Spagna 2007

P2. Un modelo de molécula de HCl

La molécula de cloruro de hidrógeno está formada por los iones Cl⁻ y H⁺. Como la masa del primero es mucho mayor que la del segundo, podemos adoptar como modelo sencillo que el Cl⁻ está en reposo en $x=0$ y que el H⁺ puede moverse a lo largo del eje X, tal como se representa en la figura 1a.

Consideraremos que el HCl está en estado gaseoso para que cualquiera de sus moléculas esté poco perturbada por la presencia de otras vecinas. En estas condiciones, el Cl⁻ de una molécula ejerce una fuerza de atracción electrostática sobre el H⁺. Pero para que el sistema (la molécula de HCl) permanezca en equilibrio con los iones separados una distancia $x_e$ (fig. 1b), es necesario además que sobre el H⁺ se ejerza una fuerza de repulsión, muy fuerte a distancias cortas y que decrezca rápidamente a distancias interiónicas grandes comparadas con la de equilibrio.

Por ello, debido a la presencia del Cl⁻, el H⁺ tiene una energía potencial que viene dada por la siguiente expresión:

$U(x)=-\frac{k{e}^2}{x}+\frac{B}{x^9}$

donde $k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}=8,987\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$, $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, y $B$ es una constante positiva. Esta energía potencial se representa en la figura 2.

1° Teniendo en cuenta que en el equilibrio la fuerza sobre el H⁺ debe ser nula, determine la distancia de equilibrio $x_e$.

2° Deduzca que la expresión de la energía potencial $U(x)$ puede escribirse en función de $x_e$ de la siguiente forma:

$U(x)=\frac{k{e}^2}{x_e}\left[\frac{1}{9}{\left(\frac{x_e}{x}\right)}^9-\frac{x_e}{x}\right](1)$

El ión H⁺ no está nunca en reposo en la posición de equilibrio $x=x_e$. Para «entretenerse» realiza pequeñas oscilaciones en torno a $x_e$. Esto significa que cuando $x\approx x_e$ se comporta como si el H⁺, de masa $m_H$, estuviese unido a un muelle de constante $K$ y, por lo tanto, su energía potencial (elástica) sería:

$U(x)=\frac{1}{2}K(x-x_e{)}^2+\mathrm{cte}(2)$

En consecuencia, la expresión de la energía potencial (1) deberá coincidir con (2) cuando $x\approx x_e$.

3° Haga un desarrollo en serie de Taylor para $U(x)$ en torno a $x=x_e$, con las aproximaciones que estime oportuno, y deduzca el valor de la constante $K$ de la energía potencial elástica (2).

(Recuerde: el desarrollo en serie de Taylor de una función $f(x)$ en torno a un punto $x_0$ es: $f(x)=f(x_0)+{\frac{df}{dx}|}_{x_0}\frac{x-x_0}{1!}+{\frac{d^{2}f}{d{x}^2}|}_{x_0}\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}+\cdots )$

4° Determine la frecuencia de oscilación $f$ del H⁺ en torno a su posición de equilibrio.

5° Experimentalmente se encuentra que $f=8,66\times 10^{13}\mathrm{Hz}$. Sabiendo que la masa del H⁺ es $m_H=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, calcule el valor de $x_e$.

6° Determine y calcule la energía $W_d$ que hay que aportar a un mol de HCl para separar completamente los iones de cada una de sus moléculas (Energía de disociación). El número de Avogadro es $N_A=6,022\times 10^{23}\mathrm{mol}\acute{\mathrm{e}}culas/mol$.

HCl ion model equilibrium position x_e

Potential energy U(x) vs distance x

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Coulomb’s Law, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2. Modello di molecola di HCl

La molecola di cloruro di idrogeno è costituita dagli ioni Cl− e H+. Poiché la massa del primo è molto maggiore di quella del secondo, possiamo adottare come modello semplice che il Cl− sia a riposo a $x=0$ e che l’H+ possa muoversi lungo l’asse X, come rappresentato nella figura 1a.

Considereremo che l’HCl sia in stato gassoso in modo che una delle sue molecole sia poco disturbata dalla presenza di altre vicine. In queste condizioni, il Cl− di una molecola esercita una forza di attrazione elettrostatica sull’H+. Ma per mantenere il sistema (la molecola di HCl) in equilibrio con gli ioni separati una distanza $x_e$ (fig. 1 (b), è inoltre necessario esercitare su H+ una forza di repulsione molto forte a breve distanza e che diminuisca rapidamente a grandi distanze interne rispetto a quella di equilibrio.

Pertanto, a causa della presenza del Cl−, H+ ha un’energia potenziale che viene data dalla seguente espressione:

$U(x)=-\frac{k{e}^2}{x}+\frac{B}{x^9}$

dove $k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}=8,987\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$, $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ e $B$ è una costante positiva. Questa energia potenziale è rappresentata nella figura 2.

1° Considerando che nel equilibrio la forza su H+ deve essere zero, determina la distanza di equilibrio $x_e$.

2° Dedicare che l’espressione di energia potenziale $U(x)$ può essere scritta in funzione di $x_e$ come segue:

$U(x)=\frac{k{e}^2}{x_e}\left[\frac{1}{9}{\left(\frac{x_e}{x}\right)}^9-\frac{x_e}{x}\right](1)$

L’ion H+ non è mai a riposo nella posizione di equilibrio $x=x_e$. Per mantenersi, fa piccole oscillazioni intorno a $x_e$. Ciò significa che quando $x\approx x_e$ si comporta come se l’H+, di massa $m_H$, fosse legato a un molo di costante $K$ e, quindi, la sua energia potenziale (elastica) sarebbe:

$U(x)=\frac{1}{2}K(x-x_e{)}^2+\mathrm{cte}(2)$

In base a tale definizione, l’espressione di energia potenziale (1) deve corrispondere a (2) quando $x\approx x_e$.

3° Sviluppa in serie Taylor per $U(x)$ attorno a $x=x_e$, con approcci che ritiene opportuni, e deduce il valore della costante $K$ dell’energia potenziale elastica (2).

Ricorda: lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione $f(x)$ attorno a un punto $x_0$ è:* $f(x)=f(x_0)+{\frac{df}{dx}|}_{x_0}\frac{x-x_0}{1!}+{\frac{d^{2}f}{d{x}^2}|}_{x_0}\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}+\cdots )$

4° Determina la frequenza di oscillazione $f$ di H+ attorno alla sua posizione di equilibrio.

5° Si trova sperimentalmente che $f=8,66\times 10^{13}\mathrm{Hz}$. Sapendo che la massa di H+ è $m_H=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, calcoli il valore di $x_e$.

6° Determina e calcola l’energia $W_d$ da fornire a un mol di HCl per separare completamente gli ioni da ciascuna delle sue molecole (Energia di dissociazione). Il numero di Avogadro è $N_A=6,022\times 10^{23}\mathrm{mol}\acute{\mathrm{e}}culas/mol$.

HCl ion model equilibrium position x_e

Potential energy U(x) vs distance x

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Coulomb’s Law, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2. A model of molecule of HCl

The hydrogen chloride molecule is made up of the ions Cl− and H+. Since the mass of the first is much larger than that of the second, we can adopt as a simple model that the Cl− is at rest at $x=0$ and that the H+ can move along the X-axis, as shown in Figure 1a.

We’ll consider that the HCl is in a gaseous state so that any of its molecules are little disturbed by the presence of other neighbors. Under these conditions, the Cl− of a molecule exerts an electrostatic attractive force on H+. But for the system (the HCl molecule) to remain in balance with the separated ions a distance $x_e$ (fig. 1b), it is also necessary to apply a repulsion force on the H+ which is very strong at short distances and decreases rapidly at large internal distances compared to the balance force.

Therefore, due to the presence of Cl−, H+ has a potential energy which is given by the following expression:

$U(x)=-\frac{k{e}^2}{x}+\frac{B}{x^9}$

where $k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}=8,987\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$, $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, and $B$ is a positive constant. This potential energy is shown in Figure 2.

1° Considering that in equilibrium the force on H+ must be zero, determine the equilibrium distance $x_e$.

2° It is deduced that the expression of the potential energy $U(x)$ can be written as a function of $x_e$ as follows:

$U(x)=\frac{k{e}^2}{x_e}\left[\frac{1}{9}{\left(\frac{x_e}{x}\right)}^9-\frac{x_e}{x}\right](1)$

The H+ ion is never at rest at the equilibrium position $x=x_e$. To maintain itself, it makes small oscillations around $x_e$. This means that when $x\approx x_e$ behaves as if the H+ of mass $m_H$ were attached to a constant $K$ dock and, therefore, its potential energy (elastic) would be:

$U(x)=\frac{1}{2}K(x-x_e{)}^2+\mathrm{cte}(2)$

Therefore, the expression of the potential energy (1) shall correspond to (2) when $x\approx x_e$.

3° Run a Taylor series development for $U(x)$ around $x=x_e$, with the approximations you deem appropriate, and deduce the value of the constant $K$ of the elastic potential energy (2).

(Remember: the Taylor series development of a $f(x)$ function around a $x_0$ point is: $f(x)=f(x_0)+{\frac{df}{dx}|}_{x_0}\frac{x-x_0}{1!}+{\frac{d^{2}f}{d{x}^2}|}_{x_0}\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}+\cdots )$

4° Determine the frequency of oscillation $f$ of H+ around its equilibrium position.

5° Experimentally it is found that $f=8,66\times 10^{13}\mathrm{Hz}$. Knowing that the mass of H+ is $m_H=1,67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, calculate the value of $x_e$.

Determine and calculate the energy $W_d$ to be supplied to a mole of HCl to completely separate the ions from each of its molecules (Dissociation Energy). Avogadro’s number is $N_A=6,022\times 10^{23}\mathrm{mol}\acute{\mathrm{e}}culas/mol$.

The following table shows the results of the calculation of the risk of the risk of exposure to the hazardous substances:

The potential energy of the energy source is the energy input of the energy source.

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Coulomb’s Law, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.1