Spagna 2008

P3. Paseando una espira por un campo magnético

Una espira cuadrada de lado $b$, resistencia eléctrica $R$ y masa $m$, está montada sobre un carrito de madera que puede moverse sobre una superficie horizontal con rozamiento despreciable. Un ciudadano empuja el carrito, como se muestra en la figura 1, haciendo que la espira atraviese la región sombreada en la figura, de longitud $L=2b$, en la que existe un campo magnético $B$ uniforme, perpendicular al plano de la espira y dirigido hacia adentro. El ciudadano tiene que esforzarse para que durante todo el recorrido la velocidad de la espira sea siempre la misma, $V$.

Se toma como coordenada $x$ la distancia del eje $Y$ al borde derecho de la espira.

(a) Determina el flujo magnético $\Phi (x)$ que atraviesa la espira en los siguientes rangos de $x$:

a1) $\Phi (x\le 0)$

a2) $\Phi (0\le x\le b)$

a3) $\Phi (b\le x\le 2b)$

a4) $\Phi (2b\le x\le 3b)$

a5) $\Phi (x\ge 3b)$

(b) Haz una representación gráfica de $\Phi (x)$ en el rango $x=-b$ a $x=4b$.

(c) Determina el valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida en la espira, $\epsilon (x)$, en los siguientes rangos:

c1) $\epsilon (x\le 0)$

c2) $\epsilon (0\le x\le b)$

c3) $\epsilon (b\le x\le 2b)$

c4) $\epsilon (2b\le x\le 3b)$

c5) $\epsilon (x\ge 3b)$

(d) Representa gráficamente la intensidad de la corriente inducida que circula por la espira en función de $x$. Considera que la intensidad es positiva cuando recorre la espira en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

(e) Determina la fuerza que el ciudadano tiene que ejercer sobre la espira para que su velocidad permanezca constante e igual a $V$ en los siguientes rangos de $x$:

e1) $F(x\le 0)$

e2) $F(0\le x\le b)$

e3) $F(b\le x\le 2b)$

e4) $F(2b\le x\le 3b)$

e5) $F(x\ge 3b)$

Ahora la protagonista es una ciudadana que en vez de arrastrar el carrito con la espira, le da un empujón imprimiéndole una velocidad $v_0$, como se muestra en la figura 2.

(f) ¿Cuál es la mínima velocidad $v_0$ que la ciudadana debe imprimir al carrito para que la espira entre completamente en la región del campo magnético?

Nota: puede ser útil la relación $\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}$.

Square loop entering field region, Fig. 1

Loop launched with initial velocity v0, Fig. 2

Topic: Electromagnetic Induction, Newtonian Mechanics, Circuits Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Lorentz Force Analysis, Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Coil, Cart Fonte: Testo (PDF) — p.1

P3. Passando una spira attraverso un campo magnetico

Un’aspirazione quadrata laterale $b$, resistenza elettrica $R$ e massa $m$, è montata su un carrello di legno che può muoversi su una superficie orizzontale con scarsa ruggine. Un cittadino spinge il carrello, come mostrato nella figura 1, facendo attraversare la spira nella regione ombrata nella figura, di lunghezza $L=2b$, in cui esiste un campo magnetico $B$ uniforme, perpendicolare al piano della spira e diretto verso l’interno. Il cittadino deve sforzarsi di far sì che durante tutto il percorso la velocità della spira sia sempre la stessa, $V$.

Si prende come coordinata $x$ la distanza dell’asse $Y$ dal bordo destro dello spirale.

(a) Determina il flusso magnetico $\Phi (x)$ che attraversa la spira nei seguenti ranghi di $x$:

a1) $\Phi (x\le 0)$

a2) $\Phi (0\le x\le b)$

a3) $\Phi (b\le x\le 2b)$

a4) $\Phi (2b\le x\le 3b)$

a5) $\Phi (x\ge 3b)$

(b) Fate una rappresentazione grafica di $\Phi (x)$ nel range $x=-b$ a $x=4b$.

(c) Determina il valore assoluto della forza elettromotrice indotta nel spirale, $\epsilon (x)$, nei seguenti ranghi:

c1) $\epsilon (x\le 0)$

c2) $\epsilon (0\le x\le b)$

c3) $\epsilon (b\le x\le 2b)$

c4) $\epsilon (2b\le x\le 3b)$

c5) $\epsilon (x\ge 3b)$

(d) Rappresenta graficamente l’intensità del corrente indotta che circola attraverso lo spirale in funzione di $x$. Considera che l’intensità sia positiva quando il vento si sposta in direzione opposta a quella delle aghi dell’orologio.

(e) Determina la forza che il cittadino deve esercitare sul spiro per mantenere la sua velocità costante ed uguale a $V$ nei seguenti ranghi di $x$:

e1) $F(x\le 0)$

e2) $F(0\le x\le b)$

e3) $F(b\le x\le 2b)$

e4) $F(2b\le x\le 3b)$

e5) $F(x\ge 3b)$

Ora la protagonista è una cittadina che invece di trascinare il carrello con la spira, lo spinge stampando una velocità $v_0$, come mostra la figura 2.

(f) ¿Cuál es la mínima velocidad $v_0$ que la ciudadana debe imprimir al carrito para que la espira entre completamente en la región del campo magnético?

Nota: può essere utile il rapporto $\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}$.

Square loop entering field region, Fig. 1

Loop launched with initial velocity v0, Fig. 2

Topic: Electromagnetic Induction, Newtonian Mechanics, Circuits Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Lorentz Force Analysis, Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Coil, Cart Fonte: Testo (PDF) — p.1

P3. Moving a loop through a magnetic field

A square loop of side $b$, electrical resistance $R$, and mass $m$ is mounted on a wooden cart that can move horizontally on a surface with negligible friction. A citizen pushes the cart, as shown in Figure 1, causing the loop to pass through the shaded region in the figure, of length $L=2b$, where there is a uniform magnetic field $B$ perpendicular to the plane of the loop and directed into the page. The citizen must exert effort throughout the motion so that the loop’s velocity remains constant at $V$.

The coordinate $x$ is defined as the distance from axis $Y$ to the right edge of the loop.

(a) Determine the magnetic flux $\Phi (x)$ through the loop in the following ranges of $x$:

a1) $\Phi (x\le 0)$

a2) $\Phi (0\le x\le b)$

a3) $\Phi (b\le x\le 2b)$

a4) $\Phi (2b\le x\le 3b)$

a5) $\Phi (x\ge 3b)$

(b) Make a graphical representation of $\Phi (x)$ in the range from $x=-b$ to $x=4b$.

(c) Determine the absolute value of the induced electromotive force in the loop, $\epsilon (x)$, in the following ranges:

c1) $\epsilon (x\le 0)$

c2) $\epsilon (0\le x\le b)$

c3) $\epsilon (b\le x\le 2b)$

c4) $\epsilon (2b\le x\le 3b)$

c5) $\epsilon (x\ge 3b)$

(d) Graphically represent the intensity of the induced current flowing through the loop as a function of $x$. Consider that the current is positive when it flows through the loop in the counterclockwise direction.

(e) Determine the force that the citizen must exert on the loop so that its velocity remains constant and equal to $V$ in the following ranges of $x$:

e1) $F(x\le 0)$ e2) $F(0\le x\le b)$ e3) $F(b\le x\le 2b)$ e4) $F(2b\le x\le 3b)$ e5) $F(x\ge 3b)$

Now the protagonist is a female citizen who, instead of dragging the cart with the loop, gives it a push, imparting an initial velocity $v_0$, as shown in Figure 2.

(f) What is the minimum velocity $v_0$ that the citizen must impart to the cart so that the loop completely enters the region of the magnetic field?

Note: It may be useful to use the relation $\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}$.

Square loop entering field region, Fig. 1

Loop launched with initial velocity v₀, Fig. 2