Spagna 2006

P1. Un calendario fósil.

Algunos corales generan en su esqueleto finas estrías a causa de las interrupciones diarias (día-noche) de su crecimiento. Estas estrías, posiblemente debidas a las variaciones de profundidad del mar por efecto de las mareas, se agrupan en estrechas bandas que corresponden a cada mes lunar. A su vez, las bandas mensuales se agrupan en otras, más anchas, con una periodicidad anual. Pueden apreciarse las citadas bandas en la fotografía de la figura 1, que corresponde a un coral fósil de Calceola sandalina, perteneciente al Museo Paleontológico de la Universidad de Zaragoza.

En definitiva, el sistema de estrías y bandas del esqueleto coralino equivale a un “calendario” de la época en la que el coral vivió y, a través de un estudio paleontológico, se deduce que entonces la duración del año era de unos 400 días. Por tanto, la Tierra giraba en torno a su eje con una velocidad angular mayor que en la actualidad. Puede suponerse que el periodo de rotación de la Tierra en torno al Sol no ha variado apreciablemente desde aquella época.

Por otra parte, mediciones muy precisas del tiempo de vuelo de pulsos láser emitidos desde la Tierra y reflejados en espejos colocados en la Luna, en misiones norteamericanas y de la antigua URSS, muestran que la distancia Tierra-Luna aumenta a razón de 3,8 cm/año.

La disminución de la velocidad angular de rotación de la Tierra y, en consecuencia, el paulatino aumento de la distancia entre la Luna y la Tierra, se deben a la enorme disipación de energía que se produce por la fricción del flujo y reflujo de las mareas oceánicas con los fondos marinos.

Dado que la masa de la Tierra es considerablemente mayor que la de la Luna y que la distancia entre sus centros es mucho mayor que cualquiera de sus radios, permite considerar la Luna como una partícula (puntual) de masa $M_L$ que describe una órbita circular de radio $R$ en torno al centro de la Tierra. En la figura 2 se representa a escala el sistema Tierra-Luna.

Suponga la Tierra esférica, con su eje de rotación perpendicular al plano de la órbita lunar, y que la pequeña velocidad con la que la Luna se aleja de la Tierra ha permanecido constante a lo largo del tiempo. Tenga en cuenta también que la Luna, vista desde la Tierra, presenta siempre la misma cara.

Con los datos que se indican al final del enunciado:

a) Determine la distancia actual entre la Tierra y la Luna, $R$, en función de la velocidad angular orbital de la Luna $\omega$, del radio de la Tierra $R_T$, y de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra $g$. Calcule $\omega$ y $R$.

b) Calcule las velocidades angulares de la Tierra en torno a su eje en la actualidad, ${\omega }_T$, y cuando el coral vivía, ${\omega }_T^{\prime }$.

c) Determine la distancia entre la Tierra y la Luna, $R^{\prime }$, en la época en la que vivió el coral, en función de las siguientes magnitudes: $R$, $M_T$, $M_L$, $R_T$, ${\omega }_T$, ${\omega }_T^{\prime }$ y $\omega$. Calcule el valor de $R^{\prime }$.

d) Haga una estimación de la “edad” del coral fósil, $\tau$.

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Datos:

• Masas de la Tierra y de la Luna: $M_T=5,98\times 10^{24}\text{kg}$; $M_L=7,35\times 10^{22}\text{kg}$
• Radio de la Tierra: $R_T=6,37\times 10^6\text{m}$
• Periodo de revolución de la Luna en torno a su eje: $T_L=2,36\times 10^6\text{s}$
• Periodo de revolución de la Tierra en torno al Sol: $T=3,16\times 10^7\text{s}$
• Día sidéreo: $T_T=8,64\times 10^4\text{s}$
• Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: $g=9,81{\text{m/s}}^2$

Ayudas:

• De acuerdo con el modelo propuesto (Tierra rotatoria con su centro fijo y la Luna como masa puntual) el momento angular total del sistema respecto al centro de la Tierra es igual a la suma de los momentos angulares de los movimientos de la Luna en torno a la Tierra y el de rotación de la Tierra en torno a su eje. Si el sistema está aislado, tal como se considera al sistema Tierra-Luna en este problema, su momento angular total debe conservarse.
• Para una esfera de masa $m$ y radio $a$ que gira con velocidad angular $\Omega$ en torno a un eje que pasa por su centro, el módulo de su momento angular respecto a dicho centro es $L_0=I\Omega$, donde $I$ es el momento de inercia respecto a dicho eje, cuyo valor es $I=\frac{2}{5}m{a}^2$.

Fossil coral Calceola sandalina with growth bands

Earth-Moon system to scale with angular velocities

Rotating sphere angular momentum diagram

Topic: Gravitation, Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1. Un calendario fossile.

Alcuni coralli generano strie nei loro scheletri sottili a causa delle interruzioni giornaliere (giorno-notto) della loro crescita. Queste strisce, probabilmente dovute alle variazioni di profondità del mare a causa delle maree, si raggruppano in strette bande che corrispondono a ogni mese lunare. Le bande mensili si raggruppano in altre più ampie, con una periodicità annuale. Si possono vedere le bande citate nella fotografia della figura 1, che corrisponde a un corallo fossile di calceola sandalina, appartenente al Museo Paleontologico dell’Università di Saragozza.

In definitiva, il sistema di stree e bande dello scheletro coralino equivale a un “calendario” dell’epoca in cui il corallo visse e, attraverso uno studio paleontologico, si deduce che allora la durata dell’anno era di circa 400 giorni. Pertanto la Terra ruotava intorno al suo asse con una velocità angolare maggiore di quella attuale. Si può supporre che il periodo di rotazione della Terra intorno al Sole non sia cambiato notevolmente da allora.

Inoltre, misurazioni molto precise del tempo di volo di laser pulsati emessi dalla Terra e riflessi in specchi posti sulla Luna, nelle missioni nordamericane e dell’ex URSS, mostrano che la distanza Terra-Luna aumenta a un tasso di 3,8 cm all’anno.

La diminuzione della velocità angolare di rotazione della Terra e, di conseguenza, il graduale aumento della distanza tra la Luna e la Terra, sono dovuti all’enorme dissipazione di energia che si verifica dalla friczione del flusso e del riflusso delle maree oceaniche con i fondali marini.

Dato che la massa della Terra è notevolmente maggiore di quella della Luna e che la distanza tra i suoi centri è molto maggiore di qualsiasi dei suoi raggi, si può considerare la Luna come una particella (puntuale) di massa $M_L$ che descrive un’orbita circolare di radio $R$ attorno al centro della Terra. La figura 2 rappresenta a scala il sistema Terra-Luna.

Supponiamo che la Terra sia sferica, con l’asse di rotazione perpendicolare al piano dell’orbita lunare, e che la piccola velocità con cui la Luna si allontana dalla Terra sia rimasta costante nel tempo. Si noti anche che la Luna, vista dalla Terra, presenta sempre la stessa faccia.

Con le informazioni riportate alla fine della frase:

a) Determina la distanza attuale tra la Terra e la Luna, $R$, in funzione della velocità angolare orbitale della Luna $\omega$, del raggio terrestre $R_T$ e dell’accelerazione della gravità sulla superficie terrestre $g$. Calcolare $\omega$ e $R$.

b) Calcola le velocità angolari della Terra attorno al suo asse attualmente, ${\omega }_T$, e quando il corallo era vivo, ${\omega }_T^{\prime }$.

c) Determina la distanza tra la Terra e la Luna, $R^{\prime }$, nel periodo in cui il corallo ha vissuto, in base alle seguenti magnitudini: $R$, $M_T$, $M_L$, $R_T$, ${\omega }_T$, ${\omega }_T^{\prime }$ e $\omega$. Calcolare il valore di $R^{\prime }$.

d) Fa’ una stima dell’ “età” del corallo fossile, $\tau$.

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Dati:

• Masse della Terra e della Luna: $M_T=5,98\times 10^{24}\text{kg}$; $M_L=7,35\times 10^{22}\text{kg}$
• Radio della Terra: $R_T=6,37\times 10^6\text{m}$
• Periodo di rivoluzione della Luna attorno al suo asse: $T_L=2,36\times 10^6\text{s}$
• Periodo di rivoluzione della Terra attorno al Sole: $T=3,16\times 10^7\text{s}$
• Giorno in ferro: $T_T=8,64\times 10^4\text{s}$
• Accelerazione della gravità sulla superficie terrestre: $g=9,81{\text{m/s}}^2$

Aiuti:

• Secondo il modello proposto (Terra rotante con il suo centro fisso e la Luna come massa puntuale) il momento angolare totale del sistema rispetto al centro della Terra è uguale alla somma dei momenti angolari dei movimenti della Luna attorno alla Terra e quello della rotazione della Terra attorno al suo asse. Se il sistema è isolato, come viene considerato il sistema Terra-Luna in questo problema, il suo momento angolare totale deve essere conservato.
• Per una sfera di massa $m$ e di radio $a$ che ruota a velocità angolare $\Omega$ attorno ad un’asse che passa attraverso il suo centro, il modulo del suo momento angolare rispetto a tale centro è $L_0=I\Omega$, dove $I$ è il momento di inerzia rispetto a tale asse, il cui valore è $I=\frac{2}{5}m{a}^2$.

Fossil coral Calceola sandalina with growth bands

Earth-Moon system to scale with angular velocities

Rotating sphere angular momentum diagram

Topic: Gravitation, Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1. A fossil calendar.

Some corals produce thin striations in their skeletons due to daily interruptions (day-night) in their growth. These striations, possibly caused by tidal variations in sea depth, group into narrow bands corresponding to each lunar month. In turn, the monthly bands group into broader bands with an annual periodicity. The mentioned striations and bands can be seen in the photograph of Figure 1, which shows a fossil coral of Calceola sandalina, belonging to the Paleontological Museum of the University of Zaragoza.

In short, the system of striations and bands in coral skeletons is equivalent to a “calendar” from the time when the coral lived. Through paleontological study, it is deduced that at that time the length of a year was about 400 days. Therefore, Earth rotated around its axis with a greater angular velocity than it does today. It may be assumed that the period of Earth’s rotation around the Sun has not changed appreciably since then.

On the other hand, very precise measurements of the flight time of laser pulses emitted from Earth and reflected by mirrors placed on the Moon during American and former Soviet Union missions show that the Earth-Moon distance increases at a rate of 3.8 cm/year.

The decrease in the Earth’s angular rotation velocity and, consequently, the gradual increase in the distance between the Moon and Earth are due to the enormous energy dissipation caused by friction between the oceanic tidal flow and ebb and the sea floors.

Given that Earth’s mass is considerably larger than that of the Moon, and that the distance between their centers is much greater than either of their radii, it is permissible to consider the Moon as a point mass $M_L$ moving in a circular orbit of radius $R$ around Earth’s center. Figure 2 shows, to scale, the Earth-Moon system.

Assume Earth is spherical, with its rotation axis perpendicular to the plane of the Moon’s orbit, and that the small rate at which the Moon is receding from Earth has remained constant over time. Also note that, as seen from Earth, the Moon always shows the same face.

Using the data provided at the end of the statement:

a) Determine the current distance between Earth and Moon, $R$, in terms of the Moon’s orbital angular velocity $\omega$, Earth’s radius $R_T$, and the acceleration due to gravity at Earth’s surface $g$. Calculate $\omega$ and $R$.

b) Calculate Earth’s current angular velocity of rotation about its axis, ${\omega }_T$, and its angular velocity when corals lived, ${\omega }_T^{\prime }$.

c) Determine the distance between Earth and the Moon, $R^{\prime }$, at the time when the coral lived, in terms of the following quantities: $R$, $M_T$, $M_L$, $R_T$, ${\omega }_T$, ${\omega }_T^{\prime }$ and $\omega$. Calculate the value of $R^{\prime }$.

d) Make an estimate of the “age” of the fossil coral, $\tau$.

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Data:

• Masses of Earth and the Moon: $M_T=5,98\times 10^{24}\text{kg}$; $M_L=7,35\times 10^{22}\text{kg}$
• Radius of Earth: $R_T=6,37\times 10^6\text{m}$
• Rotation period of the Moon around its own axis: $T_L=2,36\times 10^6\text{s}$
• Revolution period of Earth around the Sun: $T=3,16\times 10^7\text{s}$
• Sidereal day: $T_T=8,64\times 10^4\text{s}$
• Acceleration due to gravity on Earth’s surface: $g=9,81{\text{m/s}}^2$

Hints:

• According to the proposed model (rotating Earth with its center fixed, and the Moon as a point mass), the total angular momentum of the system about Earth’s center equals the sum of the angular momenta due to the Moon’s orbital motion around Earth and Earth’s rotational motion about its own axis. If the system is isolated, as assumed here for the Earth-Moon system, then its total angular momentum must be conserved.
• For a sphere of mass $m$ and radius $a$ rotating with angular velocity $\Omega$ about an axis passing through its center, the magnitude of its angular momentum with respect to that center is $L_0=I\Omega$, where $I$ is the moment of inertia about that axis, whose value is $I=\frac{2}{5}m{a}^2$.

Fossil coral Calceola sandalina with growth bands

Earth-Moon system to scale with angular velocities

Rotating sphere angular momentum diagram