donde γ es el llamado índice adiabático
P3. Un tapón oscilante. Suponga que dispone de un matraz como el que se representa en la figura 1, constituido por un bulbo de volumen V, lleno de aire a presión atmosférica 0 p , y de un cuello de sección S, en el que hay un tapón de masa m y longitud L que puede deslizar sin rozamiento. En un cierto instante se empuja ligeramente el tapón una distancia x (x << L) y, como consecuencia, el volumen de aire dentro del bulbo experimenta una disminución y su presión un aumento p (figura 2). A continuación el sistema se libera y se observa que el tapón realiza un movimiento oscilatorio armónico. Sabiendo que el coeficiente de compresibilidad del aire, , que se define como
p V V
1
a) Demuestre que la frecuencia angular, , de s oscilaciones del tapón es
mV S 2
El valor del cociente p V / , y por tanto el del coeficiente de compresibilidad, depende del tipo de transformación termodinámica que experimenta el gas. En el caso del aire que contiene el bulbo, la transformación puede considerarse adiabática, puesto que es despreciable la cantidad de energía (calor) que intercambia con su entorno en el breve tiempo de cada expansión o compresión. En las transformaciones adiabáticas, las variaciones de la presión y del volumen están relacionadas en la forma
0
+ p V V
donde es el llamado índice adiabático. b) Determine en este caso la dependencia de con la presión y el índice adiabático. Considere en adelante que la densidad del tapón es igual a la del aire, lo que equivale a decir que es un tapón de aire, y que la experiencia se realiza a una temperatura T = 300 K. c) Suponiendo que el aire es un gas perfecto, obtenga la expresión de la frecuencia angular de las oscilaciones, , en función de , S, T, V, L, R (constante de los gases) y de M (masa molar del aire). d) Con los siguientes datos numéricos, calcule el valor de la frecuencia, f, de las oscilaciones.
Volumen del bulbo: 3 3 m 10 0 ,1
V
Sección y longitud del cuello del matraz: 2 4 m 10 0 ,1
S
m 10 0 , 5 2
L
Índice adiabático del aire: 4 ,1
Constante de los gases: -1 1 K mol J 314 , 8
R
Masa molar del aire: 1 2 mol kg 10 9 , 2
M
V, p0 p0 L S Tapón V - p0 + S Fig. 2 x Fig. 1
Solución a) Cuando el tapón se introduce una distancia x, la disminución del volumen de aire dentro del bulbo es S x V =
(1)
La fuerza que actuará sobre el tapón (figura 3) es pS F
por lo que su aceleración será S p m a = 1
(2)
Despejando p de la expresión del coeficiente de compresibilidad, sustituyendo en (2) y teniendo en cuenta (1) x mV S a 2
que es la aceleración de un movimiento oscilatorio armónico, con frecuencia angular mV S 2
(3) b) De acuerdo con la expresión que proporciona el enunciado, p V p V
por lo que el coeficiente de compresibilidad es p V V
1 p 1
(4)
c) Si el tapón es de aire, su masa es SL m
donde es la densidad del aire.
Teniendo en cuenta la expresión (4), la frecuencia angular (3) de oscilación toma la forma p LV S
2
(5)
Por otra parte, si llamamos B m a la masa de aire del bulbo, la densidad del aire es V mB
(6)
y a su vez, si en el bulbo hay n moles de aire nM mB =
(7)
en la que M es la masa molar del aire. Por la ley de los gases ( )S p p + 0
S p0
Fig. 3
nRT V p 1
(8)
Llevando (6), (7) y (8) a la expresión (5), queda finalmente T LVM R =
d) Con los datos numéricos del enunciado se obtiene, rad/s 10 9 , 4 2
Por tanto, la frecuencia de las oscilaciones es 2
f Hz 78 f
Esta frecuencia es del orden de la del sonido que produce el “descorche” de una botella de características similares a la que se ha descrito.
Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1
dove γ è il cosiddetto indice adiabatico
P3. Un tappo oscilante. Supponiamo che dispongano di un materasso come quello rappresentato in figura 1, costituito da un bulbo di Volume V, pieno di aria a pressione atmosferica 0 P , e di un colletto di sezione S, in cui è presente un tappo di massa M e lunghezza L che può scivolare senza ruggere. In un certo istante si spinge leggermente il tappo una distanza x (x << L) e, di conseguenza, il Il volume di aria all’interno del bulbo diminuisce e la pressione aumenta p (Figura 2). A Il sistema viene quindi rilasciato e si osserva che il tappo fa un movimento oscillatorio armonico. Sapendo che il coefficiente di compressibilità dell’aria, , definito come
p V V
1
a) Dimostra che la frequenza angolare, , delle oscillazioni del tappo è
mV S 2
Valore del coefficiente p V / , e quindi il coefficiente di compressibilità dipende dal tipo di la trasformazione termodinamica che il gas sperimenta. Nel caso dell’aria contenuta nel bulbo, la La trasformazione può essere considerata adiabatica, poiché è dispregiata la quantità di energia (calore) che si interagisce con l’ambiente nel breve tempo di ogni espansione o compressione. In adiabatic conversioni, le variazioni di pressione e di volume sono correlate nella forma
0
+ p V V
dove è il cosiddetto indice adiabatico. b) Determina in questo caso la dipendenza di da pressione e indice di adiabaticità. Considera che la densità del tappo è uguale a quella dell’aria, che equivale a dire che è un Il sistema di controllo è stato creato per la protezione dell’aria e che l’esperienza è stata effettuata a una temperatura T = 300 K. c) Supponendo che l’aria sia un gas perfetto, si ottiene l’espressione della frequenza angolare delle oscillazioni, , in funzione di , S, T, V, L, R (constante dei gas) e di M (massa molare dell’aria). d) Con i seguenti dati numerici, calcola il valore della frequenza, f, delle oscillazioni.
Volume del bulbo: 3 3 m 10 0 ,1
V
Sezione e lunghezza del collo del materasso: 2 4 m 10 0 ,1
S
m 10 0 , 5 2
L
Indice adiabatico dell’aria: 4 ,1
Costante dei gas: -1 1 K Mol J 314 , 8
R
Massa mollare dell’aria: 1 2 Mol kg 10 9 , 2
M
V, p0 p0 L S Cappello V - p0 + S Fig. 2 x Fig. 1
Soluzione a) Quando il tappo viene inserito una distanza x, la diminuzione del volume d’aria all’interno del bulbo è S x V =
(1)
La forza che agirà sul tappo (Figura 3) è pS F
Quindi la sua accelerazione sarà S p m a = 1
(2)
Sgomberando p di espressione del coefficiente di compressibilità, sostituendo in (2) e avendo in conto (1) x mV S a 2
che è l’accelerazione di un movimento oscillatorio armonico, con frequenza angolare mV S 2
(3) b) Secondo l’espressione che fornisce la frase, p V p V
Quindi il coefficiente di compressibilità è p V V
1 p 1
(4)
c) Se il tappo è di aria, la sua massa è SL m
dove è la densità dell’aria.
Considerando l’espressione (4), la frequenza angolare (3) di oscillazione assume la forma p LV S
2
(5)
Invece, se chiamiamo B m alla massa dell’aria del bulbo, la densità dell’aria è V mB
(6)
e a sua volta, se nel bulbo ci sono n molli d’aria nM mB =
(7)
in cui M è la massa mollare dell’aria. Per la legge dei gas ( )S p p + 0
S p0
Fig. 3
nRT V p 1
(8)
Portando (6), (7) e (8) all’espressione (5), si trova infine T LVM R =
d) Con i dati numerici della frase si ottiene, R/s 10 9 , 4 2
Quindi, la frequenza delle oscillazioni è 2
f Hz 78 f
Questa frequenza è dell’ordine del suono che produce il “scorch” di una bottiglia di caratteristiche simili a quelle descritte.
Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1
where γ is the so-called adiabatic index
P3. A swinging cap. Suppose you have a mattress such as that shown in Figure 1 consisting of a bulb of V volume, filled with air at atmospheric pressure 0 p , and of a neck of section S, on which there is a mass cap m and L length which can slide without rubbing. At a certain moment the cap is slightly pushed a distance x (x << L) and, as a consequence, the The volume of air inside the bulb decreases and its pressure increases p (Figure 2) A The system is then released and the cap is observed to perform a harmonic oscillatory movement. Knowing that the air compressibility coefficient, , which is defined as
p V V
1
a) Show that the angular frequency, , of the s oscillations of the cap is
mV S 2
The value of the quotient p V / The compression coefficient is therefore dependent on the type of The thermodynamic transformation experienced by the gas. In the case of the air contained in the bulb, the The conversion can be considered adiabatic, since the amount of energy (heat) that is It is a natural process that is not a process of expansion or compression. In adiabatic transformations, the pressure and volume variations are related in the form
0
+ p V V
where is the so-called adiabatic index. b) Determine the dependence of on the pressure and the adiabatic index in this case. Consider further that the density of the cap is equal to that of the air, which is equivalent to saying that it is a The test is performed at a temperature of T = 300 K. c) Suppose that air is a perfect gas, get the expression of the angular frequency of the oscilaciones, , en función de , S, T, V, L, R (constante de los gases) y de M (masa molar del aire). d) Using the following numerical data, calculate the frequency value, f, of the oscillations.
Bulb volume: 3 3 m 10 0 ,1
V
Section and neck length of mattress: 2 4 m 10 0 ,1
S
m 10 0 , 5 2
L
Air adiabatic index: 4 ,1
Gas constant: -1 1 K Other J 314 , 8
R
Molar mass of air: 1 2 Other kg 10 9 , 2
M
V, p0 p0 L S Other V - p0 + S Fig. 2 x Fig. 1
Solution a) When the cap is inserted a distance x, the decrease in the volume of air inside the bulb is S x V =
(1)
The force acting on the cap (Figure 3) is pS F
So its acceleration will be S p m a = 1
(2)
Clearing p of the expression of the compressibility coefficient, replacing (2) and having in account (1) x mV S a 2
which is the acceleration of a harmonic oscillatory motion, often angular mV S 2
(3) b) According to the expression provided by the statement, p V p V
So the compressibility coefficient is p V V
1 p 1
(4)
c) If the cap is air, its mass is SL m
where is the density of air.
Taking into account the expression (4), the angular frequency (3) of oscillation takes the form of p LV S
2
(5)
On the other hand, if we call B m The density of the air is V mB
(6)
and in turn, if there are n moles of air in the bulb nM mB =
(7)
where M is the molar mass of air. By the law of gases ( )S p p + 0
S p0
Fig. 3
nRT V p 1
(8)
The following is the list of the following items: T LVM R =
d) The numerical data of the statement is obtained, R/s 10 9 , 4 2
Therefore, the frequency of oscillations is 2
f Hz 78 f
This frequency is the order of the sound that produces the scorch of a bottle of characteristics similar to that described above.
Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1