Spagna 2010

P2. El experimento de Cavendish.

Henry Cavendish (1731–1810) fue un notable físico y químico británico. Trabajó en prácticamente todas las áreas de la física de su tiempo, destacando particularmente en sus investigaciones sobre la electricidad y la determinación de parámetros de la Tierra. Concretamente, vamos a analizar su experimento para “pesar la Tierra”.

Desde tiempos de Newton (1643–1727) se conocía que la fuerza gravitatoria era proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, pero se desconocían la constante de proporcionalidad y la masa de la Tierra. Cavendish, cuando realizó su famoso experimento, utilizó una balanza de torsión que previamente había diseñado y fabricado John Michell, que murió antes de poder probarla. La figura 1 es una fotografía de una moderna balanza de este tipo que se utiliza para realizar prácticas de laboratorio.

Una balanza de torsión consiste en una ligera varilla con dos esferas de masa $m$ en sus extremos, que se mantiene horizontal cuando está suspendida por su punto medio $O$ mediante un hilo sujeto por su extremo superior $P$, como se muestra en perspectiva en la figura 2. Supondremos que la semilongitud de la varilla es $L$ y que su masa es despreciable frente a las de las esferas. En estas condiciones, cuando se aparta la varilla del equilibrio manteniéndola siempre horizontal y girándola un pequeño ángulo $\theta$, las esferas tienden a describir un movimiento circular con velocidad angular $\omega =d\theta /dt$ y con radio $L$.

a) Determine la expresión del módulo del momento angular $L_0$ de las dos esferas respecto al centro $O$ de la varilla.

Al girar el sistema varilla-esferas el hilo del cual está suspendido se opone a que lo “retuerzan” ejerciendo un momento de torsión, $\tau$, sobre la varilla cuyo valor es proporcional al ángulo girado $\theta$, siempre que este ángulo sea muy pequeño. Es decir,

$\tau =-k\theta$

en donde $k$ es la llamada constante de torsión del hilo y el signo tiene en cuenta la oposición del hilo al giro.

En definitiva, si tras apartar al sistema un pequeño ángulo $\theta$ respecto a la posición de equilibrio se deja libre, realizará oscilaciones armónicas.

b) Demuestre que el periodo de dichas oscilaciones armónicas viene dado por:

$T=2\pi {\left(\frac{2m{L}^2}{k}\right)}^{1/2}$

Si $m=730,0\text{ g}$ y $L=90,0\text{ cm}$ y se observa que el periodo de las oscilaciones es $T=7,00\text{ min}$:

c) Calcule el valor de la constante $k$ de torsión del hilo.

A continuación, sobre cada esfera se aplican fuerzas $\vec{F}$ y ${\vec{F}}^{\prime }=-\vec{F}$ respectivamente, como se indica en la figura 3 en la que se muestra la balanza vista desde arriba. El sistema alcanzará un nuevo estado de equilibrio correspondiente a un pequeño ángulo ${\theta }_0$, cuando el momento que ejercen dichas fuerzas se equilibre con el momento de torsión del hilo.

d) Determine la expresión del módulo de la fuerza $F$ aplicada en cada extremo, en función de $L$, $k$ y ${\theta }_0$.

En el experimento de Cavendish, las fuerzas $\vec{F}$ y ${\vec{F}}^{\prime }=-\vec{F}$ aplicadas en las bolas de masa $m$ eran las correspondientes fuerzas de interacción gravitatoria ${\vec{F}}_G$ que ejercían otras bolas de masa $M\gg m$ colocadas a unas distancias $b$ como se muestra en la figura 4.

e) Obtenga la expresión de la masa de la Tierra, $M_T$, en función de $M$, $m$, $L$, $b$, ${\theta }_0$, del radio de la Tierra $R_T$ y de la aceleración de la gravedad $g$.

Con los datos adicionales siguientes:

$M=158,0\text{ kg}$; ${\theta }_0=9,87\times 10^{-4}\text{ rad}$; $b=23,0\text{ cm}$; $R_T=6,37\times 10^6\text{ m}$; $g=9,81{\text{ m/s}}^2$

f) Calcule la masa de la Tierra, $M_T$, y el valor de la constante de Gravitación Universal $G$.

Fig. 1: modern torsion balance photo

Fig. 2: torsion balance perspective diagram

Fig. 3: torsion balance top view, forces

Fig. 4: Cavendish setup top view, large masses

Topic: Gravitation, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod, Sphere, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2. L’esperimento di Cavendish.

Henry Cavendish (1731-1810) fu un notevole fisico e chimico britannico. Ha lavorato in praticamente tutti i settori della fisica del suo tempo, particolarmente in particolare nelle sue ricerche sull’elettricità e la determinazione dei parametri della Terra. Concretamente, analizzeremo il suo esperimento per “pesare la Terra”.

Dal tempo di Newton (16431727) si sapeva che la forza gravitazionale era proporzionale al prodotto delle masse e inverso proporzionale al quadrato della distanza, ma non si sapeva la costante di proporzionalità e la massa della Terra. Cavendish, quando fece il suo famoso esperimento, utilizzò una bilancia di torsione che aveva precedentemente progettato e fabbricato John Michell, che morì prima di poterla provare. La figura 1 è una fotografia di una moderna bilancia di questo tipo che viene utilizzata per eseguire pratiche di laboratorio.

Un’onda di torsione consiste in un leggero bastone con due sfere di massa $m$ alle sue estremità, che si mantiene orizzontale quando sospesa dal suo punto medio $O$ da un filo soggetto dalla sua estremità superiore $P$, come mostrato in prospettiva nella figura 2. Supponiamo che la semilunghezza del bastone sia $L$ e che la sua massa sia scarsa rispetto a quella delle sfere. In queste condizioni, quando la verga di equilibrio viene allontanata mantenendola sempre orizzontale e girandola a un piccolo angolo $\theta$, le sfere tendono a descrivere un movimento circolare con velocità angolare $\omega =d\theta /dt$ e con raggio $L$.

a) Determina l’espressione del modulo di angolo $L_0$ delle due sfere rispetto al centro $O$ del bastone.

Quando si gira il sistema di barre-sfere dal quale il filo è sospeso si oppone a che lo “reterano” esercitando un momento di torsione, $\tau$, sulla barra il cui valore è proporzionale all’angolo girato $\theta$, purché questo angolo sia molto piccolo. Cioè,

$\tau =-k\theta$

dove $k$ è la cosiddetta costante di torsione del filo e il segno tiene conto dell’opposizione del filo al giro.

In definitiva, se dopo aver allontanato il sistema un piccolo angolo $\theta$ rispetto alla posizione di equilibrio viene lasciato libero, si effettueranno oscillazioni armoniche.

b) Dimostra che il periodo di tali oscillazioni armoniche è dato da:

$T=2\pi {\left(\frac{2m{L}^2}{k}\right)}^{1/2}$

Se $m=730,0\text{ g}$ e $L=90,0\text{ cm}$ e si osserva che il periodo di oscillazioni è $T=7,00\text{ min}$:

c) Calcola il valore della costante $k$ di torsione del filo.

Successivamente, su ciascuna sfera si applicano rispettivamente $\vec{F}$ e ${\vec{F}}^{\prime }=-\vec{F}$, come indicato nella figura 3 che mostra la bilancia vista dall’alto. Il sistema raggiungerà un nuovo stato di equilibrio corrispondente a un angolo piccolo ${\theta }_0$, quando il momento che esercitano tali forze si equilibra con il momento di torsione del filo.

d) Determina l’espressione del modulo di forza $F$ applicata a ciascuna estremità, in funzione di $L$, $k$ e ${\theta }_0$.

Nell’esperimento di Cavendish, le forze $\vec{F}$ e ${\vec{F}}^{\prime }=-\vec{F}$ applicate alle sfere di massa $m$ erano le corrispondenti forze di interazione gravitazionale ${\vec{F}}_G$ che esercitavano altre sfere di massa $M\gg m$ posizionate a distanze $b$ come mostrato in figura 4.

e) Ottieni l’espressione della massa della Terra, $M_T$, in funzione di $M$, $m$, $L$, $b$, ${\theta }_0$, del raggio della Terra $R_T$ e dell’accelerazione della gravità $g$.

Con le seguenti informazioni aggiuntive:

$M=158,0\text{ kg}$; ${\theta }_0=9,87\times 10^{-4}\text{ rad}$; $b=23,0\text{ cm}$; $R_T=6,37\times 10^6\text{ m}$; $g=9,81{\text{ m/s}}^2$

f) Calcola la massa della Terra, $M_T$, e il valore della costante di Gravità Universale $G$.

Fig. 1: modern torsion balance photo

Fig. 2: diagramma di torsione di equilibrio prospettico

Fig. 3: torsion balance top view, forze

Fig. 4: Cavendish setup top view, large masses

Topic: Gravitation, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod, Sphere, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2. The Cavendish Experiment

Henry Cavendish (1731–1810) was a prominent British physicist and chemist. He worked in nearly every area of physics during his time, particularly excelling in his research on electricity and the determination of Earth’s parameters. Specifically, we will analyze his experiment to “weigh the Earth.”

Since Newton’s time (1643–1727), it had been known that the gravitational force is proportional to the product of the masses and inversely proportional to the square of the distance, but both the proportionality constant and Earth’s mass were unknown. When Cavendish conducted his famous experiment, he used a torsion balance previously designed and built by John Michell, who died before being able to test it. Figure 1 is a photograph of a modern version of this type of balance used in laboratory practice.

A torsion balance consists of a lightweight rod with two spheres of mass $m$ at its ends, which remains horizontal when suspended by its midpoint $O$ from a thin wire attached at its upper end $P$, as shown in perspective in Figure 2. We assume the half-length of the rod is $L$ and that its mass is negligible compared to those of the spheres. Under these conditions, when the rod is displaced from equilibrium while remaining always horizontal and rotated by a small angle $\theta$, the spheres tend to undergo circular motion with angular velocity $\omega =d\theta /dt$ and radius $L$.

a) Determine the expression for the magnitude of the angular momentum $L_0$ of the two spheres about the center $O$ of the rod.

As the rod-sphere system rotates, the suspending wire opposes twisting by exerting a torque $\tau$ on the rod, whose magnitude is proportional to the rotated angle $\theta$, provided this angle remains very small. That is,

$\tau =-k\theta$

where $k$ is known as the torsion constant of the wire, and the negative sign accounts for the wire’s opposition to rotation.

In short, if after displacing the system by a small angle $\theta$ from equilibrium it is released, it will perform simple harmonic oscillations.

b) Show that the period of these harmonic oscillations is given by:

$T=2\pi {\left(\frac{2m{L}^2}{k}\right)}^{1/2}$

If $m=730,0\text{ g}$ and $L=90,0\text{ cm}$, and it is observed that the oscillation period is $T=7,00\text{ min}$:

c) Calculate the value of the torsion constant $k$ of the wire.

Subsequently, forces $\vec{F}$ and ${\vec{F}}^{\prime }=-\vec{F}$ are applied respectively on each sphere, as indicated in Figure 3 showing the balance viewed from above. The system will reach a new equilibrium state corresponding to a small angle ${\theta }_0$ when the torque exerted by these forces balances the torsional moment of the wire.

d) Determine the expression for the magnitude of the force $F$ applied at each end, in terms of $L$, $k$ and ${\theta }_0$.

In the Cavendish experiment, the forces $\vec{F}$ and ${\vec{F}}^{\prime }=-\vec{F}$ applied on the masses $m$ were the corresponding gravitational interaction forces ${\vec{F}}_G$ exerted by other masses $M\gg m$ placed at distances $b$, as shown in Figure 4.

e) Obtain the expression for Earth’s mass $M_T$ in terms of $M$, $m$, $L$, $b$, ${\theta }_0$, Earth’s radius $R_T$ and gravitational acceleration $g$.

With the following additional data:

$M=158,0\text{ kg}$; ${\theta }_0=9,87\times 10^{-4}\text{ rad}$; $b=23,0\text{ cm}$; $R_T=6,37\times 10^6\text{ m}$; $g=9,81{\text{ m/s}}^2$

f) Calculate Earth’s mass $M_T$ and the value of the Universal Gravitational Constant $G$.

Fig. 1: modern torsion balance photo

Fig. 2: torsion balance perspective diagram

Fig. 3: torsion balance top view, forces

Fig. 4: Cavendish setup top view, large masses