Spagna 2017

1. Suelo plano

Antes de considerar la caída por la escalera, suponga que lanzamos la pelota desde una altura $h_0$ con velocidad horizontal $v$ sobre un suelo plano (por ejemplo, uno de los rellanos de la escalinata).

Determine (en función de $h_0$, $v$, $g$ y $\epsilon$), respecto al suelo plano:

a) La altura $h_1$ que alcanzará la pelota después del primer bote y la altura $h_n$ que alcanzará tras el enésimo rebote.

b) La distancia horizontal $x_n$ recorrida entre el enésimo rebote y el siguiente.

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1. Terreno piatto

Prima di considerare la caduta da una scala, supponiamo di lanciare la palla da un’altezza $h_0$ con velocità orizzontale $v$ su un terreno piatto (ad esempio, uno dei riempimenti della scala).

Determina (in base a $h_0$, $v$, $g$ e $\epsilon$) per il terreno piatto:

a) L’altezza $h_1$ raggiunta dalla palla dopo il primo botto e l’altezza $h_n$ raggiunta dopo il primo rimbalzo.

b) La distanza orizzontale $x_n$ tra l’unico rimbalzo e il successivo.

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1. Flat flooring

Before considering the drop down the ladder, suppose we throw the ball from a height $h_0$ with horizontal speed $v$ over a flat floor (e.g. one of the ladder pads).

Determine (based on $h_0$, $v$, $g$ and $\epsilon$) for the flat surface:

(a) The height $h_1$ that the ball will reach after the first booth and the height $h_n$ that it will reach after the first bounce.

(b) The horizontal distance $x_n$ travelled between the first rebound and the next.

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2. Caída indefinida

Vamos ahora a estudiar las condiciones iniciales necesarias para que la pelota descienda por una escalera, supuesta infinita, para que haga exactamente un rebote en cada escalón indefinidamente (figura 1).

En los siguientes apartados, exprese sus resultados analíticos en función de $L$, $H$, $\epsilon$ y $g$. Para cálculos numéricos, considere $L=44\text{cm}$, $H=16\text{cm}$, $\epsilon =3/4$ y $g=9,8{\text{m/s}}^2$.

Determine analíticamente y calcule:

c) La altura inicial $h_0$ desde la que debe lanzarse horizontalmente la pelota.

d) La velocidad horizontal $v$ con que debe lanzarse la pelota.

e) La distancia $d$ entre el punto de impacto y la tabica de cada escalón cuando la pelota se lanza justo sobre el borde del primer escalón ($s=0$).

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2. Cadute indefinite

Ora studiamo le condizioni iniziali necessarie per far scendere la palla su una scala, presumibilmente infinita, per farne esattamente un rimbalzo su ogni scala indefinitamente (Figura 1).

I seguenti paragrafi indicano i risultati analitici in base a $L$, $H$, $\epsilon$ e $g$. Per i calcoli numerici, si veda $L=44\text{cm}$, $H=16\text{cm}$, $\epsilon =3/4$ e $g=9,8{\text{m/s}}^2$.

Determina e calcola analiticamente:

c) L’altezza iniziale $h_0$ da cui la palla deve essere lanciata orizzontalmente.

d) La velocità orizzontale $v$ con cui la palla deve essere lanciata.

e) La distanza $d$ tra il punto di impatto e la parte di ciascun gradino quando la palla viene lanciata proprio sul bordo del primo gradino ($s=0$).

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2. Uncertain fall

Now let’s study the initial conditions necessary for the ball to descend down a staircase, supposedly infinite, so that it reboots exactly one step at each step indefinitely (Figure 1).

In the following paragraphs, please state your analytical results according to $L$, $H$, $\epsilon$ and $g$. For numerical calculations, see $L=44\text{cm}$, $H=16\text{cm}$, $\epsilon =3/4$ and $g=9,8{\text{m/s}}^2$.

Determine analytically and calculate:

(c) The initial height $h_0$ from which the ball must be thrown horizontally.

(d) The horizontal speed $v$ at which the ball is to be thrown.

(e) The distance $d$ between the point of impact and the partition of each step when the ball is thrown just above the edge of the first step ($s=0$).

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3. Un tramo de la escalinata

Pasamos a considerar uno de los tramos de la escalera de la catedral de Girona, en concreto el primero de ellos, que tiene 33 escalones. Estudiamos el descenso de la pelota, con la condición anterior de un bote por escalón, desde el punto de lanzamiento hasta la altura máxima tras el primer rebote sobre el rellano inferior.

Calcule:

f) El tiempo total, $t_{\text{total}}$, invertido en el descenso indicado.

g) La energía mecánica de la pelota disipada por unidad de masa, $\Delta E/m$, en el descenso indicado.

Los apartados c) a e) se referían a una escalera infinita, lo que requiere unas condiciones precisas de lanzamiento. La escalera que nos ocupa es finita, lo que admite cierta imprecisión o tolerancia. Supongamos $s=0$ y que incrementamos la velocidad $v$ calculada en el apartado d) en una cantidad $\Delta v$.

h) Determine el máximo aumento relativo que puede tener la velocidad inicial de lanzamiento, $\Delta v_{\text{max}}/v$, para que la pelota no se salte ningún peldaño en el descenso del tramo completo.

Por ambientar un poco el final del problema, nos introducimos en el mundo de ficción de Juego de Tronos. Uno de los personajes situados en el primer rellano golpea con el pie la pelota y ésta llega rodando por el suelo hasta el borde del primer escalón con la velocidad inicial $v$ de los apartados anteriores.

i) Haga un dibujo aproximado de la trayectoria en el descenso por los primeros escalones.

P1.- SOLUCIÓN

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3. Un tratto di scala

Prendiamo in considerazione uno dei tratti della scala della cattedrale di Girona, in particolare il primo di essi, che ha 33 scale. Studiamo la discesa della palla, con la condizione precedente di una barca per scala, dal punto di lancio alla massima altezza dopo il primo rimbalzo sulla rellano inferiore.

Calcola:

f) Il tempo totale, $t_{\text{total}}$, investito nella discesa indicata.

g) L’energia meccanica della palla dissipata per unità di massa, $\Delta E/m$, nella discesa indicata.

I paragrafi (c) a (e) si riferiscono a una scala infinita, che richiede precise condizioni di lancio. La scala che ci occupa è finita, il che permette una certa imprecisione o tolleranza. Supponiamo $s=0$ e che aumentino la velocità $v$ calcolata al punto d) di una quantità $\Delta v$.

h) Determina il massimo aumento relativo che può avere la velocità iniziale di lancio, $\Delta v_{\text{max}}/v$, in modo che la palla non salti alcuna scala lungo la discesa del tratto completo.

Per ambientare un po’ la fine del problema, ci siamo introdotti nel mondo di fantasia di Game of Thrones. Uno dei personaggi del primo rellano colpisce il pallone con il piede e questo arriva ruotando sul pavimento fino al bordo del primo gradino con la velocità iniziale $v$ dei paragrafi precedenti.

i) Descrivere approssimativamente il percorso di discesa per le prime scale.

P1.- Soluzione

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3. A section of the staircase

We went on to consider one of the steps of the Girona Cathedral, the first of these, which has 33 steps. We studied the descent of the ball, with the previous condition of a boat per step, from the point of throw to the maximum height after the first bounce over the bottom slide.

Calculate:

(f) Total time, $t_{\text{total}}$, invested in the indicated descent.

(g) The mechanical energy of the ball dissipated per unit mass, $\Delta E/m$, at the indicated descent.

Paragraphs (c) to (e) referred to an infinite ladder, which requires precise launch conditions. The ladder we occupy is finite, which admits some imprecision or tolerance. Suppose $s=0$ and we increase the $v$ speed calculated in paragraph (d) by a quantity $\Delta v$.

(h) Determine the maximum relative increase the initial pitch speed can have, $\Delta v_{\text{max}}/v$, so that the ball does not skip any steps down the entire stretch.

To put a little bit of context to the end of the problem, we’re entering the fictional world of Game of Thrones. One of the characters in the first rally hits the ball with his foot and it rolls down the ground to the edge of the first step with the initial speed $v$ of the previous paragraphs.

(i) Draw an approximate trajectory for the first steps.

The Commission will also be consulted on the following:

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1. Debe conservarse la energía mecánica, suma de cinética más potencial gravitatoria, tanto antes (descenso) como después (ascenso) del choque con el suelo:

$\{\begin{array}{l}mg{h}_0+\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m(u_0^2+v^2)\\ mg{h}_1+\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m(u_1^2+v^2)\end{array}\to \{\begin{array}{l}2g{h}_0=u_0^2\\ 2g{h}_1=u_1^2\end{array}(2)$

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1. L’energia meccanica, somma di cinetica più potenziale gravitazionale, deve essere conservata sia prima (discessione) che dopo (ascesa) dello scontro con il suolo:

$\{\begin{array}{l}mg{h}_0+\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m(u_0^2+v^2)\\ mg{h}_1+\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m(u_1^2+v^2)\end{array}\to \{\begin{array}{l}2g{h}_0=u_0^2\\ 2g{h}_1=u_1^2\end{array}(2)$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3

1. The mechanical energy, plus gravitational kinetics potential, must be conserved both before (descent) and after (ascend) the impact with the ground:

$\{\begin{array}{l}mg{h}_0+\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m(u_0^2+v^2)\\ mg{h}_1+\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m(u_1^2+v^2)\end{array}\to \{\begin{array}{l}2g{h}_0=u_0^2\\ 2g{h}_1=u_1^2\end{array}(2)$

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a) Teniendo en cuenta la relación entre velocidades verticales antes y después del choque, dada en la ecuación (1) del enunciado, es inmediato obtener las alturas pedidas:

$2g{h}_1=u_1^2={\epsilon }^2{u}_0^2={\epsilon }^{2}2g{h}_0\to \boxed{h_1={\epsilon }^2{h}_0}(3)$

Aplicando la misma idea al rebote enésimo, y a los anteriores:

$h_n={\epsilon }^2{h}_{n-1}={\epsilon }^2\left({\epsilon }^2{h}_{n-2}\right)=\dots ={\left({\epsilon }^2\right)}^n{h}_0\to \boxed{h_n={\epsilon }^{2n}{h}_0}$

b) Entre bote y bote, la pelota sigue una trayectoria parabólica, composición de un movimiento horizontal con velocidad constante $v$ y un movimiento vertical con aceleración constante $g$ dirigida hacia abajo. De la ecuación (1) sabemos que las velocidades verticales de la pelota, en valor absoluto, justo antes, $u_{n-1}$, y justo después, $u_n$, del bote $n$ cumplen:

$u_n=\epsilon u_{n-1}=\dots ={\epsilon }^n{u}_0$

donde la velocidad vertical justo antes del primer bote, ecuación (2), es

$u_0=\sqrt{2g{h}_0}$

El alcance horizontal de una trayectoria parabólica es

$x=\frac{2vu}{g}$

donde $v$ y $u$ son las velocidades iniciales horizontal y vertical, respectivamente.

Por tanto, la distancia horizontal recorrida entre bote enésimo y el siguiente resulta:

$x_n=\frac{2v{u}_n}{g}\to \boxed{x_n=2v\sqrt{\frac{2h_0}{g}}{\epsilon }^n}(4)$

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a) Tenendo conto del rapporto tra velocità verticali prima e dopo l’impatto, dato nell’equazione (1) della frase, è immediato ottenere le altezze richieste:

$2g{h}_1=u_1^2={\epsilon }^2{u}_0^2={\epsilon }^{2}2g{h}_0\to \boxed{h_1={\epsilon }^2{h}_0}(3)$

Applicando la stessa idea al rimbalzo di prima, e ai precedenti:

$h_n={\epsilon }^2{h}_{n-1}={\epsilon }^2\left({\epsilon }^2{h}_{n-2}\right)=\dots ={\left({\epsilon }^2\right)}^n{h}_0\to \boxed{h_n={\epsilon }^{2n}{h}_0}$

b) Tra barca e barca, la palla segue un percorso parabolico, composto da un movimento orizzontale a velocità costante $v$ e da un movimento verticale a velocità costante $g$ rivolto verso il basso. Dall’equazione (1) sappiamo che le velocità verticali della palla, a valore assoluto, appena prima di $u_{n-1}$, e appena dopo, $u_n$, della botte $n$ soddisfano:

$u_n=\epsilon u_{n-1}=\dots ={\epsilon }^n{u}_0$

dove la velocità verticale appena prima del primo botto, equazione (2), è

$u_0=\sqrt{2g{h}_0}$

La portata orizzontale di una traccia parabola è

$x=\frac{2vu}{g}$

dove $v$ e $u$ sono rispettivamente le velocità iniziali orizzontali e verticali.

La distanza orizzontale tra il primo e il seguente è quindi:

$x_n=\frac{2v{u}_n}{g}\to \boxed{x_n=2v\sqrt{\frac{2h_0}{g}}{\epsilon }^n}(4)$

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3

(a) Taking into account the ratio of vertical speeds before and after the impact given in equation (1) of the statement, the heights requested are immediately obtained:

$2g{h}_1=u_1^2={\epsilon }^2{u}_0^2={\epsilon }^{2}2g{h}_0\to \boxed{h_1={\epsilon }^2{h}_0}(3)$

Applying the same idea to the rebound on the first, and the previous ones:

$h_n={\epsilon }^2{h}_{n-1}={\epsilon }^2\left({\epsilon }^2{h}_{n-2}\right)=\dots ={\left({\epsilon }^2\right)}^n{h}_0\to \boxed{h_n={\epsilon }^{2n}{h}_0}$

(b) Between boat and boat, the ball follows a parabolic path, composed of a horizontal motion with constant speed $v$ and a vertical motion with constant acceleration $g$ directed downwards. From equation (1), we know that the vertical velocities of the ball, at absolute value, just before $u_{n-1}$, and just after, $u_n$, of the boot $n$ meet:

$u_n=\epsilon u_{n-1}=\dots ={\epsilon }^n{u}_0$

where the vertical velocity just before the first boat, equation (2), is

$u_0=\sqrt{2g{h}_0}$

The horizontal range of a parabolic path is

$x=\frac{2vu}{g}$

where $v$ and $u$ are the initial horizontal and vertical speeds, respectively.

The horizontal distance travelled between the bottom and bottom of the boat is therefore:

$x_n=\frac{2v{u}_n}{g}\to \boxed{x_n=2v\sqrt{\frac{2h_0}{g}}{\epsilon }^n}(4)$

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2. La condición impuesta de descenso indefinido exige un movimiento periódico. Ello implica que: 1) la altura máxima alcanzada sobre un escalón tras el bote debe ser la misma para todos los botes, y 2) la pelota debe desplazarse en horizontal entre bote y bote una distancia igual a la huella de un escalón.

c) La pelota cae desde una altura $h_0$ sobre la huella de un escalón, bota y asciende hasta la altura $h_1$ dada en (3), respecto al nivel de ese escalón. Pero respecto al siguiente escalón, situado una distancia $H$ por debajo, la altura debe ser $h_0$. Por tanto, debe cumplirse:

$h_0=h_1+H={\epsilon }^2{h}_0+H\to \boxed{h_0=\frac{H}{1-{\epsilon }^2}},\boxed{h_0=36,6\text{cm}}$

d) Como el movimiento es periódico, el desplazamiento horizontal entre bote y bote es igual a la suma de la distancia horizontal recorrida en un descenso (desde $h_0$) y la distancia horizontal recorrida en un ascenso (hasta $h_0-H$). Teniendo en cuenta que las trayectorias son parabólicas, estas distancias son:

$x_d=\sqrt{\frac{2h_0{v}^2}{g}},x_a=\sqrt{\frac{2(h_0-H)v^2}{g}}=\sqrt{\frac{2({\epsilon }^2{h}_0)v^2}{g}}=\epsilon x_d$

La suma de ambas debe coincidir exactamente con la anchura de la huella:

$L=x_d+x_a=v\sqrt{\frac{2h_0}{g}}(1+\epsilon )=v\sqrt{\frac{2H(1+\epsilon )}{g(1-\epsilon )}}$

Por tanto, la velocidad con que debe lanzarse la pelota es

$\boxed{v=L\sqrt{\frac{g(1-\epsilon )}{2H(1+\epsilon )}}},\boxed{v=0,92\text{m/s}}$

e) Si la pelota se lanza sobre el borde del primer escalón ($s=0$), la distancia $d$ pedida es el desplazamiento horizontal de la pelota durante un descenso, es decir:

$d=x_d=v\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=L\sqrt{\frac{g(1-\epsilon )}{2H(1+\epsilon )}}\sqrt{\frac{2H}{g(1-{\epsilon }^2)}}\to \boxed{d=\frac{L}{1+\epsilon }},\boxed{d=25,1\text{cm}}$

Nota: Si $s\ne 0$ sigue ocurriendo el movimiento periódico descrito siempre que el lanzamiento se haga desde una posición inicial, tanto a la izquierda como a la derecha del borde del escalón, tal que $s\le L-d_{s=0}=18,9\text{cm}$.

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2. La condizione di discesa imposta richiede un movimento periodico. Ciò implica che: 1) la massima altezza raggiunta su una scalinata dietro la barca deve essere la stessa per tutte le barche e 2) la palla deve spostarsi in orizzontale tra barca e barca a distanza pari alla traccia di una scalinata.

c) La palla cade da una altezza $h_0$ sulla traccia di un’ostazione, scappa e sale fino alla altezza $h_1$ indicata in (3), rispetto al livello di quella stazione. Ma per il livello successivo, situato a una distanza $H$ sotto, l’altezza deve essere $h_0$. Pertanto, deve essere rispettato:

$h_0=h_1+H={\epsilon }^2{h}_0+H\to \boxed{h_0=\frac{H}{1-{\epsilon }^2}},\boxed{h_0=36,6\text{cm}}$

d) Poiché il movimento è periodico, il spostamento orizzontale tra barca e barca è pari alla somma della distanza orizzontale percorsa in discesa (da $h_0$) e della distanza orizzontale percorsa in ascensione (fino a $h_0-H$). Considerando che le rotte sono paraboliche, queste distanze sono:

$x_d=\sqrt{\frac{2h_0{v}^2}{g}},x_a=\sqrt{\frac{2(h_0-H)v^2}{g}}=\sqrt{\frac{2({\epsilon }^2{h}_0)v^2}{g}}=\epsilon x_d$

La somma di entrambi deve corrispondere esattamente alla larghezza della impronta:

$L=x_d+x_a=v\sqrt{\frac{2h_0}{g}}(1+\epsilon )=v\sqrt{\frac{2H(1+\epsilon )}{g(1-\epsilon )}}$

Quindi, la velocità con cui deve essere lanciato il pallone è

$\boxed{v=L\sqrt{\frac{g(1-\epsilon )}{2H(1+\epsilon )}}},\boxed{v=0,92\text{m/s}}$

e) Se la palla viene lanciata sul bordo del primo gradino ($s=0$), la distanza $d$ richiesta è il spostamento orizzontale della palla durante un’ascesa, cioè:

$d=x_d=v\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=L\sqrt{\frac{g(1-\epsilon )}{2H(1+\epsilon )}}\sqrt{\frac{2H}{g(1-{\epsilon }^2)}}\to \boxed{d=\frac{L}{1+\epsilon }},\boxed{d=25,1\text{cm}}$

Nota: se $s\ne 0$ continua a verificarsi il movimento periodico descritto sempre che il lancio sia effettuato da una posizione iniziale, sia a sinistra che a destra del bordo dello scafo, così $s\le L-d_{s=0}=18,9\text{cm}$.

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2. The imposed condition of indefinite descent requires a periodic movement. This implies that: 1) the maximum height reached on a ladder behind the boat must be the same for all boats, and 2) the ball must be moved horizontally between the boat and the boat a distance equal to the footprint of a ladder.

(c) The ball falls from a height $h_0$ above the footprint of a step, boots and rises to the height $h_1$ given in (3), with respect to the level of that step. But for the next step, located a distance $H$ below, the height must be $h_0$. It must therefore be complied with:

$h_0=h_1+H={\epsilon }^2{h}_0+H\to \boxed{h_0=\frac{H}{1-{\epsilon }^2}},\boxed{h_0=36,6\text{cm}}$

(d) Since the movement is periodic, the horizontal displacement between boat and boat is equal to the sum of the horizontal distance travelled on a descent (from $h_0$) and the horizontal distance travelled on a ascent (up to $h_0-H$). Given that the trajectories are parabolic, these distances are:

$x_d=\sqrt{\frac{2h_0{v}^2}{g}},x_a=\sqrt{\frac{2(h_0-H)v^2}{g}}=\sqrt{\frac{2({\epsilon }^2{h}_0)v^2}{g}}=\epsilon x_d$

The sum of both must match exactly the width of the fingerprint:

$L=x_d+x_a=v\sqrt{\frac{2h_0}{g}}(1+\epsilon )=v\sqrt{\frac{2H(1+\epsilon )}{g(1-\epsilon )}}$

So the speed at which the ball must be thrown is

$\boxed{v=L\sqrt{\frac{g(1-\epsilon )}{2H(1+\epsilon )}}},\boxed{v=0,92\text{m/s}}$

(e) If the ball is thrown over the edge of the first step ($s=0$), the distance $d$ required is the horizontal movement of the ball during descent, i.e.:

$d=x_d=v\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=L\sqrt{\frac{g(1-\epsilon )}{2H(1+\epsilon )}}\sqrt{\frac{2H}{g(1-{\epsilon }^2)}}\to \boxed{d=\frac{L}{1+\epsilon }},\boxed{d=25,1\text{cm}}$

Note: If the periodic motion described in $s\ne 0$ continues to occur whenever the launch is made from an initial position, both to the left and right of the edge of the ladder, such that $s\le L-d_{s=0}=18,9\text{cm}$.

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3. Descenso del tramo de 33 escalones.

f) Los puntos extremos del movimiento indicado delimitan un número entero de rebotes, 33, por lo que el tiempo pedido es el de 33 veces el tiempo de vuelo de cada uno. Pero es también el tiempo invertido en recorrer la distancia horizontal de 33 anchuras de escalón con la velocidad inicial $v$:

$t_{\text{total}}=\frac{33L}{v}\to \boxed{t_{\text{total}}=15,8\text{s}}$

g) La velocidad de la pelota es la misma (velocidad vertical nula y velocidad horizontal $v$) en los puntos inicial y final del descenso descrito. Por tanto, la energía cinética no cambia. Sin embargo, entre esos mismos puntos la pelota desciende una altura $33H$, de forma que la pérdida de energía potencial gravitatoria en todo el tramo es $33mgH$. La energía mecánica perdida, por unidad de masa, es

$\Delta E/m=33gH,\boxed{\Delta E/m=51,7\text{J/kg}}$

Al mismo resultado se llega considerando la pérdida de energía cinética en cada bote:

$\Delta E=\frac{1}{2}m{u}_0^2-\frac{1}{2}m{u}_1^2=\frac{1}{2}m{u}_0^2(1-{\epsilon }^2)=mg{h}_0(1-{\epsilon }^2)=mgH$

h) Al variar la velocidad horizontal, $v^{\prime }=v\pm \Delta v$, la distancia $d$ a la tabica de cada escalón ya no permanece constante, sino que va aumentando o disminuyendo paulatinamente y llegará un momento en que la pelota se saltará uno de los peldaños o bien dará dos botes en un mismo peldaño.

En los sucesivos rebotes, el punto de impacto en cada escalón se va desplazando hacia adelante o hacia atrás, respecto al anterior, una distancia

$\Delta d=\pm \Delta vT$

donde $T=L/v$ es el tiempo de vuelo entre bote y bote. El enunciado pregunta sólo por un aumento de la velocidad, aunque veremos que el resultado es el mismo si planteamos una disminución.

El máximo aumento de velocidad para que la pelota no se salte ningún escalón de los 33 que forman el tramo, corresponde a la situación en que ésta rebota justo en el borde del último peldaño tras recorrer en horizontal 32 huellas, es decir:

$32\Delta d_{\text{max}}=L-d$

$\Delta v_{\text{max}}=\frac{\Delta d_{\text{max}}}{T}=\frac{L-d}{32T}=\frac{L-L/(1+\epsilon )}{32L/v}\to \boxed{\frac{\Delta v_{\text{max}}}{v}=\frac{1}{32}\frac{\epsilon }{1+\epsilon }},\boxed{\frac{\Delta v_{\text{max}}}{v}=0,0134(1,34\%)}$

De forma similar, la máxima disminución de la velocidad para que la pelota no llegue a rebotar dos veces en un mismo escalón vendrá impuesta por la condición:

$32\Delta d_{\text{max}}=s_{\text{max}}=v\sqrt{\frac{2(h_0-H)}{g}}$

$\Delta v_{\text{max}}=\frac{\Delta d_{\text{max}}}{T}=\frac{1}{32}\frac{1}{(1+\epsilon )}\sqrt{\frac{g}{2h_0}}v\sqrt{\frac{2(h_0-H)}{g}}\to \frac{\Delta v_{\text{max}}}{v}=\frac{1}{32}\frac{\epsilon }{1+\epsilon }$

Nota: De gran interés es también estudiar la tolerancia a las condiciones iniciales de la altura, es decir, la variación máxima de $h_0$ para que la pelota no se salte escalones ni rebote más de una vez en ninguno.

i) Si proyectamos la trayectoria estudiada anteriormente ($h_0=36,6\text{cm}$, $d=25,1\text{cm}$) sobre un escalón ficticio levantado $20,6\text{cm}$, podemos dibujar la nueva trayectoria cuando la pelota llega por el suelo (figura 3). Teniendo en cuenta que

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3. Scesa da 33 gradini.

f) I punti estremisti del movimento indicato delimitano un numero intero di rimbalzi, 33, quindi il tempo richiesto è 33 volte il tempo di volo di ciascuno. Ma è anche il tempo investito nel percorre la distanza orizzontale di 33 latitudini di scala con la velocità iniziale $v$:

$t_{\text{total}}=\frac{33L}{v}\to \boxed{t_{\text{total}}=15,8\text{s}}$

g) La velocità della palla è la stessa (velocità verticale zero e velocità orizzontale $v$) nei punti iniziali e finali della discesa descritta. Quindi l’energia cinetica non cambia. Tuttavia, tra questi stessi punti la palla scende a una altezza $33H$, in modo che la perdita di energia potenzialmente gravitazionale in tutto il tratto sia $33mgH$. L’energia meccanica persa per unità di massa è

$\Delta E/m=33gH,\boxed{\Delta E/m=51,7\text{J/kg}}$

Lo stesso risultato viene ottenuto considerando la perdita di energia cinetica in ogni barca:

$\Delta E=\frac{1}{2}m{u}_0^2-\frac{1}{2}m{u}_1^2=\frac{1}{2}m{u}_0^2(1-{\epsilon }^2)=mg{h}_0(1-{\epsilon }^2)=mgH$

h) Variazione della velocità orizzontale, $v^{\prime }=v\pm \Delta v$, la distanza $d$ dalla parte di ogni gradino non rimane più costante, ma aumenta o diminuisce gradualmente e arriverà un momento in cui la palla salterà una delle scale o darà due botte sulla stessa scala.

In ogni successiva sbalzo, il punto di impatto di ogni gradino si sposta avanti o indietro, rispetto al precedente, una distanza

$\Delta d=\pm \Delta vT$

dove $T=L/v$ è il tempo di volo tra barca e barca. La frase chiede solo un aumento della velocità, anche se vedremo che il risultato è lo stesso se proponiamo un calo.

Il massimo aumento di velocità per evitare che la palla salti nessuna delle 33 scale che formano il tratto, corrisponde alla situazione in cui essa rimbalza proprio sul bordo dell’ultima scala dopo aver percorso orizzontalmente 32 impronte, cioè:

$32\Delta d_{\text{max}}=L-d$

$\Delta v_{\text{max}}=\frac{\Delta d_{\text{max}}}{T}=\frac{L-d}{32T}=\frac{L-L/(1+\epsilon )}{32L/v}\to \boxed{\frac{\Delta v_{\text{max}}}{v}=\frac{1}{32}\frac{\epsilon }{1+\epsilon }},\boxed{\frac{\Delta v_{\text{max}}}{v}=0,0134(1,34\%)}$

Allo stesso modo, il massimo ridimensionamento della velocità per evitare che la palla rimbalzi due volte nello stesso scafo sarà imposto dalla condizione:

$32\Delta d_{\text{max}}=s_{\text{max}}=v\sqrt{\frac{2(h_0-H)}{g}}$

$\Delta v_{\text{max}}=\frac{\Delta d_{\text{max}}}{T}=\frac{1}{32}\frac{1}{(1+\epsilon )}\sqrt{\frac{g}{2h_0}}v\sqrt{\frac{2(h_0-H)}{g}}\to \frac{\Delta v_{\text{max}}}{v}=\frac{1}{32}\frac{\epsilon }{1+\epsilon }$

Nota: È di grande interesse studiare anche la tolleranza alle condizioni iniziali di altezza, cioè la variazione massima di $h_0$ in modo che la palla non salti le scale o rimbalzi più di una volta in nessuna.

i) Se proiettiamo la traccia studiata prima ($h_0=36,6\text{cm}$, $d=25,1\text{cm}$) su una scala immaginaria sollevata $20,6\text{cm}$, possiamo disegnare la nuova traccia quando la palla arriva sul suolo (Figura 3). Considerando che

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Energy Conservation Method, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4

3. Down the 33-step section.

(f) The end points of the indicated movement delimit an integer number of bouts, 33, so that the time required is 33 times the flight time of each. But it’s also the time spent travelling the horizontal distance of 33 steps width with the initial speed $v$:

$t_{\text{total}}=\frac{33L}{v}\to \boxed{t_{\text{total}}=15,8\text{s}}$

(g) The speed of the ball is the same (zero vertical speed and horizontal speed $v$) at the starting and end points of the descent described. Therefore, the kinetic energy does not change. However, between those same points the ball descends a height $33H$, so that the loss of gravitational potential energy throughout the stretch is $33mgH$. The mechanical energy lost per unit mass is

$\Delta E/m=33gH,\boxed{\Delta E/m=51,7\text{J/kg}}$

The same result is obtained by considering the loss of kinetic energy in each boat:

$\Delta E=\frac{1}{2}m{u}_0^2-\frac{1}{2}m{u}_1^2=\frac{1}{2}m{u}_0^2(1-{\epsilon }^2)=mg{h}_0(1-{\epsilon }^2)=mgH$

h) When the horizontal speed changes, $v^{\prime }=v\pm \Delta v$, the distance $d$ to the partition of each step no longer remains constant, but increases or decreases gradually and there will come a time when the ball will jump one of the steps or hit two boats on the same step.

In successive bounces, the impact point on each step moves forward or backward, relative to the previous one, a distance from the first step.

$\Delta d=\pm \Delta vT$

where $T=L/v$ is the flight time between boat and boat. The statement asks only for an increase in speed, although we will see that the result is the same if we propose a decrease.

The maximum speed increase so that the ball does not jump any of the 33 steps that form the section, corresponds to the situation where the ball bounces just at the edge of the last step after crossing 32 tracks horizontally, i.e.:

$32\Delta d_{\text{max}}=L-d$

$\Delta v_{\text{max}}=\frac{\Delta d_{\text{max}}}{T}=\frac{L-d}{32T}=\frac{L-L/(1+\epsilon )}{32L/v}\to \boxed{\frac{\Delta v_{\text{max}}}{v}=\frac{1}{32}\frac{\epsilon }{1+\epsilon }},\boxed{\frac{\Delta v_{\text{max}}}{v}=0,0134(1,34\%)}$

Similarly, the maximum decrease in speed so that the ball does not bounce twice on the same step will be imposed by the condition:

$32\Delta d_{\text{max}}=s_{\text{max}}=v\sqrt{\frac{2(h_0-H)}{g}}$

$\Delta v_{\text{max}}=\frac{\Delta d_{\text{max}}}{T}=\frac{1}{32}\frac{1}{(1+\epsilon )}\sqrt{\frac{g}{2h_0}}v\sqrt{\frac{2(h_0-H)}{g}}\to \frac{\Delta v_{\text{max}}}{v}=\frac{1}{32}\frac{\epsilon }{1+\epsilon }$

Note: It is also of great interest to study the tolerance to the initial height conditions, i.e. the maximum variation of $h_0$ so that the ball does not jump steps or bounce more than once in any one.

i) If we project the trajectory studied above ($h_0=36,6\text{cm}$, $d=25,1\text{cm}$) onto a fictitious raised ladder $20,6\text{cm}$, we can draw the new trajectory when the ball reaches the ground (Figure 3). Given that

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$h_1=(3/4{)}^2{h}_0$, el dibujo aproximado de la trayectoria nos lleva a concluir que la pelota dará 2 botes en la primera huella antes de caer al siguiente escalón. Como no se pide trayectoria exacta, se admiten soluciones aproximadas, a condición de que muestren alturas y distancias horizontales decrecientes, y más de un rebote en algún escalón. Cabe esperar que la altura decreciente tienda al valor $h_0$, lo que significaría que la sucesión de rebotes tendería asintóticamente a la condición propia de escalera infinita. Es un problema digno de atención, en general, y relativamente complicado por la discontinuidad impuesta por la escalera.

Fig. 3

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.5

$h_1=(3/4{)}^2{h}_0$, el dibujo aproximado de la trayectoria nos lleva a concluir que la pelota dará 2 botes en la primera huella antes de caer al siguiente escalón. Non richiesto percorso preciso, sono ammesse soluzioni approssimative, a condizione che mostrino alti e distanze orizzontali decrescenti, e più di un rimbalzo in qualche scala. Si può aspettarsi che la altezza in decrescita tende al valore $h_0$, il che significherebbe che la successione di rimbalzi tende assintoticamente alla condizione propria di scala infinita. È un problema che merita attenzione, in generale, e relativamente complicato per la discontinuità imposta dalla scala.

Fig. 3

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.5

$h_1=(3/4{)}^2{h}_0$, el dibujo aproximado de la trayectoria nos lleva a concluir que la pelota dará 2 botes en la primera huella antes de caer al siguiente escalón. Since no exact trajectory is requested, approximate solutions are accepted, provided they show decreasing heights and horizontal distances, and more than one rebound on some ladder. It is to be expected that the decreasing height tends to the value $h_0$, which would mean that the succession of bounces would asymptotically tend to the infinite ladder proper condition. It is a problem worthy of attention, in general, and relatively complicated by the discontinuity imposed by the staircase.

Fig. 3

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.5