Spagna 2011

P2. Tablón oscilante

Se coloca un tablón delgado y homogéneo, de masa $M$ y longitud $L$, sobre un par de rodillos que giran con la misma velocidad angular constante, pero en sentidos opuestos. En la figura 1 se muestra este sistema cuando el tablón está colocado simétricamente respecto a los rodillos. La distancia entre los ejes de los rodillos es $b$ y el coeficiente de rozamiento entre el tablón y dichos rodillos es $\mu$.

a) Cuando el tablón se aparta una distancia $x$ de la posición simétrica, como se representa en la figura 2, dibuje un diagrama en el que se muestren las fuerzas que actúan sobre el tablón.

b) Demuestre que el tablón permanece en equilibrio si se coloca exactamente en la posición simétrica respecto a los cilindros ($x=0$).

Cuando el tablón se libera en una posición como la representada en la figura 2, es decir separado una distancia $x$ de la posición de equilibrio, realiza un movimiento oscilatorio armónico. Se supone que la velocidad angular de los rodillos es lo suficientemente elevada para que en ningún momento el tablón deje de deslizar sobre ellos.

c) Determine el periodo $T$ de las oscilaciones del tablón.

Estando el tablón en la posición de equilibrio, se le aplica un impulso horizontal de magnitud $I$, de forma que empieza a oscilar en torno a dicha posición de equilibrio.

d) Determine el máximo impulso que se puede aplicar al tablón, $I_{\max }$, para que permanezca siempre apoyado sobre los dos rodillos.

Fig. 1: tablón simétrico sobre rodillos

Fig. 2: tablón desplazado distancia x

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Beam, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2. Tabella oscillante

Si pone un tabellone sottile e omogeneo, di massa $M$ e lunghezza $L$, su una coppia di rulli che ruotano con la stessa velocità angolare costante, ma in direzioni opposte. La figura 1 mostra questo sistema quando il tabellone è posto simmetricamente rispetto ai rulli. La distanza tra gli assi dei rulli è $b$ e il coefficiente di ruggine tra il tavolo e tali rulli è $\mu$.

a) Quando il tabellone si allontana da una distanza $x$ dalla posizione simmetrica, come illustrato in figura 2, disegnare un diagramma che mostri le forze che agiscono sul tabellone.

b) Dimostra che il tavolo rimane in equilibrio se posizionato esattamente in posizione simmetrica rispetto ai cilindri ($x=0$).

Quando il tabellone si libera in una posizione come quella rappresentata nella figura 2, cioè separato da una distanza $x$ dalla posizione di equilibrio, si effettua un movimento oscillatorio armonico. Si suppone che la velocità angolare dei rulli sia sufficientemente elevata da far sì che il tabellone non smetta di scivolare sopra di loro.

c) Determina il periodo $T$ delle oscillazioni del tabellone.

Quando il tavolo è in posizione di equilibrio, viene applicato un impulso orizzontale di magnitudo $I$, in modo che inizia ad oscillare attorno a tale posizione di equilibrio.

d) Determina la massima impostazione che può essere applicata al tabellone, $I_{\max }$, in modo che sia sempre appoggiato su due rulli.

Fig. 1: tabella simmetrica su rulli

Fig. 2: tavolo spostato distanza x

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Beam, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2. Oscillating Plank

A thin, homogeneous plank of mass $M$ and length $L$ is placed on a pair of rollers rotating with the same constant angular velocity but in opposite directions. Figure 1 shows this system when the plank is symmetrically positioned with respect to the rollers. The distance between the roller axes is $b$, and the coefficient of friction between the plank and the rollers is $\mu$.

a) When the plank is displaced a distance $x$ from the symmetric position, as shown in Figure 2, draw a diagram showing all forces acting on the plank.

b) Show that the plank remains in equilibrium when placed exactly at the symmetric position with respect to the rollers ($x=0$).

When the plank is released from a position like that shown in Figure 2—i.e., displaced a distance $x$ from the equilibrium position—it undergoes simple harmonic oscillation. It is assumed that the angular velocity of the rollers is sufficiently high so that the plank never loses contact and always slips over them.

c) Determine the period $T$ of the plank’s oscillations.

While the plank is at equilibrium, a horizontal impulse of magnitude $I$ is applied so that it begins to oscillate about this equilibrium position.

d) Determine the maximum impulse $I_{\max }$ that can be applied to the plank such that it remains in contact with both rollers at all times.

Fig. 1: symmetric plank on rollers

Fig. 2: plank displaced a distance x