Spagna 2015

P2.- El escape de áncora.

Como es bien sabido desde hace tiempo, las oscilaciones de un péndulo son isócronas, por lo que son idóneas como referencia para la medida del tiempo en los relojes. Sin embargo, las oscilaciones de un péndulo real son siempre amortiguadas, pues siempre hay pérdidas energéticas que reducen paulatinamente su amplitud. Por lo tanto, su aplicación en un reloj requiere la incorporación de un dispositivo que suministre en cada oscilación una energía igual a la disipada, de forma que la amplitud de oscilación del péndulo sea constante. El escape de áncora, llamado así porque se asemeja al ancla (o áncora) de un barco, es un ingenioso mecanismo inventado hacia 1670 por el relojero londinense William Clement para conseguir este fin. El movimiento del péndulo mece la pieza llamada áncora de tal manera que traba y destraba sucesivos dientes de la rueda de escape, lo que a su vez permite que la rueda gire un ángulo preciso en cada oscilación. Los encuentros del áncora con la rueda de escape, al llegar el péndulo a los extremos de su recorrido, producen el tic-tac característico de estos relojes.

En las figuras 1.a (vista frontal) y 1.b (vista semilateral) se representan los principales componentes de un reloj de péndulo:

• El péndulo: constituido por una masa (lenteja) situada en el extremo de una varilla metálica.
• La pesa: masa que cuelga de un hilo enrollado en un cilindro giratorio, al que se conectan mediante engranajes multiplicadores las manecillas del reloj. La pesa desciende muy lentamente, haciendo girar los engranajes y las manecillas, y perdiendo energía potencial que, en parte, se transfiere al péndulo. Esta pesa es, por tanto, la “fuente de alimentación” energética del reloj.
• El escape de áncora (figura 2): la rueda de escape está formada por una rueda dentada con dientes de tallado especial, conectada mediante los engranajes adecuados al eje de las manecillas y a la pesa. El áncora oscila solidariamente con el péndulo y sus extremos contactan con los dientes de la rueda de escape al final de cada semioscilación. El sistema cumple una doble función: por una parte controla la marcha del reloj dejando pasar un único diente de la rueda en cada oscilación completa del péndulo, de forma que el sistema gira el mismo ángulo en cada periodo; por otra, en cada contacto la rueda da un pequeño impulso al áncora, y por tanto al péndulo, para compensar el amortiguamiento y mantener constante la amplitud de sus oscilaciones.

En cada semioscilación, la rueda de escape se mantiene en contacto con el áncora durante un pequeño intervalo de tiempo, durante el que el sistema no gira. El resto del tiempo gira libremente, accionada por el descenso de la pesa, y con ella todo el sistema de engranajes y las propias manecillas del reloj.

De esta forma, la pesa desciende lentamente, a pequeños saltos siempre iguales. La energía potencial que pierde se transfiere al propio péndulo, para compensar la energía disipada en cada oscilación, y también al sistema de engranajes para compensar las pérdidas por fricción.

a) El péndulo de un reloj, situado en un lugar en el que la aceleración de la gravedad es $g=9,81{\text{ m/s}}^2$, realiza una semioscilación en $1\text{ s}$ (se dice que el péndulo bate segundos). Calcule la longitud $L$ del péndulo simple equivalente, es decir que oscilará con el mismo periodo.

b) Determine la energía mecánica del péndulo, $E$, en función de la amplitud angular de sus oscilaciones, ${\theta }_{\max }$, y de la longitud $L$ y la masa $M$ del péndulo.

c) Demuestre que, para pequeñas oscilaciones, la energía mecánica del péndulo es proporcional al cuadrado de la amplitud, es decir $E\propto {\theta }_{\max }^2$.

Ayuda: puede serle útil la relación trigonométrica $1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$.

d) Determine la potencia media disipada por fricción en todo el mecanismo, $\bar{P}$, en función de la altura $H$ que desciende la pesa durante un tiempo $\tau$ y de la masa $m$ de la pesa. Calcule $\bar{P}$ cuando $H=1,5\text{ m}$, $\tau =1\text{ semana}$ y $m=0,25\text{ kg}$.

e) Calcule la relación $r$ entre las velocidades angulares de la rueda de escape, ${\omega }_a$, y de la aguja horaria del reloj, ${\omega }_h$, suponiendo que el número de dientes de la rueda de escape es $N=30$.

Suponga que al reloj se le retira la rueda de escape. La pesa ya no aportará energía al péndulo y, en consecuencia, sus oscilaciones tendrán una amplitud cada vez menor. Llamaremos $\alpha$ a la fracción de energía que conserva el péndulo al cabo de una oscilación completa, es decir $E_1=\alpha E_0$, donde $E_0$ y $E_1$ son las energías del péndulo al principio y al final de una oscilación, respectivamente.

f) Determine, en función de $\alpha$, el número de oscilaciones del péndulo hasta que su amplitud se reduce a la mitad de la inicial. Si $\alpha =0,99$ y el péndulo bate segundos, calcule el tiempo que transcurre, ${\tau }_{1/2}$.

El cambio de $L$ al variar la temperatura puede afectar apreciablemente al periodo de oscilación del péndulo de un reloj. Suponga que, para poder compensar este efecto, $L$ es ajustable en pequeñas cantidades, $\Delta L$. Llamando $\gamma$ al coeficiente de dilatación lineal de la varilla del péndulo, de longitud $L_0$,

g) Determine $\Delta L$ para mantener el periodo de oscilación si la temperatura aumenta $\Delta t$.

Para conseguir que el periodo de las oscilaciones del péndulo de un reloj no dependa de la temperatura, se utilizan los péndulos compensados, según idea de J. Leroy en 1738. En la Figura 3 se representa un péndulo compensado, formado por cinco varillas verticales y dos barras horizontales AB y CD. El sistema oscila en torno al punto de suspensión O. Las varillas externas y central son de un metal de coeficiente de dilatación lineal $\gamma$, y las varillas intermedias son de otro metal, de coeficiente de dilatación lineal $\beta$. La varilla central atraviesa la barra CD a través de un orificio, pudiendo deslizar libremente a través de él. $L_1$, $L_2$ y $L_3$ son las longitudes de las varillas a temperatura ambiente.

h) ¿Qué relación debe existir entre $\beta$ y $\gamma$ para que el periodo de oscilación del péndulo sea independiente de la temperatura?

Fig. 1.a: pendulum clock front view

Fig. 1.b: pendulum clock semi-lateral view

Fig. 2: anchor escapement wheel

Fig. 3: bimetallic compensated pendulum

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Rod, Gear, Cylinder, String Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2.- Esplosione di ancoraggio.

Come è noto da tempo, le oscillazioni di un pendolo sono isocroni, per cui sono idonee come riferimento per la misurazione del tempo in orologi. Tuttavia, le oscillazioni di un pendolo reale sono sempre ammortizzate, poiché ci sono sempre perdite energetiche che riducono gradualmente la sua larghezza. Per applicarla su un orologio, quindi, è necessario incorporare un dispositivo che fornisca a ogni oscillazione un’energia pari a quella dissipata, in modo che l’ampiezza di oscillazione del pendolo sia costante. Il escape di ancora, chiamato così perché assomiglia all’ancora (o ancora) di una nave, è un ingegnoso meccanismo inventato verso il 1670 dal relocatore londinese William Clement per raggiungere questo scopo. Il movimento del pendolo agita il pezzo chiamato ancoraggio in modo tale che si sforzano e si sbloccano successivamente i denti della ruota di uscita, che a sua volta permette alla ruota di girare un angolo preciso in ogni oscillazione. L’incontro dell’ancora con la ruota di fuga, quando il pendolo arriva alle estremità del suo percorso, produce il tic-tac caratteristico di questi orologi.

Le figure 1.a (vista frontale) e 1.b (vista semilaterale) presentano i principali componenti di un orologio pendolo:

• Il pendolo: costituito da una massa (lenticcia) situata all’estremità di una canna metallica.
• Peso: massa appesa a un filo rotolato in un cilindro rotativo, al quale le maniglie dell’orologio sono collegate mediante ingranaggi moltiplicatori. Il peso scende molto lentamente, facendo girare gli ingranaggi e le maniglie, e perdendo energia potenziale che, in parte, viene trasferita al pendolo. Questo peso è quindi la “fonte di alimentazione” energetica dell’orologio.
• L’esplosione di ancoraggio (figura 2): la ruota di esplosione è costituita da una ruota dentata con denti di speciale taglio, collegata mediante i gearing adatti all’asse delle manicelle e al pesce. L’ancora oscilla solidariamente con il pendolo e le sue estremità contattano i denti della ruota di scarico alla fine di ogni semiscilazione. Il sistema svolge una duplice funzione: da una parte controlla il movimento dell’orologio lasciando passare un singolo dente della ruota in ogni oscillazione completa del pendolo, in modo che il sistema ruota l’angolo stesso in ogni periodo; dall’altra, in ogni contatto la ruota dà una piccola spinta all’ancora, e quindi al pendolo, per compensare lo ammortizzamento e mantenere costante l’ampiezza delle sue oscillazioni.

In ogni semiscilazione, la ruota di uscita rimane in contatto con l’ancora per un piccolo intervallo di tempo, durante il quale il sistema non gira. Il resto del tempo gira liberamente, azionato dalla discesa del peso, e con essa l’intero sistema di ingranaggi e le manicelle del proprio orologio.

In questo modo, il peso scende lentamente, a piccoli salti sempre uguali. L’energia potenziale che perde viene trasferita al pendolo stesso, per compensare l’energia dissipata in ogni oscillazione, e anche al sistema di ingranaggi per compensare le perdite da attrito.

a) Il pendolo di un orologio, situato in un luogo in cui l’accelerazione della gravità è $g=9,81{\text{ m/s}}^2$, fa una semisciellazione a $1\text{ s}$ (si dice che il pendolo batta secondi). Calcola la lunghezza $L$ del pendolo semplice equivalente, cioè oscillerà con lo stesso periodo.

b) Determina l’energia meccanica del pendolo, $E$, in funzione della larghezza angolare delle sue oscillazioni, ${\theta }_{\max }$, e della lunghezza $L$ e della massa $M$ del pendolo.

c) Dimostra che, per piccole oscillazioni, l’energia meccanica del pendolo è proporzionale al quadrato di larghezza, cioè $E\propto {\theta }_{\max }^2$.

Aiuto: può essere utile il rapporto trigonometrico $1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$.

d) Determina la potenza media dissipata da frizione in tutto il meccanismo, $\bar{P}$, in funzione dell’altezza $H$ che il peso scende per un tempo $\tau$ e della massa $m$ del peso. Calcolare $\bar{P}$ quando $H=1,5\text{ m}$, $\tau =1\text{ semana}$ e $m=0,25\text{ kg}$.

e) Calcola il rapporto $r$ tra le velocità angolari della ruota di scarico, ${\omega }_a$, e della agghia oraria del orologio, ${\omega }_h$, supponendo che il numero di denti della ruota di scarico sia $N=30$.

Supponiamo che il tempo venga tolto dalla ruota di fuga. Il peso non fornirà più energia al pendolo e, di conseguenza, le sue oscillazioni avranno una ampiezza sempre minore. Chiameremo $\alpha$ la frazione di energia che il pendolo conserva dopo un oscillazione completa, cioè $E_1=\alpha E_0$, dove $E_0$ e $E_1$ sono le energie del pendolo all’inizio e alla fine di un oscillazione, rispettivamente.

f) Determina, in funzione di $\alpha$, il numero di oscillazioni del pendolo fino a quando la sua larghezza è ridotta a metà dell’iniziale. Se $\alpha =0,99$ e il pendolo batte secondi, calcola il tempo che passa, ${\tau }_{1/2}$.

Il cambiamento di $L$ a variazione della temperatura può influire notevolmente sul periodo di oscillazione del pendolo di un orologio. Supponiamo che, per compensare questo effetto, $L$ sia regolabile in piccole quantità, $\Delta L$. Chiedendo $\gamma$ al coefficiente di dilatazione lineare della canna del pendolo, di lunghezza $L_0$,

g) Determina $\Delta L$ per mantenere il periodo di oscillazione se la temperatura aumenta $\Delta t$.

Per evitare che il periodo di oscillazione del pendolo di un orologio dipenda dalla temperatura, si utilizzano i pendoli compensati ****, secondo l’idea di J. Leroy nel 1738. Nella Figura 3 è rappresentato un pendolo compensato, formato da cinque bacche verticali e due barre orizzontali AB e CD. Il sistema oscilla intorno al punto di sospensione O. Le barre esterne e centrali sono di un metallo con un coefficiente di dilatazione lineare $\gamma$ e le barre intermedi sono di un altro metallo, con un coefficiente di dilatazione lineare $\beta$. La verga centrale attraversa la barra CD attraverso un foro, potendo scivolare liberamente attraverso di esso. $L_1$, $L_2$ e $L_3$ sono le lunghezze delle bacche a temperatura ambiente.

h) Qual è il rapporto tra $\beta$ e $\gamma$ per rendere il periodo di oscillazione del pendolo indipendente dalla temperatura?

Fig. 1.a: pendulum clock front view

Fig. 1.b: pendulum clock semilateral view

Fig. 2: anchor escapement wheel

Fig. 3: bimetallico pendolo compensato

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Rod, Gear, Cylinder, String Fonte: Testo (PDF) — p.1

P2. - The Anchor Escape Mechanism

As is well known, the oscillations of a pendulum are isochronous; therefore, they are ideal as a reference for measuring time in clocks. However, the oscillations of a real pendulum are always damped, since there are always energy losses that gradually reduce its amplitude. Therefore, to use a pendulum in a clock, it is necessary to incorporate a device that supplies energy equal to the dissipated energy during each oscillation, so that the pendulum’s amplitude remains constant. The anchor escapement, named thus because it resembles a ship’s anchor, is an ingenious mechanism invented around 1670 by the London clockmaker William Clement to achieve this purpose. The pendulum’s motion causes the piece called the anchor to rock in such a way that it engages and disengages successive teeth of the escape wheel, thereby allowing the wheel to rotate a precise angle with each pendulum oscillation. The interactions between the anchor and the escape wheel, occurring when the pendulum reaches the ends of its travel, produce the characteristic ticking sound of these clocks.

In Figure 1.a (front view) and Figure 1.b (semi-side view), the main components of a pendulum clock are shown:

• The pendulum: composed of a mass (bob) located at the end of a metallic rod.
• The weight: a mass hanging from a string wound around a rotating cylinder, connected via gear multipliers to the clock hands. The weight descends very slowly, causing the gears and hands to rotate, while losing gravitational potential energy that is partially transferred to the pendulum. Therefore, this weight serves as the clock’s “energy source.”
• The anchor escapement (Figure 2): the escape wheel consists of a toothed gear with specially shaped teeth, connected via appropriate gears to the hands’ shaft and to the weight. The anchor oscillates in sync with the pendulum, and its ends engage with the teeth of the escape wheel at the end of each half-oscillation. The system performs a dual function: on one hand, it regulates the clock’s motion by allowing only one tooth of the wheel to pass per complete pendulum oscillation, ensuring that the system advances by the same angle in each period; on the other hand, at each contact, the wheel delivers a small impulse to the anchor, and thus to the pendulum, compensating for damping and maintaining constant amplitude of oscillation.

In each half-oscillation, the escape wheel remains in contact with the anchor for a brief interval during which the system does not rotate. For the remainder of the time, it rotates freely, driven by the descent of the weight, and thus drives the entire gear system as well as the clock hands.

In this way, the weight descends slowly, in small equal jumps. The potential energy it loses is transferred to the pendulum itself, to compensate for the energy dissipated in each oscillation, and also to the gear system, to make up for losses due to friction.

a) The pendulum of a clock, located in a place where the acceleration due to gravity is $g=9,81{\text{ m/s}}^2$, completes one half-oscillation in $1\text{ s}$ (it is said that the pendulum “ticks seconds”). Calculate the length $L$ of the equivalent simple pendulum, i.e., one that will oscillate with the same period.

b) Determine the mechanical energy of the pendulum, $E$, in terms of the angular amplitude of its oscillations, ${\theta }_{\max }$, and of the length $L$ and mass $M$ of the pendulum.

c) Show that, for small oscillations, the mechanical energy of the pendulum is proportional to the square of the amplitude, i.e., $E\propto {\theta }_{\max }^2$.

Hint: You may find it useful to use the trigonometric identity $1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$.

d) Determine the average power dissipated by friction throughout the entire mechanism, $\bar{P}$, in terms of the height $H$ that the weight descends over a time interval $\tau$ and of the mass $m$ of the weight. Calculate $\bar{P}$ when $H=1,5\text{ m}$, $\tau =1\text{ semana}$ and $m=0,25\text{ kg}$.

e) Calculate the ratio $r$ between the angular velocities of the escape wheel, ${\omega }_a$, and the hour hand of the clock, ${\omega }_h$, assuming that the number of teeth on the escape wheel is $N=30$.

Suppose the escape wheel is removed from the clock. The weight will no longer supply energy to the pendulum, and consequently, its oscillations will have decreasing amplitude. We denote by $\alpha$ the fraction of energy that the pendulum retains after one complete oscillation, i.e., $E_1=\alpha E_0$, where $E_0$ and $E_1$ are the energies of the pendulum at the beginning and end of one oscillation, respectively.

f) Determine, in terms of $\alpha$, the number of oscillations of the pendulum until its amplitude is reduced to half of the initial value. If $\alpha =0,99$ and the pendulum is a seconds pendulum, calculate the time elapsed, ${\tau }_{1/2}$.

The change in $L$ due to temperature variation may significantly affect the oscillation period of a clock’s pendulum. Suppose that, in order to compensate for this effect, $L$ is adjustable in small increments, $\Delta L$. Denoting by $\gamma$ the linear thermal expansion coefficient of the pendulum rod, of length $L_0$,

g) Determine $\Delta L$ to maintain the oscillation period if the temperature increases by $\Delta t$.

To ensure that the oscillation period of a clock’s pendulum does not depend on temperature, compensated pendulums are used, according to the idea of J. Leroy from 1738. Figure 3 shows a compensated pendulum composed of five vertical rods and two horizontal bars AB and CD. The system oscillates about the suspension point O. The outer and central rods are made of a metal with linear expansion coefficient $\gamma$, while the intermediate rods are made of another metal with linear expansion coefficient $\beta$. The central rod passes through a hole in bar CD, allowing it to slide freely through it. $L_1$, $L_2$ and $L_3$ are the lengths of the rods at room temperature.

h) What relation must exist between $\beta$ and $\gamma$ so that the pendulum’s oscillation period is independent of temperature?

Fig. 1.a: front view of pendulum clock

Fig. 1.b: semi-lateral view of pendulum clock

Fig. 2: anchor escapement wheel

Fig. 3: bimetallic compensated pendulum