Spagna 2026

P1. Los raíles del ferrocarril — Traqueteo y dilatación térmica

Un pasajero está haciendo un viaje en tren por una línea antigua y oye el traqueteo de las ruedas aproximadamente cada 0,7 segundos. Como es aficionado al ferrocarril, sabe que los tramos de esa vía miden 12 m. Con esos datos es capaz de estimar la velocidad del tren.

a) ¿Cuál es la velocidad que estima el pasajero?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1. Ferrovie Trasferimento e dilatazione termico

Un passeggero sta facendo un viaggio in treno su una linea antica e sente il tragitto delle ruote circa ogni 0,7 secondi. Come amante della ferrovia, sa che i tratti di quella via sono di 12 metri. Con questi dati è in grado di stimare la velocità del treno.

a) Qual è la velocità che il passeggero stima?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1. Railway tracks Tracing and thermal dilatation

A passenger is making a train ride down an old line and hears the wheels squeaking about every 0.7 seconds. As a railroad enthusiast, he knows that the tracks on that track are 12 meters long. With that data, he’s able to estimate the train’s speed.

(a) What is the passenger’s estimated speed?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

La dilatación térmica de un cuerpo unidimensional sigue la ley:

$\frac{Δ L}{L} = α Δ T$

donde $L$ es la longitud del cuerpo, $Δ L$ es la variación de longitud debida a un cambio de temperatura $Δ T$ , y $α$ es el coeficiente de dilatación lineal. Para el acero $α = 12 \times 1 0^{- 6} 1/°C$ .

b) Calcula el ancho mínimo que han de tener las juntas sabiendo que en esa región la temperatura oscila entre 0 °C y 40 °C.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

La dilatazione termica di un corpo unidimensional segue la legge:

$\frac{Δ L}{L} = α Δ T$

dove $L$ è la lunghezza del corpo, $Δ L$ è la variazione di lunghezza dovuta a un cambiamento di temperatura $Δ T$ , e $α$ è il coefficiente di dilatazione lineare. Per l’acciaio $α = 12 \times 1 0^{- 6} 1/°C$ .

b) Calcola la larghezza minima che devono avere le juntate sapendo che in quella regione la temperatura oscilla tra 0 °C e 40 °C.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

The thermal dilation of a one-dimensional body follows the law:

$\frac{Δ L}{L} = α Δ T$

where $L$ is body length, $Δ L$ is the change in length due to a temperature change $Δ T$ , and $α$ is the linear dilation coefficient. For steel $α = 12 \times 1 0^{- 6} 1/°C$ .

(b) Calculate the minimum width of the joints, knowing that the temperature in that region is between 0 °C and 40 °C.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Ruedas cónicas

Considera una rueda troncocónica de radio menor $r_{1}$ , radio mayor $r_{2}$ y radio medio $r_{0}$ . El ancho de la rueda es $b$ y su conicidad es

$tan β = \frac{r _{2} - r _{1}}{b}$

El ancho de la vía es $a$ . Suponemos que las ruedas no patinan sobre los raíles. En condiciones normales, cada rueda apoya sobre el raíl en el punto central de su banda de rodadura, donde el radio es $r_{0}$ . Vamos a estudiar qué ocurre si las ruedas se desplazan lateralmente una distancia $Δ y$ respecto al raíl. Las ruedas estarán apoyadas en un punto donde el radio ya no es $r_{0}$ .

c) Obtén la expresión de los radios de las ruedas derecha e izquierda, $r_{d}$ y $r_{i}$ , en función de $r_{0}$ , $β$ y $Δ y$ . Calcula la diferencia entre las distancias recorridas sobre el raíl por la rueda izquierda y la rueda derecha en cada vuelta completa.

Rueda troncocónica con parámetros r1 r2 b Δy a

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Physical Modeling, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.2

Rolle coniche

Considera una ruota troncoconia di radio minore $r_{1}$ , radio maggiore $r_{2}$ e radio medio $r_{0}$ . La larghezza della ruota è $b$ e la sua conicità è

$tan β = \frac{r _{2} - r _{1}}{b}$

La larghezza del percorso è $a$ . Supponiamo che le ruote non pattinino sulle binarie. In condizioni normali, ogni ruota si appoggia sul rilo al punto centrale della sua banda di rotazione, dove il raggio è $r_{0}$ . Esamineremo cosa succede se le ruote si spostano lateralmente a una distanza $Δ y$ rispetto al binario. Le ruote saranno appoggiate a un punto dove il radio non è più $r_{0}$ .

c) Ottenere l’espressione dei radii delle ruote destra e sinistra, $r_{d}$ e $r_{i}$ , in funzione di $r_{0}$ , $β$ e $Δ y$ . Calcola la differenza tra le distanze percorse sul binario dalla ruota sinistra e dalla ruota destra in ogni giro completo.

Rota troncoconia con parametri r1 r2 b Δy a

The following table shows the number of wheels in the vehicle:

Consider a truncone wheel of minor radius $r_{1}$ , major radius $r_{2}$ and middle radius $r_{0}$ . The wheel width is $b$ and its conicity is

$tan β = \frac{r _{2} - r _{1}}{b}$

The width of the path is $a$ . Let’s just say the wheels don’t skate on the rails. Under normal conditions, each wheel rests on the rail at the centre of its rolling stock, where the radius is $r_{0}$ . We’ll study what happens if the wheels move laterally a distance $Δ y$ from the rail. The wheels shall be supported at a point where the radius is no longer $r_{0}$ .

(c) Obtain the expression of the radii of the right and left wheels, $r_{d}$ and $r_{i}$ , according to $r_{0}$ , $β$ and $Δ y$ . Calculate the difference between the distances travelled over the rail by the left wheel and the right wheel at each complete turn.

Troncona wheel with parameters r1 r2 b Δy a

Supongamos que las vías describen una circunferencia de radio $R$ .

d) Obtén cuánto vale el desplazamiento lateral $Δ y_{R}$ para la posición de las ruedas que permite el giro. Expresa el resultado en función de $a$ , $r_{0}$ , $R$ y $β$ .

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Physical Modeling, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.2

Supponiamo che le vie descrivono una radiometria $R$ .

d) Ottenere quanto vale il spostamento laterale $Δ y_{R}$ per la posizione delle ruote che permette di girare. Esprimere il risultato in funzione di $a$ , $r_{0}$ , $R$ e $β$ .

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Physical Modeling, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.2

Suppose the paths describe a radius circumference $R$ .

(d) Find the value of the lateral displacement $Δ y_{R}$ for the wheel position that allows the turn. The result is expressed as a function of $a$ , $r_{0}$ , $R$ and $β$ .

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Physical Modeling, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.2

Oscilaciones

Cuando el tren avanza por una vía recta experimenta una oscilación lateral llamada «movimiento de lazo», que es debida a la conicidad de las ruedas de la que depende la autoestabilidad direccional del tren. Definimos mediante la función $y (x)$ la trayectoria que sigue el centro de la banda de rodadura de las ruedas respecto al centro de los raíles, donde $x$ representa la distancia recorrida a lo largo de la vía. Puede demostrarse que la curvatura de la trayectoria está relacionada aproximadamente con la segunda derivada de $y$ con respecto a $x$ :

$\frac{d ^{2} y ( x )}{d x ^{2}} \approx \frac{1}{R}$

e) Plantea la ecuación dinámica y obtén el período de la oscilación lateral en función de las magnitudes relevantes. (Ayuda: usa el resultado del apartado anterior y plantea adecuadamente el signo de $y$ ).

Trayectoria oscilatoria y(x) del centro de rodadura

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Differential Equations, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.2

Oscillazioni

Quando il treno procede in una via retta, si verifica una oscillazione laterale chiamata movimento della lazzetta, che è dovuta alla conicità delle ruote da cui dipende l’autostabilità direzionale del treno. La funzione $y (x)$ definisce il percorso che segue il centro della banda di rotazione delle ruote rispetto al centro dei binari, dove $x$ rappresenta la distanza percorsa lungo la pista. Si può dimostrare che la curvatura del percorso è correlata approssimativamente alla seconda derivata di $y$ rispetto a $x$ :

$\frac{d ^{2} y ( x )}{d x ^{2}} \approx \frac{1}{R}$

e) Sulla base delle magnitudini rilevanti, si presenta l’equazione dinamica e si ottiene il periodo di oscillazione laterale. (Aiuto: usa il risultato del precedente paragrafo e presenta correttamente il segno $y$ ).

Corrente oscillatoria e(x) del centro di rotazione

The value of the underlying assets shall be reported in the following column:

When the train is moving along a straight line it experiences a lateral oscillation called the loop movement, which is due to the conicity of the wheels on which the directional self-stability of the train depends. We define by the $y (x)$ function the trajectory following the centre of the rolling band of the wheels relative to the centre of the rails, where $x$ represents the distance travelled along the track. The curvature of the path can be shown to be related approximately to the second derivative of $y$ with respect to $x$ :

$\frac{d ^{2} y ( x )}{d x ^{2}} \approx \frac{1}{R}$

(e) It presents the dynamic equation and obtains the period of lateral oscillation based on the relevant magnitudes. (Help: use the result of the previous paragraph and correctly present the $y$ sign).

The vehicle shall be equipped with a single control unit.

f) Calcula el valor del período para un tren que circula a 100 km/h por una vía de 1,7 m de ancho, y cuyas ruedas tienen un radio de 40 cm y una conicidad de 0,05. Calcula la longitud de onda de la oscilación.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.2

f) Calcola il valore del periodo per un treno che si muove a 100 km/h su una pista di 1,7 m di larghezza e i cui ruote hanno un raggio di 40 cm e una conicità di 0,05. Calcola la lunghezza d’onda dell’oscillazione.

(f) Calculate the period value for a train running at 100 km/h on a track of 1,7 m wide, and whose wheels have a radius of 40 cm and a conicity of 0,05. Calculate the wavelength of the oscillation.

Auscultando las vías

La inspección periódica de las vías férreas permite detectar defectos —como grietas, fisuras y soldaduras defectuosas— antes de que evolucionen en fallos críticos. Uno de los métodos de inspección se basa en los ultrasonidos. Consiste en analizar los ecos de un pulso de ultrasonidos que se introduce desde la parte superior del raíl en el punto de la vía en estudio. Los ultrasonidos se emiten en dirección vertical hacia abajo y se detectan con una sonda pegada a la parte superior del raíl. Las ondas se reflejan en el extremo inferior y también en cualquier discontinuidad debida a un defecto interno. La velocidad de los ultrasonidos en el acero es $v_{ultra} = 5900 m/s$ .

g) En condiciones normales, sin defectos, el aparato de ultrasonidos detecta el eco de referencia 0,054 ms después de enviarse éste. En un determinado punto de la vía se registró también otro eco 0,017 ms después de enviarse el pulso. ¿Cuál es la altura de las vías? ¿A qué profundidad está la fisura?

Sonda de ultrasonidos en cabeza del raíl

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Audizione dei circuiti

L’ispezione periodica delle vie ferroviarie consente di individuare difetti come crepe, fisure e soldature difettose prima che si evolvano in difetti critici. Uno dei metodi di ispezione si basa su ultrasuoni. Consiste nell’analisi degli ecos di un pulso di ultrasuoni che viene introdotto dalla parte superiore del binario al punto della via di studio. Gli ultrasuoni vengono emessi in direzione verticale verso il basso e sono rilevati con una sonda attaccata alla parte superiore del binario. Le onde si riflettono all’estremità inferiore e anche in qualsiasi discontinuità dovuta a un difetto interno. La velocità degli ultrasuoni in acciaio è $v_{ultra} = 5900 m/s$ .

g) In condizioni normali, senza difetti, l’apparecchio di ultrasuoni rileva l’eco di riferimento 0,054 ms dopo l’invio. A un certo punto della via è stato registrato un altro eco 0,017 ms dopo l’invio del polso. Qual è l’altezza delle piste? A che profondità è la spaccatura?

*Sondazione ultrasonora di testa del binario *

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Listening to the tracks

Periodic inspection of railways allows for the detection of defects such as cracks, cracks and faulty welding before they develop into critical failures. One of the methods of inspection is based on ultrasound. It consists of analysing the echoes of an ultrasonic pulse that is inserted from the top of the rail at the point of the trail under study. Ultrasound is emitted in a vertical direction downwards and detected by a probe glued to the top of the rail. The waves are reflected at the lower end and also in any discontinuity due to an internal defect. The speed of ultrasound in steel is $v_{ultra} = 5900 m/s$ .

(g) Under normal conditions, without defects, the ultrasonic apparatus detects the reference echo 0,054 ms after it is sent. At a certain point in the path, another echo was recorded 0,017 ms after the pulse was sent. What’s the height of the tracks? How deep is the fissure?

*Ultrasonic probe at the head of the rail *

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

La capacidad de detectar defectos mediante ultrasonidos depende de la relación entre el tamaño del defecto $d$ y la longitud de onda $λ$ utilizada. El límite práctico de detección es $d \approx λ /2$ . Si el defecto es menor, entonces resulta indetectable.

h) ¿Cuál es la frecuencia mínima de los ultrasonidos que debemos utilizar si queremos detectar microfisuras de 1 mm de tamaño?

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

La capacità di rilevare i difetti mediante ultrasuoni dipende dal rapporto tra la dimensione del difetto $d$ e la lunghezza d’onda $λ$ utilizzata. Il limite pratico di rilevamento è $d \approx λ /2$ . Se il difetto è minore, allora è indetettabile.

h) Qual è la frequenza minima degli ultrasuoni da utilizzare per rilevare microfissi di 1 mm di dimensione?

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

The ability to detect defects by ultrasound depends on the ratio between the size of the defect $d$ and the wavelength $λ$ used. The practical detection limit is $d \approx λ /2$ . If the defect is minor, then it is undetectable.

(h) What is the minimum frequency of ultrasound to be used if 1 mm micropreces are to be detected?

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

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