P1 La cuerda: compañera inseparable del alpinista.
Sense cap dubte, la joia del patrimoni natural de Lleida són les seves muntanyes i, molt especialment, el Parc Nacional d’Aigüestortes i Estany de Sant Maurici. Dos dels seus pics més emblemàtics són les agulles dels Encantats, de més de 2700 m d’alçada. Per això, els esports de muntanya tenen a Lleida un extraordinari arrelament, incloent-hi la seva variant més emocionant i arriscada, l’escalada.
Las cuerdas de montaña, compañeras inseparables de los escaladores, esconden tras su aparente sencillez unas características extraordinarias logradas con una avanzada tecnología en la que la Física, como de costumbre, es la estrella invitada. Estas cuerdas deben soportar elevadas cargas, ser ligeras y flexibles, resistentes a los roces y cortes, estables con la temperatura… y tienen que ser elásticas, es decir extensibles. En este ejercicio vamos a estudiar esta última propiedad y sus límites. Comencemos con una descripción del uso de la cuerda como elemento protector ante posibles caídas. En la figura 1 se muestra a un escalador que ha llegado al punto C de una pared tras completar un largo de su cuerda. Ha tenido la fundamental precaución de atar firmemente un extremo de la cuerda a la fijación A y pasarla por una anilla (mosquetón) colocada en otra fijación en B. Las distancias entre B y C y entre A y B son respectivamente 1l y 2l . La longitud activa de la cuerda es 2 1 l l L +
Si, alcanzado el punto C, el escalador tiene la mala pata de caerse, el recorrido de su vuelo será 1 2l h = y el tirón que sufra cuando la cuerda lo frene será menor que el que sufriría si no hubiese puesto el mosquetón en B, ya que entonces el recorrido hubiese sido 2L, mayor que h. En la jerga montañera se define el factor de caída, f :
2 1 1 2 l l l L h f +
=
Este factor, que puede tomar valores entre 0 y 2, es un concepto muy importante en escalada ya que representa una medida de la “dureza” de las caídas: f < 1: caída relativamente suave (el escalador estaba cercano
a la fijación B). f = 1: caída dura (B está a mitad del largo). f > 1: caída muy dura (el escalador estaba lejos de B). f = 2: la peor caída posible (sin fijación entre el escalador y el
punto A de reunión). Se deben evitar a toda costa. Son
muy peligrosas para el escalador y afectan a la
durabilidad de la cuerda y de las fijaciones. A B Fig. 1 h = 2 l1 l2 l1 C Estany de Sant Maurici i Els Encantats
La protección que la cuerda brinda al escalador consiste en frenar su caída, es decir, convertir su energía mecánica en elástica, alargándose la cuerda una cierta longitud x, como si de un muelle se tratase. Este modelo físico cuerda ≡ muelle es válido siempre que el alargamiento x esté comprendido en el intervalo e x x 0 , donde ex es el llamado límite elástico. La Unión Internacional de Asociaciones de Alpinismo (UIAA) exige a los fabricantes de cuerdas que, como máximo, 08 ,0 /
L xe , es decir ex no debe superar el 8 % de L. Para alargamientos superiores a ex el modelo cuerda ≡ muelle deja de funcionar. La tensión no es proporcional al alargamiento sino que toma un valor máximo, m F , que se mantiene casi constante hasta que, para alargamientos del orden del 50 %, la cuerda se rompe (límite de rotura, L xr 5,0 ). El valor de esta tensión máxima, m F , también lo impone la UIAA: no debe exceder1 los 1200 daN para cuerdas estándar (1 daN = 1decaNewton = 10 N). Todo este proceso se resume en la gráfica de la figura 2, donde se representa, de forma idealizada, la tensión de una cuerda estándar en función de su alargamiento unitario, L x / . En el intervalo de alargamientos r e x x x el comportamiento de la cuerda tiene una importante peculiaridad: su deformación no es elástica sino plástica, es decir, la deformación alcanzada dentro de este intervalo es permanente, no desaparece al cesar la tensión. Por ejemplo, en la figura 3 se representa la gráfica correspondiente a una caída que supera el límite elástico, llegando hasta 2,0 /
L x . Cuando la cuerda se relaje (cuando se anule la tensión) no recuperará la longitud inicial L sino que quedará con un alargamiento permanente del 12 %. Este proceso de deformación plástica acorta la vida de la cuerda, y puede llegar a acortar dramáticamente la vida del escalador, ya que los alargamientos permanentes se van acumulando en sucesivas caídas, acercándose al fatídico límite de rotura. Después de estas explicaciones, consideremos el caso de un escalador de masa M que sufre una caída de factor f. En el punto más bajo de la caída el alargamiento unitario de la cuerda es L x / y su tensión es F. a) En el intervalo de validez del modelo elástico, es decir ex x , obtenga la expresión del alargamiento unitario L x / en función de M, g, F y f. Suponga en lo que sigue que un montañero de 80 kg usa una cuerda que puede soportar una tensión máxima daN 1200
m F y cuyo límites elástico y de rotura son 08 ,0 /
L xe y 5,0 /
L xr . b) ¿Cuál es el mayor factor f de las caídas que puede sufrir sin que su cuerda se deforme plásticamente? c) ¿Cuál será la deformación plástica unitaria de la cuerda en una caída de factor 2
f ? d) ¿Cuántas caídas de tipo 2
f podrá soportar la cuerda sin romperse?
1 Este valor corresponde, aproximadamente, a la fuerza que actúa sobre una masa de 80 kg para que su aceleración sea de 15 g, que es la máxima que un ser humano puede soportar durante un tiempo corto, sin sufrir graves daños. Fig. 3 F (daN) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x/L 0 300 600 900 1200 1500 F (daN) x/L xe /L Fm xr /L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Fig. 2 0 300 600 900 1200 1500
Solución a) Supongamos que el montañero se cae desde el punto C de la figura 4. Durante el recorrido de longitud 1 2l h = la caída es libre, pero a partir del punto B’ la cuerda comienza a estirarse y a frenar su caída. El descenso continúa hasta el punto B”, donde el montañero se detiene (velocidad nula) y la cuerda se ha estirado una longitud máxima x.
Durante el recorrido CB’ la única fuerza que actúa sobre el montañero es el peso, mientras que entre B’ y B”, además del peso, actúa la fuerza elástica. Ambas fuerzas son conservativas, por lo que la energía mecánica debe conservarse. En particular
Energía mecánica en C = Energía mecánica en B” (1) Mientras los alargamientos de la cuerda no excedan el límite elástico, la cuerda equivale a un muelle de constante x F K /
, con una energía potencial elástica
Fx Kx U e 2 1 2 1 2 =
Luego, tomando como nivel de referencia de energía potencial gravitatoria la horizontal en B”, en virtud de (1) tendremos
( ) Fx x h Mg 2 1
Mg F Mgh x 2 2
Dividiendo ambos miembros por L y teniendo en cuenta que f = h / L, se obtiene la expresión pedida
Mg F f Mg L x 2 2
(2) b) Si en la expresión anterior (2) se despeja el factor de caída f, se obtiene
L x Mg Mg F f 2 2
Con los datos del problema y considerando el máximo alargamiento unitario elástico, 08 ,0 /
L xe , se obtiene que el mayor factor de caída con deformación puramente elástica es
5,0
f
c) Si la caída tiene un factor 5 ,0
f , la cuerda necesariamente sobrepasará su zona de comportamiento elástico, por lo que la deformación de la cuerda será la suma del alargamiento elástico, e x , y del plástico, p x (situación análoga a la de la figura 3). En esta caída el montañero recorre una distancia p e x x L + + 2 , con un variación de energía potencial gravitatoria
) 2 ( p e x x L Mg U + +
Esta variación debe ser igual al trabajo realizado por la tensión de la cuerda a lo largo de los recorridos elástico y plástico, e x y p x , respectivamente
e m e x F W 2 1
p m e x F W
Con lo que resulta
( ) p m e m p e x F x F x x L Mg +
2 1 2
A C B x h Fig. 4 B’ B”
Sustituyendo L xe 0
Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Elasticity & Materials Metodi: Energy Conservation Method, Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1
P1 La corda: inseparabile compagnia dell’alpinista.
Senza dubbio, il gioiello del patrimonio naturale Le sue montagne sono di Lleida e molt In particolare, il Parco Nazionale di Agüestortes e Estany di Sant Maurici. Due dei suoi più emblematici picchi sono le aghi degli Encantats, di oltre 2700 m di altezza. Per questo, gli sport di montagna hanno un Ha portato un straordinario raglamento, incluso la seva La variante più emozionante e rischiosa è la scala.
Le Cordini de montagna, Compagnie inseparabili dagli scalatori, nascondono dietro il loro apparente semplicità delle caratteristiche straordinarie La Commissione ha adottato una proposta di regolamento che prevede che le misure di cui all’articolo 1 del regolamento (CEE) n. La fisica, come al solito, è la star invitata. Queste corde devono sopportare carichi elevati, essere di peso inferiore o uguale a 50 g/m2, Stabili alla temperatura… e devono essere Elastici, cioè estensibili. In questo esercizio, studiare questa ultima proprietà e i suoi limiti. Iniziamo con una descrizione dell’uso della corda come elemento Proteggente da eventuali cadute. In figura 1 viene mostrato un scalatore che ha raggiunto il punto C di un muro dopo aver completato un lungo di
- La corda. Ha preso la massima precauzione di legare con forza un fine della corda al fissaggio A e passalo attraverso un anello (muscone) inserito in un’altra fissatura in B. Distanze tra B e C e tra A e B sono rispettivamente 1l e 2l . La lunghezza attiva della la corda è 2 1 l l L
=
Si, raggiunto il punto C, l’ascendente ha il piede cattivo di Se cadesse, il suo volo sarebbe stato 1 2l h = e il tiraggio che colpisce quando La corda che frena sarà più piccola di quella che soffrirebbe se non avessi messo il il moschetto in B, poiché allora il percorso sarebbe stato 2L, maggiore Che h. Nella gerga montana si definisce il fattore di caduta, f:
2 1 1 2 l l l L h f +
=
Questo fattore, che può prendere valori tra 0 e 2, è un concetto La misurazione di un’escalazione è molto importante in quanto rappresenta una misura della Durezza delle cascate: f < 1: caduta relativamente lieve (il scalatore era vicino)
alla fissazione B). f = 1: caduta dura (B è a metà della lunghezza). f > 1: caduta molto dura (l’ascensor era lontano da B). f = 2: il peggiore caduto possibile (senza fissamento tra la scalatrice e il
punto di riunione A). Dovranno essere evitati a tutti i costi. Sono
sono molto pericolosi per l’ascendente e
durata della corda e delle fissature. A B Fig. 1 h = 2 l1 l2 l1 C Estany di Sant Maurici i Els Encantats
La protezione che la corda fornisce al scalatore consiste nel frenare il suo cadere, cioè nel convertire la sua energia La corde si allunga una certa lunghezza x, come se fosse un molo. Questo modello fisico corda molo è valido sempre che l’allungamento x è compreso nell’intervallo e x x 0 , dove Ex è il cosiddetto limite elastico. L’Unione internazionale delle associazioni di alpinismo (UIAA) chiede che i produttori di corde che, al massimo, 08 ,0 /
L xe , cioè non deve superare l’8% di L. Per estensioni superiori a Ex modello corda molo non funziona. La tensione non è proporzionale all’allungamento ma che assume un valore massimo, m F, che rimane quasi costante fino a quando, per allungamenti del 50%, la corda si rompe (limite di rottura, L xr 5,0 ). Il valore di questa tensione massima, m F, anche da parte dell’Agenzia europea per l’alimentazione umana: non deve superare1 i 1200 daN per stringhe standard (1 daN = 1 deNewton = 10 N). L’intero processo si riassume nel grafico di figura 2, dove viene rappresentata, in modo idealizzato, la tensione di una corda standard in funzione del suo allungamento unitario, L x / . In intervallo di prolungamenti r e x x x il comportamento della corda ha un importante La sua deformazione non è elastica ma plastica, cioè la deformazione raggiunta all’interno di questa l’intervallo è permanente, non scompare quando la tensione cessa. Per esempio, la figura 3 rappresenta il grafico che corrisponde a un calo che supera il limite di elastica, fino a 2,0 /
L x . Quando la corda si rilassa (quando la tensione viene annullata) non recupererà la lunghezza iniziale L ma avrà un allungamento Il 12% permanente. Questo processo di deformazione plastica riduce la durata della corda, e può anche ridurla drasticamente la vita dello scalatore, poiché gli allungamenti permanenti si accumulano in successive cascate, Si avvicina al fatidico limite di rottura. Dopo queste spiegazioni, consideriamo il caso di un scalatore di massa M che subisce un calo di fattore f. Al punto più basso della caduta l’allungamento unitario della corda è L x / e la sua tensione è F. a) Nel intervallo di validità del modello elastico, cioè ex x , ottieni l’espressione di estensione unità L x / in funzione di M, g, F e f. Supponiamo che un alpinista di 80 kg usi una corda che può sopportare una tensione. Massimo DaN 1200
m F e i cui limiti di rottura e di rottura sono 08 ,0 /
L xe y 5,0 /
L xr . b) Qual è il più grande fattore f dei caduti che si può subire senza che la corda si deforma plasticamente? c) Qual è la deformazione plastica unitaria della corda in un calo di fattore 2
f ? d) Quanti tipi di caduta 2
f Potrà sopportare la corda senza rompersi?
1 Questo valore corrisponde approssimativamente alla forza che agisce su una massa di 80 kg per far sì che la sua accelerazione sia di 15 g, che è la La massima che un essere umano può sopportare per un breve periodo di tempo, senza subire gravi danni. Fig. 3 F (daN) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x/L 0 300 600 900 1200 1500 F (daN) x/L xe /L Fm xr /L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Fig. 2 0 300 600 900 1200 1500
Soluzione a) Supponiamo che il montagno cade dal punto C della figura 4. Durante il percorso di lunghezza 1 2l h = La caduta è libera, ma dal punto B’ la corda comincia a stendersi e a frenare il suo cadere. La discesa continua fino al punto B’, dove il montaio si ferma (velocità zero) e la corda è stata allungata una lunghezza massima x.
Durante il percorso CB’ l’unica forza che agisce sul monte è il peso, mentre tra B’ e B” agisce la forza elastica oltre al peso. Entrambi Le forze sono conservatrici, quindi l’energia meccanica deve essere conservata. En particolare
Energia meccanica in C = Energia meccanica in B’ (1) Finché le allungamenti della corda non superano il limite elastico, la corda pari a un molo di costante x F K /
, con un’energia potenziale elastica
Fx Kx U e 2 1 2 1 2 =
Poi, prendendo come livello di riferimento di energia potenzialmente gravitazionale la L’obiettivo di questo progetto è quello di
( ) Fx x h Mg 2 1
Mg F Mgh x 2 2
Dividendo entrambi i membri per L e considerando che f = h / L, si ottiene l’espressione richiesta
Mg F f Mg L x 2 2
(2) b) Se nella espressione precedente (2) si elimina il fattore di caduta f, si ottiene
L x Mg Mg F f 2 2
Con i dati del problema e considerando il massimo estensione unitaria elastica, 08 ,0 /
L xe , se si ottiene che il più grande fattore di caduta con deformazione puramente elastica è
5,0
f
c) Se la caduta ha un fattore 5 ,0
f , la corda supererà necessariamente la sua zona di comportamento elastica, quindi la deformazione della corda sarà la somma dell’allungamento elastico, e X, e della plastica, p x (situazione analogo a quella di figura 3). In questa caduta il montiere percorre una distanza p e x x L + + 2 , con variazione di energia potenzialmente gravitazionale
) 2 ( p e x x L Mg U + +
Questa variazione deve essere pari al lavoro effettuato dalla tensione della corda lungo i percorsi di plastica e di plastica, e x y p x , rispettivamente
e m e x F W 2 1
p m e x F W
Con il risultato
( ) p m e m p e x F x F x x L Mg +
2 1 2
A C B x h Fig. 4 B’ B”
Sostituire L xe 0
Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Elasticity & Materials Metodi: Energy Conservation Method, Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1
P1 The rope: the mountaineer’s inseparable companion.
Without a doubt, the jewel of natural heritage The Leda are their mountains and, very much The national park of Aigüestortes i Estany is a special place. of Sant Maurici. Two of its most iconic pictures The needles of the Encantats, more than 2700 m I’m not a big fan. The European Parliament has also adopted a resolution on the He brought an extraordinary rally, including the The most exciting and risky variant, climbing.
The Commission Strings de the mountain, Other inseparable from climbers, hiding behind their Apparent simplicity some extraordinary features The Commission has already adopted a number of proposals for the Physics, as usual, is the guest star. These ropes must withstand high loads, be Lightweight and flexible, resistant to rust and cutting, stable with temperature… And they have to be elastic, that is, extensible. In this exercise we’re going to study this last property and its limits. Let’s start with a description of using the string as an element. Protective against possible falls. Figure 1 shows a climber which has reached the C-point of a wall after completing a long of its The rope. It has taken the fundamental precaution of binding a end of the rope to fixation A and pass it through a ring (musket) placed in another fixation on B. Distance between B and C and between A and B are 1l and 2l respectively . The active length of the The rope is 2 1 l l L +
Yes, at C, the climber has the bad foot of If you fall, the course of your flight will be 1 2l h = And the pull that he suffers when The rope that brakes it will be smaller than the one that would have suffered if you hadn’t put the The number of passengers in the car is the same as the number of passengers in the car. What a h. In mountain slang the fall factor is defined, f:
2 1 1 2 l l l L h f +
=
This factor, which can take values between 0 and 2, is a concept The Commission has also proposed a number of measures to be taken to ensure that the The hardness of the falls: f < 1: Relatively gentle fall (the climber was close)
to fixation B). f = 1: hard fall (B is halfway down). f > 1: very hard fall (the climber was far from B). f = 2: The worst possible fall (without fixation between the climber and the
meeting point A). They must be avoided at all costs. They are
The risk of these diseases is high.
durability of the rope and fasteners. A B Fig. 1 h = 2 l1 l2 l1 C The following is a list of the most commonly used names:
The protection the rope provides the climber is to stop it from falling, that is, to convert its energy mechanics in elasticity, extending the rope a certain length x, as if it were a dock. This model physical string dock is valid as long as the extension x is included in the interval e x x 0 , where Ex is the so-called elastic limit. The International Union of Alpine Associations (UIAA) calls for the the rope manufacturers who, at most, 08 ,0 /
L xe , i.e. ex must not exceed 8% of L. For extensions exceeding The former string model dock is no longer working. The tension is not proportional to the length but takes a maximum value, m F, which remains almost constant until, For elongations of the order of 50%, the rope is broken (breaking limit, L xr 5,0 ). The value of this maximum voltage, m F, also required by the IAEA: it must not exceed 1200 days for The standard strings (1 daN = 1 deNewton = 10 N). The whole process is summarized in the graph in Figure 2, which idealizes the the voltage of a standard wire according to its unit length, L x / . In the range of extensions r e x x x The behavior of the string has an important The deformation is not elastic but plastic, i.e. the deformation achieved within this The interval is permanent, it does not disappear when the tension stops. For example, in Figure 3 the graph is represented The following is the list of the types of vehicles which are used: 2,0 /
L x . When the rope relaxes (when the voltage is cancelled) will not recover the initial length L but will be left with an elongation The Commission’s proposal for a regulation on the protection of workers’ rights in the Member States This plastic deformation process shortened the life of the rope, and it can dramatically shorten the life of the rope. the climber’s life, as permanent elongations accumulate in successive falls, approaching the fateful breaking point. After these explanations, let’s consider the case of an M-mass climber that suffers a fall of factor f. At the lowest point of the fall the unit length of the string is L x / And its voltage is F. a) In the validity interval of the elastic model, i.e. ex x , get the extension expression Unit of L x / according to M, g, F and f. Suppose, as follows, that a 50-pound mountaineer uses a rope that can withstand tension. maximum The Commission 1200
m F and whose elastic and breaking limits are 08 ,0 /
L xe y 5,0 /
L xr . b) What’s the biggest f-factor of falls you can suffer without your rope being plastically deformed? c) What will be the unit plastic deformation of the rope in a factor drop 2
f ? d) How many type falls 2
f Can you hold the rope without breaking it?
1 This value corresponds approximately to the force acting on a mass of 80 kg so that its acceleration is 15 g, which is the The maximum that a human being can endure for a short time without suffering serious damage. Fig. 3 F (daN) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x/L 0 300 600 900 1200 1500 F (daN) x/L xe /L Fm xr /L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Fig. 2 0 300 600 900 1200 1500
Solution a) Suppose the mountaineer falls from point C of Figure 4. During the length of journey 1 2l h = The fall is free, but from point B’ the rope begins to stretch and slow down. The descent continues to point B”, where the mountaineer stops (zero speed) and the rope has been stretched a maximum length x.
During the CB’ tour the only force acting on the mountaineer is the weight, whereas between B’ and B” in addition to the weight, elastic force acts. Both of them. The energy of the system is conservative, so mechanical energy must be conserved. En specific
Mechanical energy in C = Mechanical energy in B’ (1) As long as the lengths of the rope do not exceed the elastic limit, the rope shall be equal to a constant dock x F K /
, with an elastic potential energy
Fx Kx U e 2 1 2 1 2 =
Then, taking as reference level gravitational potential energy the horizontal in B”, under (1) we shall have
( ) Fx x h Mg 2 1
Mg F Mgh x 2 2
Dividing both members by L and taking into account that f = h / L, the requested expression is obtained
Mg F f Mg L x 2 2
(2) b) If the drop factor f is cleared in the above expression (2), it is obtained
L x Mg Mg F f 2 2
With the problem data and taking into account the maximum elastic unit length, 08 ,0 /
L xe , se It finds that the greatest factor of fall with purely elastic deformation is
5,0
f
c) If the fall has a factor 5 ,0
f , the rope will necessarily overstep its behavior zone elastic, so the deformation of the rope will be the sum of the elastic elongation, e x , and plastic, p x (situation similar to that in Figure 3). In this fall the mountaineer travels a distance p e x x L + + 2 , with a gravitational potential energy change
) 2 ( p e x x L Mg U + +
This variation must be equal to the work done by the rope tension along the routes. a width of not more than 30 mm, e x y p x , respectively
e m e x F W 2 1
p m e x F W
With what comes
( ) p m e m p e x F x F x x L Mg +
2 1 2
A C B x h Fig. 4 B’ B”
Substituting L xe 0
Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Elasticity & Materials Metodi: Energy Conservation Method, Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.1