P1 La cuerda: compañera inseparable del alpinista.
Sense cap dubte, la joia del patrimoni natural de Lleida són les seves muntanyes i, molt especialment, el Parc Nacional d’Aigüestortes i Estany de Sant Maurici. Dos dels seus pics més emblemàtics són les agulles dels Encantats, de més de 2700 m d’alçada. Per això, els esports de muntanya tenen a Lleida un extraordinari arrelament, incloent-hi la seva variant més emocionant i arriscada, l’escalada.
Las cuerdas de montaña, compañeras inseparables de los escaladores, esconden tras su aparente sencillez unas características extraordinarias logradas con una avanzada tecnología en la que la Física, como de costumbre, es la estrella invitada. Estas cuerdas deben soportar elevadas cargas, ser ligeras y flexibles, resistentes a los roces y cortes, estables con la temperatura… y tienen que ser elásticas, es decir extensibles. En este ejercicio vamos a estudiar esta última propiedad y sus límites. Comencemos con una descripción del uso de la cuerda como elemento protector ante posibles caídas. En la figura 1 se muestra a un escalador que ha llegado al punto C de una pared tras completar un largo de su cuerda. Ha tenido la fundamental precaución de atar firmemente un extremo de la cuerda a la fijación A y pasarla por una anilla (mosquetón) colocada en otra fijación en B. Las distancias entre B y C y entre A y B son respectivamente 1l y 2l . La longitud activa de la cuerda es 2 1 l l L +
Si, alcanzado el punto C, el escalador tiene la mala pata de caerse, el recorrido de su vuelo será 1 2l h = y el tirón que sufra cuando la cuerda lo frene será menor que el que sufriría si no hubiese puesto el mosquetón en B, ya que entonces el recorrido hubiese sido 2L, mayor que h. En la jerga montañera se define el factor de caída, f :
2 1 1 2 l l l L h f +
=
Este factor, que puede tomar valores entre 0 y 2, es un concepto muy importante en escalada ya que representa una medida de la “dureza” de las caídas: f < 1: caída relativamente suave (el escalador estaba cercano
a la fijación B). f = 1: caída dura (B está a mitad del largo). f > 1: caída muy dura (el escalador estaba lejos de B). f = 2: la peor caída posible (sin fijación entre el escalador y el
punto A de reunión). Se deben evitar a toda costa. Son
muy peligrosas para el escalador y afectan a la
durabilidad de la cuerda y de las fijaciones. A B Fig. 1 h = 2 l1 l2 l1 C Estany de Sant Maurici i Els Encantats
La protección que la cuerda brinda al escalador consiste en frenar su caída, es decir, convertir su energía mecánica en elástica, alargándose la cuerda una cierta longitud x, como si de un muelle se tratase. Este modelo físico cuerda ≡ muelle es válido siempre que el alargamiento x esté comprendido en el intervalo e x x 0 , donde ex es el llamado límite elástico. La Unión Internacional de Asociaciones de Alpinismo (UIAA) exige a los fabricantes de cuerdas que, como máximo, 08 ,0 /
L xe , es decir ex no debe superar el 8 % de L. Para alargamientos superiores a ex el modelo cuerda ≡ muelle deja de funcionar. La tensión no es proporcional al alargamiento sino que toma un valor máximo, m F , que se mantiene casi constante hasta que, para alargamientos del orden del 50 %, la cuerda se rompe (límite de rotura, L xr 5,0 ). El valor de esta tensión máxima, m F , también lo impone la UIAA: no debe exceder1 los 1200 daN para cuerdas estándar (1 daN = 1decaNewton = 10 N). Todo este proceso se resume en la gráfica de la figura 2, donde se representa, de forma idealizada, la tensión de una cuerda estándar en función de su alargamiento unitario, L x / . En el intervalo de alargamientos r e x x x el comportamiento de la cuerda tiene una importante peculiaridad: su deformación no es elástica sino plástica, es decir, la deformación alcanzada dentro de este intervalo es permanente, no desaparece al cesar la tensión. Por ejemplo, en la figura 3 se representa la gráfica correspondiente a una caída que supera el límite elástico, llegando hasta 2,0 /
L x . Cuando la cuerda se relaje (cuando se anule la tensión) no recuperará la longitud inicial L sino que quedará con un alargamiento permanente del 12 %. Este proceso de deformación plástica acorta la vida de la cuerda, y puede llegar a acortar dramáticamente la vida del escalador, ya que los alargamientos permanentes se van acumulando en sucesivas caídas, acercándose al fatídico límite de rotura. Después de estas explicaciones, consideremos el caso de un escalador de masa M que sufre una caída de factor f. En el punto más bajo de la caída el alargamiento unitario de la cuerda es L x / y su tensión es F. a) En el intervalo de validez del modelo elástico, es decir ex x , obtenga la expresión del alargamiento unitario L x / en función de M, g, F y f. Suponga en lo que sigue que un montañero de 80 kg usa una cuerda que puede soportar una tensión máxima daN 1200
m F y cuyo límites elástico y de rotura son 08 ,0 /
L xe y 5,0 /
L xr . b) ¿Cuál es el mayor factor f de las caídas que puede sufrir sin que su cuerda se deforme plásticamente? c) ¿Cuál será la deformación plástica unitaria de la cuerda en una caída de factor 2
f ? d) ¿Cuántas caídas de tipo 2
f podrá soportar la cuerda sin romperse?
1 Este valor corresponde, aproximadamente, a la fuerza que actúa sobre una masa de 80 kg para que su aceleración sea de 15 g, que es la máxima que un ser humano puede soportar durante un tiempo corto, sin sufrir graves daños. Fig. 3 F (daN) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x/L 0 300 600 900 1200 1500 F (daN) x/L xe /L Fm xr /L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Fig. 2 0 300 600 900 1200 1500
Solución a) Supongamos que el montañero se cae desde el punto C de la figura 4. Durante el recorrido de longitud 1 2l h = la caída es libre, pero a partir del punto B’ la cuerda comienza a estirarse y a frenar su caída. El descenso continúa hasta el punto B”, donde el montañero se detiene (velocidad nula) y la cuerda se ha estirado una longitud máxima x.
Durante el recorrido CB’ la única fuerza que actúa sobre el montañero es el peso, mientras que entre B’ y B”, además del peso, actúa la fuerza elástica. Ambas fuerzas son conservativas, por lo que la energía mecánica debe conservarse. En particular
Energía mecánica en C = Energía mecánica en B” (1) Mientras los alargamientos de la cuerda no excedan el límite elástico, la cuerda equivale a un muelle de constante x F K /
, con una energía potencial elástica
Fx Kx U e 2 1 2 1 2 =
Luego, tomando como nivel de referencia de energía potencial gravitatoria la horizontal en B”, en virtud de (1) tendremos
( ) Fx x h Mg 2 1
Mg F Mgh x 2 2
Dividiendo ambos miembros por L y teniendo en cuenta que f = h / L, se obtiene la expresión pedida
Mg F f Mg L x 2 2
(2) b) Si en la expresión anterior (2) se despeja el factor de caída f, se obtiene
L x Mg Mg F f 2 2
Con los datos del problema y considerando el máximo alargamiento unitario elástico, 08 ,0 /
L xe , se obtiene que el mayor factor de caída con deformación puramente elástica es
5,0
f
c) Si la caída tiene un factor 5 ,0
f , la cuerda necesariamente sobrepasará su zona de comportamiento elástico, por lo que la deformación de la cuerda será la suma del alargamiento elástico, e x , y del plástico, p x (situación análoga a la de la figura 3). En esta caída el montañero recorre una distancia p e x x L + + 2 , con un variación de energía potencial gravitatoria
) 2 ( p e x x L Mg U + +
Esta variación debe ser igual al trabajo realizado por la tensión de la cuerda a lo largo de los recorridos elástico y plástico, e x y p x , respectivamente
e m e x F W 2 1
p m e x F W
Con lo que resulta
( ) p m e m p e x F x F x x L Mg +
2 1 2
A C B x h Fig. 4 B’ B”
Sustituyendo L xe 0
Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Elasticity & Materials Metodi: Energy Conservation Method, Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1
P1 La corda: compagna inseparabile dell’alpinista.
Senz’ombra di dubbio, la gemma del patrimonio naturale della provincia di Lleida sono le sue montagne e, in particolare, il Parco Nazionale d’Aigüestortes i Estany de Sant Maurici. Due delle sue vette più emblematiche sono le aguglie dels Encantats, con un’altitudine superiore ai 2700 m. Per questo motivo, nello sport della montagna a Lleida si è sviluppata un’eccezionale radice, compresa la sua variante più emozionante e rischiosa: l’arrampicata.
Le corde da montagna, compagne inseparabili degli arrampicatori, nascondono dietro la loro apparente semplicità caratteristiche straordinarie ottenute grazie a una tecnologia avanzata in cui, come di consueto, la Fisica è l’ospite d’onore. Queste corde devono sopportare carichi elevati, essere leggere e flessibili, resistenti agli sfregamenti e ai tagli, stabili con la temperatura… e devono essere elastiche, ovvero estendibili. In questo esercizio studieremo proprio questa proprietà e i suoi limiti.
Cominciamo con una descrizione dell’uso della corda come elemento di protezione contro possibili cadute. Nella Figura 1 è rappresentato un arrampicatore che ha raggiunto il punto C di una parete dopo aver utilizzato un lungo della corda. Si è assicurato con la massima cautela fissando un’estremità della corda al punto di ancoraggio A e facendola passare attraverso un anello (moschettone) posizionato su un altro punto di ancoraggio in B. Le distanze tra B e C e tra A e B sono rispettivamente 1l e 2l. La lunghezza attiva della corda è 2 1 l l L +
Sì, raggiunto il punto C, l’alpinista ha la sfortuna di cadere; il percorso del suo volo sarà 1 2l h = e la tensione subita quando la corda lo arresta sarà minore di quella che subirebbe se non avesse inserito il moschettone in B, poiché in tal caso il percorso sarebbe stato 2L, maggiore di h. Nel gergo alpinistico si definisce il fattore di caduta, f:
2 1 1 2 l l l L h f +
=
Questo fattore, che può assumere valori compresi tra 0 e 2, è un concetto molto importante in arrampicata poiché rappresenta una misura della “durezza” delle cadute: f < 1: caduta relativamente lieve (l’alpinista si trovava vicino alla fissazione B). f = 1: caduta dura (B si trova a metà del lungo). f > 1: caduta molto dura (l’alpinista si trovava lontano da B). f = 2: la peggiore delle cadute possibili (nessuna fissazione tra l’alpinista e il punto A di incontro). Devono essere evitate a ogni costo. Sono molto pericolose per l’alpinista e influiscono sulla durabilità della corda e delle fissazioni. A B Fig. 1 h = 2 l1 l2 l1 C Lago di Sant Maurici e Els Encantats
La protezione offerta dall’alpinista dalla corda consiste nel frenare la sua caduta, ovvero trasformare la sua energia meccanica in energia elastica allungandosi di una certa lunghezza x, come se fosse una molla. Questo modello fisico corda ≡ molla è valido purché l’allungamento x sia compreso nell’intervallo e x x 0, dove ex è detto limite elastico. L’Unione Internazionale delle Associazioni di Alpinismo (UIAA) richiede ai produttori di corde che, al massimo, 08 ,0 /
L xe ovvero ex non deve superare l’8 % di L. Per allungamenti superiori a ex il modello corda ≡ molla cessa di essere valido. La tensione non è più proporzionale all’allungamento, ma raggiunge un valore massimo, m F , che rimane quasi costante fino a quando, per allungamenti dell’ordine del 50 %, la corda si rompe (limite di rottura, L xr 5,0 ). Il valore di questa tensione massima, m F , è anch’esso stabilito dall’UIAA: non deve superare i 1200 daN per corde standard (1 daN = 1 decaNewton = 10 N). Tutto questo processo è riassunto nella figura 2, dove viene rappresentata in modo idealizzato la tensione di una corda standard in funzione del suo allungamento unitario, L x / . Nel campo di allungamenti r e x x x il comportamento della corda presenta una caratteristica importante: la sua deformazione non è elastica ma plastica, ovvero la deformazione raggiunta in questo intervallo è permanente e non scompare quando cessa la tensione. Ad esempio, nella figura 3 è rappresentata la curva relativa a una caduta che supera il limite elastico, arrivando fino a 2,0 / = L x . Quando la corda si rilassa (quando la tensione si annulla) non riprenderà la lunghezza iniziale L, ma rimarrà con un allungamento permanente dell’12 %. Questo processo di deformazione plastica accorcia la durata della corda, e può arrivare a ridurre drammaticamente la vita dell’arrampicatore, poiché gli allungamenti permanenti si accumulano in successive cadute, avvicinandosi al fatale limite di rottura. Dopo queste spiegazioni, consideriamo il caso di un alpinista di massa M che subisce una caduta con fattore f. Nel punto più basso della caduta, l’allungamento unitario della corda è L x / y la sua tensione è F. a) Nell’intervallo di validità del modello elastico, ovvero per x ≤ , ricavare l’espressione dell’allungamento unitario L x / in funzione di M, g, F e f.
Si assuma nel seguito che un alpinista da 80 kg utilizzi una corda in grado di sopportare una tensione massima Fm = 1200 daN, con limite elastico e di rottura dati rispettivamente da L xe = 0,08 / e L xr = 0,50 /.
b) Qual è il massimo fattore f di caduta che può subire senza che la corda si deformi plasticamente?
c) Quale sarà l’allungamento unitario plastico della corda in una caduta con f = 2?
d) Quante cadute del tipo f = 2 potrà sopportare la corda senza rompersi?
1 Questo valore corrisponde, approssimativamente, alla forza che agisce su una massa di 80 kg per produrre un’accelerazione di 15 g, che è il massimo valore che un essere umano può sopportare per un breve intervallo di tempo senza subire gravi danni. Fig. 3 F (daN) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x/L 0 300 600 900 1200 1500 F (daN) x/L xe /L Fm xr /L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Fig. 2 0 300 600 900 1200 1500
Soluzione a) Supponiamo che l’alpinista cada dal punto C della figura 4. Durante il tratto di lunghezza 1 2l h = la caduta è libera, ma a partire dal punto B’ la corda comincia ad allungarsi e a frenare la caduta. Il moto prosegue fino al punto B”, dove l’alpinista si ferma (velocità nulla) e la corda ha raggiunto un allungamento massimo x.
Durante il tratto CB’ la sola forza che agisce sull’alpinista è il peso, mentre tra B’ e B” oltre al peso agisce anche la forza elastica. Entrambe le forze sono conservative, quindi l’energia meccanica deve conservarsi. In particolare vale
Energia meccanica in C = Energia meccanica in B” (1) Mentre gli allungamenti della corda non superano il limite elastico, la corda equivale a una molla di costante x F K / = , con un’energia potenziale elastica
Fx Kx U e 2 1 2 1 2 = =
Scegliendo come riferimento per l’energia potenziale gravitazionale il piano orizzontale passante per B”, in virtù di (1) si ottiene
( ) Fx x h Mg 2 1 = + Mg F Mgh x 2 2
Dividendo entrambi i membri per L e tenendo conto che f = h / L, si ottiene l’espressione richiesta
Mg F f Mg L x 2 2
(2) b) Se nell’espressione precedente (2) si isola il fattore di caduta f, si ottiene
L x Mg Mg F f 2 2
Con i dati del problema e considerando il massimo allungamento unitario elastico, 08 ,0 / = L xe , si ricava che il massimo fattore di caduta con deformazione puramente elastica è
5,0 = f
c) Se la caduta ha un fattore 5 ,0
f , la corda supererà necessariamente la sua zona di comportamento elastico, per cui la deformazione della corda sarà la somma dell’allungamento elastico, e x , e di quello plastico, p x (situazione analoga a quella della figura 3). In questa caduta l’alpinista percorre una distanza p e x x L
2 , con una variazione di energia potenziale gravitazionale
) 2 ( p e x x L Mg U + +
Questa variazione deve essere uguale al lavoro compiuto dalla tensione della corda lungo i percorsi elastico e plastico, e x e p x , rispettivamente
e m e x F W 2 1
p m e x F W
Con cui risulta
( ) p m e m p e x F x F x x L Mg +
2 1 2
A C B x h Fig. 4 B’ B”
Sostituendo L xe 0
P1 The rope: the climber’s inseparable companion.
Without a doubt, the jewel of Lleida’s natural heritage is its mountains and, very especially, the Aigüestortes i Estany de Sant Maurici National Park. Two of its most emblematic peaks are the Encantats needles, more than 2700 m high. For this reason, mountain sports have extraordinarily deep roots in Lleida, including their most exciting and risky variant, climbing.
Mountain ropes, the inseparable companions of climbers, hide behind their apparent simplicity some extraordinary characteristics achieved with advanced technology in which Physics, as usual, is the guest star. These ropes must withstand high loads, be light and flexible, resistant to rubbing and cuts, stable with temperature… and they must be elastic, that is, extensible. In this exercise we are going to study this last property and its limits. Let us begin with a description of the use of the rope as a protective element against possible falls. Figure 1 shows a climber who has reached point C of a wall after completing a length of his rope. He has taken the fundamental precaution of firmly tying one end of the rope to anchor A and passing it through a ring (carabiner) placed at another anchor at B. The distances between B and C and between A and B are respectively 1l and 2l . The active length of the rope is 2 1 l l L +
Yes, upon reaching point C, the climber has the bad luck to fall; the path of his flight will be 1 2l h = and the jolt he suffers when the rope brakes him will be less than what he would suffer if he had not placed the carabiner at B, since then the path would have been 2L, greater than h. In mountaineering jargon, the fall factor is defined, f:
2 1 1 2 l l l L h f +
=
This factor, which can take values between 0 and 2, is a very important concept in climbing since it represents a measure of the “severity” of falls: f < 1: relatively soft fall (the climber was close
to the anchor B). f = 1: hard fall (B is at the midpoint of the pitch). f > 1: very hard fall (the climber was far from B). f = 2: the worst possible fall (with no anchor between the climber and the
belay point A). They must be avoided at all costs. They are
very dangerous for the climber and affect the
durability of the rope and the anchors. A B Fig. 1 h = 2 l1 l2 l1 C Estany de Sant Maurici i Els Encantats
The protection that the rope provides to the climber consists of braking his fall, that is, converting his mechanical energy into elastic energy, by the rope stretching a certain length x, as if it were a spring. This physical model rope ≡ spring is valid as long as the elongation x is within the interval e x x 0 , where ex is the so-called elastic limit. The International Union of Mountaineering Associations (UIAA) requires rope manufacturers that, at most, 08 ,0 /
L xe , that is, ex must not exceed 8 % of L. For elongations greater than ex the rope ≡ spring model stops working. The tension is not proportional to the elongation but instead takes a maximum value, m F , which remains almost constant until, for elongations on the order of 50 %, the rope breaks (breaking limit, L xr 5,0 ). The value of this maximum tension, m F , is also set by the UIAA: it must not exceed1 1200 daN for standard ropes (1 daN = 1decaNewton = 10 N). This whole process is summarized in the graph of figure 2, where the tension of a standard rope is represented, in idealized form, as a function of its unit elongation, L x / . In the interval of elongations r e x x x the behavior of the rope has an important peculiarity: its deformation is not elastic but plastic, that is, the deformation reached within this interval is permanent, it does not disappear when the tension ceases. For example, figure 3 shows the graph corresponding to a fall that exceeds the elastic limit, reaching 2,0 /
L x . When the rope relaxes (when the tension becomes zero) it will not recover the initial length L but will instead remain with a permanent elongation of 12 %. This plastic deformation process shortens the life of the rope, and can dramatically shorten the life of the climber, since permanent elongations accumulate in successive falls, approaching the fateful breaking limit. After these explanations, let us consider the case of a climber of mass M who suffers a fall of factor f. At the lowest point of the fall the unit elongation of the rope is L x / and its tension is F. a) In the interval of validity of the elastic model, that is ex x , obtain the expression for the unit elongation L x / as a function of M, g, F and f. Assume in what follows that an 80 kg mountaineer uses a rope that can withstand a maximum tension daN 1200 = m F and whose elastic and breaking limits are 08 ,0 /
L xe y 5,0 /
L xr . b) What is the largest factor f of the falls that he can suffer without his rope being plastically deformed? c) What will be the unit plastic deformation of the rope in a fall of factor 2 = f ? d) How many falls of type 2 = f can the rope withstand without breaking?
1 This value corresponds, approximately, to the force acting on a mass of 80 kg so that its acceleration is 15 g, which is the maximum that a human being can withstand for a short time, without suffering serious damage. Fig. 3 F (daN) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x/L 0 300 600 900 1200 1500 F (daN) x/L xe /L Fm xr /L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Fig. 2 0 300 600 900 1200 1500
Solution a) Suppose the climber falls from point C in figure 4. During the segment of length 1 2l h = the fall is free, but from point B’ onward the rope begins to stretch and slow the fall. The descent continues to point B”, where the climber stops (zero velocity) and the rope has stretched by a maximum length x.
During the segment CB’ the only force acting on the climber is weight, whereas between B’ and B”, in addition to weight, the elastic force acts. Both forces are conservative, so the mechanical energy must be conserved. In particular
Mechanical energy at C = Mechanical energy at B” (1) As long as the elongations of the rope do not exceed the elastic limit, the rope is equivalent to a spring of constant x F K /
, with elastic potential energy
Fx Kx U e 2 1 2 1 2 =
Then, taking as the reference level for gravitational potential energy the horizontal at B”, by virtue of (1) we will have
( ) Fx x h Mg 2 1
Mg F Mgh x 2 2
Dividing both sides by L and taking into account that f = h / L, the requested expression is obtained
Mg F f Mg L x 2 2
(2) b) If in the previous expression (2) the fall factor f is solved for, we obtain
L x Mg Mg F f 2 2
With the data of the problem and considering the maximum elastic unit elongation, 08 ,0 /
L xe , it is obtained that the largest fall factor with purely elastic deformation is
5,0 = f
c) If the fall has a factor 5 .0
f , the rope will necessarily exceed its elastic behavior zone, so the deformation of the rope will be the sum of the elastic elongation, e x , and the plastic one, p x (situation analogous to that of figure 3). In this fall the climber travels a distance p e x x L
2 , with a variation of gravitational potential energy
) 2 ( p e x x L Mg U + +
This variation must be equal to the work done by the rope tension along the elastic and plastic paths, e x and p x , respectively
e m e x F W 2 1
p m e x F W
With which it results
( ) p m e m p e x F x F x x L Mg +
2 1 2
A C B x h Fig. 4 B’ B”
Substituting L xe 0