P1. Un deporte de invierno: los saltos de esquí
En esta espectacular modalidad deportiva, los espectadores se mantienen en vilo desde que el atleta inicia el descenso por la pista hacia el trampolín hasta que, tras saltar al “vacío”, realiza un estático vuelo, aterriza suavemente, frena y se detiene. Este atleta, mediante un largo y duro entrenamiento, ha adquirido la suficiente destreza para lograr que la física esté de su parte permitiéndole mejorar sus marcas.
El perfil de la pista de saltos, mostrado en la figura 1, presenta cuatro partes: la primera es la zona de aceleración, en la que los saltadores que han partido de alguna de las salidas escalonadas, sin velocidad inicial, descienden por una pronunciada pendiente hasta el trampolín, en el que la pendiente se reduce hasta un ángulo . En el borde S del trampolín, el saltador inicia el vuelo sobre la zona de salto, que tiene forma aproximadamente parabólica y una longitud característica de la instalación: se habla así de pistas de 50, 80 ó 90 m.
La tercera zona, P – K, es la de aterrizaje, de longitud y pendiente constante de ángulo . A partir del límite K de esta región, el denominado punto crítico, se inicia la cuarta zona, de frenado, en la que no debe producirse el aterrizaje pues disminuye rápidamente la pendiente y el impacto sería peligroso. Según sean las condiciones meteorológicas, el estado de la pista y la calidad de los competidores, los jueces deciden el punto de partida adecuado (una de las salidas escalonadas) para conseguir que el aterrizaje se realice siempre en la zona adecuada, y no en la de frenado. En concreto, los jueces fijan la altura del punto de salida respecto al borde S del trampolín.
Los principales parámetros de un gran trampolín () se encuentran indicados en el cuadro de datos de la figura 1.
Datos: , , , , , , ,
a) Suponiendo que en el descenso por la zona de aceleración (desde la salida hasta el punto S), el rozamiento con el suelo y el aire disipan una energía que es igual al 20 % de la energía mecánica inicial, determine y calcule el módulo de la velocidad de despegue del saltador, , sabiendo que ha iniciado el descenso, sin velocidad inicial, desde una salida con la altura dada en el cuadro de valores.
A pesar de que el trampolín tiene una pendiente final descendente , la velocidad real de salida del saltador, , es prácticamente horizontal, pues se da un impulso perpendicular a la pista justo antes de iniciar el vuelo. Para ello, el saltador desciende con las piernas flexionadas y las extiende en el extremo final del trampolín, haciendo un gesto similar al de un salto, sin carrerilla, perpendicular al suelo. Así, además de descender en una postura más aerodinámica, consigue imprimirse una velocidad perpendicular al trampolín y alargar el salto. (Observa el diagrama vectorial indicado en la figura 1).
b) Calcule cuál debe ser el valor de la velocidad y compruebe si podrá conseguirla un atleta capaz de realizar un salto vertical de altura , ¡sin carrerilla!
Suponga que la velocidad de salida es exactamente horizontal y no tenga en cuenta los efectos de la fuerza de fricción con el aire ni los de sustentación debidos a la aerodinámica del saltador. (En la práctica el segundo efecto domina sobre el primero, de forma que los saltos reales son algo más largos que los idealizados parabólicos).
c) Obtenga la ecuación de la trayectoria que hipotéticamente describirá el saltador, referida al sistema de coordenadas OXY indicado en la figura 2 que se encuentra en la “hoja de respuestas” adjunta. En dicha figura se representa también el perfil de la pista (sombreado), desde el punto de salida S del trampolín hasta el punto crítico K.
d) Sobre la figura 2, haga una representación gráfica de la trayectoria y determine aproximadamente el punto C de aterrizaje, con sus correspondientes coordenadas e .
e) Determine las componentes de la velocidad del saltador cuando toca la pista en la zona de aterrizaje. Calcule el ángulo que forma la velocidad con el eje OX.
f) Determine y calcule el ángulo, , que forma la velocidad final con la pista.
Ski jump profile with zones and data table
OXY coordinate graph for trajectory plotting
Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.1
P1. Uno sport invernale: gli sci salti
In questa spettacolare modalità sportiva, gli spettatori si mantengono in vita da quando l’atleta inizia la discesa per la pista verso il trampolino fino a quando, dopo aver saltato al “vuoto”, realizza un volo statico, atterra dolcemente, frenando e si ferma. Questo atleta, attraverso un lungo e duro allenamento, ha acquisito abbastanza abilità per far sì che la fisica sia dalla sua parte consentendogli di migliorare i suoi marchi.
Il profilo della pista di salto, mostrato nella figura 1, presenta quattro parti: la prima è la zona di accelerazione, in cui i saltatori che hanno partito da una delle uscite gradate, senza velocità iniziale, scendono per una pendiente pronunciata fino al trampolino, in cui la pendiente si riduce ad un angolo . Al bordo S del trampolino, il saltatore inizia il volo sulla zona di salto, che ha una forma approssimativamente parabolica e una lunghezza caratteristica dell’impianto: si parla così di piste di 50, 80 o 90 m.
La terza zona, P K, è quella di atterraggio, di lunghezza e pendenza costante di angolo . Dal limite K di questa regione, il punto critico, inizia la quarta zona di frenata, in cui non deve verificarsi l’atterraggio perché la pendenza diminuisce rapidamente e l’impatto sarebbe pericoloso. A seconda delle condizioni meteorologiche, dello stato del circuito e della qualità dei concorrenti, i giudici decidono il punto di partenza appropriato (una delle uscite a tappe) per assicurare che l’atterraggio si svolga sempre nella zona adeguata, e non nella zona di frenata. In particolare, i giudici fissano l’altezza del punto di partenza rispetto al bordo S del trampolino.
I principali parametri di un grande trampolino () sono indicati nella tabella di dati di figura 1.
Dati: , , , , , , ,
a) Supponendo che, nella discesa per la zona di accelerazione (dall’uscita al punto S), il ruggine con il suolo e l’aria dissipi un’energia pari al 20% dell’energia meccanica iniziale, determinare e calcolare il modulo della velocità di decollo del saltatore, , sapendo che è iniziato il declino, senza velocità iniziale, da un’uscita con l’altezza data nel quadro di valori.
Anche se il trampolino ha una pendice finale discendente , la velocità di uscita reale del saltatore, , è praticamente orizzontale, poiché viene dato un impulso perpendicolare alla pista appena prima di iniziare il volo. Per questo, il saltatore scende con le gambe fleccate e le estende all’estremità finale del trampolino, facendo un gesto simile a quello di un salto, senza corsia, perpendicolare al pavimento. Così, oltre a scendere in una postura più aerodinamica, si riesce a stampare una velocità perpendicolare al trampolino e allungare il salto. (Ricorda il diagramma vettoriale riportato in figura 1).
b) Calcolare il valore della velocità e verificare se può essere ottenuta da un atleta in grado di effettuare un salto verticale di altezza , senza carriera!
Supponiamo che la velocità di uscita sia esattamente orizzontale e non tenga conto degli effetti della forza di frizione con l’aria o di quelli di sostenimento dovuti all’aerodinamica del saltatore. (In pratica il secondo effetto domina il primo, in modo che i salti reali sono un po’ più lunghi rispetto agli idealizzati parabolici).
c) Ottieni l’equazione di percorso che ipoteticamente descriverà il saltatore, relativa al sistema di coordinate OXY indicato nella figura 2 che si trova nell’allegato “Fonte di risposte”. La figura mostra anche il profilo della pista (sombeggiata), dal punto di uscita S del trampolino di lancio al punto critico K.
d) Sulla figura 2, fare una rappresentazione grafica del percorso e determinare approssimativamente il punto di atterraggio C, con le rispettive coordinate e .
e) Determina i componenti della velocità del saltatore quando tocca la pista nella zona di atterraggio. Calcolare l’angolo che forma la velocità con l’asse OX.
f) Determina e calcola l’angolo, , che forma la velocità finale con la pista.
Ski jump profile with zones and data table
OXY coordinate graph for trajectory plotting
Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.1
P1. A winter sport: ski jumping
In this spectacular sporting discipline, spectators hold their breath from the moment the athlete begins descending the track toward the jump-off ramp until, after leaping into “empty space,” he performs a static flight, lands gently, brakes, and comes to a stop. This athlete, through long and intense training, has acquired sufficient skill to ensure physics is on his side, allowing him to improve his records.
The profile of the ski jumping track, shown in Figure 1, consists of four sections: the first is the acceleration zone, where jumpers who have started from one of several staggered starting points—initially at rest—descend along a steep slope until reaching the jump-off ramp, where the incline reduces to an angle of . At edge S of the ramp, the jumper initiates flight over the jump zone, which has an approximately parabolic shape and a characteristic length depending on the facility: thus, tracks are referred to as 50 m, 80 m, or 90 m.
The third zone, P–K, is the landing area, with length and constant slope angle . Starting from point K, the so-called critical point, the fourth zone—braking zone—begins. Landing must not occur in this zone because the slope decreases rapidly, making impact dangerous. Depending on weather conditions, track state, and competitors’ performance, judges determine the appropriate starting point (one of the staggered starts) to ensure landing always occurs in the correct zone, not in the braking zone. Specifically, judges set the height of the starting point relative to edge S of the ski jump.
The main parameters for a large ski jump () are listed in the data table of Figure 1.
Data: , , , , , , ,
a) Assuming that during descent through the acceleration zone (from start to point S), friction with the ground and air dissipates an energy equal to 20% of the initial mechanical energy, determine and calculate the magnitude of the jumper’s takeoff velocity, , knowing that the descent began from rest at a starting point with height given in the data table.
Although the ski jump has a final downward slope , the actual takeoff velocity of the jumper, , is practically horizontal, as a perpendicular impulse to the track is delivered just before launching. To achieve this, the jumper descends with bent legs and extends them at the very end of the ramp, performing a motion similar to a standing jump without approach, perpendicular to the ground. Thus, in addition to descending in a more aerodynamic posture, they acquire a velocity perpendicular to the ramp and increase their jump distance. (See the vector diagram indicated in Figure 1).
b) Calculate what value the velocity must have, and verify whether an athlete capable of performing a vertical jump of height can achieve it, even without a running start!
Assume that the exit velocity is exactly horizontal and neglect the effects of air friction as well as aerodynamic lift. (In practice, the second effect dominates over the first, so actual jumps are somewhat longer than idealized parabolic trajectories).
c) Derive the equation of the trajectory that the jumper would hypothetically follow, referred to the OXY coordinate system indicated in Figure 2 located on the “answer sheet” attached. In this figure, the profile of the ramp (shaded) is also shown, from the takeoff point S on the ramp to the critical point K.
d) On Figure 2, make a graphical representation of the trajectory and approximately determine the landing point C, along with its corresponding coordinates and .
e) Determine the components of the velocity of the jumper when it touches the landing zone. Calculate the angle that the velocity forms with the OX axis.
f) Determine and calculate the angle that the final velocity forms with the landing slope.
Ski jump profile with zones and data table
OXY coordinate graph for trajectory plotting