti, Alice e Bob, sono all’interno della loro nave spaziale cilindrica, che ruota a velocità angolare $ω$ in senso orario attorno al suo asse per simulare l’accelerazione gravitazionale $g$ sulla terra. Il raggio di radio della nave spaziale è $R$ . Per questo problema, consideriamo solo il movimento nel piano perpendicolare all’asse della nave spaziale. Il punto $O$ sia il centro della nave spaziale. Inizialmente, una molla ideale di lunghezza zero ha una estremità fissata al punto $O$ , mentre l’altra è collegata a una massa $m$ al “piano” della nave spaziale, dove gli astronauti sono in piedi (chiameremo questo punto $A$ ). Dal punto di vista degli astronauti, la massa rimane immobile.

In seguito, Alice fissa una estremità della molla al punto $A$ e attacca la massa all’altra estremità al punto $O$ . Bob inizia al punto $A$ , e muove un angolo $θ$ in senso contrario all’orologio al punto $B$ (in modo che $A O B$ sia un triangolo di uguali braccia). Al momento $t = 0$ , la massa al punto $O$ viene rilasciata. Dato che la massa si avvicina abbastanza per Bob per catturarla, trovare il valore di $θ$ al decimo più vicino di un grado.

Supponiamo che l’unica forza che agisce sulla massa sia la tensione della molla, e che le altezze degli astronauti siano molto inferiori a $R$ .

Sezione trasversale della nave spaziale in rotazione: centro $O$ , punto di terra $A$ e posizione di Bob $B$ all’angolo $θ$ da $A$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.22

Cramped Up. Consider an LC circuit with one inductor and one capacitor. The amplitude of the charge on the plates of the capacitor is $Q = 10 C$ and the two plates are initially at a distance $d = 1 cm$ away from each other. The plates are then slowly pushed together to a distance $0.5 cm$ from each other. Find the resultant amplitude of charge on the parallel plates of the capacitor after this process is completed. Note that the initial current in the circuit is zero and assume that the plates are grounded.

Fonte: Testo (PDF) — p.22

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Inductor

Cramped Up. Considera un circuito LC con un induttore e un condensatore. L’ampiezza della carica sulle lastre del condensatore è $Q = 10 C$ e le due lastre sono inizialmente a distanza $d = 1 cm$ l’una dall’altra. Le lastre vengono poi spinte lentamente insieme a una distanza $0.5 cm$ l’una dall’altra. Trova l’ampiezza di carica risultante sulle piastre parallele del condensatore dopo il completamento di questo processo. Si noti che la corrente iniziale nel circuito è zero e si supponga che le lastre siano a terra.

Fonte: Testo (PDF) — p.22

I knew I should’ve stayed home today. A bicycle wheel of mass $M = 2.8 kg$ and radius $R = 0.3 m$ is spinning with angular velocity $ω = 5 rad/s$ around its axis in outer space, and its center is motionless. Assume that it has all of its mass uniformly concentrated on the rim. A long, massless axle is attached to its center, extending out along its axis. A ball of mass $m = 1.0 kg$ moves at velocity $v = 2 m/s$ parallel to the plane of the wheel and hits the axle at a distance $h = 0.5 m$ from the center of the wheel. Assume that the collision is elastic and instantaneous, and that the ball’s trajectory (before and after the collision) lies on a straight line.

A spinning bicycle wheel ( $ω$ ) with a massless axle; a ball of velocity $v$ strikes the axle at distance $h$ from the wheel’s center.

Find the time it takes for the axle to return to its original orientation. Answer in seconds and round to three significant figures.

Fonte: Testo (PDF) — p.23

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wheel, Ball

I knew I should’ve stayed home today. A bicycle wheel of mass $M = 2.8 kg$ and radius $R = 0.3 m$ is spinning with angular velocity $ω = 5 rad/s$ around its axis in outer space, and its center is motionless. Supponiamo che abbia tutta la sua massa uniformemente concentrata sul bordo. Un lungo asse senza massa è attaccato al suo centro, che si estende lungo il suo asse. Una palla di massa $m = 1.0 kg$ si muove a velocità $v = 2 m/s$ parallela al piano della ruota e colpisce l’asse a una distanza $h = 0.5 m$ dal centro della ruota. Supponiamo che la collisione sia elastica e istantanea, e che la traiettoria della palla (prima e dopo la collisione) sia in linea retta.

Una ruota di bicicletta a rotazione ( $ω$ ) con asse senza massa; una palla di velocità $v$ colpisce l’asse a distanza $h$ dal centro della ruota.

Trova il tempo necessario per che l’asse ritorni alla sua orientamento originale. Rispondi in secondi e completa tre cifre significative.

Fonte: Testo (PDF) — p.23

Fun with a String. A child attaches a small rock of mass $M = 0.800 kg$ to one end of a uniform elastic string of mass $m = 0.100 kg$ and natural length $L = 0.650 m$ . He grabs the other end and swings the rock in uniform circular motion around his hand, with angular velocity $ω = 6.30 rad/s$ . Assume his hand is stationary, and that the elastic string behaves like a spring with spring constant $k = 40.0 N/m$ . After that, at time $t = 0$ , a small longitudinal perturbation starts from the child’s hand, traveling towards the rock. At time $t = T_{0}$ , the perturbation reaches the rock. How far was the perturbation from the child’s hand at time $t = \frac{T _{0}}{2}$ ? Ignore gravity.

Fonte: Testo (PDF) — p.23

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Wave Equation, Hooke’s Law, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: String, Spring

Fun with a String. Un bambino attacca una piccola roccia di massa $M = 0.800 kg$ ad una estremità di una corda elastica uniforme di massa $m = 0.100 kg$ e lunghezza naturale $L = 0.650 m$ . Aggrappa l’altra estremità e agita la roccia in movimento circolare uniforme intorno alla mano, con velocità angolare $ω = 6.30 rad/s$ . Supponiamo che la mano sia stazionaria e che la corda elastica si comporti come una molla con costante molla $k = 40.0 N/m$ . Dopo di che, al tempo $t = 0$ , una piccola perturbazione longitudinale inizia dalla mano del bambino, che si dirige verso la roccia. Al tempo $t = T_{0}$ , la perturbazione raggiunge la roccia. Quanto è lontano la perturbazione dalla mano del bambino al momento $t = \frac{T _{0}}{2}$ ? Ignora la gravità.

Fonte: Testo (PDF) — p.23

When Rocket Scientists Play Catch. During the cold war, there was tension between the USSR and the U.S. But now, contrary to popular belief, American and Russian astronauts pass time by hanging out, enjoying the view from the moon, and even playing catch by launching projectiles at each other:

A projectile is launched with a speed $v_{0} = 2200 m/s$ from the North Pole to the South Pole of a moon with radius $r_{0} = 1.7 \times 1 0^{6} m$ and $M = 7.4 \times 1 0^{22} kg$ . How long does the flight take? Answer in seconds.

Fonte: Testo (PDF) — p.24

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Projectile, Planet

Durante la guerra fredda, c’era una tensione tra l’URSS e gli Stati Uniti. Ma ora, contrariamente alla credenza popolare, gli astronauti americani e russi passano il tempo a uscire, a godersi la vista dalla luna e addirittura a giocare a catturare lanciando proiettili l’uno contro l’altro:

Un proiettile viene lanciato con una velocità $v_{0} = 2200 m/s$ dal polo nord al polo sud di una luna con raggio $r_{0} = 1.7 \times 1 0^{6} m$ e $M = 7.4 \times 1 0^{22} kg$ . Quanto tempo ci vuole per il volo? Rispondi in pochi secondi.

Fonte: Testo (PDF) — p.24

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Projectile, Planet

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