OPhO 2023 — Open

Coin Flip 1. The coin flip has long been recognized as a simple and unbiased method to randomly determine the outcome of an event. In the case of an ideal coin, it is well-established that each flip has an equal $50%$ chance of landing as either heads or tails.

However, coin flips are not entirely random. They appear random to us because we lack sufficient information about the coin’s initial conditions. If we possessed this information, we would always be able to predict the outcome without needing to flip the coin. For an intriguing discussion on why this observation is significant, watch this video by Vsauce.

Now, consider a scenario where a coin with uniform density and negligible width is tossed directly upward from a height of $h = 0.75$ m above the ground. The coin starts with its heads facing upward and is given an initial vertical velocity of $v_{y} = 49$ m/s and a positive angular velocity of $ω = π$ rad/s. What face does the coin display upon hitting the ground? Submit 0 for heads and 1 for tails. You only have one attempt for this problem. Assume the floor is padded and it absorbs all of the coin’s energy upon contact. The radius of the coin is negligible.

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Kinematic Equations, Simple Harmonic Motion Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Disk

Il coin flipping è stato riconosciuto da tempo come un metodo semplice e imparziale per determinare casualmente l’esito di un evento. Nel caso di una moneta ideale, è ben noto che ogni flip ha una probabilità di atterraggio uguale $50%$ come testa o coda.

Tuttavia, le lanciate di moneta non sono del tutto casuali. A noi sembrano casuali perché non abbiamo abbastanza informazioni sulle condizioni iniziali della moneta. Se possedessimo queste informazioni, saremmo sempre in grado di prevedere il risultato senza dover girare la moneta. Per una interessante discussione sul perché questa osservazione sia significativa, guardate questo video di Vsauce.

Ora, considerate uno scenario in cui una moneta con densità uniforme e larghezza trascurabile viene gettata direttamente verso l’alto da un’altezza di $h = 0.75$ m sopra il terreno. La moneta inizia con la testa rivolta verso l’alto e riceve una velocità verticale iniziale di $v_{y} = 49$ m/s e una velocità angolare positiva di $ω = π$ rad/s. Che faccia mostra la moneta quando colpisce il terreno? Inviare 0 per le teste e 1 per le code. Per questo problema si deve fare solo un tentativo. Supponiamo che il pavimento sia imbottito e assorba tutta l’energia della moneta al contatto. Il raggio della moneta è trascurabile.

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Coin Flip 2. A coin of uniform mass density with a radius of $r = 1$ cm is initially at rest and is released from a slight tilt of $θ = 8°$ onto a horizontal surface with an infinite coefficient of static friction. The coin has a thicker rim, allowing it to drop and rotate on one point. With every collision, the coin switches pivot points on the rim, and energy is dissipated through heat so that $k = 0.9$ of the coin’s prior total energy is conserved. How long will it take for the coin to come to a complete stop?

A cross-sectional view of the coin before release. The rim can be seen on the edges of the coin.

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Energy, Torque & Angular Momentum Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Disk

Flip Coin 2. Una moneta di densità di massa uniforme con un raggio di $r = 1$ cm è inizialmente in riposo e viene rilasciata da una leggera inclinazione di $θ = 8°$ su una superficie orizzontale con un coefficiente di attrito statico infinito. La moneta ha un bordo più spessore, che le consente di cadere e ruotare su un punto. Con ogni collisione, la moneta cambia i punti di pivot sul bordo e l’energia viene dissipata attraverso il calore in modo che $k = 0.9$ dell’energia totale precedente della moneta sia conservata. Quanto tempo ci vorrà prima che la moneta si fermi completamente?

*Una visione trasversale della moneta prima del rilascio. Il bordo è visibile sui bordi della moneta.

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Highway. Suppose all cars on a (single-lane) highway are identical. Their length is $l = 4$ m, their wheels have coefficients of friction $μ = 0.7$ , and they all travel at speed $v_{0}$ . Find the $v_{0}$ which maximizes the flow rate of cars (i.e. how many cars travel across an imaginary line per minute). Assume that they need to be able to stop in time if the car in front instantaneously stops. Disregard reaction time.

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Autostrada. Supponiamo che tutte le auto su una autostrada (a singola corsia) siano identiche. La loro lunghezza è $l = 4$ m, le loro ruote hanno coefficienti di attrito $μ = 0.7$ e tutte viaggiano a velocità $v_{0}$ . Trova il $v_{0}$ che massimizza il flusso di auto (cioè quante auto attraversano una linea immaginaria al minuto). Supponiamo che abbiano bisogno di poter fermarsi in tempo se l’auto davanti si ferma istantaneamente. Ignora il tempo di reazione.

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Spinning Around. Here is a Physoly round button badge, in which the logo is printed on the flat and rigid surface of this badge. Toss it in the air and track the motions of three points (indicated by cyan circles in the figure) separated a straight-line distance of $L = 5$ mm apart. At a particular moment, we find that these all have the same speed $V = 4$ cm/s but are heading to different directions which form an angle of $θ = 30°$ between each pair. Determine the then angular velocity of the badge (in rad/s).

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Topic: Rotational Dynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Vector Decomposition, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Disk

Rotare intorno. Ecco un distintivo a pulsante rotondo Physoly, nel quale il logo è stampato sulla superficie piatta e rigida di questo distintivo. Lanciare in aria e seguire i movimenti di tre punti (indicati da cerchi di cianuro nella figura) separati in linea retta di $L = 5$ mm. In un momento particolare, troviamo che tutti questi hanno la stessa velocità $V = 4$ cm/s ma si dirigono in direzioni diverse che formano un angolo di $θ = 30°$ tra ogni coppia. Determinare la velocità angolare del distintivo (in rad/s).

Fonte: Testo (PDF) — p.4

Topic: Rotational Dynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Vector Decomposition, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Disk

Born To Try. In a resource-limited ecological system, a population of organisms cannot keep growing forever (such as lab bacteria growing inside culture tube). The effective growth rate $g$ (including contributions from births and deaths) depends on the instantaneous abundance of resource $R (t)$ , which in this problem we will consider the simple case of linear-dependency:

$\frac{d}{d t} N = g (R) N = α R N,$

where $N (t)$ is the population size at time $t$ . The resources is consumed at a constant rate $β$ by each organism:

$\frac{d}{d t} R = - β N .$

Initially, the total amount of resources is $R_{0}$ and the population size is $N_{0}$ . Given that $α = 1 0^{- 9}$ resource-unit $^{- 1}$ s $^{- 1}$ , $β = 1$ resource-unit/s, $R_{0} = 1 0^{6}$ resource-units and $N_{0} = 1$ cell, find the total time it takes from the beginning to when all resources are depleted (in hours).

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Topic: Biology, Mathematics Metodi: Differential Equations, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

In un sistema ecologico limitato alle risorse, una popolazione di organismi non può continuare a crescere per sempre (come i batteri di laboratorio che crescono all’interno del tubo di coltura). Il tasso di crescita effettivo $g$ (inclusi i contributi da nascite e morti) dipende dall’abbondanza istantanea di risorse $R (t)$ , che in questo problema considereremo il semplice caso di dipendenza lineare:

$\frac{d}{d t} N = g (R) N = α R N,$

dove $N (t)$ è la dimensione della popolazione in tempo $t$ . Le risorse sono consumate a un tasso costante $β$ da ciascun organismo:

$\frac{d}{d t} R = - β N .$

Inizialmente, la quantità totale delle risorse è $R_{0}$ e la dimensione della popolazione è $N_{0}$ . Considerando che $α = 1 0^{- 9}$ unità di risorse $^{- 1}$ s $^{- 1}$ , $β = 1$ unità di risorse/s, $R_{0} = 1 0^{6}$ unità di risorse e cellula $N_{0} = 1$ , si trova il tempo totale necessario dall’inizio fino al momento in cui tutte le risorse sono esaurite (in ore).

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Topic: Biology, Mathematics Metodi: Differential Equations, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Lightbulb. [This problem is removed from the test.]

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.5 Objects: —

L’ampolla. [Questo problema viene rimosso dalla prova.]

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.5 Objects: —

Hyperdrive. In hyperdrive, Spaceship-0 is relativistically moving at the velocity $\frac{1}{4} c$ with respect to reference frame $R_{1}$ , as measured by Spaceship-1. Spaceship-1 is moving at $\frac{1}{4} c$ with respect to reference frame $R_{2}$ , as measured by Spaceship-2. Spaceship- $k$ is moving at speed $v_{k} = \frac{k + 1}{k + 3} c$ with respect to reference frame $R_{k + 1}$ . The speed of Spaceship-0 with respect to reference frame $R_{20}$ can be expressed as a decimal fraction of the speed of light which has only $x$ number of 9s following the decimal point (i.e., in the form of $0. x times 99 \dots 9 c$ ). Find the value of $x$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation, Approximation & Series Expansion, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Hyperdrive. In iperdrive, lo Spaceship-0 si muove relativisticamente alla velocità $\frac{1}{4} c$ rispetto al quadro di riferimento $R_{1}$ , misurato da Spaceship-1. La nave spaziale-1 si muove a $\frac{1}{4} c$ rispetto al quadro di riferimento $R_{2}$ , misurato dalla nave spaziale-2. La nave spaziale- $k$ si muove a velocità $v_{k} = \frac{k + 1}{k + 3} c$ rispetto al quadro di riferimento $R_{k + 1}$ . La velocità della nave spaziale-0 rispetto al quadro di riferimento $R_{20}$ può essere espressa come una frazione decimale della velocità della luce che ha solo $x$ numero di 9s dopo il punto decimale (cioè sotto forma di $0. x times 99 \dots 9 c$ ). Trova il valore di $x$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation, Approximation & Series Expansion, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Asteroid. The path of an asteroid that comes close to the Earth can be modeled as follows: neglect gravitational effects due to other bodies, and assume the asteroid comes in from far away with some speed $v$ and lever arm distance $r$ to Earth’s center. On January 26, 2023, a small asteroid called 2023 BU came within a distance of 3541 km to Earth’s surface with a speed of 9300 m/s. Although BU had a very small mass estimated to be about 300,000 kg, if it was much more massive, it could have hit the Earth. How massive would BU have had to have been to make contact with the Earth? Express your answer in scientific notation with 3 significant digits. Use 6357 km as the radius of the Earth. The parameters that remain constant when the asteroid mass changes are $v$ and $r$ , where $v$ is the speed at infinity and $r$ is the impact parameter.

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation Laws, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Significant Figures Objects: Planet

Asteroide. Il percorso di un asteroide che si avvicina alla Terra può essere modellato come segue: trascurare gli effetti gravitazionali dovuti ad altri corpi, e supporre che l’asteroide venga da lontano con una certa velocità $v$ e leva distanza braccio $r$ al centro della Terra. Il 26 gennaio 2023, un piccolo asteroide chiamato 2023 BU arrivò a una distanza di 3541 km dalla superficie terrestre con una velocità di 9300 m/s. Anche se la BU aveva una massa molto piccola stimata a circa 300.000 kg, se fosse molto più massiccia, avrebbe potuto colpire la Terra. Quanto sarebbe stato massiccio per entrare in contatto con la Terra? Esprimi la tua risposta con notazione scientifica con 3 cifre significative. Utilizzare 6357 km come raggio della Terra. I parametri che rimangono costanti quando la massa dell’asteroide cambia sono $v$ e $r$ , dove $v$ è la velocità all’infinito e $r$ è il parametro di impatto.

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation Laws, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Significant Figures Objects: Planet

Spaceship. IK Pegasi and Betelgeuse are two star systems that can undergo a supernova. Betelgeuse is 548 light-years away from Earth and IK Pegasi is 154 light-years away from Earth. Assume that the two star systems are 500 light-years away from each other.

Astronomers on Earth observe that the two star systems undergo a supernova explosion 300 years apart. A spaceship, the OPhO Galaxia Explorer which left Earth in an unknown direction before the first supernova observes both explosions occur simultaneously. Assume that this spaceship travels in a straight line at a constant speed $v$ . How far are the two star systems according to the OPhO Galaxia Explorer at the moment of the simultaneous supernovae? Answer in light-years.

Note: Like standard relativity problems, we are assuming intelligent observers that know the finite speed of light and correct for it.

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation, Physical Modeling, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Star

Il sistema stellare IK Pegasi e Betelgeuse sono due sistemi stellari che possono subire una supernova. Betelgeuse è a 548 anni luce dalla Terra e IK Pegasi a 154 anni luce dalla Terra. Supponiamo che i due sistemi stellari siano a 500 anni luce l’uno dall’altro.

Gli astronomi sulla Terra osservano che i due sistemi stellari subiscono un’esplosione di supernova a 300 anni di distanza. Una nave spaziale, l’Opho Galaxia Explorer, che ha lasciato la Terra in una direzione sconosciuta prima che la prima supernova osservasse che entrambe le esplosioni avvengono contemporaneamente. Supponiamo che questa nave spaziale si muova in linea retta a una velocità costante $v$ . Quanto sono lontani i due sistemi stellari secondo l’Opho Galaxia Explorer al momento delle simultane supernovae? Rispondi in anni luce.

Nota: Come i problemi di relatività standard, stiamo assumendo osservatori intelligenti che conoscono la velocità finita della luce e correggono la velocità.

Fonte: Testo (PDF) — p.5

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation, Physical Modeling, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Star

Drag 1. A ball of mass 1 kg is thrown vertically upwards and it faces a quadratic drag with a terminal velocity of 20 m/s. It reaches a maximum height of 30 m and falls back to the ground. Calculate the energy dissipated until the point of impact (in J).

Fonte: Testo (PDF) — p.6

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Differential Equations, Conservation of Energy, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball

Raggio 1. Una palla di massa di 1 kg viene lanciata verticalmente verso l’alto e si trova di fronte a un arrastamento quadratico con una velocità terminale di 20 m/s. L’albero raggiunge un’altezza massima di 30 m e ricadono a terra. Calcolare l’energia dissipata fino al punto di impatto (in J).

Fonte: Testo (PDF) — p.6

Drag 2. In general, we can describe the quadratic drag on an object by the following force law:

$F_{D} = \frac{1}{2} C_{D} ρ A v^{2}$

where $A$ is the cross-sectional area of the object exposed to the airflow, $v$ is the speed of the object in a fluid, and $C_{D}$ is the drag coefficient, a dimensionless quantity that varies based on shape.

Another useful quantity to know is the Reynold’s number, a dimensionless quantity that helps predict fluid flow patterns. It is given by the formula:

$Re = \frac{ρ v L}{μ}$

where $ρ$ is the density of the surrounding fluid, $μ$ is the dynamic viscosity of the fluid, and $L$ is a reference length parameter that varies based on each object. For a smooth $^{1}$ sphere traveling in a fluid, its diameter serves as the reference length parameter.

A logarithmic graph of $C_{D}$ vs Re of a sphere from the NASA Glenn Research Center.

The relationship between the drag coefficient and the Reynold’s number holds significant importance. Due to the complexity of fluid dynamics, empirical data is commonly used, as depicted in the figure provided above. Notably, the figure indicates a significant decrease in the drag coefficient around $Re \approx 4 \times 1 0^{5}$ . This phenomenon, known as the drag crisis, occurs when a sphere transitions from laminar to turbulent flow, resulting in a broad wake and high drag. The table in the link below presents a range of $C_{d}$ versus Re values of a smooth sphere.

$^{1}$ meaning a smooth surface.

Desmos table: https://www.desmos.com/calculator/wmpkg5wnt0

Let’s consider a smooth ball with a radius of $0.2$ m and a mass of $0.1$ kg dropped in air with a constant density of $ρ = 1.255$ kg/m $^{3}$ . It is found that at velocity 5 m/s, the Reynold’s number of the ball is $3.41 \cdot 1 0^{5}$ . If the ball is dropped from rest, it approaches a stable terminal velocity $v_{1}$ . If the ball is dropped downwards with enough velocity, it will experience turbulence, and approach a stable terminal velocity $v_{2}$ . Find $Δ v = v_{2} - v_{1}$ . Ignore any terminal velocities found for Reynold numbers less than an order of magnitude $1 0^{- 1}$ .

Note: This problem is highly idealized as it assumes the atmosphere has air of constant density and temperature. In reality, this is not true!

Fonte: Testo (PDF) — p.6

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Dimensional Analysis, Experimental Data Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Sphere

The following information applies for the next two problems. Pictured is a wheel from a 4-wheeled car of weight 1200kg. The absolute pressure inside the tire is $3.0 \times 1 0^{5}$ Pa. Atmospheric pressure is $1.0 \times 1 0^{5}$ Pa. Assume the rubber has negligible “stiffness” (i.e. a negligibly low Sheer modulus compared to its Young’s modulus).

Stragg 2. In generale, possiamo descrivere la traggere quadratica su un oggetto con la seguente legge di forza:

$F_{D} = \frac{1}{2} C_{D} ρ A v^{2}$

se $A$ è l’area trasversale dell’oggetto esposto al flusso d’aria, $v$ è la velocità dell’oggetto in un fluido e $C_{D}$ è il coefficiente di resistenza, una quantità senza dimensioni che varia in base alla forma.

Un’altra quantità utile da conoscere è il numero di Reynold, una quantità senza dimensioni che aiuta a prevedere i modelli di flusso dei fluidi. È data dalla formula:

$Re = \frac{ρ v L}{μ}$

dove $ρ$ è la densità del fluido circostante, $μ$ è la viscosità dinamica del fluido e $L$ è un parametro di lunghezza di riferimento che varia a seconda di ogni oggetto. Per una sfera liscia $^{1}$ che viaggia in un fluido, il suo diametro serve come parametro di lunghezza di riferimento.

Un grafico logaritmico di $C_{D}$ vs Re di una sfera dal Centro di Ricerca Glenn della NASA.

La relazione tra il coefficiente di resistenza e il numero di Reynold è di grande importanza. A causa della complessità della dinamica dei fluidi, i dati empirici sono comunemente utilizzati, come illustrato nella figura sopra. In particolare, la cifra indica una significativa diminuzione del coefficiente di resistenza intorno a $Re \approx 4 \times 1 0^{5}$ . Questo fenomeno, noto come la crisi di trazione, si verifica quando una sfera passa dal flusso laminare al flusso turbolento, con conseguente ampia trazione e alta trazione. La tabella del link seguente presenta un intervallo di $C_{d}$ rispetto ai valori Re di una sfera liscia.

$^{1}$ che significa superficie liscia.

Tabella Desmos: https://www.desmos.com/calculator/wmpkg5wnt0

Consideriamo una palla liscia con un raggio di $0.2$ m e una massa di $0.1$ kg caduta in aria con una densità costante di $ρ = 1.255$ kg/m $^{3}$ . Si scopre che a velocità di 5 m/s, il numero di palla di Reynold è $3.41 \cdot 1 0^{5}$ . Se la palla viene abbassata dal riposo, si avvicina a una velocità terminale *stabile * $v_{1}$ . Se la palla viene abbassata verso il basso con velocità sufficiente, subirà turbolenze e si avvicinerà a una velocità terminale * stabile * $v_{2}$ . Trova $Δ v = v_{2} - v_{1}$ . Ignorare le velocità terminali trovate per i numeri Reynold inferiori ad un ordine di magnitudine $1 0^{- 1}$ .

Nota: Questo problema è altamente idealizzato in quanto presuppone che l’atmosfera abbia un’aria di densità e temperatura costanti. In realtà, questo non è vero!

Fonte: Testo (PDF) — p.6

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Dimensional Analysis, Experimental Data Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Sphere

Le seguenti informazioni si applicano ai due seguenti problemi. La foto mostra una ruota di un’auto a 4 ruote di peso 1200 kg. La pressione assoluta all’interno del pneumatico è $3.0 \times 1 0^{5}$ Pa. La pressione atmosferica è $1.0 \times 1 0^{5}$ Pa. Supponiamo che la gomma abbia una “rigidità” trascurabile (cioè: un modulo di Sheer negligibilmente basso rispetto al modulo di Young).

Hysteresis 1. The rubber on the bottom of the wheel is completely unstretched. The rubber has a thickness of 7 mm. Based on this information, find the Young’s Modulus of the rubber. Is this answer reasonable?

Fonte: Testo (PDF) — p.7

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis, Hooke’s Law, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Wheel

Isteresis 1. La gomma sul fondo della ruota è completamente distaccata. La gomma ha uno spessore di 7 mm. Sulla base di queste informazioni, trovate il modulo del gomma del giovane. È ragionevole questa risposta?

Fonte: Testo (PDF) — p.7

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis, Hooke’s Law, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Wheel

Hysteresis 2. The rubber experiences a phenomena known as hysteresis — it takes more force to stretch the rubber than allow it to return to equilibrium. Specifically, assume that the Young’s Modulus when the rubber is stretched is the same to 12, and is $1/2$ of that when the rubber returns to equilibrium. Compute the power the car’s engines has to deliver to overcome the hysteresis losses, if the car moves at 20 m/s. Remember that there are 4 tires!

Fonte: Testo (PDF) — p.7

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis, Hooke’s Law, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wheel

Isteresi 2. La gomma subisce un fenomeno noto come isteresis occorre più forza per allungare la gomma che per permetterle di tornare in equilibrio. In particolare, supponiamo che il modulo del Young quando la gomma è estesa sia uguale a 12, ed è $1/2$ di quello quando la gomma ritorna all’equilibrio. Calcolare la potenza che i motori dell’auto devono fornire per superare le perdite di isteresi, se l’auto si muove a 20 m/s. Ricordate che ci sono 4 pneumatici!

Fonte: Testo (PDF) — p.7

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis, Hooke’s Law, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wheel

Marbles. Two identical spherical marbles of radius 3 cm are placed in a spherical bowl of radius 10 cm. The coefficient of static friction between the surfaces of the marble is 0.31 and the coefficient of static friction between the surfaces of the marbles and the bowl is 0.13. Find the maximum elevation from the bottom of the bowl that the center of one of the marbles can achieve in equilibrium. The bowl is fixed in place and will neither rotate nor translate. Equilibrium refers to stable equilibrium.

Fonte: Testo (PDF) — p.7

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, Container

Marmi. Due marmi sferici identici di raggio di 3 cm sono collocati in una ciotola sferica di raggio di 10 cm. Il coefficiente di attrito statico tra le superfici del marmo è di 0,31 e il coefficiente di attrito statico tra le superfici del marmo e la ciotola è di 0,13. Trova la massima elevazione dal fondo della ciotola che il centro di uno dei marmi può raggiungere in equilibrio. La ciotola è fissata e non girerà né si tradurrà. L’equilibrio si riferisce a equilibrio stabile.

Fonte: Testo (PDF) — p.7

Fringe effect approximation. Two parallel square plates of side length 1 m are placed a distance 30 cm apart whose centers are at $(- 15 cm, 0, 0)$ and $(15 cm, 0, 0)$ have uniform charge densities $- 1 0^{- 6}$ C/m $^{2}$ and $1 0^{- 6}$ C/m $^{2}$ respectively. Find the magnitude of the component of the electric field perpendicular to axis passing through the centers of the two plates at $(10 cm, 1 mm, 0)$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.7

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor

Approximation of fringe effect. Due piastre quadrate parallele di lunghezza laterale di 1 m sono posizionate a 30 cm di distanza i cui centri sono rispettivamente $(- 15 cm, 0, 0)$ e $(15 cm, 0, 0)$ con densità di carica uniformi $- 1 0^{- 6}$ C/m $^{2}$ e $1 0^{- 6}$ C/m $^{2}$ . Trova la magnitudine della componente del campo elettrico perpendicolare all’asse che attraversa i centri delle due lastre a $(10 cm, 1 mm, 0)$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.7

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor

Sliding Along. A hollow sphere of mass $M$ and radius $R$ is placed under a plank of mass $3 M$ and length $2 R$ . The plank is hinged to the floor, and it initially makes an angle $θ = \frac{π}{3}$ rad to the horizontal.

A not-to-scale picture of the sphere-plank setup.

Under the weight of the plank, the sphere starts rolling without slipping across the floor. What is the sphere’s initial translational acceleration? Assume the plank is frictionless.

Fonte: Testo (PDF) — p.8

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, Beam

The following information applies for the next two problems. A space elevator consists of a heavy counterweight placed near geostationary orbit, a thread that connects it to the ground (assume this is massless), and elevators that run on the threads (also massless). The mass of the counterweight is $1 0^{7}$ kg. Mass is continuously delivered to the counterweight at a rate of 0.001 kg/s. The elevators move upwards at a rate of 20 m/s. Assume there are many elevators, so their discreteness can be neglected. The elevators are massless. The counterweight orbits the Earth.

Sliding Along. Una sfera vuota di massa $M$ e di raggio $R$ è collocata sotto una tavola di massa $3 M$ e lunghezza $2 R$ . La tavola è inclinata al pavimento e inizia a fare un angolo $θ = \frac{π}{3}$ rad verso l’orizzontale.

Un’immagine non su scala dell’impianto di tabella sfera.

Sotto il peso della tavola, la sfera inizia a rotolare senza scivolare sul pavimento. Qual è l’accelerazione traslazionale iniziale della sfera? Supponiamo che la tavola sia senza attriti.

Fonte: Testo (PDF) — p.8

Le seguenti informazioni si applicano ai due seguenti problemi. Un ascensore spaziale è costituito da un pesante contrapeso posizionato vicino all’orbita geostazionaria, un filo che lo collega al suolo (presumendo che questo sia senza massa) e ascensori che funzionano sui fili (anche senza massa). La massa del contrappeso è $1 0^{7}$ kg. La massa viene consegnata continuamente al contrappeso a una velocità di 0,001 kg/s. Gli ascensori si muovono verso l’alto a una velocità di 20 m/s. Supponiamo che ci siano molti ascensori, quindi la loro discrezione può essere trascurata. Gli ascensori sono senza massa. Il contrappeso orbita la Terra.

Space Elevator 1. Find the minimum possible displacement radially of the counterweight. Specify the sign.

Fonte: Testo (PDF) — p.8

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Momentum, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet

Elevatore spaziale 1. Trova il minimo spostamento possibile radialmente del contrappeso. - Specifica il segno.

Fonte: Testo (PDF) — p.8

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Momentum, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet

Space Elevator 2. Assuming a radial displacement that is 10 times what you found in the previous part, find the displacement vertically of the counterweight. Does it lag or lead Earth’s rotation?

Fonte: Testo (PDF) — p.8

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Momentum, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet

Elevatore spaziale 2. Supponendo un spostamento radial 10 volte quello trovato nella parte precedente, trovare il spostamento verticalmente del contrappeso. Raggiunga o guida la rotazione terrestre?

Fonte: Testo (PDF) — p.8

Laser Power. Consider a spherical shell of thickness $δ = 0.5$ mm and radius $R = 5$ cm made of an Ohmic material with resistivity $ρ = 1 0^{- 3} Ω$ m. A spherical laser source with a tuned frequency of $f_{0} = 3 \times 1 0^{12}$ Hz and intensity $I_{0} = 1 0^{5}$ W/m $^{2}$ is placed at the center of the shell and turned on. Working in the limit $\frac{r}{r _{0}} ≪ δ ≪ R$ , approximate the initial average power dissipated by the shell. Neglect inductance.

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Electromagnetism, Electromagnetic Induction Metodi: Faraday’s Law of Induction, Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Sphere

Laser Power. Considera una conchiglia sferica di spessore $δ = 0.5$ mm e di raggio $R = 5$ cm fatta di materiale ohmico con resistività $ρ = 1 0^{- 3} Ω$ m. Una sorgente laser sferica con una frequenza sintonizzata di $f_{0} = 3 \times 1 0^{12}$ Hz e intensità $I_{0} = 1 0^{5}$ W/m $^{2}$ è collocata al centro della conchiglia e accesa. Lavorando nel limite $\frac{r}{r _{0}} ≪ δ ≪ R$ , si approssimano le potenze medie iniziali dissipate dalla conchiglia. - Non si tratta di induzione.

Twinkle Twinkle. A stable star of radius $R$ has a mass density profile $ρ (r) = α (1 - r / R)$ . Here, “stable” means that the star doesn’t collapse under its own gravity. If the internal pressure at the core is provided solely by the radiation of photons, calculate the temperature at the core. Assume the star is a perfect black body and treat photons as a classical ideal gas. Use $R = 7 \times 1 0^{8}$ km and $α = 3$ g/cm $^{3}$ . Round your answer to the nearest kilokelvin. We treat photons as a classical gas here to neglect any relativistic effects.

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Astrophysics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Newton’s Law of Gravitation, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Star, Photon, Gas

Twinkle Twinkle. Una stella stabile di raggio $R$ ha un profilo di densità di massa $ρ (r) = α (1 - r / R)$ . Qui, “stabile” significa che la stella non crolla sotto la sua stessa gravità. Se la pressione interna al nucleo è fornita esclusivamente dalla radiazione dei fotoni, calcolare la temperatura al nucleo. Supponiamo che la stella sia un corpo nero perfetto e trattate i fotoni come un gas ideale classico. Utilizzare $R = 7 \times 1 0^{8}$ km e $α = 3$ g/cm $^{3}$ . Ronda la tua risposta al kilokelvin più vicino. Qui trattiamo i fotoni come un gas classico per trascurare gli effetti relativistici.

My Heart Will Go On. On a flat playground, choose a Cartesian $O x y$ coordinate system (in unit of meters). A child running at a constant velocity $V = 1$ m/s around a heart-shaped path satisfies the following order-6 algebraic equation:

$(x^{2} + y^{2} - L^{2})^{3} - L x^{2} y^{3} = 0, L = 10 .$

When the child is at the position $(x, y) = (L, 0)$ , what is the magnitude of their acceleration?

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Il mio cuore continuerà. Su un parco giochi piatto, scegli un sistema di coordinate cartesiano $O x y$ (in unità di metri). Un bambino che corre a velocità costante $V = 1$ m/s attorno a un percorso a forma di cuore soddisfa la seguente equazione algebrica di ordine 6:

$(x^{2} + y^{2} - L^{2})^{3} - L x^{2} y^{3} = 0, L = 10 .$

Quando il bambino è in posizione $(x, y) = (L, 0)$ , qual è la magnitudine della loro accelerazione?

Tricycle. A boy is riding a tricycle across along a sidewalk that is parallel to the $x$ -axis. This tricycle contains three identical wheels with radius 0.5 m. The front wheel is free to rotate while the last two wheels are parallel to each other and to the main body of the tricycle. See the diagram.

The front wheel is rotating at a constant angular speed of $ω = 3$ rad/s. The child is controlling the tricycle such that the front wheel is making an angle of $θ (t) = 0.15 sin ((0.1 rad/s) t)$ with the main body of the tricycle. Determine the maximum lateral acceleration in m/s $^{2}$ . Assume a massless frame. The marked plus sign implies CoM. The degree is in radians.

Fonte: Testo (PDF) — p.9 Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wheel

Un ragazzo sta guidando una tricicletta lungo un marciapiede parallelo all’asse $x$ . Questo triciclo contiene tre ruote identiche con raggio di 0,5 m. La ruota anteriore è libera di rotazione mentre le ultime due ruote sono parallele tra loro e al corpo principale del triciclo. Guarda il diagramma.

La ruota anteriore ruota a una velocità angolare costante di $ω = 3$ rad/s. Il bambino sta controllando il triciclo in modo tale che la ruota anteriore faccia un angolo di $θ (t) = 0.15 sin ((0.1 rad/s) t)$ con il corpo principale del triciclo. Determinare l’accelerazione laterale massima in m/s $^{2}$ . Supponiamo un quadro senza massa. Il segno più indicato indica la CoM. Il grado è in radiani.

Sonic Fryer. In this problem, we consider a simple model for a thermoacoustic device. The device uses heavily amplified sound to provide work for a pump that can then extract heat. Sound waves form standing waves in a tube of radius 0.25 mm that is closed on both sides, and a two-plate stack is inserted in the tube. A temperature gradient forms between the plates of the stack, and the parcel of gas trapped between the plates oscillates sinusoidally between a maximum pressure of 1.03 MPa and a minimum of 0.97 MPa. The gas is argon, with density 1.78 kg/m $^{3}$ and adiabatic constant $5/3$ . The speed of sound is 323 m/s. The heat pump itself operates as follows:

The parcel of gas starts at minimum pressure. The stack plates adiabatically compress the parcel of gas to its maximum pressure, heating the gas to a temperature higher than that of the hotter stack plate. Then, the gas is allowed to isobarically cool to the temperature of the hotter stack plate. Next, the plates adiabatically expand the gas back to its minimum pressure, cooling it to a temperature lower than that of the colder plate. Finally, the gas is allowed to isobarically heat up to the temperature of the colder stack plate.

Find the power at which the thermoacoustic heat pump emits heat.

Fonte: Testo (PDF) — p.9 Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Tube, Gas

The following information applies for the next two problems. For your mass spectroscopy practical you are using an apparatus consisting of a solenoid enclosed by a uniformly charged hollow cylinder of charge density $σ = 50$ μC/m $^{2}$ and radius $r_{0} = 7$ cm. There exists an infinitesimal slit of insular material between the cylinder and solenoid to stop any charge transfer. Also, assume that there is no interaction between the solenoid and the cylinder, and that the magnetic field produced by the solenoid can be easily controlled to a value of $B_{0}$ .

An electron is released from rest at a distance of $R = 10$ cm from the axis. Assume that it is small enough to pass through the cylinder in both directions without exchanging charge. It is observed that the electron reaches a distance $R$ at different points from the axis 7 times before returning to the original position.

In questo problema, consideriamo un modello semplice per un dispositivo termicoacustico. Il dispositivo utilizza un suono fortemente amplificato per fornire lavoro a una pompa che può quindi estrarre il calore. Le onde sonore formano onde in piedi in un tubo di raggio di 0,25 mm chiuso da entrambi i lati e viene inserito un’ampolla di due piastre nel tubo. Si forma un gradiente di temperatura tra le piastre del piatto e il gas intrappolato tra le piastre oscilla sinusoidamente tra una pressione massima di 1,03 MPa e un minimo di 0,97 MPa. Il gas è l’argon, con densità di 1,78 kg/m $^{3}$ e costante adiabatica $5/3$ . La velocità del suono è di 323 m/s. La pompa di calore stessa funziona come segue:

Il pacchetto di gas inizia a pressione minima. Le piastre di pila compresso adiabaticamente il pacco di gas alla pressione massima, riscaldando il gas a una temperatura superiore a quella della piastra di pila più calda. Il gas viene quindi lasciato raffreddare isobaricamente alla temperatura della piastra di piattaforma più calda. Successivamente, le lastre ampliano adiabaticamente il gas fino alla pressione minima, raffreddandolo a una temperatura inferiore a quella della lastra più fredda. Infine, il gas è permesso di riscaldarsi isobaricamente fino alla temperatura della piastra a piombo più fredda.

Trova la potenza con cui la pompa termicoacustica emette il calore.

Le seguenti informazioni si applicano ai due seguenti problemi. Per la pratica di spettroscopia di massa si utilizza un apparecchio costituito da un solenoide chiuso da un cilindro vuoto uniformemente caricato di densità di carica $σ = 50$ μC/m $^{2}$ e di raggio $r_{0} = 7$ cm. Esiste una fessura infinitesimale di materiale isolante tra il cilindro e il solenoide per fermare qualsiasi trasferimento di carica. Inoltre, supponiamo che non vi sia alcuna interazione tra il solenoide e il cilindro e che il campo magnetico prodotto dal solenoide possa essere facilmente controllato a un valore di $B_{0}$ .

Un elettrone viene rilasciato dal riposo a una distanza di $R = 10$ cm dall’asse. Supponiamo che sia abbastanza piccola da attraversare il cilindro in entrambe le direzioni senza scambiare carica. Si osserva che l’elettrone raggiunge una distanza $R$ in punti diversi dall’asse 7 volte prima di tornare alla posizione originale.

Isotope Separator 1. Calculate $B_{0}$ under the assumption that the path of the electron does not self-intersect with itself.

Fonte: Testo (PDF) — p.10 Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Gauss’s Law, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron

Separatore isotopo 1. Calcolare $B_{0}$ supponendo che il percorso dell’elettrone non si intersechi da sé.

Isotope Separator 2. Calculate the time it took for the particle to return to original position. Answer in milliseconds.

Hint: You may find interest in the Gaussian error function:

$erf (z) = \frac{2}{π} \int_{0}^{z} e^{- t^{2}} d t .$

Specific values of the error function can be calculated on desmos.

Fonte: Testo (PDF) — p.10 Topic: Electromagnetism, Mathematics Metodi: Lorentz Force Analysis, Calculus-Integration, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron

Separatore isotopo 2. Calcolare il tempo necessario per il ritorno della particella alla posizione originale. Rispondi in millisecondi.

Signore: Potresti trovare interesse nella funzione di errore di Gaussian:

$erf (z) = \frac{2}{π} \int_{0}^{z} e^{- t^{2}} d t .$

I valori specifici della funzione di errore possono essere calcolati su desmos.

Somos El Barco. For any circuit network made of batteries and resistors, if we know the voltages of all the batteries and the resistance values of all the resistors, we can calculate all the electrical currents. However, if we know the voltages of all the batteries and all the currents, it is still not enough to uniquely determine the resistance values of all the resistors. Consider a sail-shape circuit network, in which we connect points H and N with a charge of $E_{HN} = 10$ V battery, points A and M with a charge of $E_{AM} = 20$ V battery. The electrical currents in this network have directions and magnitudes (in mA) as shown the figure. The possible resistance values of resistors $R_{α}$ , $R_{β}$ , $R_{γ}$ is not a single point (corresponds to an unique solution) but a confined region in the three-dimensional $(R_{α}, R_{β}, R_{γ})$ -space. Determine the volume of this region (in $Ω^{3}$ ).

The title of this problem means “we are the boat”.

Fonte: Testo (PDF) — p.10 Topic: Circuits, Mathematics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Battery, Resistor

MSK1/> Per qualsiasi rete di circuiti realizzata in batterie e resistenti, se conosciamo le tensioni di tutte le batterie e i valori di resistenza di tutte le resistenze, possiamo calcolare tutte le correnti elettriche. Tuttavia, se conosciamo le tensioni di tutte le batterie e di tutte le correnti, non è ancora sufficiente determinare in modo unico i valori di resistenza di tutte le resistenze. Considera una rete di circuiti a vela, in cui colleghiamo i punti H e N con una carica di batteria $E_{HN} = 10$ V, i punti A e M con una carica di batteria $E_{AM} = 20$ V. Le correnti elettriche di questa rete hanno direzioni e magnitudini (in mA) come mostrato nella figura. I possibili valori di resistenza delle resistenze $R_{α}$ , $R_{β}$ , $R_{γ}$ non sono un singolo punto (corrisponde a una soluzione unica), ma una regione limitata nello spazio tridimensionale $(R_{α}, R_{β}, R_{γ})$ . Determinare il volume di questa regione (in $Ω^{3}$ ).

*Il titolo di questo problema significa “noi siamo la barca”. *

The Final Countdown. A model of cancer tumor dynamics under a low-dose chemotherapy consists of three non-negative variables $(P, Q, R)$ , in which $P$ represents the cancer tumor size, $Q$ represents the (normalized) carrying capability of the tumor vasculature network, and $R$ represents the local (normalized) activity of the immunology system:

\frac{d}{d t} P \frac{d}{d t} Q \frac{d}{d t} R = ξ P ln \frac{Q}{P} - θ P R - φ_{1} P C, = b P - (μ + d P^{2/3}) Q - φ_{2} QC, = α (P - β P^{2}) R + γ - δ R + φ_{3} R C .

Here, $C$ is the local concentration of chemotherapeutic agent at the tumor site, which we can assume to follow by a simple pharmacokinetics model:

$\frac{d}{d t} C = - \frac{1}{τ} C + U,$

where $U$ is the rate of chemotherapy drug administrated to the patient body. Let us assume an unchanging rate $U$ , and treat it as another parameter of the model. All other unmentioned symbols are positive constant parameters, which values can be measured and should depends on the particular kinds of cancers and treatments. In total, there are 14 parameters — such a high-degree of complexity is very common in biophysical models. For each set of parameters, there can be many possible stationary states, which can be associated with various levels of malignancy. What is the maximum number of stationary non-zero tumor sizes (including both stable and unstable ones) for a set of parameters in this model? For this problem, you can only submit your answer once.

Fonte: Testo (PDF) — p.11 Topic: Biology, Mathematics Metodi: Differential Equations, Physical Modeling, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Il conto alla rovescia finale. Un modello della dinamica di un tumore canceroso in presenza di una chemioterapia a basso dosaggio è costituito da tre variabili non negative $(P, Q, R)$ , in cui $P$ rappresenta la dimensione del tumore, $Q$ rappresenta la capacità portante (normalizzata) della rete vascolare del tumore e $R$ rappresenta l’attività locale (normalizzata) del sistema immunitario:

\frac{d}{d t} P \frac{d}{d t} Q \frac{d}{d t} R = ξ P ln \frac{Q}{P} - θ P R - φ_{1} P C, = b P - (μ + d P^{2/3}) Q - φ_{2} QC, = α (P - β P^{2}) R + γ - δ R + φ_{3} R C .

Qui $C$ è la concentrazione locale dell’agente chemioterapico nel sito del tumore, che possiamo assumere segua un semplice modello farmacocinetico:

$\frac{d}{d t} C = - \frac{1}{τ} C + U,$

dove $U$ è il tasso di somministrazione del farmaco chemioterapico al corpo del paziente. Assumiamo un tasso $U$ costante e trattiamolo come un ulteriore parametro del modello. Tutti gli altri simboli non menzionati sono parametri costanti positivi, i cui valori possono essere misurati e dipendono dal particolare tipo di tumore e di trattamento. In totale vi sono 14 parametri: un grado di complessità così elevato è molto comune nei modelli biofisici. Per ogni insieme di parametri possono esistere molti possibili stati stazionari, che possono essere associati a vari livelli di malignità. Qual è il numero massimo di dimensioni tumorali stazionarie non nulle (includendo sia quelle stabili sia quelle instabili) per un insieme di parametri in questo modello? Per questo problema puoi inviare la tua risposta una sola volta.

Magnetic Carts. Two carts, each with a mass of 300 g, are fixed to move on a horizontal track. As shown in the figure, the first cart has a strong, tiny permanent magnet of dipole moment $0.5$ A·m $^{2}$ attached to it, which is aligned along the axis of the track pointing toward the other cart. On the second cart, a copper tube of radius 7 mm, thickness 0.5 mm, resistivity $1.73 \cdot 1 0^{- 8} Ω$ m, and length 30 cm is attached. The masses of the magnet and coil are negligible compared to the mass of the carts. At the moment its magnet enters through the right end of the copper tube, the velocity of the first cart is at 0.3 m/s and the distance between the two ends of each cart is 50 cm, find the minimum distance achieved between the two two-end carts (in cm). While on the track, the carts experience an effective coefficient of static friction (i.e., what it would be as if they did not have wheels) of 0.01. Neglect the self-inductance of the copper tube.

A picture of the two cart setup. The black rectangle represents the magnet while the gold rectangle represents the copper tube.

Hint 1: The magnetic field due to a dipole of moment $μ$ , at a position $r$ away from the dipole can be written as

$B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{( 3 r ^ ( r ^ \cdot μ ) - μ )}{r ^{3}} \overset{r}{^}$

where $\overset{r}{^}$ is the unit vector in the direction of $r$ .

Hint 2: The following mathematical identity may be useful:

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{u ^{2} d u}{( 1 + u ^{2} ) ^{5}} = \frac{5 π}{128} .$

Fonte: Testo (PDF) — p.12 Topic: Electromagnetic Induction, Newtonian Mechanics Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Conservation of Momentum Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cart, Magnet, Tube

Cariche magnetiche. Due carrozzi, ognuno di una massa di 300 g, sono fissati per muoversi su una pista orizzontale. Come mostrato nella figura, il primo carrello ha un forte, minuscolo magnete permanente di momento dipolo $0.5$ A·m $^{2}$ attaccato, che è allineato lungo l’asse della pista che punta verso l’altro carrello. Il secondo carrello è collegato a un tubo di rame di raggio 7 mm, spessore 0,5 mm, resistività $1.73 \cdot 1 0^{- 8} Ω$ m e lunghezza 30 cm. Le masse del magnete e della bobina sono trascurabili rispetto alla massa dei carri. Nel momento in cui il suo magnete entra attraverso l’estremità destra del tubo di rame, la velocità del primo carrello è di 0,3 m/s e la distanza tra le due estremità di ciascun carrello è di 50 cm, trovare la distanza minima raggiunta tra i due carrelli a due estremità (in cm). Durante la pista, i carri hanno un coefficiente di attrito statico efficace (cioè, che sarebbe come se non avessero ruote) di 0,01. Lascia perdere l’auto-induzione del tubo di rame.

Una foto della configurazione dei due carrelli. Il rettangolo nero rappresenta il magnete mentre il rettangolo oro rappresenta il tubo di rame.

Suggetta 1: Il campo magnetico dovuto a un dipolo di momento $μ$ , in una posizione $r$ lontana dal dipolo può essere scritto come

$B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{( 3 r ^ ( r ^ \cdot μ ) - μ )}{r ^{3}} \overset{r}{^}$

dove $\overset{r}{^}$ è il vettore unitario nella direzione di $r$ .

Suggerimento 2: Potrebbe essere utile la seguente identità matematica:

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{u ^{2} d u}{( 1 + u ^{2} ) ^{5}} = \frac{5 π}{128} .$

De-Terraforming. In the far future, the Earth received an enormous amount of charge as a result of Mad Scientist eciIA’s nefarious experiments. Specifically, the total charge on Earth is $Q = 1.0 \times 1 0^{11}$ C (compare this with the current $5 \times 1 0^{5}$ C). Estimate the maximum height of a “mountain” on Earth that has a circular base with diameter $w = 1.0$ km, if it has the shape of a spherical sector. You may assume that $h_{m a x} ≪ w$ . The tensile strength of rock is 10 MPa.

Fonte: Testo (PDF) — p.12 Topic: Electrostatics, Elasticity & Materials Metodi: Gauss’s Law, Stress-Strain Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Planet

In un lontano futuro, la Terra ha ricevuto un’enorme quantità di carica a causa degli esperimenti nefasti di Mad Scientist eciIA. In particolare, la carica totale sulla Terra è $Q = 1.0 \times 1 0^{11}$ C (comparare questo con la corrente $5 \times 1 0^{5}$ C). Calcolare l’altezza massima di una “montagna” sulla Terra che ha una base circolare di diametro $w = 1.0$ km, se ha la forma di un settore sferico. Si può supporre che $h_{m a x} ≪ w$ . La resistenza alla trazione della roccia è di 10 MPa.

All Around The World. The logo of OPhO describes two objects travelling around their center-of-mass, following the same oval-shape trajectory. For simplicity, we assume these objects are point-like, have identical mass, and interacts via an interacting potential $U (d)$ depends on the distance $d$ between them. Choose the polar coordinates $(r, θ)$ as shown in the figure, where the origin is located at the center of the logo, then the shared trajectory obeys the equation:

$r (θ) = \frac{L}{2} [1 - ϵ cos (2 θ)]^{- (1 + γ)},$

in which we consider $ϵ = 0.12$ and $γ = 0.05$ . Here the smallest and largest separation between the objects are $d_{m i n}$ and $d_{m a x}$ . Since the interacting potential $U (d)$ is defined up to a constant, let us pick $U (L) = 0$ . Find the ratio $U (d_{m i n}) / U (d_{m a x})$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.12 Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Conservation of Energy, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Il logo di OPhO descrive due oggetti che viaggiano intorno al loro centro di massa, seguendo la stessa traiettoria a forma ovale. Per semplicità, supponiamo che questi oggetti siano punti-simili, abbiano massa identica e interagiscano attraverso un potenziale interagente $U (d)$ dipende dalla distanza $d$ tra loro. Scegliere le coordinate polari $(r, θ)$ come mostrato nella figura, dove l’origine si trova al centro del logo, quindi la traiettoria condivisa obbedisce all’equazione:

$r (θ) = \frac{L}{2} [1 - ϵ cos (2 θ)]^{- (1 + γ)},$

in cui si considerano $ϵ = 0.12$ e $γ = 0.05$ . Qui la più piccola e la più grande separazione tra gli oggetti sono $d_{m i n}$ e $d_{m a x}$ . Poiché il potenziale di interazione $U (d)$ è definito fino a una costante, scegliamo $U (L) = 0$ . Trova il rapporto $U (d_{m i n}) / U (d_{m a x})$ .

Electrostatic Pendulum 1. Follin is investigating the electrostatic pendulum. His apparatus consists of an insulating Styrofoam ball with a mass of 14 mg and radius $r = 0.5$ cm suspended on a uniform electrically-insulating string of length 1 m and mass per unit length density of $1.1 \cdot 1 0^{- 5}$ kg/m between two large metal plates separated by a distance 17 cm with a voltage drop of 10kV between them, such that when the ball is in equilibrium, its center of mass is exactly halfway between the two plates. Neglect the possibility of electrical discharge throughout the next two problems.

Follin then gives the ball a charge 0.15 nC. Assuming that the charge is distributed evenly across the surface of the ball, find the subsequent horizontal deflection of the pendulum bob’s center of mass from its hanging point at equilibrium.

Fonte: Testo (PDF) — p.13 Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Coulomb’s Law, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum, Ball, Capacitor

Pendolo elettrostatico 1. Follin sta studiando il pendolo elettrostatico. Il suo apparecchio consiste in una palla isolante di stirofumo con una massa di 14 mg e un raggio $r = 0.5$ cm sospesa su una corda di isolante elettrica uniforme di lunghezza 1 m e massa per unità di densità di lunghezza $1.1 \cdot 1 0^{- 5}$ kg/m tra due grandi lastre di metallo separate da una distanza di 17 cm con una caduta di tensione di 10 kV tra di loro, in modo tale che quando la palla è in equilibrio, il suo centro di massa è esattamente a metà strada tra le due lastre. Negli ultimi due problemi si ignora la possibilità di scariche elettriche.

Follin dà poi alla palla una carica di 0,15 nC. Supponendo che la carica sia distribuita uniformemente sulla superficie della palla, si trova la successiva deviazione orizzontale del centro di massa del bobino del pendolo dal suo punto di sospensione in equilibrio.

Electrostatic Pendulum 2. Hoping to get a larger deflection, Follin replaces the insulating Styrofoam ball with a conducting pith ball of mass 250 mg and 2 cm old daisy chains 4 additional 10 kV High Voltage Power Supplies to increase the voltage drop across the plates to 50 kV. Leaving the plate separation and the string unchanged, he repeats the same experiment as before, but forgets to measure the charge on the ball. Nonetheless, once the ball reaches equilibrium, he measures the deflection from the hanging point to be 5.6 cm. Find the charge on the ball.

Fonte: Testo (PDF) — p.13 Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Coulomb’s Law, Electric Potential Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum, Conducting Sphere, Capacitor

The following information applies for the next two problems. Consider a uniform isosceles triangle prism ABC, with the apex angle $θ = 110°$ at vertex A. One of the sides, AC, is coated with silver, allowing it to function as a mirror. When a monochrome light-ray of wavelength $λ$ approaches side AB at an angle of incidence $α$ , it first refracts, then reaches side AC, reflects, and continues to base BC. After another refraction, the ray eventually exits the prism at the angle of emergence which is also equal to the angle of incidence.

Pendolo elettrostatico 2. Sperando di ottenere una maggiore deflezione, Follin sostituisce la palla isolante di stirofoamo con una palla di pith conduttrice di massa 250 mg e con 2 cm di vecchie catene di marmellata 4 supplementi di potenza ad alta tensione di 10 kV per aumentare la caduta di tensione attraverso le piastre a 50 kV. Lasciando la separazione della piastra e la corda invariate, ripete lo stesso esperimento come prima, ma dimentica di misurare la carica sulla palla. Tuttavia, una volta che la palla raggiunge l’equilibrio, misura la deviazione dal punto di sospensione a 5,6 cm. Trova la carica sulla palla.

Le seguenti informazioni si applicano ai prossimi due problemi. Considera un prisma triangolare ABC con triangolo uguale, con l’angolo di punta $θ = 110°$ al vertice A. Uno dei lati, AC, è rivestito di argento, permettendo al veicolo di funzionare come specchio. Quando un raggio monocromatico di luce di lunghezza d’onda $λ$ si avvicina al lato AB ad un angolo di incidenza $α$ , si rifracta prima, raggiunge poi il lato AC, riflette e continua a basare BC. Dopo un’altra rifrazione, il raggio alla fine esce dal prisma all’angolo di emergenza che è anche uguale all’angolo di incidenza.

Man In The Mirror 1. What is the relative refractive index of the prism for that particular wavelength $λ$ with respect to the outside environment, given that $α = 70°$ .

Fonte: Testo (PDF) — p.13 Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Prism, Mirror

Man In The Mirror 1. Qual è l’indice di rifrazione relativo del prisma per quella particolare lunghezza d’onda $λ$ rispetto all’ambiente esterno, dato che $α = 70°$ .

Man In The Mirror 2. Consider keeping the incident ray fixed while changing the monochrome color to a different wavelength $λ^{'}$ , so that by rotating the prism around an axis of rotation O it can follows the above description (approaches side AB at an angle of incidence $α^{'}$ , refracts, then reaches side AC, reflects, and continues to base BC, then another refraction, the ray eventually exits the prism at the angle of emergence which is also equal to the angle of incidence). We observe then the emergent ray remains unchanged for any value of $λ^{'}$ . Find the maximum possible length-ratio between the distance from the axis to the one of the vertices max(OA, OB, OC) and the longest side.

Fonte: Testo (PDF) — p.14 Topic: Geometric Optics, Mathematics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Prism, Mirror

Man In The Mirror 2. Considera di mantenere il raggio incidente fisso mentre cambia il colore monocromatico a una lunghezza d’onda diversa $λ^{'}$ , in modo che rotando il prisma attorno ad un asse di rotazione O possa seguire la descrizione di cui sopra (avvicina il lato AB ad un angolo di incidenza $α^{'}$ , si riflette, raggiunge poi il lato AC, si riflette e continua a base BC, quindi un’altra rifrazione, il raggio alla fine esce dal prisma all’angolo di emergenza che è anche uguale all’angolo di incidenza). Si osserva quindi che il raggio emergente rimane invariato per qualsiasi valore di $λ^{'}$ . Trovare il rapporto di lunghezza massimo possibile tra la distanza dall’asse a quella dei vertici max ((OA, OB, OC) e il lato più lungo.

Funiculì, Funiculà. Field-drive is a locomotion mechanism that is analogous to general relativistic warp-drive. In this mechanism, an active particle continuously climbs up the field-gradient generated by its own influence on the environment so that the particle can bootstrap itself into a constant non-zero velocity motion. Consider a field-drive in one-dimensional (the O $x$ axis) environment, where the position of the particle at time $t$ is given by $X (t)$ and its instantaneous velocity follows from:

$\frac{d}{d t} X (t) = κ \frac{\partial}{\partial x} R (x, t)_{x = X (t)},$

in which $κ$ is called the guiding coefficient and $R (x, t)$ is the field-value in this space. Note that, the operation $\dots ∣_{x = X (t)}$ means you have to calculate the part in $\dots$ first, then replace $x$ with $X (t)$ . For a biological example, the active particle can be a cell, the field can be the nutrient concentration, and the strategy of climbing up the gradient can be chemotaxis. The cell consumes the nutrient and also responses to the local nutrient concentration, biasing its movement toward the direction where the concentration increases the most. If the nutrient is not diffusive and always recovers locally (e.g. a surface secretion) to the value which we defined to be 0, then its dynamics can usually be approximated by:

$\frac{\partial}{\partial t} R (x, t) = - \frac{1}{τ} R (x, t) - γ exp {- \frac{[ x - X ( t ) ] ^{2}}{2 λ ^{2}}},$

where $τ$ is the timescale of recovery, $γ$ is the consumption, and $λ$ is the characteristic radius of influence. Before we inoculate the cell into the environment, $R = 0$ everywhere at any time. What is the smallest guiding coefficient $κ$ (in $μ$ m $^{2}$ /s) for field-drive to emerge, if the parameters are $τ = 50$ s, $γ = 1$ s $^{- 1}$ , and $λ = 10 μ$ m.

The title of this problem means “funicular up, funicular down”.

Fonte: Testo (PDF) — p.14 Topic: Biology, Mathematics Metodi: Differential Equations, Physical Modeling, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Funiculì, Funiculà. Il campo-drive è un meccanismo di locomozione analogo al generale relativistico warp-drive. In questo meccanismo, una particella attiva sale continuamente il gradiente di campo generato dalla sua stessa influenza sull’ambiente in modo che la particella possa avviarsi in un movimento costante non a velocità zero. Considerate un campo-drive in un ambiente unidimensionale (l’asse O $x$ ), in cui la posizione della particella al tempo $t$ è data da $X (t)$ e la sua velocità istantanea deriva da:

$\frac{d}{d t} X (t) = κ \frac{\partial}{\partial x} R (x, t)_{x = X (t)},$

in cui $κ$ è chiamato il coefficiente guida e $R (x, t)$ è il valore di campo in questo spazio. Si noti che l’operazione $\dots ∣_{x = X (t)}$ significa che è necessario calcolare la parte in $\dots$ prima, quindi sostituire $x$ con $X (t)$ . Per esempio biologico, la particella attiva può essere una cellula, il campo può essere la concentrazione di nutrienti e la strategia di salire sul gradiente può essere la chemiotassia. La cellula consuma il nutriente e risponde anche alla concentrazione locale di sostanze nutritive, biasing il suo movimento verso la direzione in cui la concentrazione aumenta di più. Se il nutriente non è diffuso e si recupera sempre localmente (ad esempio: Se la secrezione di una superficie è di 0, la sua dinamica può essere approssimata:

$\frac{\partial}{\partial t} R (x, t) = - \frac{1}{τ} R (x, t) - γ exp {- \frac{[ x - X ( t ) ] ^{2}}{2 λ ^{2}}},$

se $τ$ è la scala di tempo di recupero, $γ$ è il consumo e $λ$ è il raggio di influenza caratteristico. Prima di inoculare la cellula nell’ambiente, $R = 0$ ovunque e in qualsiasi momento. Qual è il più piccolo coefficiente di guida $κ$ (in $μ$ m $^{2}$ /s) per l’apertura del campo di azionamento, se i parametri sono $τ = 50$ s, $γ = 1$ s $^{- 1}$ e $λ = 10 μ$ m.

*Il titolo di questo problema significa “funicolare su, funicolare giù”. *

Raccolta Gare di Fisica

Esplora

OPhO 2023 — Open

Vista grafico