Spagna 2013

P2 El efecto Hall.

Una forma sencilla de comprobar la presencia de un campo magnético, y medirlo, se basa en el llamado efecto Hall. Dicho efecto fue descubierto por el físico estadounidense Edwin Herbert Hall en 1879, mientras trabajaba en su tesis doctoral en física bajo la dirección de Henry A. Rowland. Los experimentos de Hall demostraron que los portadores de carga en los materiales conductores eran partículas cargadas negativamente.

Para describir este efecto, consideremos un conductor en forma de cinta plana de dimensiones transversales $a$ y $b$ , como se muestra en la figura 1. Una corriente eléctrica, de intensidad $I$ , fluye por la cinta en la dirección positiva del eje X y un campo magnético uniforme $B$ atraviesa la cinta en la dirección OY. Los portadores de carga, en este caso electrones de carga $q = - e$ , se mueven con una velocidad $v$ en la dirección negativa de OX. En estas circunstancias la acción del campo magnético sobre los electrones tiende a acumularlos en el borde superior de la cinta, y en consecuencia, por defecto de electrones, en el borde inferior aparecerá una distribución de carga positiva. A medida que se producen estas distribuciones de carga, se establece un campo eléctrico, y por tanto una diferencia de potencial, entre los bordes de la cinta. Cuando se alcanza el equilibrio, la diferencia de potencial $V_{H}$ entre los bornes A y B se denomina Voltaje Hall (o fem Hall).

a) Determine el voltaje Hall, $V_{H}$ , en función de la dimensión $b$ , del módulo del campo magnético, $B$ , y del módulo de la velocidad media de los electrones en la cinta, $v$ .

b) ¿Cómo se modificaría el Voltaje Hall anterior si la cinta fuese de un material semiconductor y la corriente $I$ se debiese a portadores con carga positiva $q = + e$ ?

c) Demuestre que la intensidad de corriente cumple $I = n q a b v$ , donde $n$ es el número de portadores de carga por unidad de volumen en el material de la cinta.

d) Teniendo en cuenta lo anterior, determine la expresión del Voltaje Hall, $V_{H}$ , en función de $n$ , $I$ , $q$ , $B$ y de la anchura de la cinta, $a$ .

e) Suponga que la cinta es de Cu, con $a = 2, 0 mm$ , $B = 0, 40 T$ e $I = 75, 0 A$ . Entre los bornes A y B se mide un voltaje Hall $V_{H} = 0, 81 V$ . Sabiendo que $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , calcule el número de electrones por unidad de volumen, $n$ .

Las aplicaciones más importantes del efecto Hall son la determinación del signo de los portadores mayoritarios, el cálculo del número de portadores por unidad de volumen y la medida de campos magnéticos mediante las llamadas sondas Hall. Básicamente estas sondas son como la de la figura 1, normalmente hechas con material semiconductor, y con diferentes geometrías que se adaptan a la del campo magnético a medir.

Otro tipo de sonda, de geometría cilíndrica, para medir campos magnéticos en el interior de solenoides o bobinas largas, puede ser el que a continuación se plantea.

La cinta se substituye por un tubo cilíndrico semiconductor de longitud $L$ y radios $r_{1}$ y $r_{2}$ , en el que se ha practicado una estrecha ranura o gap, como muestra la figura 2. Por la pieza conductora se hace circular una corriente $I$ en sentido radial, de forma que los portadores de carga, con $q = + e$ , se mueven desde la parte interior del cilindro hacia la parte exterior, como se muestra en el corte transversal de la figura 3. En toda la región existe un campo magnético uniforme $B$ dirigido en paralelo al eje del tubo, como se indica en la figura 2, es decir perpendicular al papel y dirigido hacia adentro en la figura 3.

f) Despreciando la existencia de la estrecha ranura, pero teniendo en cuenta que la intensidad de corriente $I$ es la carga que atraviesa por unidad de tiempo, en este caso, una superficie cilíndrica de longitud $L$ y radio $r$ ( $r_{1} < r < r_{2}$ ), obtenga la expresión de la velocidad radial de los portadores de carga, $v_{r}$ , en un punto cualquiera del conductor, en función de $r$ .

g) Determine el valor del módulo de la fuerza magnética que actúa sobre un portador de carga $q$ que se encuentra a una distancia $r$ del eje. Exprese el resultado en función de $B$ , $n$ , $I$ , $L$ y $r$ .

Bajo la acción de dicha fuerza, los portadores se desplazarán e irán acumulándose sobre una de las caras de la ranura de la pieza cilíndrica hasta que, en equilibrio, estas partículas cargadas y su defecto de carga en la cara opuesta del gap creen un campo eléctrico $E$ , y por tanto una fuerza eléctrica que equilibre la fuerza debida al campo magnético.

h) Determine el módulo del campo eléctrico, $E$ , en función de $q$ , $B$ , $n$ , $I$ , $L$ y $r$ .

El módulo del campo eléctrico sólo depende de $r$ , lo que equivale a decir que dicho módulo es el mismo en todos los puntos de una circunferencia de radio $r$ . Suponga despreciable la anchura de la ranura frente a la longitud $2 π r$ de la circunferencia.

i) Determine el voltaje Hall, $V_{H}$ , entre las superficies de la ranura del dispositivo.

Flat conductor strip Hall effect setup

Cylindrical Hall probe, axial view

Cross-section cylindrical probe radial current

Electric field lines in cylindrical gap

Topic: Magnetism, Electrostatics, Circuits Metodi: Lorentz Force Analysis, Free-Body Diagram, Electric Potential Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron, Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2 L’effetto Hall.

Un modo semplice per verificare la presenza di un campo magnetico, e misurarlo, si basa sul cosiddetto effetto Hall. Tale effetto fu scoperto dal fisico americano Edwin Herbert Hall nel 1879, mentre lavorava sulla sua tesi di dottorato in fisica sotto la direzione di Henry A. Rowland. Gli esperimenti di Hall dimostrarono che i portatori di carica nei materiali conduttori erano particelle cariche negativamente.

Per descrivere questo effetto, consideriamo un conduttore a forma di cinta piatta di dimensioni trasversali $a$ e $b$ , come mostrato nella figura 1. Un corrente elettrica, di intensità $I$ , scorre attraverso la cinta nella direzione positiva dell’asse X e un campo magnetico uniforme $B$ attraversa la cinta nella direzione OY. I portatori di carica, in questo caso elettroni di carica $q = - e$ , si muovono a una velocità $v$ nella direzione negativa di OX. In queste circostanze l’azione del campo magnetico sugli elettroni tende a accumulare sul bordo superiore della cinta, e di conseguenza, a caso di elettroni, sul bordo inferiore apparirà una distribuzione di carica positiva. Quando si producono queste distribuzioni di carica, si stabilisce un campo elettrico, e quindi una differenza di potenziale, tra i bordi della cinta. Quando si raggiunge l’equilibrio, la differenza di potenziale $V_{H}$ tra i bordi A e B è chiamata Hall voltage (o fem Hall).

a) Determina la tensione Hall, $V_{H}$ , in funzione della dimensione $b$ , del modulo del campo magnetico, $B$ , e del modulo della velocità media degli elettroni nella cinta, $v$ .

b) Come sarebbe modificato il Voltage Hall precedente se la cinta fosse di materiale semiconduttore e il corrente $I$ fosse dovuto a portatori con carico positivo $q = + e$ ?

c) Dimostra che l’intensità di corrente è $I = n q a b v$ , dove $n$ è il numero di portatori di carico per unità di volume nel materiale della cinta.

d) Considerando quanto precede, determinare l’espressione di tensione Hall, $V_{H}$ , in funzione di $n$ , $I$ , $q$ , $B$ e della larghezza della cinta, $a$ .

e) Supponiamo che la cinta sia di Cu, con $a = 2, 0 mm$ , $B = 0, 40 T$ e $I = 75, 0 A$ . Tra i bordi A e B si misura una tensione Hall $V_{H} = 0, 81 V$ . Sapendo che $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , calcola il numero di elettroni per unità di volume, $n$ .

Le applicazioni più importanti dell’effetto Hall sono la determinazione del segno dei portatori maggioritari, il calcolo del numero di portatori per unità di volume e la misura dei campi magnetici mediante le cosiddette sonde Hall. In pratica queste sonde sono come quelle della figura 1, normalmente fatte con materiale semiconduttore, e con diverse geometrie che si adattano a quella del campo magnetico da misurare.

Un altro tipo di sonda, di geometria cilindrica, per misurare campi magnetici all’interno di solenoidi o contiglie lunghe, può essere quella che viene poi presentata.

La cinta è sostituita da un tubo cilindrico semiconduttore di lunghezza $L$ e raggi $r_{1}$ e $r_{2}$ , in cui è stata effettuata una stretta rottura o gap, come mostrato in figura 2. La parte conduttrice fa circolare un corrente $I$ radialmente, in modo che i portatori di carico, con $q = + e$ , si muovono dall’interno del cilindro verso l’esterno, come mostrato nel taglio trasversale di Figura 3. In tutta la regione esiste un campo magnetico uniforme $B$ diretto in parallelo all’asse del tubo, come indicato in figura 2, cioè perpendicolare al foglio e diretto verso l’interno in figura 3.

f) Scommettere l’esistenza di una piccola fessura, ma considerando che l’intensità di corrente $I$ è la carica che attraversa per unità di tempo, in questo caso una superficie cilindrica di lunghezza $L$ e di raggio $r$ ( $r_{1} < r < r_{2}$ ), si ottiene l’espressione della velocità radial dei portatori di carica, $v_{r}$ , in un punto del conduttore, in funzione di $r$ .

g) Determina il valore del modulo della forza magnetica che agisce su un portatore di carico $q$ situato a una distanza $r$ dall’asse. Esprimere il risultato in funzione di $B$ , $n$ , $I$ , $L$ e $r$ .

Sotto l’azione di tale forza, i portatori si spostano e si accumulano su una delle facce del slot del pezzo cilindrico fino a che, in equilibrio, queste particelle cariche e il loro difetto di carica sul lato opposto del gap creano un campo elettrico $E$ , e quindi una forza elettrica che bilancia la forza dovuta al campo magnetico.

h) Determina il modulo del campo elettrico, $E$ , in funzione di $q$ , $B$ , $n$ , $I$ , $L$ e $r$ .

Il modulo del campo elettrico dipende solo da $r$ , che equivale a dire che tale modulo è lo stesso in tutti i punti di una circonferenza di radio $r$ . Supponi che la larghezza della rottura rispetto alla lunghezza $2 π r$ della circonferenza sia scarsa.

i) Determina la tensione Hall, $V_{H}$ , tra le superfici della slot del dispositivo.

Flat conductor strip Hall effect setup

Cilindrica Hall prova, vista asiale

Cross-section cylindrical probe radial current

Electric field lines in cylindrical gap

The effect of the Hall effect

A simple way to check for the presence of a magnetic field, and measure it, is based on the so-called Hall effect. This effect was discovered by the American physicist Edwin Herbert Hall in 1879 while working on his doctoral thesis in physics under the direction of Henry A. Rowland. Hall’s experiments showed that the charge carriers in the conductive materials were negatively charged particles.

To describe this effect, consider a flat-belt-shaped conductor of cross-dimensional $a$ and $b$ , as shown in Figure 1. An electric current, of $I$ intensity, flows through the belt in the positive direction of the X-axis and a uniform magnetic field $B$ passes through the belt in the OY direction. The charge carriers, in this case charge electrons $q = - e$ , move at a speed $v$ in the negative direction of OX. In these circumstances the action of the magnetic field on the electrons tends to accumulate on the upper edge of the tape, and consequently, by default of electrons, a positive charge distribution will appear on the lower edge. As these charge distributions occur, an electric field, and therefore a potential difference, is established between the edges of the tape. When equilibrium is reached, the potential difference $V_{H}$ between boards A and B is called Hall Voltage (or fem Hall).

(a) Determine the Hall voltage, $V_{H}$ , based on the dimension $b$ , the magnetic field module, $B$ , and the medium velocity module of the electrons in the tape, $v$ .

(b) How would the previous Hall voltage be modified if the tape were of a semiconductor material and the current $I$ was due to positive load carriers $q = + e$ ?

(c) Demonstrate that the current intensity is $I = n q a b v$ where $n$ is the number of load carriers per unit volume in the tape material.

(d) In the light of the foregoing, determine the expression of the Hall Voltage, $V_{H}$ , according to $n$ , $I$ , $q$ , $B$ and the band width, $a$ .

(e) Suppose the tape is Cu, with $a = 2, 0 mm$ , $B = 0, 40 T$ and $I = 75, 0 A$ . A Hall voltage $V_{H} = 0, 81 V$ is measured between terminals A and B. Knowing that $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , calculate the number of electrons per unit volume, $n$ .

The most important applications of the Hall effect are the determination of the sign of the majority carriers, the calculation of the number of carriers per unit volume and the measurement of magnetic fields by means of so-called Hall probes. Basically these probes are like the one in Figure 1, usually made with semiconductor material, and with different geometries that fit the magnetic field to measure.

Another type of probe, of cylindrical geometry, to measure magnetic fields inside solenoids or long coils, may be the one below.

The tape is replaced by a semiconductor cylindrical tube of $L$ length and radii $r_{1}$ and $r_{2}$ , in which a narrow groove or gap has been made, as shown in Figure 2. The conducting part shall circulate a $I$ radial current so that the load carriers, with $q = + e$ , move from the inside of the cylinder to the outside, as shown in the cross-sectional cut in Figure 3. A uniform magnetic field $B$ is present throughout the region, directed parallel to the tube axis, as shown in Figure 2, i.e. perpendicular to the paper and directed inwards in Figure 3.

(f) Disregarding the existence of the narrow slot, but taking into account that the current intensity $I$ is the load travelling per unit time, in this case a cylindrical surface of length $L$ and radius $r$ ( $r_{1} < r < r_{2}$ ) obtains the expression of the radial velocity of the load carriers, $v_{r}$ , at any point on the conductor, in relation to $r$ .

(g) Determine the value of the magnetic force module acting on a load carrier $q$ located at a distance $r$ from the axle. The result shall be expressed as a function of $B$ , $n$ , $I$ , $L$ and $r$ .

Under the action of this force, the carriers will move and will accumulate on one side of the cylindrical part’s slot until, in equilibrium, these charged particles and their charge defect on the opposite side of the gap create an electric field $E$ , and therefore an electric force that balances the force due to the magnetic field.

(h) Determine the electric field module, $E$ , according to $q$ , $B$ , $n$ , $I$ , $L$ and $r$ .

The electric field module depends only on $r$ , which is equivalent to saying that this module is the same at all points of a radius circumference $r$ . Assume the width of the slot against the $2 π r$ length of the circumference is negligible.

(i) Determine the Hall voltage, $V_{H}$ , between the device slot surfaces.

The following table shows the results of the test:

The test is performed on a cylindrical Hall probe, axial view.

The test shall be carried out in accordance with the following conditions:

The electric field lines in cylindrical gap

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Vista grafico