Spagna 2009

Este absurdo físico es

P3. El fracaso del átomo clásico. En los albores de las investigaciones sobre el átomo, a principios del siglo XX, se pensaba que éste tenía una estructura similar a un sistema planetario con el núcleo en el centro, muy pesado y cargado positivamente, y los ligeros electrones girando a su alrededor, ligados por la atracción coulombiana. (Figura 1) Pronto se descubrió que las cosas no podían ser tan simples: las cargas eléctricas cuando se mueven con aceleración, como los electrones orbitando alrededor del núcleo, pierden energía en forma de radiación electromagnética, por lo que los electrones atómicos se precipitarían hacia el núcleo en un tiempo muy breve. Está claro que no sucede así, puesto que la materia normal es estable y ustedes están aquí. Este problema tiene por objeto hacer una estimación, clásica y no relativista, del tiempo que tardaría en aniquilarse un átomo de hidrógeno según las teorías clásicas de la mecánica y de la radiación, partiendo del hecho de que la energía de ionización de un átomo de hidrógeno en su estado fundamental o no excitado es eV 6, 13

ioniz E . a) Suponiendo que la órbita del electrón es circular de radio r, obtenga las expresiones de la energía total del electrón E, de su velocidad v, de su aceleración a y de su periodo de revolución T, en función de la energía total E0 del átomo de hidrógeno en el estado no excitado y del radio r0 de la órbita circular en dicho estado. b) Determine y calcule E0 y r0 así como la velocidad, la aceleración y el periodo en esta órbita, v0, a0, y T0, respectivamente. Cuando un electrón se mueve con aceleración a, la potencia radiante que emite viene dada por la fórmula de Larmor:

2 3 2 3 2 a c e k P =

en la que k es la constante de Coulomb, c la velocidad de la luz y e la carga elemental c) Al perder energía, el electrón irá describiendo órbitas de radio cada vez menor. Halle la expresión de la potencia emitida P en función del radio r de la órbita circular del electrón, de r0 y de E0. Puede comprobar que tanto ( ) r E como ( ) r P tienden a infinito cuando 0 $\to$ r . Este absurdo físico es consecuencia de que en las antiguas teorías se idealizaba al electrón y al protón considerándolos como partículas puntuales. Pasemos por alto estos inconvenientes y vayamos al objetivo de este ejercicio: d) ¿Cuál es el tiempo $\tau$ que le costaría a un electrón “caer” sobre el núcleo desde la órbita del estado fundamental de radio r0? AYUDA: La potencia radiada por el electrón (fórmula de Larmor) tiene que ser igual a la variación (con signo negativo) de la energía mecánica del electrón por unidad de tiempo, dt dE / $-$ . Esta variación representa una pérdida de energía, de ahí el signo negativo. Le resultarán útiles las siguientes expresiones:

dt dr dr dE dt dE =

$\Rightarrow$ dr dr dE dt dE dt / 1

El tiempo $\tau$ lo obtendrá integrando entre los valores inicial y final de t y de r. (La integral es inmediata).

e p r v (r) H Fig. 1

DATOS: J 10 60 ,1 eV 1 19 $-$ $\times$

; masa del electrón kg 10 11 ,9 31 $-$ $\times$

e m ; constante de Coulomb

2 2 9 C m N 10 99 ,8 $-$ $\times$

k ; velocidad de la luz -1 8 s m 10 00 ,3 $\times$

c ;

carga elemental C 10 60 ,1 19 $-$ $\times$

e . CONCLUSIÓN: Si ha llegado al final del problema comprobará que la vida de un átomo según la teoría clásica es muy corta. El átomo clásico es un fracaso. La teoría cuántica es la que describe correctamente la estabilidad de la materia, prediciendo además las propiedades de los átomos.

Solución a) La energía mecánica del electrón en una órbita de radio r es

r e k v m E e 2 2 2 1 $-$

(1)

Como la fuerza que actúa sobre el electrón es central y describe una órbita circular, su velocidad angular es constante, por lo que su aceleración es sólo centrípeta y se verificará

r v m r e k e 2 2 2

$\Rightarrow$ r e k v me 2 2 = ,

sustituyendo en (1)

r ke E 2 2 1 $-$

o también 2 2 1 v m E e $-$

(2)

En el estado fundamental, 0r r = , luego

( ) 0 0 2 0 2 1 E r ke r E

$-$

$\Rightarrow$ 0 0 2 2 r E ke $-$

(3)

Por lo tanto

r r E E 0 0

(4)

Despejando v de (2) y teniendo en cuenta (4) se tiene

r m r E v e 0 0 2 $-$

En cuanto a la aceleración, a, y el periodo, T,

r v a 2

$\Rightarrow$ 2 0 0 2 r m r E a e $-$

(5)

r T v $\pi$ 2

$\Rightarrow$ 2 / 3 0 0 2 2 r r E m T e $-$

$\pi$

b) Como la energía de ionización es la mínima energía que hay que comunicar a un átomo para arrancarle un electrón (y que alcance el infinito con velocidad cero), se puede escribir

0 0

ioniz E E $\Rightarrow$ ioniz E E $-$

0 $\Rightarrow$ J 10 18 ,2 eV 6, 13 18 0 $-$ $\times$ $-$

$-$

E

De (3), el valor de 0r es

0 2 0 2E ke r $-$

$\Rightarrow$ m 10 29 ,5 11 0 $-$ $\times$

r

Si en el resto de expresiones anteriores hacemos 0r r = se obtiene

e m E v 0 0 2 $-$

$\Rightarrow$ m/s 10 19 ,2 6 0 $\cdot$

v

0 0 0 2 r m E a e $-$

$\Rightarrow$ 2 22 0 m/s 10 05 ,9 $\cdot$

a

0 0 0 2 2 r E m T e $-$

$\pi$ $\Rightarrow$ s 10 52 ,1 16 0 $-$ $\cdot$

T

c) Llevando a la fórmula de Larmor las anteriores expresiones (3) y (5), se obtiene

4 3 2 3 0 3 0 1 3 16 r c m r E P e $-$

(6) d) La potencia radiada tiene que ser igual a la variación (con signo negativo) de la energía mecánica del electrón por unidad de tiempo, es decir:

dt dE P $-$

Luego, teniendo en cuenta la “ayuda”

dr dr dE dt dE dt / 1

$\Rightarrow$ dr dr dE r P dt ) ( 1 $-$

Derivando en (4)

2 0 0 r r E dr dE $-$

Teniendo en cuenta además la expresión (6) queda

dr r r E m c dt e 2 2 0 2 0 2 3 16 3 $-$

Integrando desde un instante inicial, 0

t en el que 0r r = , hasta un instante $\tau$

t en el que 0

r , esto es

$\int$ $\int$ $-$

0 2 2 0 2 0 2 3 0 0 16 3 r e dr r r E m c dt $\tau$ $\Rightarrow$ 0 2 0 2 3 16 1 r E m c e

$\tau$ $\Rightarrow$ s 10 56 ,1 11 $-$ $\times$

$\tau$

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics, Modern-Quantum Physics Metodi: Coulomb’s Law, Calculus-Integration, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Electron, Nucleus, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.1

Este absurdo físico es

P3. Il fallimento dell’atomo classico. All’inizio delle ricerche sull’atomo, all’inizio del Nel XX secolo, si pensava che questo fosse un sistema simile a un sistema di planetario con il nucleo al centro, molto pesante e carico positivamente, e i leggeri elettroni che ruotano intorno a loro, legati dall’attrazione colombiana. (Figura 1) E presto si scoprì che le cose non potevano essere così semplici: elettrici quando si muovono ad accelerare, come gli elettroni orbitanti intorno al nucleo, perdono energia sotto forma di radiazioni elettromagnetiche, Quindi gli elettroni atomici si precipitano verso il nucleo in un certo tempo.

• Molto breve. È chiaro che non succede così, poiché la materia normale è Stabile e voi siete qui. Il problema consiste nel fare una stima classica e non relativistica del tempo che ci vorrebbe per La prima è che l’atomo di idrogeno venga annientato secondo le classiche teorie della meccanica e della radiazione, partendo dal Il fatto che l’energia di ionizzazione di un atomo di idrogeno in stato fondamentale o non eccitato è eV 6, 13 = Ionizzante E . a) Supponendo che l’orbita dell’elettrone sia circolare di radio r, si ottengono le espressioni dell’energia totale del L’elettrone E, della sua velocità v, della sua accelerazione a e del suo periodo di rivoluzione T, a seconda della energia totale E0 dell’atomo di idrogeno nello stato non eccitato e del radio r0 dell’orbita circolare in
• lo stato. b) Determina e calcola E0 e r0 e velocità, accelerazione e periodo in questa orbita, v0, a0, e T0, rispettivamente. Quando un elettrone si muove con l’accelerazione a, la potenza radiante emessa viene data dalla formula di Larmor:

2 3 2 3 2 a c e k P =

in cui k è la costante di Coulomb, c la velocità della luce e e la carica elementare c) Perdendo energia, l’elettrone descriverà orbite di radio sempre più ridotte. Trova l’espressione della Potenza emessa P a seconda del raggio r dell’orbita circolare dell’elettrone, di r0 e di E0. Potete vedere che tanto ( ) r E Come ( ) r P Tendenze infinite quando 0 $\to$ r . Questo assurdo fisico è La conseguenza è che nelle antiche teorie l’elettrone e il protone erano idealizzati come particelle. puntuali. Lasciamo perdere questi inconvenienti e andiamo all’obiettivo di questo esercizio: d) ¿Cuál es el tiempo $\tau$ que le costaría a un electrón “caer” sobre el núcleo desde la órbita del estado radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazioni radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunicazione radiocomunica Aiuto: la potenza irradiata dall’elettrone (formula di Larmor) deve essere uguale alla variazione (con segno)

• negativo) dell’energia meccanica dell’elettrone per unità di tempo, dt dE / $-$ . Questa variazione rappresenta una perdita di energia, quindi il segno negativo. Le seguenti espressioni sono utili:

dt dr dr dE dt dE =

$\Rightarrow$ dr dr dE dt dE dt / 1

Il tempo $\tau$ si ottiene integrando tra i valori iniziali e finali di t e di r. (L’integrale è immediato).

e p r v (r) H Fig. 1

Dati: J 10 60 ,1 eV 1 19 $-$ $\times$

; massa dell’elettrone kg 10 11 ,9 31 $-$ $\times$

e m ; costante di Coulomb

2 2 9 C m N 10 99 ,8 $-$ $\times$

k ; velocità della luce -1 8 s m 10 00 ,3 $\times$

c ;

carico elementare C 10 60 ,1 19 $-$ $\times$

e . CONCLUSIONE: Se si è giunti alla fine del problema si verificerà che la vita di un atomo secondo la teoria classica È molto breve. L’atomo classico è un fallimento. La teoria quantistica è quella che descrive correttamente la stabilità La materia, inoltre, predice le proprietà degli atomi.

Soluzione a) L’energia meccanica dell’elettrone in un’orbita a radio r è

r e k v m E e 2 2 2 1 $-$

(1)

Poiché la forza che agisce sull’elettrone è centrale e descrive un’orbita circolare, la sua velocità angolare è costante, quindi la sua accelerazione è solo centripeta e verrà verificata

r v m r e k e 2 2 2

$\Rightarrow$ r e k v me 2 2 = ,

sostituendo in (1)

r ke E 2 2 1 $-$

o anche 2 2 1 v m E e $-$

(2)

Lo stato fondamentale, 0r r =

• Poi

( ) 0 0 2 0 2 1 E r ke r E

$-$

$\Rightarrow$ 0 0 2 2 r E ke $-$

(3)

Quindi

r r E E 0 0

(4)

Se si rileva v di (2) e se si considera (4) si

r m r E v e 0 0 2 $-$

Per quanto riguarda l’accelerazione, a, e il periodo, T,

r v a 2

$\Rightarrow$ 2 0 0 2 r m r E a e $-$

(5)

r T v $\pi$ 2

$\Rightarrow$ 2 / 3 0 0 2 2 r r E m T e $-$

$\pi$

b) Poiché l’energia di ionizzazione è la minima energia che occorre comunicare ad un atomo per farle partire un L’elettrone (e che raggiunge l’infinito a velocità zero) può essere scritto

0 0

Ionizzante E E $\Rightarrow$ Ionizzante E E $-$

0 $\Rightarrow$ J 10 18 ,2 eV 6, 13 18 0 $-$ $\times$ $-$

$-$

E

De (3), il valore di 0r è

0 2 0 2E ke r $-$

$\Rightarrow$ m 10 29 ,5 11 0 $-$ $\times$

r

Se in tutte le altre espressioni precedenti facciamo 0r r = si ottiene

e m E v 0 0 2 $-$

$\Rightarrow$ m/s 10 19 ,2 6 0 $\cdot$

v

0 0 0 2 r m E a e $-$

$\Rightarrow$ 2 22 0 m/s 10 05 ,9 $\cdot$

a

0 0 0 2 2 r E m T e $-$

$\pi$ $\Rightarrow$ s 10 52 ,1 16 0 $-$ $\cdot$

T

c) Portando alla formula di Larmor le espressioni precedenti (3) e (5), si ottiene

4 3 2 3 0 3 0 1 3 16 r c m r E P e $-$

(6) d) La potenza irradiata deve essere pari alla variazione (con segno negativo) dell’energia meccanica del elettrone per unità di tempo, cioè:

dt dE P $-$

Poi, tenendo conto dell’aiuto

dr dr dE dt dE dt / 1

$\Rightarrow$ dr dr dE r P dt ) ( 1 $-$

Derivanti da (4)

2 0 0 r r E dr dE $-$

Considerando inoltre che l’espressione (6) è

dr r r E m c dt e 2 2 0 2 0 2 3 16 3 $-$

Integrando da un istante iniziale, 0

t in cui 0r r = , fino ad un istante $\tau$

t in cui 0

r , questo es

$\int$ $\int$ $-$

0 2 2 0 2 0 2 3 0 0 16 3 r e dr r r E m c dt $\tau$ $\Rightarrow$ 0 2 0 2 3 16 1 r E m c e

$\tau$ $\Rightarrow$ s 10 56 ,1 11 $-$ $\times$

$\tau$

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics, Modern-Quantum Physics Metodi: Coulomb’s Law, Calculus-Integration, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Electron, Nucleus, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.1

Este absurdo físico es

P3. The failure of the classical atom. In the early days of atomic research, early in the 20th century, the In the 20th century, it was thought that this had a structure similar to a system. planetary with the core at the center, very heavy and positively charged, and Light electrons spinning around them, bound by attraction Colombian. (Figure 1) It soon became clear that things couldn’t be as simple as that: Electrical when moving at acceleration, such as electrons orbiting around the core, they lose energy in the form of electromagnetic radiation, So the atomic electrons would rush into the nucleus at a time. Very brief. It is clear that this is not the case, since normal matter is stable and you’re here. The aim of this problem is to make a classical and non-relativistic estimate of the time it would take to The first is the destruction of a hydrogen atom according to classical theories of mechanics and radiation, starting from the The fact that the ionization energy of a hydrogen atom in its fundamental or unexcited state is eV 6, 13

Ionizing E . a) Assuming that the electron’s orbit is circular in radius r, it obtains the expressions of the total energy of the electron’s orbit. electron E, its velocity v, its acceleration a and its period of revolution T, depending on the Total energy E0 of the hydrogen atom in the unexcited state and radius r0 of the circular orbit in That state. b) Determine and calculate E0 and r0 as well as the speed, acceleration and period in this orbit, v0, a0, and T0, the Commission. When an electron moves with acceleration to, the radiant power it emits is given by the formula of Larmor:

2 3 2 3 2 a c e k P =

where k is Coulomb’s constant, c is the speed of light and e is the elementary charge. c) As it loses energy, the electron will describe ever smaller radio orbits. Find the expression of the Power emitted P in relation to the radius r of the circular electron orbit, of r0 and E0. You can see that so much ( ) r E as ( ) r P They tend to endlessly when 0 $\to$ r . This physical absurdity is This is because in the old theories, the electron and proton were thought of as particles. The time. Let us overlook these drawbacks and move on to the objective of this exercise: d) ¿Cuál es el tiempo $\tau$ que le costaría a un electrón “caer” sobre el núcleo desde la órbita del estado The radius r0 is fundamental? HELP: The power radiated by the electron (Laurmor’s formula) has to be equal to the variation (with sign) negative) of the electron’s mechanical energy per unit time, dt dE / $-$ . This variation represents a energy loss, hence the negative sign. The following expressions will be useful:

dt dr dr dE dt dE =

$\Rightarrow$ dr dr dE dt dE dt / 1

The time $\tau$ is obtained by integrating the initial and final values of t and r. (The whole is immediate).

e p r v (r) H Fig. 1

The data: J 10 60 ,1 eV 1 19 $-$ $\times$

; mass of the electron kg 10 11 ,9 31 $-$ $\times$

e m ; Coulomb constant

2 2 9 C m N 10 99 ,8 $-$ $\times$

k ; speed of light -1 8 s m 10 00 ,3 $\times$

c ;

elementary load C 10 60 ,1 19 $-$ $\times$

e . CONCLUSION: If you have reached the end of the problem you will find that the life of an atom according to classical theory It’s very short. The classic atom is a failure. Quantum theory is the one that describes stability correctly. And then we’re going to predict the properties of atoms.

Solution a) The mechanical energy of the electron in a radio orbit r is

r e k v m E e 2 2 2 1 $-$

(1)

Since the force acting on the electron is central and describes a circular orbit, its angular velocity It’s constant, so its acceleration is just centrifugal and it’ll be verified.

r v m r e k e 2 2 2

$\Rightarrow$ r e k v me 2 2 = ,

Substituting for (1)

r ke E 2 2 1 $-$

or also 2 2 1 v m E e $-$

(2)

In the fundamental state, 0r r = , then

( ) 0 0 2 0 2 1 E r ke r E

$-$

$\Rightarrow$ 0 0 2 2 r E ke $-$

(3)

Therefore

r r E E 0 0

(4)

Clearing v from (2) and taking into account (4) is

r m r E v e 0 0 2 $-$

As for acceleration, a, and period, T,

r v a 2

$\Rightarrow$ 2 0 0 2 r m r E a e $-$

(5)

r T v $\pi$ 2

$\Rightarrow$ 2 / 3 0 0 2 2 r r E m T e $-$

$\pi$

b) Because the ionization energy is the minimum energy that you have to communicate to an atom to start a new one. electron (and reaching infinity at zero speed), can be written

0 0

Ionizing E E $\Rightarrow$ Ionizing E E $-$

0 $\Rightarrow$ J 10 18 ,2 eV 6, 13 18 0 $-$ $\times$ $-$

$-$

E

Of (3), the value of 0r is

0 2 0 2E ke r $-$

$\Rightarrow$ m 10 29 ,5 11 0 $-$ $\times$

r

If in the rest of the above expressions we do 0r r = It’s getting

e m E v 0 0 2 $-$

$\Rightarrow$ m/s 10 19 ,2 6 0 $\cdot$

v

0 0 0 2 r m E a e $-$

$\Rightarrow$ 2 22 0 m/s 10 05 ,9 $\cdot$

a

0 0 0 2 2 r E m T e $-$

$\pi$ $\Rightarrow$ s 10 52 ,1 16 0 $-$ $\cdot$

T

c) Taking the previous expressions (3) and (5) into Larmor’s formula, it is obtained that

4 3 2 3 0 3 0 1 3 16 r c m r E P e $-$

(6) d) The radiated power must be equal to the variation (with negative sign) of the mechanical energy of the electron per unit of time, i.e.

dt dE P $-$

Then, taking into account the aid

dr dr dE dt dE dt / 1

$\Rightarrow$ dr dr dE r P dt ) ( 1 $-$

Derived from (4)

2 0 0 r r E dr dE $-$

Considering furthermore that the expression (6) is

dr r r E m c dt e 2 2 0 2 0 2 3 16 3 $-$

Integrating from the very beginning, 0

t in which 0r r = , until a moment $\tau$

t in which 0

r This is es

$\int$ $\int$ $-$

0 2 2 0 2 0 2 3 0 0 16 3 r e dr r r E m c dt $\tau$ $\Rightarrow$ 0 2 0 2 3 16 1 r E m c e

$\tau$ $\Rightarrow$ s 10 56 ,1 11 $-$ $\times$

$\tau$

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics, Modern-Quantum Physics Metodi: Coulomb’s Law, Calculus-Integration, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Electron, Nucleus, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.1