Spagna 2015 ''

P1. La delicada vida gravitatoria del cometa 67P/Churiumov-Guerasimenko

El cometa 67P, descubierto en 1969 por los astrónomos Klim Churiumov y Svetlana Guerasimenko, se ha convertido recientemente en una “estrella” en los medios de comunicación. El motivo ha sido la visita que la Agencia Espacial Europea ha realizado con éxito a la superficie de este cometa. La sonda Rosetta, lanzada el 2 de marzo de 2004 desde la base de Kourou en la Guayana francesa, tras un largo viaje de diez años consiguió entrar en órbita en torno al cometa, y dejó caer el módulo Philae sobre su superficie. Sin embargo el “aterrizaje” (“cometizaje”) tuvo dificultades: el módulo no se fijó a la superficie como estaba previsto, y rebotó varias veces hasta quedar en reposo en una zona recóndita y sombría donde los paneles solares apenas podían recargar sus baterías. No obstante, la misión ha proporcionado información científica valiosísima. Tanto es así que la prestigiosa revista Science ha calificado esta misión como el descubrimiento científico más importante del año 2014.

Desde la sonda Rosetta se pudo comprobar que 67P tiene una forma irregular, con dos lóbulos desiguales que, en primera aproximación, podemos imaginar como dos cuerpos esféricos homogéneos que se mantienen en contacto exclusivamente por la atracción gravitatoria mutua. El cometa está básicamente formado por hielo y polvo suelto y esponjoso, con escasa cohesión interna.

Se esquematiza este modelo como dos esferas de masas $M_{1}$ y $M_{2}$ , radios $R_{1}$ y $R_{2}$ , y centros $O_{1}$ , $O_{2}$ apoyadas una sobre la otra. El centro de masas del sistema se denota C.M. El punto $A$ indica aproximadamente la situación del módulo Philae sobre la superficie, alineado con los centros de las dos esferas (en el lado del lóbulo de radio $R_{2}$ ).

Además, el cometa gira con velocidad angular $ω$ en torno a un eje perpendicular al plano de la figura que pasa por C.M. Medidos desde la sonda Rosetta, el periodo de rotación y los radios aproximados de las esferas son:

$T \approx 12, 4 h, R_{1} \approx 1, 5 km, R_{2} \approx 1, 2 km .$

a) Sabiendo que la masa total de 67P, medida desde el Rosetta, es $M \approx 1, 0 \times 1 0^{13} kg$ , determine analíticamente y calcule la densidad $ρ$ del cometa y las masas $M_{1}$ y $M_{2}$ de cada uno de sus lóbulos esféricos.

b) Determine y calcule las distancias $d_{1}$ y $d_{2}$ entre el centro de masas y los centros $O_{1}$ y $O_{2}$ de las dos esferas.¹

c) Calcule la fuerza de atracción gravitatoria entre los dos lóbulos, $F_{G}$ .

d) Teniendo en cuenta la rotación del sistema, determine y calcule la fuerza de apoyo normal de cada lóbulo sobre el otro, $N$ .

e) Determine y calcule el período de rotación crítico, $T_{c}$ , por debajo del cual el cometa se disgregaria al separarse las dos esferas.

f) Determine y calcule la aceleración de la gravedad en $A$ , $g_{0, A}$ .

g) Teniendo en cuenta la rotación del cometa, ¿cuál es la gravedad aparente² en $A$ , $g_{A}$ ?

h) El Philae pesaba³ en la Tierra $w_{T} = 110 kg$ . ¿Cuál será su peso (en gramos), $w_{A}$ , una vez posado en $A$ ?

i) Imagine un hipotético astronauta que, con su traje espacial y equipo, es capaz de saltar en vertical (sin carrerilla e impulsándose hacia arriba con las piernas) una altura $h = 0, 2 m$ en la Tierra. Sin tener en cuenta la rotación del cometa, ¿hasta qué altura saltaría desde el punto $A$ de la superficie del cometa? Discuta su resultado.

Constante de gravitación universal: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$ .

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Free-Body Diagram, Conservation of Momentum, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1. La delicata vita gravitazionale della cometa 67P/Churiumov-Guerasimenko

La cometa 67P, scoperta nel 1969 dagli astronomi Klim Churiumov e Svetlana Guerasimenko, è diventata recentemente una “stella” dei media. Il motivo è stato il visitato con successo da parte dell’Agenzia Spaziale Europea della superficie di questa cometa. La sonda Rosetta, lanciata il 2 marzo 2004 dalla base di Kourou in Guayana francese, dopo un lungo viaggio di dieci anni, è riuscita a entrare in orbita attorno alla cometa, e ha fatto cadere il modulo Philae sulla sua superficie. Tuttavia il “atterraggio” (“competizing”) ha avuto difficoltà: il modulo non si è fissato alla superficie come previsto, e ha rimbalzato più volte fino a rimanere a riposo in una zona secca e scura dove i pannelli solari potevano appena ricaricare le loro batterie. Tuttavia, la missione ha fornito informazioni scientifiche di grande valore. Tanto es así que la prestigiosa revista Science ha calificado esta misión como el descubrimiento científico más importante del año 2014.

La sonda Rosetta ha dimostrato che 67P ha una forma irregolare, con due lobi disuguali che, a prima vista, possiamo immaginare come due corpi sferici omogenei che si mantengono in contatto esclusivamente per attrazione gravitazionale reciproca. La cometa è costituita fondamentalmente da ghiaccio e polvere sciolti e spongosi, con scarsa coesione interna.

Questo modello è schematizzato come due sfere di massa $M_{1}$ e $M_{2}$ , radii $R_{1}$ e $R_{2}$ , e centri $O_{1}$ , $O_{2}$ appoggiati l’uno sull’altro. Il centro di massa del sistema è indicato C.M. Il punto $A$ indica approssimativamente la posizione del modulo Philae sulla superficie, allineato ai centri delle due sfere (sul lato del lobo radio $R_{2}$ ).

Inoltre, la cometa ruota a velocità angolare $ω$ attorno ad un asse perpendicolare al piano della figura che passa per C.M. Misurate dalla sonda Rosetta, il periodo di rotazione e i raggi approssimativi delle sfere sono:

$T \approx 12, 4 h, R_{1} \approx 1, 5 km, R_{2} \approx 1, 2 km .$

**a) ** Sapendo che la massa totale di 67P, misurata dalla Rosetta, è $M \approx 1, 0 \times 1 0^{13} kg$ , determina analiticamente e calcola la densità $ρ$ della cometa e le masse $M_{1}$ e $M_{2}$ di ciascuna delle sue lobbe sferiche.

**b) ** Determina e calcola le distanze $d_{1}$ e $d_{2}$ tra il centro di massa e i centri $O_{1}$ e $O_{2}$ delle due sfere.¹

**c) ** Calcola la forza di attrazione gravitazionale tra i due lobi, $F_{G}$ .

**d) ** Considerando la rotazione del sistema, determinare e calcolare la forza di supporto normale di ciascun lobo sull’altro, $N$ .

**e) ** Determina e calcola il periodo di rotazione critica, $T_{c}$ , al di sotto del quale la cometa si disgrega quando le due sfere si separano.

**f) ** Determina e calcola l’accelerazione della gravità in $A$ , $g_{0, A}$ .

**g) ** Considerando la rotazione della cometa, qual è la gravità apparente² in $A$ , $g_{A}$ ?

h) El Philae pesaba³ en la Tierra $w_{T} = 110 kg$ . Qual è il suo peso (in grammo), $w_{A}$ , una volta posato in $A$ ?

i) Imagine un hipotético astronauta que, con su traje espacial y equipo, es capaz de saltar en vertical (sin carrerilla e impulsándose hacia arriba con las piernas) una altura $h = 0, 2 m$ en la Tierra. Senza considerare la rotazione della cometa, a che altezza salterebbe dal punto $A$ della superficie della cometa? Discutete il vostro risultato.

**Constante di gravità universale: ** $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$ .

P1. La delicada vida gravitatoria del cometa 67P/Churiumov-Guerasimenko

Comet 67P, discovered in 1969 by astronomers Klim Churiumov and Svetlana Guerasimenko, has recently become a “star” in the media. The reason for this has been the European Space Agency’s successful visit to the surface of this comet. The Rosetta probe, launched on 2 March 2004 from the Kourou base in French Guiana, after a long ten-year journey, managed to enter orbit around the comet, dropping the Philae module on its surface. However, the “landing” (“competization”) had difficulties: the module did not fix itself to the surface as planned, and bounced several times until it was rested in a secluded, dark area where the solar panels could barely recharge their batteries. However, the mission has provided valuable scientific information. Tanto es así que la prestigiosa revista Science ha calificado esta misión como el descubrimiento científico más importante del año 2014.

From the Rosetta probe, 67P has an irregular shape, with two uneven lobes that, at first approximation, we can imagine as two homogeneous spherical bodies that stay in contact exclusively by mutual gravitational attraction. The comet is basically made up of loose, spongy ice and dust, with little internal cohesion.

This model is outlined as two mass spheres $M_{1}$ and $M_{2}$ , radii $R_{1}$ and $R_{2}$ , and centres $O_{1}$ , $O_{2}$ resting on top of each other. The center of mass of the system is denoted C.M. The $A$ point approximately indicates the position of the Philae module on the surface, aligned with the centres of the two spheres (on the side of the radial lobe $R_{2}$ ).

In addition, the comet rotates at angular speed $ω$ around an axis perpendicular to the plane of the figure passing through C.M. Measured from the Rosetta probe, the rotation period and the approximate radii of the spheres are:

$T \approx 12, 4 h, R_{1} \approx 1, 5 km, R_{2} \approx 1, 2 km .$

**a) ** Knowing that the total mass of 67P, measured from Rosetta, is $M \approx 1, 0 \times 1 0^{13} kg$ , analytically determine and calculate the density $ρ$ of the comet and the masses $M_{1}$ and $M_{2}$ of each of its spherical lobes.

**b) ** Determine and calculate the distances $d_{1}$ and $d_{2}$ between the mass center and the centers $O_{1}$ and $O_{2}$ of the two spheres.¹

**c) ** Calculate the gravitational pull force between the two lobes, $F_{G}$ .

**d) ** Taking into account the system rotation, determine and calculate the normal supporting force of each lobe over the other, $N$ .

**e) ** Determine and calculate the critical rotation period, $T_{c}$ , below which the comet will break apart when the two spheres are separated.

**f) ** Determine and calculate the acceleration of gravity at $A$ , $g_{0, A}$ .

**g) ** Given the comet’s rotation, what is the apparent gravity² at $A$ , $g_{A}$ ?

h) El Philae pesaba³ en la Tierra $w_{T} = 110 kg$ . What will its weight (in grams), $w_{A}$ , be once it is in $A$ ?

i) Imagine un hipotético astronauta que, con su traje espacial y equipo, es capaz de saltar en vertical (sin carrerilla e impulsándose hacia arriba con las piernas) una altura $h = 0, 2 m$ en la Tierra. Regardless of the comet’s rotation, how high would you jump from the point $A$ of the comet’s surface? Discuss your outcome.

Constante de gravitación universal: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$ .

Quizá no conozca con detalle el concepto de “centro de masas”, pues sobrepasa los límites del programa mínimo de Física del Bachillerato español. Para la resolución de este problema es suficiente saber que debe cumplirse la igualdad $M_{1} d_{1} = M_{2} d_{2}$ . ↩ ↩² ↩³
Fuerza de apoyo sobre la superficie por unidad de masa. ↩ ↩² ↩³
Este “peso” debe entenderse en el sentido coloquial que se usa en la vida cotidiana, por ejemplo cuando alguien dice que pesa 70 kilos. ↩ ↩² ↩³

Raccolta Gare di Fisica

Esplora

Spagna 2015 ''

Vista grafico

Raccolta Gare di Fisica

Esplora

Spagna 2015 ''

Footnotes

Vista grafico