Spagna na

P1.- Torre de perdigones

Los líquidos en ausencia de gravedad tienden a adoptar la forma esférica debido a los efectos de la tensión superficial. Este es el caso de las gotas de un líquido en caída libre puesto que, en estas circunstancias, experimentan una gravedad aparente nula.

En este fenómeno se ha basado, hasta bien entrado el siglo XX, la fabricación de perdigones esféricos de plomo en las llamadas torres de perdigones. El método, patentado por William Watts en 1782, no se utiliza en la actualidad, pero se conservan numerosas torres de perdigones; alguna, como la de Sevilla de 58 m de altura (figura 1), constituye un interesante motivo turístico.

El fundamento del método consiste en fundir plomo en lo alto de la torre en un depósito cuyo fondo, a modo de colador, tiene numerosos orificios por los que caen chorros de plomo líquido. Los chorros son inestables (inestabilidad de Rayleigh) y la elevada tensión superficial del plomo fundido hace que al poco de iniciarse la caída se originen “rosarios” de gotas esféricas que se solidifican al enfriarse, formando perdigones. El diámetro de los orificios condiciona el de las gotas esféricas y, por consiguiente, el de los perdigones. En la base de la torre se recolectan los perdigones en un depósito con agua que amortigua los choques para evitar deformaciones y termina de enfriar el plomo.

La torre tiene que estar bien ventilada para evitar el excesivo calentamiento del ambiente. La distancia de caída de los perdigones en su interior tiene que ser suficiente para asegurar la solidificación del plomo y además su enfriamiento hasta una temperatura inferior a la de ebullición del agua, de forma que se evite la producción de vapor de agua cuando los perdigones entran en el recipiente de recogida.

Datos:

• Radio de los perdigones del nº 6: $R=1,38\text{ mm}$
• Calor latente de fusión del Pb: $L=24,7\times 10^3\text{ J/kg}$
• Calor específico del Pb: $c=1,28\times 10^2\text{ J/(kg⋅K)}$
• Temperatura de fusión del Pb: $T_i=600\text{ K}$
• Temperatura de ebullición del agua: $T_f=373\text{ K}$
• Temperatura ambiente: $T_a=293\text{ K}$
• Densidad del Pb: ${\rho }_{\text{Pb}}=1,13\times 10^4{\text{ kg/m}}^3$
• Densidad del aire: ${\rho }_a=1,29{\text{ kg/m}}^3$
• Conductividad térmica del aire: $\lambda =2,60\times 10^{-2}\text{ W/(m⋅K)}$
• Viscosidad dinámica del aire: $\eta =1,80\times 10^{-5}\text{ Pa⋅s}$
• Aceleración de la gravedad: $g=9,81{\text{ m/s}}^2$

(a) Determine y calcule la energía (calor) $Q$ que un perdigón de plomo del nº 6, inicialmente líquido a la temperatura de fusión del plomo $T_i$, tiene que transferir al aire del interior de la torre para que, durante su caída, se solidifique y se enfríe hasta la temperatura de ebullición del agua $T_f$.

Torre de perdigones de Sevilla, 58 m

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1.- Torri di perdite**

I liquidi in assenza di gravità tendono ad assumere la forma sferica a causa degli effetti della tensione superficiale. Questo è il caso delle gocce di un liquido in caduta libera poiché, in queste circostanze, sperimentano una gravità apparentemente zero.

Su questo fenomeno si è basato, fino all’inizio del XX secolo, la fabbricazione di perdigoni sferici di piombo nelle chiamate torri di perdigoni. Il metodo, brevettato da William Watts nel 1782, non è attualmente utilizzato, ma sono conservate numerose torri di perdigoni; alcune, come quella di Siviglia di 58 m di altezza (figura 1), costituisce un interessante motivo turistico.

Il fondamento del metodo consiste nel fondere il piombo in cima alla torre in un deposito il cui fondo, come colatore, ha numerosi orizzonti attraverso i quali cadono i getti di piombo liquido. I getti sono instabili (instabilità di Rayleigh) e l’elevata tensione superficiale del piombo fonduto fa sì che poco dopo l’inizio della caduta si origino “rosari” di gocce sferiche che si solidificano al raffreddamento, formando perdigoni. Il diametro dei orizzonti condiziona quello dei gocciolini sferici e quindi quello dei perdigoni. Alla base della torre vengono raccolti i perdigoni in un deposito con acqua che ammortizza gli scosse per evitare deformazioni e finisce di raffreddare il piombo.

La torre deve essere ben ventilata per evitare un’eccessiva riscaldamento ambientale. La distanza di caduta dei perdigoni all’interno deve essere sufficiente per garantire la solidificazione del piombo e il suo raffreddamento fino a una temperatura inferiore a quella di bollizione dell’acqua, in modo da evitare la produzione di vapore d’acqua quando i perdigoni entrano nel recipiente di raccolta.

**Dati: **

• Radio perdigoni di n. 6: $R=1,38\text{ mm}$
• Calore latente di fusione del Pb: $L=24,7\times 10^3\text{ J/kg}$
• Calore specifico del Pb: $c=1,28\times 10^2\text{ J/(kg⋅K)}$
• Temperatura di fusione del Pb: $T_i=600\text{ K}$
• Temperatura di ebollizione dell’acqua: $T_f=373\text{ K}$
• Temperatura ambiente: $T_a=293\text{ K}$
• Densità del Pb: ${\rho }_{\text{Pb}}=1,13\times 10^4{\text{ kg/m}}^3$
• Densità dell’aria: ${\rho }_a=1,29{\text{ kg/m}}^3$
• Conduttura termico dell’aria: $\lambda =2,60\times 10^{-2}\text{ W/(m⋅K)}$
• Viscosità dinamica dell’aria: $\eta =1,80\times 10^{-5}\text{ Pa⋅s}$
• Accelerazione gravitatoria: $g=9,81{\text{ m/s}}^2$

**(a) ** Determina e calcola l’energia (calore) $Q$ che un perdigone di piombo di n. 6, inizialmente liquido alla temperatura di fusione del piombo $T_i$, deve trasferire all’aria dall’interno della torre per solidificare e raffreddare fino alla temperatura di ebollizione dell’acqua $T_f$ durante il suo crollo.

Torri di perditori di Siviglia, 58 m

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1

The following table shows the number of units of the vehicle:

Liquids in the absence of gravity tend to take the spherical shape due to the effects of surface tension. This is the case of droplets of a free-falling liquid since, under these circumstances, they experience apparent zero gravity.

This phenomenon has been the basis, until well into the 20th century, for the manufacture of lead spherical perdigons in the so-called ** perdigon towers**. The method, patented by William Watts in 1782, is not currently used, but numerous perdigon towers are preserved; some, such as the 58 m high Seville (Figure 1), is an interesting tourist attraction.

The basis of the method is to melt lead at the top of the tower into a reservoir whose bottom, as a coiler, has numerous holes through which jets of liquid lead fall. The jets are unstable (Rayleigh’s instability) and the high surface tension of the molten lead causes “rosaries” of spherical droplets to originate as soon as the fall begins. The diameter of the holes determines the diameter of the spherical droplets and, therefore, the perdigon. At the base of the tower, the perdigons are collected in a water tank that cushions the shocks to prevent deformation and finishes cooling the lead.

The tower must be well ventilated to avoid excessive heating of the environment. The drop distance of the perdigons inside them must be sufficient to ensure the solidification of the lead and its cooling to a temperature lower than that of boiling water, so that water vapour production is avoided when the perdigons enter the collection vessel.

The data set shall be reported in the following table:

• Radio of perdigons of heading No 6: $R=1,38\text{ mm}$
• Latent heat of Pb melt: $L=24,7\times 10^3\text{ J/kg}$
• Heat specific to Pb: $c=1,28\times 10^2\text{ J/(kg⋅K)}$
• Melting temperature of Pb: $T_i=600\text{ K}$
• Boiling temperature of the water: $T_f=373\text{ K}$
• Room temperature: $T_a=293\text{ K}$
• Density of the Pb: ${\rho }_{\text{Pb}}=1,13\times 10^4{\text{ kg/m}}^3$
• Air density: ${\rho }_a=1,29{\text{ kg/m}}^3$
• Air thermal conductivity: $\lambda =2,60\times 10^{-2}\text{ W/(m⋅K)}$
• Air dynamic viscosity: $\eta =1,80\times 10^{-5}\text{ Pa⋅s}$
• Acceleration by gravity: $g=9,81{\text{ m/s}}^2$

**(a) ** Determine and calculate the energy (heat) $Q$ that a lead perdigon of No 6, initially liquid at the lead melting temperature $T_i$, has to transfer to the air from the inside of the tower so that during its fall it solidifies and cools to the boiling temperature of the water $T_f$.

The tower of Perdigones of Seville, 58 m

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1.- Torre de perdigones — apartado (b)

En adelante admitiremos que las gotas esféricas de plomo fundido se forman prácticamente a la salida del depósito de la parte superior de la torre y que inician su caída con velocidad nula. El movimiento de dichas gotas no es una caída libre ya que, además de su peso, actúa sobre ellas el empuje hidrostático $E$ y la fuerza de resistencia (fricción) $F_r$ que ejerce el fluido en el que se mueven (aire). La fuerza $F_r$ es proporcional al cuadrado de la velocidad del perdigón $v$:

$F_r=\frac{1}{4}\pi R^2{\rho }_a{v}^2$

donde ${\rho }_a$ es la densidad del aire y $R$ el radio del perdigón.

(b) Plantee la ecuación del movimiento del perdigón en su caída (2ª ley de Newton), y justifique que se puede despreciar el empuje hidrostático que actúa sobre el perdigón.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.1

**P1.- Torre di perditori paragrafo (b) **

In seguito ammetteremo che le gocce sferiche di piombo fonduto si formano praticamente all’uscita del deposito dalla parte superiore della torre e iniziano a cadere a velocità zero. Il movimento di queste gocce non è un caduto libero, poiché oltre al loro peso, su di loro agiscono la spinta idrostatica $E$ e la forza di resistenza (frizione) $F_r$ esercitata dal fluido in cui si muovono (aria). La forza $F_r$ è proporzionale al quadrato della velocità del perditore $v$:

$F_r=\frac{1}{4}\pi R^2{\rho }_a{v}^2$

dove ${\rho }_a$ è la densità dell’aria e $R$ il raggio del perdigono.

**(b) ** Sosteni l’equazione del movimento del perdigone nel suo cadere (2a legge di Newton), e giustifica che si può disprezzare la spinta idrostatica che agisce sul perdigone.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.1

The following paragraphs shall be added to the list of the following:

We will go on to admit that the spherical droplets of molten lead form practically at the exit of the reservoir from the top of the tower and begin to fall at zero speed. The movement of these droplets is not a free fall as, in addition to their weight, hydrostatic thrust $E$ and the resistance force (friction) $F_r$ exerted by the fluid in which they move (air) act on them. The force $F_r$ is proportional to the square of the speed of the perdigon $v$:

$F_r=\frac{1}{4}\pi R^2{\rho }_a{v}^2$

where ${\rho }_a$ is the density of the air and $R$ the radius of the perdigon.

**(b) ** Propose the equation of the motion of the perdigon in its fall (2nd law of Newton), and justify that the hydrostatic thrust acting on the perdigon can be disregarded.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1.- Torre de perdigones — apartado (c)

La velocidad inicial de caída es nula, y por tanto la aceleración inicial es $g$. A partir de entonces, como la velocidad va aumentando, la aceleración va disminuyendo y tiende a alcanzarse una velocidad uniforme, conocida como velocidad límite.

La fuerza de resistencia aerodinámica sobre una esfera de radio $R$ es:

$F_r=\frac{1}{4}\pi R^2{\rho }_a{v}^2$

(c) Determine y calcule la velocidad límite de caída de los perdigones, $v_L$.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Conservation Laws, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

**P1.- Torre di perdite paragrafo (c) **

La velocità iniziale di caduta è zero, e quindi l’accelerazione iniziale è $g$. Da allora, mentre la velocità aumenta, l’accelerazione diminuisce e tende a raggiungere una velocità uniforme, nota come velocità limite.

La forza di resistenza aerodinamica su una sfera radio $R$ è:

$F_r=\frac{1}{4}\pi R^2{\rho }_a{v}^2$

**(c) ** Determina e calcola la velocità limite di caduta dei perditori, $v_L$.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Conservation Laws, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

The following paragraphs shall be added to the list of the following:

The initial drop velocity is zero, and therefore the initial acceleration is $g$. From then on, as the speed increases, the acceleration decreases and a uniform speed, known as boundary speed, tends to be reached.

The aerodynamic drag force over a radius sphere $R$ is:

$F_r=\frac{1}{4}\pi R^2{\rho }_a{v}^2$

**(c) ** Determine and calculate the perdigone falling limit speed, $v_L$.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Conservation Laws, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1.- Torre de perdigones — apartado (d)

La energía (calor) que debe perder el perdigón durante su caída, $Q$, se transfiere al aire de la torre. De los tres procesos de transferencia de calor (convección, conducción y radiación) sólo se tendrá en cuenta el de convección, que en este caso es dominante.

La potencia media transferida por convección del perdigón al aire viene dada por:

$P_c=4\pi R^{2}h(T-T_a)$

donde $T_a$ es la temperatura ambiente dentro de la torre (constante), $T$ es la temperatura media del perdigón durante la caída y $h$ es el coeficiente de transferencia de calor por convección, dado por la relación empírica:

$h=0,185\frac{\lambda }{R}{\left(\frac{{\rho }_{a}VR}{\eta }\right)}^{0,6}$

En esta expresión, $\lambda$ y $\eta$ son, respectivamente, la conductividad térmica y la viscosidad dinámica del aire, y $V$ es la velocidad media de los perdigones.

Considere que los perdigones parten del reposo y alcanzan prácticamente la velocidad límite $v_L$ antes de llegar al depósito de agua. Suponga que los valores de $V$ y $T$ son los respectivos promedios de los valores iniciales y finales:

$V=\frac{v_0+v_L}{2}=\frac{v_L}{2},T=\frac{T_i+T_f}{2}$

(d) Calcule la potencia media disipada $P_c$ en la caída de un perdigón del nº 6.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

**P1.- Torre di perditori paragrafo (d) **

L’energia (calore) che il perditore deve perdere durante il suo cadimento, $Q$, viene trasferita all’aria della torre. Dei tre processi di trasferimento di calore (convezione, conduttore e radiazione) si tiene conto solo di quello di convezione, che in questo caso è dominante.

La potenza media trasferita per convezione del perdigone all’aria è data da:

$P_c=4\pi R^{2}h(T-T_a)$

dove $T_a$ è la temperatura ambiente all’interno della torre (constante), $T$ è la temperatura media del perditore durante il caduta e $h$ è il coefficiente di trasferimento di calore per convezione, dato dal rapporto empirico:

$h=0,185\frac{\lambda }{R}{\left(\frac{{\rho }_{a}VR}{\eta }\right)}^{0,6}$

In questa espressione, $\lambda$ e $\eta$ sono rispettivamente la conducibilità termica e la viscosità dinamica dell’aria, e $V$ è la velocità media dei perditori.

Considera che i perdigoni partono dal riposo e raggiungono praticamente la velocità limite $v_L$ prima di raggiungere il serbatoio d’acqua. Supponiamo che i valori di $V$ e $T$ siano rispettivamente le medie dei valori iniziali e finali:

$V=\frac{v_0+v_L}{2}=\frac{v_L}{2},T=\frac{T_i+T_f}{2}$

**(d) ** Calcola la potenza media dissipata $P_c$ nel caso di caduta di un perditore del numero 6.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

The following paragraphs shall be added to the list of the following:

The energy (heat) that the perdigon must lose during its fall, $Q$, is transferred to the air of the tower. Of the three heat transfer processes (convection, conduction and radiation) only convection will be taken into account, which is dominant in this case.

The mean power transferred by convection of the perdigon to the air is given by:

$P_c=4\pi R^{2}h(T-T_a)$

where $T_a$ is the ambient temperature inside the tower (constant), $T$ is the average temperature of the tower during the fall and $h$ is the heat transfer coefficient per convection, given by the empirical ratio:

$h=0,185\frac{\lambda }{R}{\left(\frac{{\rho }_{a}VR}{\eta }\right)}^{0,6}$

In this expression, $\lambda$ and $\eta$ are respectively the thermal conductivity and dynamic viscosity of the air, and $V$ is the average speed of the perdigons.

Consider that the perdigons leave rest and reach the maximum speed $v_L$ practically before reaching the water tank. Assume that the values of $V$ and $T$ are the respective averages of the initial and final values:

$V=\frac{v_0+v_L}{2}=\frac{v_L}{2},T=\frac{T_i+T_f}{2}$

**(d) ** Calculate the mean dissipated power $P_c$ in the fall of a no. 6 piston.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1.- Torre de perdigones — apartado (e)

Los perdigones deben solidificarse y enfriarse hasta $T_f$ como mínimo antes de llegar al agua. Si $t$ es el tiempo de caída de un perdigón, la potencia media que debe transferir al aire es $Q/t$. La velocidad media de caída es $V=H/t$, donde $H$ es la altura de caída.

La potencia media transferida por convección es:

$P_c=4\pi R^{2}h(T-T_a)$

con $h$ dado por la relación empírica del apartado (d).

(e) Determine y calcule la mínima altura $H$ que han de caer los perdigones para que no se forme vapor de agua cuando llegan al depósito inferior.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

**P1.- Torre di perditori paragrafo (e) **

I perdigoni devono essere solidificati e raffreddati fino a $T_f$ almeno prima di arrivare in acqua. Se $t$ è il tempo di caduta di un perdigone, la potenza media da trasferire all’aria è $Q/t$. La velocità media di caduta è $V=H/t$, dove $H$ è l’altezza di caduta.

La potenza media trasferita da convezione è:

$P_c=4\pi R^{2}h(T-T_a)$

con $h$ dato dal rapporto empirico di cui al paragrafo (d).

**(e) ** Determina e calcola la minima altezza $H$ da cui devono cadere i perdidoni per evitare che si formi vapore d’acqua quando arrivano al deposito inferiore.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2

The following paragraphs shall be added to the list of the following:

Perdigones should be solidified and cooled to $T_f$ at least before reaching the water. If $t$ is the time of fall of a perdigon, the mean power to be transferred to the air is $Q/t$. The mean falling speed is $V=H/t$, where $H$ is the falling height.

The mean power transferred by convection is:

$P_c=4\pi R^{2}h(T-T_a)$

with $h$ given by the empirical relationship in paragraph (d).

**(e) ** Determine and calculate the minimum height $H$ for the perdigons to fall so that water vapor does not form when they reach the bottom tank.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.2