Spagna 2008

P1. Anemometría sónica

Hoy en día, los Centros Meteorológicos disponen de aparatos muy sofisticados para medir la velocidad del viento que, además y simultáneamente, miden la temperatura del aire. El ejercicio que se propone hace referencia a uno de estos aparatos, el anemómetro sónico, que a diferencia de los convencionales carece de partes móviles como son las cazoletas giratorias, veleta, etc. El funcionamiento de este tipo de anemómetro se basa en la medida de tiempos de propagación de señales sonoras.

Como introducción, y para facilitar la resolución del ejercicio, se propone en primer lugar el conocido problema del movimiento de una canoa en un río.

Una canoa que navega a una velocidad constante $c$ respecto al agua, realiza una trayectoria rectilínea desde un punto $A$ hasta otro $B$ separados una distancia $L$ y después, realiza el trayecto inverso de $B$ hasta $A$. Los tiempos que tarda en hacer los recorridos son $t_1^{\prime }$ y $t_2^{\prime }$ respectivamente, siendo $t_1^{\prime }>t_2^{\prime }$ porque existe una corriente de velocidad ${\vec{v}}_a$ que tiene la dirección de $A$ a $B$, tal como se muestra en la figura 1.

(a) Deduzca las expresiones analíticas que permitan calcular $c$ y $v_a$ (módulo de ${\vec{v}}_a$) en función de $t_1^{\prime }$ y de $t_2^{\prime }$ y de la distancia $L$.

Suponga ahora, y en todo lo que sigue, que la canoa es una señal sonora que se propaga en el aire con una velocidad $c$ y que la velocidad ${\vec{V}}_a$ es la del viento.

(b) Si la velocidad de propagación del sonido es $c=3,44\times 10^2\text{m/s}$ y la del viento es $V_a=100,0\text{km/h}$, calcule los tiempos $t_1^{\prime }$ y $t_2^{\prime }$ tomando $L=20,0\text{cm}$.

Considere que el viento «no sopla» en la dirección $AB$ sino que lo hace de forma que ${\vec{v}}_a$ tiene dos componentes, $v_N$ y $v_L$, perpendicular y paralela a $AB$, respectivamente, tal como se indica en la figura 2.

(c) Como sólo se puede determinar la componente longitudinal de la velocidad del viento, deduzca la expresión de $v_L$ en función de la distancia $L$ y de los tiempos $t_1$ y $t_2$ que transcurren, respectivamente, desde que la señal sonora es emitida en $A$ y detectada en $B$ y viceversa.

$v_L=\frac{L}{2}\left(\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}\right)$

(d) Teniendo en cuenta que $c\gg v_a$, deduzca la expresión de la velocidad del sonido, $c$, en función de $L$, $t_1$ y $t_2$.

La velocidad de propagación del sonido en el aire, $c$, depende de la densidad del aire $\rho$ y de su módulo de compresibilidad $B$, según la expresión:

$c=\sqrt{\frac{B}{\rho }}$

En la propagación de una onda sonora, cada elemento de volumen del aire, $V$, experimenta variaciones periódicas de la presión, $\Delta p$, que dan lugar a variaciones, $\Delta V$, de su volumen. El módulo de compresibilidad representa el factor de proporcionalidad entre dichas variaciones, es decir, se define como:

$B=-\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$

Dada la baja conductividad térmica de los gases y la rapidez con que se producen las variaciones de presión y de volumen, estos procesos deben considerarse adiabáticos. En consecuencia, el modelo adiabático de propagación del sonido es el más indicado para aire seco, por lo que, si $\gamma$ es el índice adiabático del aire, se tiene:

$\gamma p\Delta V+V\Delta p=0$

(e) Considerando que el aire, de masa molecular media $M_a$, se comporta como un gas perfecto, obtén la expresión de $c$ en función de la temperatura $T$ del aire.

(f) ¿A qué temperatura la velocidad del viento tendrá el valor indicado en el apartado (b)?

$R=8,315\text{J/(K⋅mol)},M_a=28,8\times 10^{-3}\text{kg/mol},\gamma =1,40$

Canoe AB river current velocity diagram

Wind components parallel and perpendicular AB

Three-axis sonic anemometer photograph

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1. Anemometria sonico

Oggi i centri meteorologici dispongono di sofisticati apparecchi per misurare la velocità del vento che, oltre e contemporaneamente, misurano la temperatura dell’aria. L’esercizio proposto si riferisce a uno di questi apparecchi, l’anemometro sonico, che a differenza dei convenzionali non dispone di parti mobili come le casotte rotative, la vella, ecc. Il funzionamento di questo tipo di anemometro si basa sulla misura dei tempi di diffusione dei segnali sonori.

Per introdurre e facilitare la risoluzione dell’esercizio, si propone in primo luogo il noto problema del movimento di una canoa in un fiume.

Una canoa che naviga a velocità costante $c$ rispetto all’acqua, fa un percorso rettilineo da un punto $A$ a un altro $B$ separati una distanza $L$ e poi fa il percorso inverso da $B$ a $A$. I tempi di percorrenza sono $t_1^{\prime }$ e $t_2^{\prime }$ rispettivamente, essendo $t_1^{\prime }>t_2^{\prime }$ perché esiste un corrente di velocità ${\vec{v}}_a$ che ha la direzione da $A$ a $B$, come mostrato nella figura 1.

**(a) ** Deduce le espressioni analitiche che permettono di calcolare $c$ e $v_a$ (modulo di ${\vec{v}}_a$) in funzione di $t_1^{\prime }$ e di $t_2^{\prime }$ e della distanza $L$.

Supponiamo ora, e in tutto ciò che segue, che la canoa sia un segnale sonoro che si diffonde in aria a una velocità $c$ e che la velocità ${\vec{V}}_a$ sia quella del vento.

Se la velocità di diffusione del suono è $c=3,44\times 10^2\text{m/s}$ e quella del vento è $V_a=100,0\text{km/h}$, calcola i tempi $t_1^{\prime }$ e $t_2^{\prime }$ prendendo $L=20,0\text{cm}$.

Considera che il vento non soffia nella direzione $AB$ ma che lo fa in modo che ${\vec{v}}_a$ abbia due componenti, $v_N$ e $v_L$, perpendicolari e paralleli rispettivamente a $AB$, come indicato in figura 2.

**(c) ** Poiché si può determinare solo la componente longitudinale della velocità del vento, dedurre l’espressione $v_L$ in funzione della distanza $L$ e dei tempi $t_1$ e $t_2$ che passano, rispettivamente, dal momento che il segnale sonoro è emesso a $A$ e rilevato a $B$ e viceversa.

$v_L=\frac{L}{2}\left(\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}\right)$

**(d) ** Considerando che $c\gg v_a$, deduce l’espressione della velocità del suono, $c$, in funzione di $L$, $t_1$ e $t_2$.

La velocità di diffusione del suono in aria, $c$, dipende dalla densità dell’aria $\rho$ e dal suo modulo di compressibilità $B$, secondo l’espressione:

$c=\sqrt{\frac{B}{\rho }}$

Nella diffusione di un’onda sonora, ogni elemento di volume dell’aria, $V$, subisce variazioni periodiche della pressione, $\Delta p$, che danno luogo a variazioni, $\Delta V$, del suo volume. Il modulo di compressibilità rappresenta il fattore di proporzionalità tra tali variazioni, cioè è definito come:

$B=-\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$

Dato la bassa conducibilità termica dei gas e la rapidità con cui si verificano variazioni di pressione e di volume, questi processi devono essere considerati adiabatici. Di conseguenza, il modello adiabatico di diffusione del suono è il più indicato per l’aria secca, quindi, se $\gamma$ è l’indice adiabatico dell’aria, si ottiene:

$\gamma p\Delta V+V\Delta p=0$

**(e) ** Considerando che l’aria, di massa molecolare media $M_a$, si comporta come un gas perfetto, si ottiene l’espressione di $c$ in funzione della temperatura $T$ dell’aria.

**(f) ** A che temperatura la velocità del vento avrà il valore indicato al punto (b)?

$R=8,315\text{J/(K⋅mol)},M_a=28,8\times 10^{-3}\text{kg/mol},\gamma =1,40$

Canoe AB river current velocity diagram

Wind components parallel and perpendicular AB

Tre-axis sonic anemometer photograph

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

**P1. The test chemical shall be used to determine the concentration of the active substance in the test chemical.

Today, the Meteorological Centers have sophisticated wind speed measuring devices that also measure the temperature of the air simultaneously. The proposed exercise refers to one of these devices, the sonic anemometer, which, unlike conventional ones, lacks moving parts such as rotating windscreens, a windshield, etc. The operation of this type of anemometer is based on measuring the propagation times of sound signals.

As an introduction, and to facilitate the resolution of the exercise, the well-known problem of canoe movement in a river is proposed first.

A canoe sailing at a constant speed $c$ with respect to water, makes a straight path from one point $A$ to another $B$ separated by a distance $L$ and then makes the reverse path from $B$ to $A$. The times taken to make the routes are $t_1^{\prime }$ and $t_2^{\prime }$ respectively, being $t_1^{\prime }>t_2^{\prime }$ because there is a speed current ${\vec{v}}_a$ which has the direction from $A$ to $B$, as shown in Figure 1.

**(a) ** Deducts the analytical expressions that allow calculating $c$ and $v_a$ (module of ${\vec{v}}_a$) based on $t_1^{\prime }$ and $t_2^{\prime }$ and the distance $L$.

Now suppose, and in everything that follows, that the canoe is a sound signal that spreads through the air at a speed of $c$ and that the speed ${\vec{V}}_a$ is that of the wind.

If the speed of propagation of sound is $c=3,44\times 10^2\text{m/s}$ and the speed of wind is $V_a=100,0\text{km/h}$, calculate the times $t_1^{\prime }$ and $t_2^{\prime }$ by taking $L=20,0\text{cm}$.

Consider that the wind does not blow in the direction $AB$ but does so so that ${\vec{v}}_a$ has two components, $v_N$ and $v_L$, perpendicular to and parallel to $AB$, respectively, as shown in Figure 2.

**(c) ** Since the longitudinal component of wind speed can only be determined, deduce the expression $v_L$ from the distance $L$ and the times $t_1$ and $t_2$ that pass, respectively, since the sound signal is emitted at $A$ and detected at $B$ and vice versa.

$v_L=\frac{L}{2}\left(\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}\right)$

**(d) ** Given that $c\gg v_a$, deduce the expression of the speed of sound, $c$, as a function of $L$, $t_1$ and $t_2$.

The air speed of propagation of sound, $c$, depends on the density of the air $\rho$ and its compressibility module $B$, according to the expression:

$c=\sqrt{\frac{B}{\rho }}$

In the propagation of a sound wave, each element of air volume, $V$, experiences periodic variations in pressure, $\Delta p$, which give rise to variations, $\Delta V$, in its volume. The compressibility module represents the proportionality factor between these variations, i.e. it is defined as:

$B=-\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$

Given the low thermal conductivity of the gases and the speed with which pressure and volume variations occur, these processes should be considered adiabatic. Consequently, the adiabatic model of sound propagation is best suited for dry air, so if $\gamma$ is the adiabatic index of air, you have:

$\gamma p\Delta V+V\Delta p=0$

**(e) ** Since air, with a mean molecular mass $M_a$, behaves as a perfect gas, it is expressed as $c$ in terms of the temperature $T$ of the air.

**(f) ** At what temperature shall the wind speed be the value indicated in paragraph (b)?

$R=8,315\text{J/(K⋅mol)},M_a=28,8\times 10^{-3}\text{kg/mol},\gamma =1,40$

The following is the list of the vessels of the Union:

The following table shows the results of the calculations:

The following is the list of the types of sound measurements used:

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1