Spagna 2014

P2. Las mareas oceánicas.

Introducción. La marea es el movimiento periódico de ascenso y descenso de las aguas del mar, producido por las perturbaciones gravitatorias del Sol y de la Luna en la Tierra. Su frecuencia es de dos veces por día aproximadamente, y su amplitud depende de la fase de la Luna, siendo máxima con luna llena o luna nueva (mareas vivas o sizigias). Isaac Newton (1687) dio la explicación científica en su Principia Mathematica.

El problema de dos cuerpos que interaccionan gravitatoriamente y orbitan en torno a su centro de masas.

Consideremos dos cuerpos esféricos, de masas $M_1$ y $M_2$, que giran en torno a su centro de masas (C.M.) con velocidad angular $\omega$. La separación entre los centros es $R$, y las distancias del C.M. a dichos centros son: $R_1^{\ast }=\frac{M_2}{M_1+M_2}R,R_2^{\ast }=\frac{M_1}{M_1+M_2}R$

Supuesto que los dos cuerpos esféricos interaccionan gravitatoriamente:

a) Determine la expresión de la velocidad angular $\omega$ con que giran en torno al C.M.

Mont Saint Michel en pleamar (Fig. 1)

Mont Saint Michel en bajamar (Fig. 2)

Sistema de dos cuerpos orbitando C.M. (Fig. 3)

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

P2. Le maree oceaniche.

Introduzione. La marea è il movimento periodico di ascesa e discesa delle acque del mare, prodotto dalle perturbazioni gravitazionali del Sole e della Luna sulla Terra. La sua frequenza è di circa due volte al giorno, e la sua larghezza dipende dalla fase della Luna, essendo massima con luna piena o luna nuova (marea viva o siigias). Isaac Newton (1687) ha dato l’esposizione scientifica nel suo Principia Mathematica.

Il problema di due corpi che interagiscono gravitatoriamente e orbitano intorno al loro centro di massa.

Consideriamo due corpi sferici, di massa $M_1$ e $M_2$, che ruotano intorno al loro centro di massa (C.M.) con velocità angolare $\omega$. La separazione tra i centri è $R$, e le distanze del C.M. a tali centri sono: $R_1^{\ast }=\frac{M_2}{M_1+M_2}R,R_2^{\ast }=\frac{M_1}{M_1+M_2}R$

Supponiamo che i due corpi sferici interagiscano gravitatoriamente:

a) Determina l’espressione della velocità angolare $\omega$ con cui si ruotano attorno al C.M.

Mont Saint Michel in mare di mare (Fig. 1)*

Il progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di progetto di 2)*

Sistema di due corpi orbitanti intorno al C.M. (Fig. 3)

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

**P2. The sea tides.

Introduction The tidal wave is the periodic movement of sea water up and down, produced by gravitational disturbances of the Sun and Moon on Earth. Its frequency is approximately twice a day, and its width depends on the phase of the Moon, being maximum with full moon or new moon (living tides or sizziness). Isaac Newton (1687) gave the scientific explanation in his Principia Mathematica.

The problem of two bodies interacting gravitationally and orbiting around their center of mass.

Consider two spherical bodies, of mass $M_1$ and $M_2$, which rotate around their center of mass (C.M.) with angular velocity $\omega$. The separation between the centers is $R$, and the distances of the CM. the following are: $R_1^{\ast }=\frac{M_2}{M_1+M_2}R,R_2^{\ast }=\frac{M_1}{M_1+M_2}R$

Assuming the two spherical bodies interact gravitationally:

(a) Determine the expression of the angular speed $\omega$ with which they rotate around the C.M.

The Commission has also adopted a proposal for a regulation on the protection of the environment. 1)*

The Commission has also adopted a proposal for a regulation on the protection of the environment. 2)*

Two-body system orbiting the CM (Fig. 69) 3)

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

b) Si el cuerpo 1 es la Luna y el 2 es la Tierra, con los datos que figuran al final del enunciado, calcule el valor de $\omega$.

Datos: $M_T=5,98\times 10^{24}$ kg, $M_L=7,36\times 10^{22}$ kg, $M_S=1,99\times 10^{30}$ kg, $R_{LT}=3,84\times 10^8$ m, $R_{ST}=1,50\times 10^{11}$ m, $R_T=6,37\times 10^6$ m, $G=6,67\times 10^{-11}$ N m${}^2$ kg${}^{-2}$.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

b) Se il corpo 1 è la Luna e il corpo 2 è la Terra, con i dati riportati alla fine della frase, calcola il valore di $\omega$.

Dati: $M_T=5,98\times 10^{24}$ kg, $M_L=7,36\times 10^{22}$ kg, $M_S=1,99\times 10^{30}$ kg, $R_{LT}=3,84\times 10^8$ m, $R_{ST}=1,50\times 10^{11}$ m, $R_T=6,37\times 10^6$ m, $G=6,67\times 10^{-11}$ N m${}^2$ kg${}^{-2}$.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

(b) If body 1 is the Moon and body 2 is the Earth, with the data at the end of the statement, calculate the value of $\omega$.

The data are: $M_T=5,98\times 10^{24}$ kg, $M_L=7,36\times 10^{22}$ kg, $M_S=1,99\times 10^{30}$ kg, $R_{LT}=3,84\times 10^8$ m, $R_{ST}=1,50\times 10^{11}$ m, $R_T=6,37\times 10^6$ m, $G=6,67\times 10^{-11}$ N m${}^2$ kg${}^{-2}$.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

c) La Luna gira en torno a su eje, que es perpendicular al plano orbital, de forma que, vista desde la Tierra, la Luna presenta siempre la misma cara. ¿Cuál es su periodo de rotación $T_L$, expresado en días?

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

c) La Luna ruota attorno al suo asse, che è perpendicolare al piano orbitale, in modo che, vista dalla Terra, la Luna presenta sempre la stessa faccia. Qual è il suo periodo di rotazione $T_L$, espresso in giorni?

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

(c) The Moon rotates around its axis, which is perpendicular to the orbital plane, so that, when viewed from the Earth, the Moon always has the same face. What is its period of rotation $T_L$, expressed in days?

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

La generación de las mareas.

Consideremos una Tierra esférica de masa $M_T$ completamente cubierta por una delgada capa de agua (hidrosfera) y un astro próximo de masa $M$ (la Luna, $M=M_L$). Ambos cuerpos giran en torno a su C.M. con la velocidad angular $\omega$ del apartado (a). La fuerza generadora de mareas (fgm) por unidad de masa es: $\vec{f}=GM\left(\frac{\vec{R}}{R^3}-\frac{\vec{d}}{d^3}\right)$ donde $\vec{R}$ va del astro $M$ al C.M. de la Tierra, y $\vec{d}$ va del astro $M$ a la partícula de fluido.

d) Determine, en función de $G$, $M_L$, $R_{LT}$ y $R_T$, las expresiones de los módulos de la fgm en los puntos A (en la dirección Luna–Tierra, en la superficie) y B (en la dirección perpendicular), $(f_L{)}_A$ y $(f_L{)}_B$, respectivamente. Haga las aproximaciones oportunas teniendo en cuenta las dimensiones reales del sistema.

Esquema Tierra-astro M con hidrosfera (Fig. 4)

Fuerzas gravitatorias uniformes sin marea (Fig. 5)

Distribución fgm y deformación hidrosfera (Fig. 6)

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.3

La generazione delle maree.

Consideriamo una Terra sferica di massa $M_T$ completamente coperta da un sottile strato di acqua (idrosfera) e una stella vicina di massa $M$ (la Luna, $M=M_L$). Entrambi i corpi girano intorno al suo C.M. con la velocità angolare $\omega$ di cui alla lettera a). La forza generatrice di maree (fgm) per unità di massa è: $\vec{f}=GM\left(\frac{\vec{R}}{R^3}-\frac{\vec{d}}{d^3}\right)$ dove $\vec{R}$ va dall’astrone $M$ al CM. La superficie della Terra è molto più alta della superficie terrestre, e $\vec{d}$ va dall’astrone $M$ alla particella di fluido.

d) Determina, in base a $G$, $M_L$, $R_{LT}$ e $R_T$, le espressioni dei moduli fgm nei punti A (in direzione LunaTerra, in superficie) e B (in direzione perpendicolare), $(f_L{)}_A$ e $(f_L{)}_B$, rispettivamente. Sfruttare le opportune approcci tenendo conto delle dimensioni reali del sistema.

Scema Terra-astro M con idrosfera (Fig. 4)

Forze gravitazionali uniformi senza marea (Fig. 5)

Distribuzione di fgm e deformazione idrosfera (Fig. 6)*

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.3

La generación de las mareas.

Consider a spherical Earth of mass $M_T$ completely covered by a thin layer of water (hydrosphere) and a nearby star of mass $M$ (the Moon, $M=M_L$). Both bodies rotate around your CM. with the angular velocity $\omega$ of paragraph (a). The force generating tides (fgm) per unit mass is: $\vec{f}=GM\left(\frac{\vec{R}}{R^3}-\frac{\vec{d}}{d^3}\right)$ where $\vec{R}$ goes from the star $M$ to the CM. de la Tierra, y $\vec{d}$ va del astro $M$ a la partícula de fluido.

(d) Determine, on the basis of $G$, $M_L$, $R_{LT}$ and $R_T$, the expressions of the fgm modules at points A (in the direction of the MoonEarth on the surface) and B (in the direction of the perpendicular), $(f_L{)}_A$ and $(f_L{)}_B$, respectively. Make appropriate approximations taking into account the actual dimensions of the system.

Esquema Tierra-astro M con hidrosfera (Fig. 4)

Fuerzas gravitatorias uniformes sin marea (Fig. 5)

Distribución fgm y deformación hidrosfera (Fig. 6)

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.3

Las influencias del Sol y de la Luna.

e) Suponiendo ahora que el astro de masa $M$ es el Sol ($M=M_S$), determine la expresión del módulo de la fgm en el punto A, $(f_S{)}_A$, en función de $G$, $M_S$, $R_{ST}$ y $R_T$. Haga las aproximaciones oportunas.

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3

Le influenze del Sole e della Luna.

e) Supponendo ora che l’astro di massa $M$ sia il Sole ($M=M_S$), determina l’espressione del modulo di fgm al punto A, $(f_S{)}_A$, in funzione di $G$, $M_S$, $R_{ST}$ e $R_T$. Fai le approfondi opportune.

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3

The influences of the Sun and the Moon.

(e) Assuming now that the mass star $M$ is the Sun ($M=M_S$), determine the expression of the fgm module at point A, $(f_S{)}_A$, as a function of $G$, $M_S$, $R_{ST}$ and $R_T$. Make the appropriate approaches.

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3

f) Usando los datos del final del enunciado, calcule el valor del cociente $(f_L{)}_A/(f_S{)}_A$.

Datos: $M_T=5,98\times 10^{24}$ kg, $M_L=7,36\times 10^{22}$ kg, $M_S=1,99\times 10^{30}$ kg, $R_{LT}=3,84\times 10^8$ m, $R_{ST}=1,50\times 10^{11}$ m.

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Unit Conversion Objects: Planet, Satellite, Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

f) Calcolare il valore del coefficiente $(f_L{)}_A/(f_S{)}_A$ utilizzando i dati della fine della frase.

I dati: $M_T=5,98\times 10^{24}$ kg, $M_L=7,36\times 10^{22}$ kg, $M_S=1,99\times 10^{30}$ kg, $R_{LT}=3,84\times 10^8$ m, $R_{ST}=1,50\times 10^{11}$ m.

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Unit Conversion Objects: Planet, Satellite, Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

(f) Using the end-of-sentence data, calculate the value of the $(f_L{)}_A/(f_S{)}_A$ quotient.

The data are: $M_T=5,98\times 10^{24}$ kg, $M_L=7,36\times 10^{22}$ kg, $M_S=1,99\times 10^{30}$ kg, $R_{LT}=3,84\times 10^8$ m, $R_{ST}=1,50\times 10^{11}$ m.

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Unit Conversion Objects: Planet, Satellite, Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

g) En el enunciado se indica que las mareas vivas se producen con luna nueva o luna llena. ¿Por qué?

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Superposition Principle, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Satellite, Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

(g) La frase indica che le maree vive si verificano con luna nuova o luna piena. - Perché?

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Superposition Principle, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Satellite, Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

(g) The statement indicates that tides occur with a new or full moon. - Why? - I don’t know.

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Superposition Principle, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Satellite, Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

El periodo de las mareas.

Consideremos que la Tierra gira en torno a su eje Norte–Sur con velocidad angular ${\omega }_T$ (periodo $T_T=24$ h). En el punto A de la figura 6 existe marea alta. Al cabo de 12 h, debido a la rotación terrestre, el punto A ocupará el lugar A’. Sin embargo, en A’ no se habrá alcanzado todavía la pleamar porque durante esas 12 horas el sistema Tierra–Luna habrá girado un cierto ángulo en torno al centro de masas, y el punto A’ no estará alineado con los centros de la Luna y la Tierra.

h) Calcule el periodo $\tau$ de las mareas lunares.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.3

Il periodo delle maree.

Consideriamo che la Terra ruota intorno al suo asse Nord-Sud con velocità angolare ${\omega }_T$ (periodo $T_T=24$ h). Il punto A della figura 6 è in marea alta. Dopo 12 ore, a causa della rotazione terrestre, il punto A occuperà il posto A’. Tuttavia, in A’ non si avrà ancora raggiunto il mare di punta perché durante quelle 12 ore il sistema TerraLuna avrà girato un certo angolo intorno al centro di massa, e il punto A’ non sarà allineato con i centri della Luna e della Terra.

h) Calcolare il periodo $\tau$ delle maree lunari.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.3

The period of tidal flows

Consider that the Earth rotates around its NorthSouth axis with angular velocity ${\omega }_T$ (period $T_T=24$ h). In point A of Figure 6 there is high tide. After 12 hours, due to the earth rotation, point A shall take the place of A’. However, in A’ the primeval has not yet been reached because during those 12 hours the Earth-Moon system will have turned a certain angle around the center of mass, and point A’ will not be aligned with the centers of the Moon and Earth.

(h) Calculate the $\tau$ period of the lunar tides.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.3