P2 El electrómetro monofilar de Wulf. Con objeto de demostrar que la radiación en la superficie de la Tierra provenía de sustancias radiactivas existentes en el suelo, el sacerdote jesuita alemán Theodor Wulf diseñó y construyó un electrómetro de hilo que lleva su nombre. Con este instrumento, en 1910, quiso demostrar que la radiación debía disminuir con la altura. El resultado de la experiencia, realizada en la torre Eiffel, resultó negativo. La variación era pequeña pero en sentido contrario: aumentaba con la altura. Esto obligó a admitir la existencia de una radiación de origen externo que competía con la emanada de la propia Tierra. En 1912 el físico austriaco Victor Francis Hess, hizo mediciones ascendiendo en globo hasta los 5000 m: “La mejor explicación para los resultados de mis observaciones se basa en el supuesto de que una radiación de gran poder penetrante entra en nuestra atmósfera desde arriba”. Posteriores medidas, realizadas desde globos no tripulados, le llevaron a la conclusión de que la intensidad de la radiación procedente del exterior (rayos cósmicos) aumenta con la altitud, varía con la latitud y es algo más intensa de día que de noche. Victor Hess, que puede considerarse el “padre” de los rayos cósmicos, recibió el Premio el Nobel de Física en 1936. Los electrómetros son aparatos para medir diferencias de potencial o cargas eléctricas. Aunque existen diversos tipos, vamos a centrarnos en el electrómetro de Wulf de la figura 1, que se expone en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza y cuyo esquema se representa en la figura 2. En esencia, está constituido por una carcasa por cuyas caras laterales salen al exterior, perfectamente aislados, los soportes conductores de dos placas metálicas paralelas, A y B. Un fino hilo conductor HC tiene su extremo H conectado eléctricamente al borne 1 del aparato, y su extremo inferior está sujeto a la carcasa por medio de un bucle de cuarzo C, aislante, que permite regular la fuerza de tensión del hilo. El aparato dispone de un sistema lateral de iluminación, que permite observar el hilo con un microscopio dotado de un micrómetro. De esta forma es posible medir con gran precisión las pequeñas desviaciones laterales del hilo que se producen cuando entre los bornes 1 y 2 se aplica una diferencia de potencial V . Las placas A y B, separadas una distancia d, se conectan a dos baterías de fem 0 V cada una, como se indica en la figura 2. Por tanto, entre dichas placas se establece un campo eléctrico que, para simplificar el problema, puede considerarse uniforme. Si el hilo HC no está cargado no sufrirá ninguna fuerza electrostática, como se representa en la figura 3. Pero si existe una diferencia de potencial 0
V , el hilo adquirirá una carga q + y tenderá a desplazarse lateralmente hacia la placa conductora negativa (figura 4) hasta que la fuerza electrostática esté compensada por las componentes horizontales de la fuerzas de tensión T r en los extremos del hilo. Dado que la carga q del hilo es extremadamente pequeña, también lo será el desplazamiento del hilo, l x << , lo que justifica la necesidad del microscopio. En consecuencia, el ángulo que forma la tensión del hilo en sus extremos con la vertical será también muy pequeño ( g sen t ) y, por la misma razón, se puede considerar que el módulo T de la tensión se mantiene constante e independiente de x. Como Fig. 1 Fig. 2 V0 V0 V H B C 2 1 A
Fig. 6 S
I
S ́
b
1 2 simplificación adicional, puede suponerse que, en equilibrio, el hilo es prácticamente recto en el espacio comprendido entre las placas, como se representa en la figura 5. a) Determine el módulo del campo eléctrico E existente entre las placas A y B, en función de 0 V y d. Cuando entre los bornes 1 y 2 se establece la diferencia de potencial V , el hilo adquiere una carga q que se reparte uniformemente por el hilo como una densidad lineal de carga L q /
. La parte del hilo comprendido entre las placas, cuya carga es l , por efecto del campo eléctrico uniforme sufrirá un desplazamiento x, tal como se muestra en la figura 5. b) Deduzca la expresión que relaciona el desplazamiento x del hilo, con de V0, L, l, d, T y q. Para modificar el rango de medidas puede modificarse la tensión T del hilo, aunque no es sencillo determinar su valor. Tampoco es fácil encontrar la relación entre la carga del hilo y la diferencia de potencial V que se aplica entre los bornes del electrómetro. Sin embargo, para pequeños valores de x, la desviación del hilo y el voltaje aplicado V son proporcionales, es decir V K x
. Suponga que, mediante una operación previa de calibrado, se sabe que la constante de proporcionalidad es m/V 10 59 ,5 6
K . En estas condiciones, como se muestra en la figura 6, se unen los bornes 1 y 2 del electrómetro, a través de un interruptor I, a las armaduras S y S ́ de un condensador plano cargado. Las armaduras son circulares, de radio m 150 ,0
r , y están separadas una distancia m 120 ,0
b . Cuando se cierra el interruptor I, se observa en el electrómetro una desviación del hilo mm 139 ,0 1 = x . c) Determine y calcule la diferencia de potencial 1 V existente entre las armaduras del condensador, así como su carga 1 Q . (Permitividad dieléctrica del aire: 2 1 2 12 m N C 10 86 ,8
). Fig. 4 T T x Fig. 3 d T T l L Fig. 5 T T x x
A partir del instante en que se cierra el interruptor I se observa que la desviación del hilo 1x disminuye lentamente hasta anularse, lo que significa que la diferencia de potencial entre las placas del condensador disminuye con el mismo ritmo hasta hacerse cero. Si no existiese ningún tipo de corriente de fuga a través de los materiales aislantes del montaje, el fenómeno se debería exclusivamente a que algún tipo de radiación, suficientemente energética, ioniza las moléculas del gas (aire) existente entre las placas. Los iones positivos emigran a la placa negativa y los negativos a la positiva y, paulatinamente, se descarga el condensador. d) Si el tiempo que transcurre desde que se acciona el interruptor hasta que 0 1 x es s 10 66 ,7 3
, y suponiendo que la descarga del condensador se deba solo a ionizaciones simples del aire entre sus armaduras (cada molécula ionizada da lugar a un solo electrón y a un ion positivo), determine y calcule el número N de ionizaciones que se realizan por segundo y por 3 cm en el espacio comprendido entre las armaduras del condensador. (carga elemental C 10 602 ,1 19
e ).
Solución a) En la figura 7 se representan exclusivamente las conexiones de las placas del electrómetro con las dos baterías y la conexión a tierra, y es fácil ver que la diferencia de potencial entre ambas es 0 2V . Dado que dichas placas constituyen un condensador plano, el módulo del campo eléctrico en su interior es
d V E 0 2
b) Cuando el hilo tenga carga positiva, tenderá a desplazarse hacia la placa negativa, la B en nuestro caso. Aceptando la simplificación propuesta en el enunciado, consideremos como sistema mecánico en equilibrio la porción de hilo entre las placas (figura 8). Las fuerzas exteriores que actúan son las tensiones en sus extremos, de módulo T, y la fuerza electrostática F debida al campo eléctrico. Si es la densidad lineal de carga eléctrica del hilo, esta fuerza es
d V l E l F 0 2
=
(1) En el equilibrio, la fuerza resultante horizontal debe ser nula, por lo que
0 sen 2
T F
(2) Teniendo en cuenta el pequeño valor de ,
tg sen
De la figura 5 del enunciado es fácil deducir que
( ) 2 / tg l L x
De donde,
l L x T d V l
2 2 2 0 ( ) T V d l l L x 2 0
Y como L q /
, resulta
( ) q T V Ld l l L x 2 0
(3) c) Al conectar las armaduras del condensador a los bornes del electrómetro se observa una desviación del hilo
Topic: Electrostatics, Circuits, Nuclear & Particle Physics Metodi: Electric Potential Method, Free-Body Diagram, Small-Angle Approximation, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Battery, Switch, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1
P2 L’elettrometro a filo di Wulf.
Al fine di dimostrare che la radiazione sulla superficie della Terra proveniva da sostanze radioattive presenti nel suolo, il sacerdote gesuita tedesco Theodor Wulf progettò e costruì un elettrometro a filo che porta il suo nome. Con questo strumento, nel 1910, volle dimostrare che la radiazione doveva diminuire con l’altezza.
Il risultato dell’esperimento, effettuato sulla torre Eiffel, si rivelò negativo. La variazione era piccola ma nel senso opposto: aumentava con l’altezza. Ciò costrinse ad ammettere la presenza di una radiazione di origine esterna che competeva con quella emessa dalla stessa Terra. Nel 1912, il fisico austriaco Victor Francis Hess effettuò misurazioni salendo in mongolfiera fino a 5000 m: “La spiegazione migliore per i risultati delle mie osservazioni si basa nell’ipotesi che una radiazione di grande potere penetrante entri nella nostra atmosfera dall’alto”. Ulteriori misurazioni effettuate da mongolfiere non pilotate lo portarono alla conclusione che l’intensità della radiazione proveniente dall’esterno (raggi cosmici) aumenta con l’altezza, varia con la latitudine e risulta leggermente più intensa di giorno che di notte. Victor Hess, che può considerarsi il “padre” dei raggi cosmici, ricevette nel 1936 il Premio Nobel per la Fisica. Gli elettrometri sono strumenti per misurare differenze di potenziale o cariche elettriche. Sebbene esistano diversi tipi, ci concentreremo sull’elettrometro di Wulf della Figura 1, esposto nella Facoltà di Scienze dell’Università di Saragozza e il cui schema è rappresentato nella Figura 2. In sostanza, esso è costituito da una custodia all’interno della quale dalle facce laterali emergono, perfettamente isolate, i supporti conduttori di due lastre metalliche parallele A e B. Un sottile filo conduttore HC ha l’estremità H collegata elettricamente al morsetto 1 dello strumento, mentre l’estremità inferiore è fissata alla custodia tramite un anello di quarzo C, isolante, che permette di regolare la forza di tensione del filo. Lo strumento dispone inoltre di un sistema laterale di illuminazione, che consente di osservare il filo con uno strumento ottico dotato di un micrometro. In questo modo è possibile misurare con grande precisione le piccole deviazioni laterali del filo che si verificano quando tra i morsetti 1 e 2 viene applicata una differenza di potenziale V . Le lastre A e B, separate da una distanza d, sono collegate a due batterie di f.e.m. 0 V ciascuna, come indicato nella Figura 2. Pertanto tra queste lastre si stabilisce un campo elettrico che, per semplificare il problema, può essere considerato uniforme. Se il filo HC non è carico, non subirà alcuna forza elettrostatica, come rappresentato nella Figura 3. Ma se esiste una differenza di potenziale 0
V , il filo acquisirà una carica q
- y il filo tenderà a spostarsi lateralmente verso la piastra conduttrice negativa (figura 4) fino a quando la forza elettrostatica sia bilanciata dalle componenti orizzontali delle forze di tensione T r agli estremi del filo. Dato che la carica q del filo è estremamente piccola, anche lo spostamento del filo sarà molto piccolo (l x << ), il che giustifica la necessità dell’utilizzo del microscopio. Di conseguenza, l’angolo formato dalla tensione del filo agli estremi con la verticale sarà anch’esso molto piccolo ( g sen t ) e, per la stessa ragione, si può considerare che il modulo T della tensione rimanga costante e indipendente da x. Poiché Fig. 1 Fig. 2 V0 V0 V H B C 2 1 A
Fig. 6 S
I
S ́
b
1 2 come ulteriore semplificazione, si può supporre che, all’equilibrio, il filo sia praticamente rettilineo nello spazio compreso tra le piastre, come rappresentato in figura 5. a) Determinare il modulo del campo elettrico E esistente tra le piastre A e B, in funzione di 0 V e d. Quando tra i morsetti 1 e 2 si stabilisce la differenza di potenziale V , il filo acquista una carica q che si distribuisce uniformemente lungo il filo come densità lineare di carica L q / = . La parte del filo compresa tra le piastre, la cui carica è l , sotto l’azione del campo elettrico uniforme subirà uno spostamento x, come mostrato in figura 5. b) Derivare l’espressione che lega lo spostamento x del filo con V0, L, l, d, T e q. Per modificare il raggio di misura può essere variata la tensione T del filo, anche se non è semplice determinarne il valore. Non è altresì facile trovare la relazione tra la carica del filo e la differenza di potenziale V applicata tra i morsetti dell’elettrometro. Tuttavia, per piccoli valori di x, la deviazione del filo e il voltaggio applicato V sono proporzionali, ovvero vale la relazione V = K x . Si supponga che, mediante una precedente operazione di taratura, si conosca il coefficiente di proporzionalità K = 5,6 × 10⁻⁵ V/m .
In queste condizioni, come mostrato in figura 6, i morsetti 1 e 2 dell’elettrometro vengono collegati tramite un interruttore I alle armature S e S’ di un condensatore piano carico. Le armature sono circolari, di raggio r = 0,150 m , e distano tra loro b = 0,120 m . Quando si chiude l’interruttore I, sull’elettrometro si osserva una deviazione del filo x₁ = 0,139 mm .
c) Determinare e calcolare la differenza di potenziale V₁ esistente tra le armature del condensatore, nonché la sua carica Q₁. (Permettività elettrica dell’aria: ε₀ = 8,86 × 10⁻¹² C²/(N·m²) ).
Fig. 4 T T x Fig. 3 d T T l L Fig. 5 T T x x
A partire dall’istante in cui si chiude l’interruttore I si osserva che la deviazione del filo 1x diminuisce lentamente fino a annullarsi, il che significa che la differenza di potenziale tra le armature del condensatore diminuisce con lo stesso ritmo fino a diventare nulla. Se non esistesse alcuna corrente di fuga attraverso i materiali isolanti del montaggio, il fenomeno sarebbe dovuto esclusivamente al fatto che una qualche forma di radiazione, sufficientemente energetica, ionizza le molecole del gas (aria) esistente tra le armature. Gli ioni positivi si spostano verso l’armatura negativa e gli ioni negativi verso quella positiva, e progressivamente il condensatore si scarica.
d) Se il tempo che intercorre tra l’attivazione dell’interruttore e la condizione in cui 0 1 x è s 10 66 ,7 3 = , e supponendo che la scarica del condensatore sia dovuta esclusivamente a ionizzazioni semplici dell’aria tra le armature (ogni molecola ionizzata produce un solo elettrone e un singolo ione positivo), determinare e calcolare il numero N di ionizzazioni che avvengono al secondo e per 3 cm nell’intervallo compreso tra le armature del condensatore. (carica elementare C 10 602 ,1 19 = e ).
Soluzione a) Nella figura 7 sono rappresentate esclusivamente le connessioni delle armature dell’elettrometro con le due batterie e la messa a terra, ed è facile verificare che la differenza di potenziale tra esse è 0 2V . Dato che tali armature costituiscono un condensatore piano, il modulo del campo elettrico al suo interno è
d V E 0 2
b) Quando il filo ha carica positiva, tenderà a spostarsi verso la piastra negativa, cioè la B nel nostro caso. Accettando la semplificazione proposta dal testo, consideriamo come sistema meccanico in equilibrio la porzione di filo compresa tra le piastre (figura 8). Le forze esterne che agiscono sono le tensioni ai suoi estremi, di modulo T, e la forza elettrostatica F dovuta al campo elettrico. Se è la densità lineare di carica elettrica del filo, tale forza è
d V l E l F 0 2
=
(1)
In equilibrio, la forza risultante orizzontale deve essere nulla, quindi
0 sen 2
T F
(2)
Tenendo conto del piccolo valore di ,
tg sen
Dalla figura 5 del testo è facile dedurre che
( ) 2 / tg l L x
Da cui,
l L x T d V l
2 2 2 0 ( ) T V d l l L x 2 0
E poiché L q /
, si ottiene
( ) q T V Ld l l L x 2 0
(3)
c) Collegando le armature del condensatore ai morsetti dell’elettrometro si osserva una deviazione del filo
P2 Wulf’s single-string electrometer. In order to demonstrate that radiation on the surface of the Earth came from radioactive substances The German Jesuit priest Theodor Wulf designed and built a thread electrometer that It’s named after him. With this instrument, in 1910, he wanted to prove that radiation must decrease with height. The result of the experiment, carried out in the Eiffel Tower, was negative. The variation was small but in The opposite: it increased with height. This forced him to admit the existence of radiation from an external source. It was competing with the emanation of the Earth itself. In 1912 the Austrian physicist Victor Francis Hess, made The results of the study were published in the journal Nature and the results of the study were published in the journal Nature and the results of the study. The observations are based on the assumption that a high-powered penetrating radiation enters our atmosphere. from above”. Subsequent measurements, carried out from unmanned balloons, led to the conclusion that the The intensity of radiation from outside (cosmic rays) increases with altitude, varies with latitude and It’s more intense during the day than at night. Victor Hess, who can be considered the father of cosmic rays, He was awarded the Nobel Prize in Physics in 1936. Electrometers are devices for measuring potential or electrical charges differences. Although there are So we’re going to focus on the Wulf electrometer in Figure 1, which is on display at the University of Science of the University of Zaragoza and whose scheme is shown in figure 2. It’s essentially a casing with sides facing outward, perfectly Isolated, the conductive supports of two parallel metal plates, A and B. A fine conductive wire HC has its the H-end electrically connected to the device’s terminal 1, and its lower end is subject to the housing by a medium of an insulating C quartz loop, which allows the tensile strength of the wire to be regulated. The apparatus has a side lighting system, which allows the thread to be observed with a microscope equipped with a micrometer. De This way it is possible to measure with great precision the small lateral deviations of the thread that occur when a potential difference V is applied between terminals 1 and 2 . The A and B plates, separated by a distance d, are connected to two fem batteries. 0 V each, as you know is shown in Figure 2. The electric field between these plates is therefore established, which, in order to simplify the Problem, it can be considered uniform. If the HC wire is not charged it will not suffer any electrostatic force, as shown in Figure 3. But if there is a potential difference 0
V , the thread will take on a load q + The force is then applied to the negative driving plate (Figure 4) and tends to shift laterally towards the negative driving plate (Figure 4) until the force is applied to the electrostatic is offset by the horizontal components of the T-voltage forces r At the ends of the I’m going to do it. Since the q load of the thread is extremely small, so will the displacement of the thread, l x << , which justifies the need for the microscope. Consequently, the angle forming the voltage of the The wire at its ends with the vertical will also be very small ( g Other t ) and, for the same reason, can consider that the voltage module T remains constant and independent of x. As Fig. 1 Fig. 2 V0 V0 V H B C 2 1 A
Fig. 6 S
I
S ́
b
1 2 Further simplification, it can be assumed that, in equilibrium, the thread is practically straight in space comprised between the plates as shown in Figure 5. a) Determine the electric field module E between plates A and B, based on 0 V y d. When the potential difference V is established between terminals 1 and 2 , the thread acquires a charge q which is evenly distributed over the wire as a linear load density L q /
. The part of the thread The weight of the plate shall be: l , por efecto del campo eléctrico uniforme sufrirá un displacement x, as shown in Figure 5. b) Subtract the expression relating the motion x of the wire, with V0, L, l, d, T and q. The T-tension of the wire can be changed to change the range of measurements, although this is not easy. determine its value. It is also not easy to find the relationship between the thread load and the potential difference V which is applied between the electrometer terminals. However, for small values of x, the deviation of the Wire and applied voltage V are proportional, i.e. V K x
. Suppose that, by an operation, The first is the calibration of the Proportionality is m/V 10 59 ,5 6
K . In these conditions, as shown in the Figure 6, the electrometer terminals 1 and 2 are joined, a through a switch I, to the S and S’ armor A flat capacitor loaded. Armour is Radiocommunication m 150 ,0
r , and they ‘re separated a distance m 120 ,0
b . When the The switch I is observed on the electrometer a deviation of the thread mm 139 ,0 1 = x . c) Determine and calculate the potential difference 1 V existing between the capacitor armor, as well as its burden 1 Q . (Dielectrical permeability of the air: 2 1 2 12 m N C 10 86 ,8
). Fig. 4 T T x Fig. 3 d T T l L Fig. 5 T T x x
From the moment the switch I is closed, the deviation of the wire is observed. 1x decreases slowly until it cancels, which means that the potential difference between the capacitor plates It decreases at the same rate until it becomes zero. If there were no current of any kind to leak through the The phenomenon is due exclusively to some kind of radiation, The energy content of the gas (air) between the plates is sufficiently high. Positive ions The negative ones migrate to the negative plate and the negative ones migrate to the positive plate and gradually the capacitor discharges. d) If the time elapsed from the switch being switched on until the 0 1 x es s 10 66 ,7 3
, y assuming that the discharge of the condenser is due only to simple ionization of air between its Armorations (each ionized molecule yields a single electron and a positive ion), determine and calculate the number of ionizations per second and per 3 cm in the space between the the capacitor armor. (Elementary charge) C 10 602 ,1 19
e ).
Solution a) In Figure 7 only the connections of the electrometer plates to the two batteries and grounding, and it’s easy to see that the potential difference between the two is 0 2V . Since The electric field module inside the plate is a flat capacitor.
d V E 0 2
b) When the thread is positive, it will tend to shift toward the plate. negative, the B in our case. Accepting the proposed simplification in the In this case, the part of the The two-dimensional plane of the plate is the same as the plane of the plate. The external forces acting are the The electrical conductivity of the T-module is the electric field. If is the linear density of the electrical charge of the wire, this Force is
d V l E l F 0 2
=
(1) In equilibrium, the resulting horizontal force must be zero, so that the force is not
0 Other 2
T F
(2) Given the small value of ,
tg Other
From figure 5 of the statement it is easy to deduce that
( ) 2 / tg l L x
Where did you come from?
l L x T d V l
2 2 2 0 ( ) T V d l l L x 2 0
And how L q /
, it turns out
( ) q T V Ld l l L x 2 0
(3) c) When connecting the capacitor armor to the electrometer terminals observes a deviation of the thread
Topic: Electrostatics, Circuits, Nuclear & Particle Physics Metodi: Electric Potential Method, Free-Body Diagram, Small-Angle Approximation, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Battery, Switch, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1