OPhO 2023 — Invitational Experimental

What condition needs to be satisfied for $σ$ , $ρ$ , $β$ in order for the ODE to be stable (i.e. bounded orbits)? Where are the attractors located?

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Topic: Mathematics, Newtonian Mechanics Metodi: Differential Equations, Experimental Data Analysis, Calculus-Integration Competenze: Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling, Graph Linearization Objects: —

Quali condizioni devono essere soddisfatte per $σ$ , $ρ$ , $β$ per garantire la stabilità dell’ODE (cioè orbite limitate)? Dove sono i centri attractors?

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Suppose you change the parameter $ρ$ slightly above its original value, and keep $σ$ and $β$ at their original values. How does the system behavior change? In particular, how does the position of the attractors change, and what happens to the system’s stability?

Now suppose you keep $ρ$ at its original value, and change $σ$ and $β$ to values slightly different from their original ones. Again, describe the changes in the system behavior, the position of the attractors, and the system’s stability.

To analyze how chaotic a system is, we often use the Lyapunov exponent. Let us consider two trajectories of a dynamical system that start at slightly different initial conditions. We denote the state of the first trajectory at time $t$ as $r (t) = [x (t), y (t), z (t)]$ , and the state of the second trajectory as $r (t) + δ r (t)$ , where $δ$ is a small perturbation.

The distance between both trajectories can be represented as $d (t) = ∥ δ r (t)∥$ . If the system is sensitive to initial conditions, then over time $d (t)$ will grow or shrink at an exponential rate. Therefore, we can write

d (t) \approx d (0) e^{λ t}

where $λ$ is the Lyapunov exponent. Here we assume that $d (0)$ is small enough so that an exponential approximation can be taken. Then, by taking natural logarithms, we find that the Lyapunov exponent can be written as

λ = t \to \infty lim \frac{1}{t} ln (\frac{d ( t )}{d ( 0 )})

As $r \in R^{3}$ for the Lorenz system, there will be 3 Lyapunov exponents ${λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}}$ that characterize the system in all 3 directions. We are typically most interested in the Maximum Lyapunov Exponent (MLE), as it tells us a lot about the system itself.

If the Lyapunov exponent is positive ( $λ > 0$ ), the trajectories are diverging on average (as $e^{λ t} \to \infty$ ) and the system is chaotic.
If it is negative ( $λ < 0$ ), the trajectories are converging on average (as $e^{- λ t} \to 0$ ) and the system is stable.
If it is zero ( $λ = 0$ ), the trajectories neither converge nor diverge on average (as $e^{0} = 1$ ), indicating a neutral or marginally periodic stable system.

Below, we show a plot for an unrelated system and its behavior for the corresponding MLE.

Behavior of an unrelated system for the corresponding MLE: steady state, periodic state, and chaotic state.

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Supponi di aumentare leggermente il parametro $ρ$ rispetto al suo valore originale, mantenendo $σ$ e $β$ ai loro valori originali. Come cambia il comportamento del sistema? In particolare, come cambia la posizione degli attrattori e che cosa succede alla stabilità del sistema?

Supponi ora di mantenere $ρ$ al suo valore originale e di modificare $σ$ e $β$ a valori leggermente diversi da quelli originali. Anche in questo caso, descrivi le variazioni del comportamento del sistema, la posizione degli attrattori e la stabilità del sistema.

Per analizzare quanto sia caotico un sistema, si usa spesso l’esponente di Lyapunov. Consideriamo due traiettorie di un sistema dinamico che partono da condizioni iniziali leggermente diverse. Indichiamo lo stato della prima traiettoria al tempo $t$ con $r (t) = [x (t), y (t), z (t)]$ , e lo stato della seconda traiettoria con $r (t) + δ r (t)$ , dove $δ$ è una piccola perturbazione.

La distanza tra le due traiettorie può essere rappresentata come $d (t) = ∥ δ r (t)∥$ . Se il sistema è sensibile alle condizioni iniziali, allora nel tempo $d (t)$ crescerà o diminuirà a un ritmo esponenziale. Possiamo quindi scrivere

d (t) \approx d (0) e^{λ t}

dove $λ$ è l’esponente di Lyapunov. Qui assumiamo che $d (0)$ sia abbastanza piccolo da poter adottare un’approssimazione esponenziale. Prendendo poi i logaritmi naturali, troviamo che l’esponente di Lyapunov può essere scritto come

λ = t \to \infty lim \frac{1}{t} ln (\frac{d ( t )}{d ( 0 )})

Poiché $r \in R^{3}$ per il sistema di Lorenz, vi saranno 3 esponenti di Lyapunov ${λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}}$ che caratterizzano il sistema in tutte e 3 le direzioni. Di solito siamo interessati soprattutto al massimo esponente di Lyapunov (MLE), poiché ci dice molto sul sistema stesso.

Se l’esponente di Lyapunov è positivo ( $λ > 0$ ), le traiettorie divergono in media (poiché $e^{λ t} \to \infty$ ) e il sistema è caotico.
Se è negativo ( $λ < 0$ ), le traiettorie convergono in media (poiché $e^{- λ t} \to 0$ ) e il sistema è stabile.
Se è nullo ( $λ = 0$ ), le traiettorie in media non convergono né divergono (poiché $e^{0} = 1$ ), indicando un sistema neutro o marginalmente periodico stabile.

Di seguito mostriamo un grafico per un sistema non correlato e il suo comportamento per il corrispondente MLE.

Behavior of an unrelated system for the corresponding MLE: steady state, periodic state, and chaotic state.

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Compute the Maximal Lyapunov Exponent (MLE) for a Lorenz system with these parameters:

$σ = 15.6$
$ρ = 35.4$
$β = 3.13$

What does this imply about the system? See if you can estimate uncertainties!

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Calcolare l’Esponente massimo di Lyapunov (MLE) per un sistema di Lorenz con questi parametri:

$σ = 15.6$
$ρ = 35.4$
$β = 3.13$

Cosa implica questo per il sistema? Vedi se riesci a valutare le incertezze!

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Call $T_{m a x}$ the maximal time for when a simulation is accurate to 99% of reality. A simulation is characterized by the specific numerical solver and the time step $d t$ .

Using rk4_step, estimate $T_{m a x}$ at various values of $d t$ , given the initial point of $(1, 1, 1)$ . Make a plot. Then do the same thing with rk2_step. What differences do you notice?

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Chiamare $T_{m a x}$ il tempo massimo per quando una simulazione è accurata al 99% della realtà. Una simulazione è caratterizzata dal solvente numerico specifico e dal passo temporale $d t$ .

Utilizzando rk4_step, stima $T_{m a x}$ a vari valori di $d t$ , data la data iniziale di $(1, 1, 1)$ . Facciamo un complotto. Allora fai lo stesso con rk2_step. Quali differenze notate?

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Let $σ = 10$ , $ρ = 28$ , $β = 8/3$ . What is the average angular frequency $ω_{0}$ ? Report with uncertainty. How does this change with position?

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Si possono utilizzare $σ = 10$ , $ρ = 28$ , $β = 8/3$ . Qual è la frequenza angolare media $ω_{0}$ ? Segna con incertezza. Come cambia questo con la posizione?

Fonte: Testo (PDF) — p.5

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