P3. El experimento de Millikan.
En el año 1909 Robert Millikan y Harvey Fletcher diseñaron y realizaron el primer experimento para medir la carga del electrón. Hasta entonces los electrones sólo habían podido ser observados en forma de rayos catódicos, pero con ellos sólo se podía determinar la relación entre su carga y su masa. Con este experimento, Millikan logró medir el valor de la carga y, por tanto, también el de la masa. Para ello supuso (por aquel entonces no estaba verificado) que la carga del electrón era la fundamental y, en consecuencia, la carga de cualquier cuerpo sería un múltiplo de dicha cantidad.
El equipo básico para realizar el experimento de Millikan está representado esquemáticamente en la figura 1. En una cámara cerrada se pulverizan pequeñas gotas de un aceite especial, de densidad . Algunas de estas gotas se electrizan levemente en el momento de ser pulverizadas. Lógicamente, cada gota empieza a caer verticalmente por la acción de la gravedad, pero a su vez el aire ejerce sobre ellas una fuerza de resistencia que se opone a su movimiento y cuyo módulo es proporcional a la velocidad de caída. Esta fuerza, para un pequeño cuerpo esférico, satisface la ley de Stokes:
donde es la viscosidad del fluido (aire) en el que caen las gotas de aceite, es el radio de las gotas y su velocidad de caída.
Como las gotas se cargan ligeramente al capturar iones presentes en el aire, o simplemente por fricción con la boquilla del pulverizador, con este experimento se comprobó que las cargas son un múltiplo de la carga elemental , y pudo determinarse su valor.
Dado que la densidad del aire es mucho menor que la del aceite, en este problema no se tendrá en cuenta el empuje hidrostático sobre las gotas (principio de Arquímedes).
a) Escriba la ecuación del movimiento de una gota de aceite, de masa , que cae en el aire bajo la acción de la gravedad, .
b) Transcurrido un corto intervalo de tiempo a partir del instante en el que la gota comienza su caída en el aire, su velocidad tiende a un valor constante, que se denomina velocidad límite, . Determine dicha velocidad en función de la aceleración de la gravedad , de la densidad del aceite, de la viscosidad del aire y del radio de la gota.
c) Dibuje cualitativamente la gráfica de la velocidad de caída de la gota en función del tiempo, suponiendo que parte del reposo.
La velocidad límite se puede medir por observación directa de la caída de la gota con un microscopio que dispone de una escala graduada. Sin embargo, no es fácil medir el radio y masa de las gotas.
En una experiencia de laboratorio en el que se utiliza un montaje como el descrito antes, se observa que, en ausencia de campo eléctrico (), una determinada gota cae con una velocidad límite m/s. Sabiendo que la viscosidad del aire es Pa·s, la densidad del aceite es kg/m³ y que la aceleración de la gravedad es m/s²:
d) Determine la expresión de la masa de la gota y calcule su valor.
Cerrando el interruptor S, se establece un campo eléctrico uniforme como se muestra en la figura 1, cuyo valor se puede regular cambiando el potencial V. Ajustando este campo eléctrico se puede parar la gota, es decir, mantenerla en reposo.
e) Si el campo que mantiene a la gota en reposo es V/m, calcule el valor de esta carga .
En la misma experiencia y siguiendo el mismo procedimiento, se determinaron las cargas de otras gotas. Los valores que se obtuvieron son C y C. A partir de los valores de , y :
f) Calcule el valor de la carga fundamental del electrón.
Nota: En el experimento original, Robert Millikan y Harvey Fletcher obtuvieron un valor ligeramente menor al conocido actualmente para la carga del electrón.
Millikan experiment apparatus schematic diagram
Topic: Electrostatics, Fluid Mechanics, Modern-Quantum Physics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.1
**P3. L’esperimento di Millikan.
Nel 1909 Robert Millikan e Harvey Fletcher progettarono e condussero il primo esperimento per misurare la carica dell’elettrone. Fino ad allora gli elettroni erano stati osservati solo sotto forma di raggi catodici, ma con loro si poteva determinare solo il rapporto tra la loro carica e la loro massa. Con questo esperimento, Millikan riuscì a misurare il valore del carico e quindi anche quello della massa. Per questo ha supposto (all’epoca non era verificato) che la carica dell’elettrone fosse la fondamentale e, di conseguenza, la carica di qualsiasi corpo sarebbe un moltiplo di tale quantità.
L’equipaggiamento di base per eseguire l’esperimento di Millikan è rappresentato schematicamente nella figura 1. In una camera chiusa vengono spruzzati piccoli gocciolotti di un olio speciale, di densità . Alcune di queste gocce si elettricano leggermente quando vengono spruzzate. Logicamente, ogni goccia inizia a cadere verticalmente dall’azione della gravità, ma al tempo stesso l’aria esercita su di loro una forza di resistenza che si oppone al loro movimento e il cui modulo è proporzionale alla velocità di caduta. Questa forza, per un piccolo corpo sferico, soddisfa la legge di Stokes:
dove è la viscosità del fluido (aria) in cui cadono le gocce di olio, è il raggio delle gocce e la loro velocità di caduta.
Poiché le gocce si caricano leggermente quando si catturano ioni presenti nell’aria, o semplicemente per attrito con la bocca del pulverizzatore, con questo esperimento è stato dimostrato che le cariche sono un multiple della carica elementare , e è stato possibile determinarne il valore.
Poiché la densità dell’aria è molto inferiore a quella dell’olio, in questo problema non si tiene conto della spinta idrostatica sulle gocce (principio di Archimede).
a) Scrivere l’equazione del movimento di una goccia di olio, di massa , che cade in aria sotto l’azione della gravità, .
b) Dopo un breve intervallo di tempo a partire dall’istante in cui la goccia inizia a cadere in aria, la sua velocità tende a un valore costante, denominato velocità limite, . Determina tale velocità in funzione dell’accelerazione della gravità , della densità dell’olio, della viscosità dell’aria e del raggio della goccia.
c) Disegna qualitativamente il grafico della velocità di caduta della goccia in funzione del tempo, supponendo che parte del riposo.
La velocità limite può essere misurata osservando direttamente la caduta della goccia con un microscopio che dispone di una scala graduata. Tuttavia, non è facile misurare il raggio e la massa delle gocce.
In un esperimento di laboratorio che utilizza un montaggio come descritto prima, si osserva che, in assenza di campo elettrico (), una determinata goccia cade a una velocità limite m/s. Sapendo che la viscosità dell’aria è Pa·s, la densità dell’olio è kg/m3 e che l’accelerazione gravitazionale è m/s2:
d) Determina l’espressione della massa della goccia e calcola il suo valore.
Chiudendo il interruttore S, si stabilisce un campo elettrico uniforme come mostrato nella figura 1, il cui valore può essere regolato cambiando il potenziale V. Aggiustando questo campo elettrico si può fermare la goccia, cioè tenerla a riposo.
e) Se il campo che mantiene la goccia a riposo è V/m, calcola il valore di tale carico .
Nella stessa esperienza e seguendo la stessa procedura, sono state determinate le cariche di altre gocce. I valori ottenuti sono C e C. A partire dai valori di , e :
f) Calcolare il valore del carico fondamentale dell’elettrone.
Nota: Nel primo esperimento, Robert Millikan e Harvey Fletcher ottennero un valore leggermente inferiore a quello attualmente conosciuto per la carica dell’elettrone.
Millikan esperimento apparatus schematic diagram
Topic: Electrostatics, Fluid Mechanics, Modern-Quantum Physics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.1
**P3. The Millikan experiment.
In 1909 Robert Millikan and Harvey Fletcher designed and conducted the first experiment to measure the charge of the electron. Until then, electrons could only be observed in the form of cathode rays, but only with them could the relationship between their charge and mass be determined. With this experiment, Millikan managed to measure the value of the load and, therefore, also that of the mass. For this he assumed (at that time it was not verified) that the charge of the electron was the fundamental and, consequently, the charge of any body would be a multiple of that quantity.
The basic equipment for performing Millikan’s experiment is schematically represented in Figure 1. In a closed chamber, small droplets of a special oil of density are sprayed. Some of these droplets are slightly electrified when sprayed. Logically, each drop begins to fall vertically by gravity, but in turn the air exerts a force of resistance on them that opposes their movement and whose modulus is proportional to the rate of fall. This force, for a small spherical body, satisfies Stokes’ law:
where is the viscosity of the fluid (air) into which the oil droplets fall, is the radius of the droplets and their rate of fall.
Since the droplets are charged slightly when capturing ions present in the air, or simply by friction with the sprayer nozzle, this experiment proved that the charges are a multiple of the elementary charge , and its value could be determined.
Since the density of air is much lower than that of oil, the hydrostatic pressure on the droplets (Archymedes’ principle) is not taken into account in this problem.
(a) Write the equation of motion of a drop of oil, mass , falling into the air under gravity, .
(b) After a short interval from the moment the drop begins to fall into the air, its velocity tends to a constant value, called the limit velocity, . Determine this speed based on the acceleration of gravity , the density of the oil, the viscosity of the air and the radius of the drop.
(c) Qualitatively draw the graph of the droplet rate depending on the time, assuming that it is part of the rest.
The limit speed can be measured by direct observation of the droplet drop with a microscope with a graduated scale. However, it is not easy to measure the radius and mass of the droplets.
In a laboratory experiment using a mounting such as the one described above, it is observed that, in the absence of an electric field (), a given drop falls at a limit speed m/s. Knowing that the viscosity of air is Pa·s, the density of oil is kg/m3 and that the acceleration of gravity is m/s2:
(d) Determine the expression of the droplet mass and calculate its value.
By closing the S switch, a uniform electric field is established as shown in Figure 1, the value of which can be adjusted by changing the V potential. Adjusting this electric field can stop the drop, that is, keep it at rest.
(e) If the field holding the drop at rest is V/m, calculate the value of this load .
In the same experiment and following the same procedure, the loads of other droplets were determined. The values obtained are C and C. From the values of , and :
(f) Calculate the value of the fundamental charge of the electron.
Note: In the original experiment, Robert Millikan and Harvey Fletcher obtained a value slightly lower than the currently known value for electron charge.
The following table shows the results of the experiment:
Topic: Electrostatics, Fluid Mechanics, Modern-Quantum Physics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.1