P2. «Pesando» un zapatero.
Una definición elemental de líquido es: Los líquidos, a diferencia de los sólidos, no tienen una forma definida: adoptan la del recipiente que los contiene. Sin embargo, existen múltiples observaciones que contradicen lo anterior. Por ejemplo, si sobre una superficie horizontal de vidrio limpio se depositan pequeñas cantidades de mercurio se forman gotas (Fig. 1), y es fácil observar que las más pequeñas son rigurosamente esféricas; a medida que aumenta su tamaño se «aplanan» pero sus bordes siempre están redondeados. Se pone de manifiesto que a la tendencia de los líquidos a adoptar la forma esférica a causa de fuerzas superficiales se opone la fuerza de gravedad que tiende a «aplanar» las gotas.
Otro ejemplo: cuando se introduce un líquido A en otro B que tenga la misma densidad pero que no sea miscible, el empuje de Arquímedes equilibra el peso, y el primer líquido A, que se encuentra en una condición de gravedad aparente nula, adopta una perfecta forma esférica (Fig. 2).
Estos y otros muchos ejemplos ponen de manifiesto que los líquidos adoptan la forma esférica «cuando se les deja»; esto es, cuando las fuerzas superficiales de cohesión (tensión superficial) predominan sobre las fuerzas de gravedad, y esto ocurre cuando el número de moléculas que ocupan la superficie es del mismo orden que el de moléculas que forman parte del volumen del líquido.
El Análisis Dimensional nos proporciona la llamada longitud capilar , que sirve para saber cuándo se deben considerar los efectos de la tensión superficial. La longitud capilar viene dada por:
donde es la tensión superficial del líquido, su densidad y la aceleración de la gravedad.
Si apretando lentamente un cuentagotas lleno de alcohol conseguimos que se desprendan gotas, observaremos que en promedio su diámetro es de y puede ser considerado como la longitud capilar de este fenómeno.
a) ¿Cuál sería el volumen de la gota en un ambiente en el que existiese una gravedad residual ? El resultado que obtendrá es suficiente para justificar las viñetas de las figuras 3a y 3b.
El significado de la tensión superficial es el siguiente: la superficie de los líquidos se comporta como una membrana. Una cama elástica es un símil que puede ayudar a comprender este concepto.
En la figura 4a se representa una cama elástica rectangular sujeta a un bastidor rígido. Su superficie es prácticamente plana y horizontal. La cama está sometida a tensión, es decir el bastidor ejerce sobre la cama un conjunto de fuerzas. En consecuencia, en cada lado de la cama actúa una fuerza por unidad de longitud que denotamos por . Por lo tanto, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el lado AB de longitud vendrá dada por .
Naturalmente, si sobre la cama descansa un ciudadano (Fig. 4b), la superficie deja de ser plana, presentará una concavidad en la región que está el ciudadano. Es importante observar que cuando la superficie de la cama es plana (Fig. 4a), la presión en la parte superior e inferior de ella es la misma: la atmosférica. Sin embargo, cuando la cama está cargada, en la parte inferior la presión es la atmosférica, pero en la superior, en la parte cóncava, la presión es la atmosférica más la que ejerce el peso del ciudadano. Por lo tanto, la presión es mayor en la parte cóncava que en la convexa.
b) Suponga que la cama elástica es cuadrada de lado , que la masa del ciudadano que está tumbado en ella es , y que el ángulo que forman las tensiones con la horizontal es . Calcule la fuerza por unidad de longitud, .
Tras estas consideraciones, proponemos el siguiente experimento que fácilmente se puede realizar en casa. Consiste en depositar un alambre muy ligero sobre la superficie del agua contenida en un vaso (Fig. 5a). La longitud del alambre debe ser de pocos milímetros y mucho mayor que su radio .
c) Cuando el alambre esté en equilibrio sobre la superficie, obtenga la expresión de su peso en función de la tensión superficial , de la longitud y del ángulo de contacto que forma la superficie con la horizontal (Fig. 5b). Ya que el radio del alambre es , se puede despreciar la acción de la tensión superficial en sus extremos.
El gerris lacustris es un insecto muy abundante en charcas, lagunas y en general en aguas dulces remansadas, siendo su nombre vulgar zapatero. Estos animalejos «caminan» sobre el agua, no «nadan» en ella. Cuatro de sus seis patas terminan en una especie de pie en forma de cilindro que es el que se apoya horizontalmente sobre el agua, comportándose como el alambre del ejemplo anterior. Las dos patas delanteras las usa más como «manos» que como «pies». En la fotografía de la figura 6 puede apreciarse uno sobre la superficie del agua, deformándola ligeramente en los apoyos, como si de una membrana se tratase.
Sobre la fotografía de la figura 6 se han indicado las dimensiones más relevantes del fenómeno: longitud de sus «pies»: ; anchura de la depresión que producen: y «profundidad» de la depresión: .
d) Con las aproximaciones que crea convenientes, haga una estimación de la masa del zapatero. Ayúdese de la figura 7 en la que se muestra el pie visto de frente y considere que la tensión superficial del agua es .
Fig. 1: mercury drops on glass surface
Fig. 2: liquid A immersed in liquid B
Figs. 3a–3b: microgravity drops (8 L scale)
Fig. 4a–4b: elastic bed with and without load
Figs. 5a–5b: wire resting on water surface
Figs. 6–7: water strider and foot cross-section
Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Dimensional Analysis, Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Droplet, Membrane, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1
P2. Pesando un calzatore
Una definizione elementare del liquido è: i liquidi, a differenza dei solidi, non hanno una forma definita: adottano quella del contenitore che li contiene. Tuttavia, esistono molte osservazioni che contraddicono il precedente. Per esempio, se si deposita su una superficie orizzontale di vetro pulito, piccole quantità di mercurio si formano goccioline (Fig. 1) e è facile notare che le più piccole sono rigorosamente sferiche; man mano che aumentano di dimensione si appiandono, ma i loro bordi sono sempre rotondi. Si è rivelato che la tendenza dei liquidi ad assumere la forma sferica a causa delle forze superficiali è contraria alla forza di gravità che tende a “aplanare” le gocce.
Un altro esempio: quando viene introdotto un liquido A in un altro B che ha la stessa densità ma non è miscibile, la spinta di Archimede bilancia il peso, e il primo liquido A, che si trova in una condizione di gravità apparente zero, adotta una forma perfetta sferica (Fig. 2).
Questi e molti altri esempi dimostrano che i liquidi assumono la forma sferica quando vengono lasciati, quando le forze superficiali di coesione (tensione superficiale) prevalgono sulle forze di gravità, e questo accade quando il numero di molecole che occupano la superficie è dello stesso ordine di molecole che fanno parte del volume del liquido.
L’Analisi Dimensionale ci fornisce la chiamata lunghezza capillare , che serve a sapere quando si devono considerare gli effetti della tensione superficiale. La lunghezza capillare è data da:
dove è la tensione superficiale del liquido, la sua densità e l’accelerazione della gravità.
Se premendo lentamente un contatore di gocce pieno di alcol si ottengono gocce, si noterà che in media il suo diametro è e può essere considerato come la lunghezza capillare di questo fenomeno.
a) Qual sarebbe il volume della goccia in un ambiente in cui vi fosse una gravità residuale ? Il risultato ottenuto è sufficiente a giustificare le vendette di cui alle figure 3a e 3b.
Il significato della tensione superficiale è il seguente: la superficie dei liquidi si comporta come una membrana. Un letto elastico è un simile che può aiutare a capire questo concetto.
La figura 4a rappresenta un letto elastico rettangolare attaccato a una rigida cornice. La sua superficie è praticamente piana e orizzontale. Il letto è sottoposto a tensione, cioè il cornice esercita sul letto un insieme di forze. Di conseguenza, su ogni lato del letto agisce una forza per unità di lunghezza che si denota da . Pertanto, il risultato delle forze che agiscono sul lato AB di lunghezza sarà dato da .
Naturalmente, se sul letto si riposa un cittadino (Fig. 4b), la superficie non è più piana, presenta una concavità nella regione in cui si trova il cittadino. È importante notare che quando la superficie del letto è piana (Fig. 4a), la pressione in cima e in basso è la stessa: l’atmosfera. Tuttavia, quando il letto è carico, in basso la pressione è quella atmosferica, ma in alto, nella parte concave, la pressione atmosferica è quella più che esercita il peso del cittadino. La pressione è quindi maggiore nella parte convexa che nella convexa.
b) Supponiamo che il letto a lattante sia quadrato sul lato , che la massa del cittadino che si trova sdraiato su di esso sia , e che l’angolo che forma le tensioni con la orizzontale sia . Calcolare la forza per unità di lunghezza, .
Dopo aver preso queste considerazioni, proponiamo il seguente esperimento che può essere facilmente eseguito a casa. Consiste nel depositare un filo molto leggero sulla superficie dell’acqua contenuta in un vaso (Fig. 5a). La lunghezza del filo deve essere di pochi millimetri e molto superiore al suo raggio .
c) Quando il filo è in equilibrio sulla superficie, si ottiene l’espressione del suo peso in funzione della tensione superficiale , della lunghezza e dell’angolo di contatto che forma la superficie con la orizzontale (Fig. 5b). Poiché il raggio del filo è , si può disprezzare l’azione della tensione superficiale alle sue estremità.
Il gerris lacustris è un insetto molto ricco di pozzetti, lagune e in generale in acque dolci rimandate, il suo nome comune è zapper. Questi animali piccoli camminano sull’acqua, non ne fanno la natura. Quattro delle sue sei zampe finiscono in una specie di piede a forma di cilindro che si appoggia orizzontalmente sull’acqua, comportandosi come il filo dell’esempio precedente. Le due zampe anteriori le usa più come “manci” che come “pie”. Nella fotografia di figura 6 si può vedere una sulla superficie dell’acqua, deformandola leggermente nei supporti, come se si trattasse di una membrana.
Le dimensioni più rilevanti del fenomeno sono state indicate nella fotografia di figura 6: lunghezza dei suoi pi: ; larghezza della depressione che producono: e profondità della depressione: .
d) Con gli approcci che ritieni convenienti, eseguire una stima della massa del calzatore. Aiuta la figura 7 che mostra il piede visto di fronte e considera che la tensione superficiale dell’acqua è .
Fig. 1: mercury drops on glass surface
Fig. 2: liquid A immersed in liquid B
Figs. 3a3b: microgravità (8 L scale)*
Fig. 4a4b: letto elastico con e senza carico
Figs. 5a5b: wire resting on water surface*
Figs. 67: water strider and foot cross-section*
Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Dimensional Analysis, Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Droplet, Membrane, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1
P2. “Weighing” a cobbler.
An elementary definition of liquid is: Unlike solids, liquids do not have a defined shape; they adopt the shape of the container that holds them. However, there are numerous observations that contradict this statement. For example, if small amounts of mercury are deposited on a clean horizontal glass surface, droplets form (Fig. 1), and it is easy to observe that the smallest ones are strictly spherical; as their size increases, they “flatten” but their edges always remain rounded. It becomes evident that the tendency of liquids to adopt a spherical shape due to surface forces is opposed by gravity, which tends to “flatten” the droplets.
Another example: when a liquid A is introduced into another liquid B of equal density but immiscible with A, the buoyant force according to Archimedes balances the weight, and liquid A, being in a condition of zero apparent gravity, adopts a perfect spherical shape (Fig. 2).
These and many other examples demonstrate that liquids assume a spherical shape “when left to themselves”; that is, when cohesive surface forces (surface tension) dominate over gravitational forces, and this occurs when the number of molecules occupying the surface is on the same order as the number of molecules forming part of the liquid’s volume.
Dimensional analysis provides us with the so-called capillary length , which helps determine when surface tension effects must be considered. The capillary length is given by:
where denotes the surface tension of the liquid, its density, and the acceleration due to gravity.
If we slowly squeeze a dropper filled with alcohol so that drops detach, we observe that on average their diameter is and this value may be considered as the capillary length for this phenomenon.
a) What would be the volume of a drop in an environment with a residual gravity ? The result you obtain will be sufficient to justify the sketches in figures 3a and 3b.
The meaning of surface tension is as follows: the surface of liquids behaves like a membrane. A trampoline serves as an analogy that may help understand this concept.
In Figure 4a, a rectangular elastic trampoline is shown, held in place by a rigid frame. Its surface is nearly flat and horizontal. The trampoline is under tension, meaning that the frame exerts a set of forces on it. Consequently, a force per unit length denoted by acts along each edge of the trampoline. Therefore, the resultant force acting on side AB of length is given by .
Naturally, if a citizen is resting on the mattress (Fig. 4b), the surface ceases to be flat and develops a concavity in the region occupied by the citizen. It is important to note that when the mattress surface is flat (Fig. 4a), the pressure on its upper and lower sides is equal: atmospheric pressure. However, when the mattress is loaded, the pressure at its bottom remains atmospheric, but on the upper side, in the concave region, the pressure is atmospheric plus that exerted by the citizen’s weight. Therefore, the pressure is higher in the concave region than in the convex one.
b) Suppose the elastic mattress is square with side , that the mass of the citizen lying on it is , and that the angle between the tensions and the horizontal is . Calculate the force per unit length, .
After these considerations, we propose the following experiment that can easily be carried out at home. It consists of placing a very light wire on the surface of water contained in a glass (Fig. 5a). The length of the wire should be a few millimeters and much greater than its radius .
c) When the wire is in equilibrium on the surface, obtain the expression for its weight as a function of the surface tension , the length , and the contact angle that the surface makes with the horizontal (Fig. 5b). Since the wire’s radius is , the effect of surface tension at its ends may be neglected.
The gerris lacustris is a very common insect in ponds, lakes, and generally in still freshwater bodies; its common name is water strider. These little creatures “walk” on water, not “swim” in it. Four of its six legs end in a kind of foot shaped like a cylinder, which rests horizontally on the water surface, behaving similarly to the wire in the previous example. The two front legs are used more like “hands” than “feet.” In the photograph in Figure 6, one can see a water strider on the surface of the water, slightly deforming it at the contact points, as if it were a membrane.
On the photograph in Figure 6, the most relevant dimensions of the phenomenon are indicated: length of its “feet”: ; width of the depression they produce: ; and “depth” of the depression: .
d) Using approximations you consider appropriate, make an estimate of the mass of the water strider. Use Figure 7, which shows the foot viewed from the front, and assume that the surface tension of water is .
Fig. 1: mercury drops on glass surface
Fig. 2: liquid A immersed in liquid B
Figs. 3a–3b: microgravity drops (8 L scale)
Fig. 4a–4b: elastic bed with and without load
Figs. 5a–5b: wire resting on water surface
Figs. 6–7: water strider and foot cross-section