Spagna na

P1. Zelandia (contexto general)

En 2017 un equipo de geólogos demostró que existe otro continente bajo las aguas del Pacífico. Se trata de Zelandia. El 94% de su superficie está hundida en el océano, sólo asoman las islas de Nueva Zelanda y Nueva Caledonia, que son sus montañas más altas. Zelandia está unida por el norte a Australia y por el sur a la Antártida, tiene forma alargada y es diez veces más grande que España. Hace unos cien millones de años empezó a desgajarse de la gran masa continental a la que pertenecía. Su corteza se fue estirando y disminuyó su espesor, como la masa de una pizza, hasta que quedó sumergida.

El estudio de las profundidades marinas se llama batimetría. Las primeras técnicas batimétricas consistían en descolgar por el lateral de un barco una cuerda con un peso, llamado escandallo, hasta que éste tocaba el fondo.

(a) De un barco cuelga una cuerda en cuyo extremo sumergido hay un escandallo de plomo que aún no ha tocado el fondo. Sabiendo que la densidad del plomo es 11 veces mayor que la densidad del agua marina, calcule la tensión de la cuerda en función del peso del escandallo.

Mapa del continente Zelandia

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Block Fonte: Testo (PDF) — p.1

P1. Zelandia (contexto generale)

Nel 2017 una squadra di geologi ha dimostrato che esiste un altro continente sotto le acque del Pacifico. Si tratta di Zeeland. Il 94% della sua superficie è immersa nell’oceano, solo le isole di Nuova Zelanda e Nuova Caledonia, che sono le sue montagne più alte, sono le più alte. La Zelanda è unita dal nord all’Australia e dal sud all’Antartide, ha una forma allungata e è dieci volte più grande di Spagna. Circa cento milioni di anni fa, ha iniziato a distaccarsi dalla grande massa continentale a cui apparteneva. La sua corteccia si allungò e diminuì di spessore, come la massa di una pizza, fino a quando non rimase immersa.

Lo studio delle profondità marine si chiama batimetria. Le prime tecniche batimetriche consistono nel scaricare dal lato di una nave una corda con un peso, chiamato scandalo, fino a che esso toccasse il fondo.

Da una nave si appende una corda alla cui estremità immersa c’è uno scandalo di piombo che non ha ancora toccato il fondo. Sapendo che la densità del piombo è 11 volte maggiore della densità dell’acqua marina, calcola la tensione della corda in base al peso dello scandalo.

Mapa del continente Zeeland

**P1. The following information is provided by the Commission:

In 2017, a team of geologists demonstrated that there is another continent under the waters of the Pacific. It’s about Zealand. 94% of its surface is submerged in the ocean, with only the islands of New Zealand and New Caledonia, its highest mountains, topping it. Zealand is bounded by Australia to the north and Antarctica to the south, has an elongated shape and is ten times larger than Spain. About a hundred million years ago, it began to detach itself from the vast continental mass to which it belonged. Her crust stretched and shrunk, like the mass of a pizza, until it was submerged.

The study of the sea’s depths is called batymetry. The first batymetric techniques consisted of unleashing a rope with a weight, called scandal, from the side of a ship until it touched the bottom.

A ship is suspended by a rope with a lead scandal at the bottom of it. Knowing that the density of lead is 11 times greater than the density of seawater, calculate the tension of the rope based on the weight of the scandal.

Map of the mainland Zealand

En el siglo XX surgieron las ecosondas, sistemas de sonar que emiten ultrasonidos y miden la profundidad del mar a partir de la reflexión acústica.

(b) El barco posee un sonar que emite ondas sonoras de 12 kHz de frecuencia. Cuando navega sobre una meseta de Zelandia, el sonar registra el eco del sonido 2,4 s después de ser emitido. Sabemos que la velocidad del sonido en el agua marina es 1500 m/s. Calcule la profundidad $h_{m}$ de la meseta.

Barco con sonar sobre Zelandia

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Nel XX secolo sono emersi gli ecosonde MSK1, sistemi sonari che emettono ultrasuoni e misurano la profondità del mare a partire dalla riflessione acustica.

**(b) ** La nave dispone di un sonar che emette onde sonore di frequenza 12 kHz. Quando si naviga su una collina della Zelanda, il sonar registra l’eco del suono 2,4 secondi dopo essere stato emesso. Sappiamo che la velocità del suono in acqua marina è di 1500 m/s. Calcolare la profondità $h_{m}$ del piano di montagna.

Nave con sonar su Zeeland

In the 20th century, ecosons were developed, sonar systems that emit ultrasound and measure sea depths from acoustic reflection.

The ship has a sonar that emits sound waves of 12 kHz frequency. When navigating a Zeeland plateau, the sonar records the echo of the sound 2.4 seconds after it is emitted. We know that the speed of sound in seawater is 1500 m/s. Calculate the depth $h_{m}$ of the plateau.

Sonaling ship over Zealand

El fondo del Pacífico donde está Zelandia tiene una profundidad de entre 4 y 5 km. Sin embargo, Zelandia se eleva bastante por encima de ese nivel, estando la mayor parte de su superficie sumergida a una profundidad de entre 1 y 2 km. Zelandia tiene una extensión de $4, 9 \times 1 0^{6}$ km².

(c) Calcule cuál es la masa aproximada de Zelandia que se levanta por encima del fondo oceánico.

Dato: densidad de Zelandia $= 3000$ kg/m³.

Por simplicidad, considere que Zelandia es un disco plano situado a una profundidad equivalente a la mitad de su altura media. Como su superficie es mucho mayor que la profundidad del océano, podemos suponer que Zelandia es un plano infinito desde el punto de vista gravitatorio.

Topic: Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Physical Modeling, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Disk Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il fondo del Pacifico dove si trova la Zeeland ha una profondità di 4 a 5 km. Tuttavia, la Zelanda si alza piuttosto sopra quel livello, essendo la maggior parte della sua superficie immersa a una profondità compresa tra 1 e 2 km. La Zelandia ha un’estensione di $4, 9 \times 1 0^{6}$ km2.

Calcola la massa approssimativa della Zelanda che si alza al di sopra del fondo oceanico.

Data: densità di Zelandia $= 3000$ kg/m3.

Per semplicità, consideriamo la Zeelandia come un disco piatto situato a una profondità equivalente a metà della sua altezza media. Poiché la sua superficie è molto più grande della profondità dell’oceano, possiamo supporre che la Zelanda sia un piano infinito dal punto di vista gravitazionale.

The bottom of the Pacific where Zealand is is between 4 and 5 km deep. However, Zealandia rises well above that level, with most of its surface submerged at a depth of between 1 and 2 km. Zealand has an area of $4, 9 \times 1 0^{6}$ km2.

**(c) ** Calculate the approximate mass of Zealand that rises above the ocean floor.

Date: density of Zealand $= 3000$ kg/m3.

For simplicity, consider Zeelandia to be a flat disk located at a depth equivalent to half its average height. Since its surface is much larger than the depth of the ocean, we can assume that Zeeland is an infinite plane from the gravitational point of view.

(d) Calcule el valor de la gravedad que crea Zelandia en el barco.

(Recuerde que la gravedad que crea un plano infinito es $2 π G σ$ , donde $σ$ es la densidad superficial de masa).

Dato: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ N·m²/kg².

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Disk Fonte: Testo (PDF) — p.1

**(d) ** Calcola il valore della gravità che la Zeeland crea sulla nave.

(Ricorda che la gravità che crea un piano infinito è $2 π G σ$ , dove $σ$ è la densità superficiale di massa).

Data: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ N·m2/kg2.

**(d) ** Calculate the value of the gravity that Zeeland creates on the ship.

(Remember that the gravity that creates an infinite plane is $2 π G σ$ , where $σ$ is the surface density of mass).

Dato: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ N·m²/kg².

(e) El barco lleva a bordo un gravímetro que consiste en un péndulo simple de 1 m de longitud. ¿Qué diferencia habrá en el período del péndulo respecto a una región con gravedad estándar?

Dato: gravedad estándar $g_{0} = 9, 80665$ m/s².

Topic: Oscillations & Waves, Gravitation Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2

**(e) ** La nave porta a bordo un gravimetro costituito da un semplice pendolo di 1 m di lunghezza. Qual è la differenza tra il periodo del pendolo e una regione di gravità standard?

Data: gravità standard $g_{0} = 9, 80665$ m/s2.

The vessel carries on board a gravometer consisting of a simple pendulum 1 m long. What difference will there be in the period of the pendulum from a region with standard gravity?

Date: standard gravity $g_{0} = 9, 80665$ m/s2.

La superficie del mar es una superficie equipotencial, es decir, a lo largo de ella el potencial gravitatorio es constante, y es, por tanto, perpendicular al campo gravitatorio en cada punto.

(f) Demuestre que si la Tierra fuera perfectamente esférica y de densidad uniforme, la superficie del mar sería esférica.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

La superficie del mare è una superficie equipotenziale, cioè lungo la superficie il potenziale gravitazionale è costante e quindi perpendicolare al campo gravitazionale in ogni punto.

Dimostra che se la Terra fosse perfettamente sferica e di densità uniforme, la superficie del mare sarebbe sferica.

The surface of the sea is an equivalency surface, that is, along it the gravitational potential is constant, and is therefore perpendicular to the gravitational field at each point.

It shows that if the Earth were perfectly spherical and uniformly densely populated, the sea surface would be spherical.

Para entender cómo las irregularidades de la corteza oceánica perturban la superficie del mar, estudiamos el efecto de una masa puntual $m$ situada en el fondo del océano. Llamaremos $Σ$ a la superficie del mar en el caso ideal (Tierra esférica y uniforme), con una altura $h$ constante sobre la corteza. Estudiamos una pequeña región plana. Debido a la gravedad adicional que crea la masa $m$ , la superficie real del mar será $Σ^{'}$ . En cada punto $(x, h)$ a lo largo de $Σ$ actúa la gravedad $g_{0}$ , de valor constante y dirigida verticalmente, más la gravedad adicional $g_{m}$ producida por la masa puntual $m$ .

(g) Obtenga la expresión del campo gravitatorio total $g (x, h)$ sobre la superficie $Σ$ (en función de $x$ , $h$ , $m$ , $g_{0}$ y de la constante $G$ de gravitación universal).

Superficie ideal Σ y masa puntual m

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Per capire come le irregolarità della corteccia oceanica disturbano la superficie del mare, studiamo l’effetto di una massa puntuale $m$ situata sul fondo dell’oceano. Chiameremo $Σ$ la superficie del mare nel caso ideale (terra sferica e uniforme), con una altezza $h$ costante sopra la corteccia. Stiamo studiando una piccola regione piana. A causa della gravità aggiuntiva che crea la massa $m$ , la superficie reale del mare sarà $Σ^{'}$ . A ogni punto $(x, h)$ lungo $Σ$ agisce la gravità $g_{0}$ , di valore costante e diretta verticalmente, più la gravità aggiuntiva $g_{m}$ prodotta dalla massa puntuale $m$ .

**(g) ** Ottieni l’espressione del campo gravitazionale totale $g (x, h)$ sulla superficie $Σ$ (a seconda di $x$ , $h$ , $m$ , $g_{0}$ e della costante $G$ di gravitazione universale).

Sufficienza ideale Σ e massa puntuale m

Para entender cómo las irregularidades de la corteza oceánica perturban la superficie del mar, estudiamos el efecto de una masa puntual $m$ situada en el fondo del océano. We’ll call the sea surface $Σ$ in the ideal case (spherical and uniform Earth), with a constant height $h$ above the crust. We’re studying a small flat region. Because of the additional gravity created by the mass $m$ , the actual sea surface will be $Σ^{'}$ . At each point $(x, h)$ along $Σ$ , the gravity $g_{0}$ , of constant value and directed vertically, plus the additional gravity $g_{m}$ produced by the point mass $m$ acts.

**(g) ** Obtain the expression of the total gravitational field $g (x, h)$ over the surface $Σ$ (based on $x$ , $h$ , $m$ , $g_{0}$ and the universal gravitational constant $G$ ).

Superficie ideal Σ y masa puntual m

(h) Haga un dibujo de la forma aproximada que tendría la nueva superficie del mar $Σ^{'}$ , teniendo en cuenta cómo varía la dirección del vector $g$ .

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

**(h) ** Disegnare la forma approssimativa che avrebbe la nuova superficie del mare $Σ^{'}$ , tenendo conto di come varia la direzione del vettore $g$ .

Draw a rough shape of the new sea surface $Σ^{'}$ , taking into account how the direction of the vector $g$ varies.

La diferencia $Δ h = h^{'} - h$ entre la altura $h^{'}$ de la superficie real $Σ^{'}$ y la altura $h$ de la superficie ideal $Σ$ puede obtenerse mediante la llamada fórmula de Bruns: $Δ h = \frac{V _{P}}{g _{0}}$ donde $V_{P}$ es el potencial perturbador, que en nuestro caso es el potencial gravitatorio que crea la masa puntual $m$ .

(i) Determine $V_{P} (r)$ y expréselo en función de $x$ como $V_{P} (x, h)$ a lo largo de $Σ$ . Obtenga después $Δ h (x, h)$ . Calcule la máxima perturbación de la superficie del mar, $Δ h (0, h)$ , que crea una montaña de Zelandia, supuesta puntual, de masa $m = 1, 5 \times 1 0^{14}$ kg sumergida a 2 km de profundidad.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

La differenza $Δ h = h^{'} - h$ tra l’altezza $h^{'}$ della superficie reale $Σ^{'}$ e l’altezza $h$ della superficie ideale $Σ$ può essere ottenuta mediante la formula di Bruns ** denominata **: $Δ h = \frac{V _{P}}{g _{0}}$ dove $V_{P}$ è il potenziale perturbatore, che nel nostro caso è il potenziale gravitazionale che crea la massa puntuale $m$ .

**(i) ** Determina $V_{P} (r)$ e esprimelo in funzione di $x$ come $V_{P} (x, h)$ lungo $Σ$ . Poi si ottiene $Δ h (x, h)$ . Calcola la massima perturbazione della superficie del mare, $Δ h (0, h)$ , che crea una montagna di Zelandia, presunta puntuale, di massa $m = 1, 5 \times 1 0^{14}$ kg immersa a 2 km di profondità.

The difference $Δ h = h^{'} - h$ between the height $h^{'}$ of the actual surface $Σ^{'}$ and the height $h$ of the ideal surface $Σ$ can be obtained by the so-called ** Bruns formula**: $Δ h = \frac{V _{P}}{g _{0}}$ where $V_{P}$ is the perturbing potential, which in our case is the gravitational potential that creates the point mass $m$ .

**(i) ** Determine $V_{P} (r)$ and express it according to $x$ as $V_{P} (x, h)$ along $Σ$ . Then get $Δ h (x, h)$ . Calculate the maximum sea-surface disturbance, $Δ h (0, h)$ , which creates a supposedly pointed Zeeland mountain, mass $m = 1, 5 \times 1 0^{14}$ kg submerged at 2 km depth.

El satélite Sentinel, que orbita a 700 km de altura, utiliza un radar para medir el nivel del mar mediante el eco de un haz esférico de microondas. La verdadera distancia al mar es $z$ , pero el satélite mide $z^{*}$ debido a la pendiente de la superficie del agua, que forma un ángulo $α$ con la horizontal.

(j) Determine (en función de $z$ y $α$ ) el error $Δ z$ que comete el satélite. Calcule su valor cuando el satélite está midiendo el nivel del mar en un punto a distancia $x = 1$ km de la vertical que pasa por la montaña del apartado anterior.

Satélite Sentinel midiendo nivel del mar

Topic: Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il satellite Sentinel, che orbita a 700 km di altezza, usa un radar per misurare il livello del mare attraverso l’eco di un raggio sferico di microonde. La vera distanza dal mare è $z$ , ma il satellite misura $z^{*}$ a causa della pendice della superficie dell’acqua, che forma un angolo $α$ con l’orizzontale.

**(j) ** Determina (in base a $z$ e $α$ ) l’errore $Δ z$ commesso dal satellite. Calcola il suo valore quando il satellite sta misurando il livello del mare a un punto a $x = 1$ km dalla verticale che attraversa la montagna del precedente punto.

Satellite Sentinel misurando il livello del mare

Sentinel, which orbits at 700 km, uses radar to measure sea level by echoing a spherical microwave beam. The true distance to the sea is $z$ , but the satellite measures $z^{*}$ due to the slope of the water surface, which forms an angle $α$ with the horizontal.

The satellite error $Δ z$ shall be determined (based on $z$ and $α$ ). Calculate its value when the satellite is measuring sea level at a point $x = 1$ km from the vertical passing through the mountain in the previous section.

The satellite Sentinel measuring sea level

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