Spagna 2012

P3. El giróscopo interferencial de fibra óptica

Un giróscopo mecánico es un aparato consistente en un disco que gira rápidamente sobre un eje libre que, debido a la conservación del momento angular, tiende a mantenerse en una dirección constante. Fue inventado por el físico francés Jean Bernard Léon Foucault (1819–1868) y se utiliza habitualmente para mantener la orientación en el espacio, en particular para la estabilización del rumbo de barcos, aviones y satélites. Pero existen otros dispositivos no mecánicos, más precisos, versátiles y sencillos, que se usan con los mismos fines.

El también físico francés Georges Sagnac descubrió en 1911 que “una onda electromagnética que se mueve en un camino cerrado es influenciada por la velocidad angular del sistema”. Basados en el llamado “efecto Sagnac”, a partir de 1960 comenzó la utilización de los giróscopos ópticos, que derivaron en 1970 en los giróscopos interferenciales de fibra óptica. En este ejercicio se describen, de forma simplificada, estos giróscopos.

Como ejercicio preliminar, considere que un haz de luz láser, de longitud de onda $\lambda$ (en el vacío), se propaga con velocidad $v$ por una fibra óptica rectilínea, de índice de refracción efectivo $n$, que se mueve longitudinalmente con velocidad $V$.

Nota: El índice de refracción efectivo $n$ hace referencia a la velocidad de avance de la luz a lo largo del eje de la fibra, $v=c/n$, donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.

a1) Determine el tiempo $t_1$ que tarda la luz en recorrer una longitud $L$ de fibra, cuando dicha luz se propaga en el mismo sentido que se mueve la fibra (Fig. 1a), y el tiempo $t_2$ cuando lo hace en sentido opuesto (Fig. 1b).

a2) Determine la diferencia entre estos dos tiempos, $\Delta t=t_2-t_1$. Aproxime el resultado teniendo en cuenta que $V\ll v$.

Considere ahora que la fibra óptica se curva en una circunferencia de longitud $L=2\pi R$, y que gira con velocidad angular $\Omega$ en torno a su centro en sentido horario. Por la fibra se propagan dos haces de luz en sentidos opuestos.

b) Determine la diferencia $\Delta t$ entre los tiempos $t_{+}$ y $t_{-}$ que tarda la luz en recorrer el anillo circular de longitud $L$ en sentidos horario y antihorario, respectivamente (Fig. 2a y 2b). Exprese el resultado en función del área $A$ del anillo.

El funcionamiento de un giróscopo de fibra óptica se esquematiza en la Fig. 3. Un 50% de la luz emitida por el láser se refleja en el divisor de haz (+), recorre $N$ espiras circulares de fibra en sentido horario y, tras reflejarse en el divisor de haz, incide en el detector. El otro 50% de la luz se transmite a través del divisor de haz (−), recorre las $N$ espiras en sentido antihorario e incide en el detector después de transmitirse a través del divisor.

Si el dispositivo no gira ($\Omega =0$), al detector llegan dos haces coherentes que han recorrido el mismo camino óptico y que, por tanto, se superponen en fase e interfieren constructivamente. Sin embargo, cuando todo el conjunto de la Fig. 3 gira con velocidad angular $\Omega$ en torno al centro de las espiras, entre ambos haces habrá una diferencia de fase que cambiará el estado interferencial en el detector (efecto Sagnac). Determine:

c1) La diferencia entre los tiempos que tardan los dos haces en llegar al detector, $\Delta T$, cuando el dispositivo gira con una velocidad $\Omega$ en torno a su centro.

c2) La diferencia de fase, $\delta$, entre los dos haces de luz.

En los giróscopos de fibra óptica, el sistema optoelectrónico de detección analiza el estado interferencial de los dos haces, determina esta diferencia de fase y permite deducir con gran precisión la velocidad angular de rotación y, en consecuencia, los cambios de rumbo.

d) Determine la mínima velocidad angular de rotación, ${\Omega }_{\min }$, para que ambos haces interfieran destructivamente en el detector, de forma que se anule la intensidad total.

Suponga que el sistema de detección es capaz de apreciar variaciones de la diferencia de fase $\Delta \delta =1\text{mrad}$.

e) Con los datos que se indican a continuación, calcule la precisión $\Delta \Omega$ con que es posible obtener la velocidad angular de rotación.

• Radio de las espiras de fibra óptica: $R=0,5\times 10^{-2}\text{m}$
• Número de espiras: $N=3200$
• Índice de refracción efectivo de la fibra: $n=1,48$
• Longitud de onda (en el vacío) del láser: $\lambda =1,3\mu \text{m}$
• Velocidad de la luz en el vacío: $c=3,0\times 10^8\text{m/s}$

Fig. 1a–1b: light in moving fiber, both directions

Fig. 2a–2b: light in rotating circular fiber ring

Fig. 3: fiber optic gyroscope schematic with coil

Topic: Wave Optics, Special Relativity, Oscillations & Waves Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Approximation & Series Expansion, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.1

P3. Il giroscopo di fibra ottica interferenziale

Un giroscopo meccanico è un apparato consistente in un disco che ruota rapidamente su un asse libero che, a causa della conservazione del momento angolare, tende a rimanere in una direzione costante. È stato inventato dal fisico francese Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) ed è usato di solito per mantenere l’orientamento nello spazio, in particolare per la stabilizzazione del percorso di navi, aerei e satelliti. Ma ci sono altri dispositivi non meccanici, più precisi, versatili e semplici, che vengono utilizzati per lo stesso fine.

Anche il fisico francese Georges Sagnac scoprì nel 1911 che “una onda elettromagnetica che si muove in un percorso chiuso è influenzata dalla velocità angolare del sistema”. Basandosi sul cosiddetto “effetto Sagnac”, a partire dal 1960 iniziò l’utilizzo dei giroscopi ottici, che derivarono nel 1970 nei giroscopi interferenziali di fibra ottica. In questo esercizio vengono descritti in modo semplificato questi giroscopi.

Come esercizio preliminare, si consideri che un raggio laser di lunghezza d’onda $\lambda$ (in vuoto) si diffonda a velocità $v$ da una fibra ottica rettilinea, con un indice di refraczione efficace $n$, che si muove longitudinalmente a velocità $V$.

Nota: L’indice di refraczione efficace $n$ si riferisce alla velocità di avanzamento della luce lungo l’asse della fibra, $v=c/n$, dove $c$ è la velocità della luce nel vuoto.

a1) Determina il tempo $t_1$ che la luce impiega per percorrerne una lunghezza $L$ di fibra, quando tale luce si diffonde nella stessa direzione in cui la fibra si muove (Fig. 1a), e il tempo $t_2$ quando lo fa in senso opposto (Fig. 1b).

a2) Determina la differenza tra questi due tempi, $\Delta t=t_2-t_1$. Approcciare il risultato tenendo conto che $V\ll v$.

Considera ora che la fibra ottica si curva in una circonferenza di lunghezza $L=2\pi R$, e che ruota a velocità angolare $\Omega$ attorno al suo centro in senso orario. Tra la fibra si diffondono due fasci di luce in direzioni opposte.

b) Determina la differenza $\Delta t$ tra i tempi $t_{+}$ e $t_{-}$ che la luce impiega per percorrere l’anello circolare di lunghezza $L$ in senso orario e antiorario, rispettivamente (Fig. 2a y 2b). Esprimere il risultato in funzione dell’area $A$ dell’anello.

Il funzionamento di un giroscopo a fibra ottica è schematizzato in Fig. 3. Il 50% della luce emessa dal laser si riflette nel divisore del fascio (+), attraversa $N$ spirate circolari di fibra in senso orario e, dopo essere riflessa nel divisore del fascio, colpisce il rilevatore. L’altro 50% della luce viene trasmessa attraverso il divisore di fascio (−), attraversa gli spirati $N$ in senso antiorario e incide sul rilevatore dopo essere stata trasmessa attraverso il divisore.

Se il dispositivo non gira ($\Omega =0$), al rilevatore arrivano due fasci coerenti che hanno percorso la stessa via ottica e che si superpongono in fase e interferiscono costruttivamente. Tuttavia, quando l’intero insieme della Fig. 3 gira a velocità angolare $\Omega$ intorno al centro delle spirale, tra i due fasci ci sarà una differenza di fase che cambierà lo stato di interferenza nel sensore (effetto Sagnac). Determina:

c1) La differenza tra i tempi impiegati dai due fasci per raggiungere il rilevatore, $\Delta T$, quando il dispositivo ruota a una velocità $\Omega$ intorno al suo centro.

c2) La differenza di fase, $\delta$, tra i due fasci di luce.

Nei giroscopi a fibra ottica, il sistema di rilevamento optoelettronica analizza lo stato di interferenza dei due fasci, determina questa differenza di fase e consente di dedurre con grande precisione la velocità angolare di rotazione e, di conseguenza, i cambiamenti di direzione.

d) Determina la velocità angolare minima di rotazione, ${\Omega }_{\min }$, in modo che entrambi i fasci interferiscano distruttivamente nel rilevatore, in modo da annullare l’intensità totale.

Supponiamo che il sistema di rilevamento sia in grado di rilevare variazioni della differenza di fase $\Delta \delta =1\text{mrad}$.

e) Con i dati riportati di seguito calcola la precisione $\Delta \Omega$ con cui è possibile ottenere la velocità angolare di rotazione.

• Radiospirazione di fibra ottica: $R=0,5\times 10^{-2}\text{m}$
• Numero di spirale: $N=3200$
• Indice di rifrazione efficace della fibra: $n=1,48$
• L’onda di lunghezza (in vuoto) del laser: $\lambda =1,3\mu \text{m}$
• Velocità della luce in vuoto: $c=3,0\times 10^8\text{m/s}$

Fig. 1a1b: light in moving fiber, both directions

Fig. 2a2b: light in rotating circular fiber ring

Fig. 3: fibra ottica gyroscope schematic with coil

Topic: Wave Optics, Special Relativity, Oscillations & Waves Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Approximation & Series Expansion, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.1

P3. The Fiber-Optic Interferometric Gyroscope

A mechanical gyroscope is a device consisting of a rapidly spinning disk rotating about a freely suspended axis; due to the conservation of angular momentum, it tends to maintain a constant direction in space. It was invented by the French physicist Jean Bernard Léon Foucault (1819–1868) and is commonly used to maintain orientation in space, particularly for stabilizing the heading of ships, aircraft, and satellites. However, there also exist non-mechanical devices that are more precise, versatile, and simpler to use for the same purposes.

The French physicist Georges Sagnac discovered in 1911 that “an electromagnetic wave propagating along a closed path is influenced by the angular velocity of the system.” Based on what came to be known as the “Sagnac effect,” optical gyroscopes began to be used starting in 1960, which evolved by 1970 into fiber-optic interferometric gyroscopes. This problem presents a simplified description of these gyroscopes.

As a preliminary exercise, consider a laser beam with wavelength $\lambda$ (in vacuum) propagating at velocity $v$ through a straight optical fiber with effective refractive index $n$, which is moving longitudinally at velocity $V$.

Note: The effective refractive index $n$ refers to the velocity of propagation of light along the fiber axis, $v=c/n$, where $c$ is the speed of light in vacuum.

a1) Determine the time $t_1$ it takes for light to travel a length $L$ of fiber when the light propagates in the same direction as the fiber moves (Fig. 1a), and the time $t_2$ when it propagates in the opposite direction (Fig. 1b).

a2) Determine the difference between these two times, $\Delta t=t_2-t_1$. Approximate the result considering that $V\ll v$.

Now consider that the optical fiber is bent into a circle of length $L=2\pi R$, and rotates with angular velocity $\Omega$ about its center in the clockwise direction. Two light beams propagate through the fiber in opposite directions.

b) Determine the difference $\Delta t$ between the times $t_{+}$ and $t_{-}$ it takes for light to travel around the circular ring of length $L$ in the clockwise and counterclockwise directions, respectively (Fig. 2a and 2b). Express the result in terms of the area $A$ enclosed by the ring.

The operation of an optical fiber gyroscope is schematically shown in Fig. 3. Half of the light emitted by the laser is reflected at the beam splitter (+), travels through $N$ circular turns of fiber in the clockwise direction, and after reflecting at the beam splitter, impinges on the detector. The other half of the light is transmitted through the beam splitter (−), travels through $N$ turns in the counterclockwise direction, and impinges on the detector after transmission through the beam splitter.

If the device does not rotate ($\Omega =0$), two coherent beams reach the detector after traveling the same optical path and thus overlap in phase, interfering constructively. However, when the entire assembly of Fig. 3 rotates with angular velocity $\Omega$ about the center of the coils, a phase difference arises between the two beams, altering the interference state at the detector (Sagnac effect). Determine:

c1) The difference in the times taken by the two beams to reach the detector, $\Delta T$, when the device rotates with angular velocity $\Omega$ about its center.

c2) The phase difference, $\delta$, between the two light beams.

In fiber-optic gyroscopes, the optoelectronic detection system analyzes the interference state of the two beams, determines this phase difference, and thereby allows precise deduction of the angular velocity of rotation, and consequently, changes in direction.

d) Determine the minimum angular velocity of rotation, ${\Omega }_{\min }$, for which both beams interfere destructively at the detector, so that the total intensity vanishes.

Assume the detection system is capable of detecting changes in the phase difference $\Delta \delta =1\text{mrad}$.

e) Using the data provided below, calculate the precision $\Delta \Omega$ with which the angular velocity of rotation can be determined.

• Radius of the optical fiber loops: $R=0,5\times 10^{-2}\text{m}$
• Number of loops: $N=3200$
• Effective refractive index of the fiber: $n=1,48$
• Wavelength (in vacuum) of the laser: $\lambda =1,3\mu \text{m}$
• Speed of light in vacuum: $c=3,0\times 10^8\text{m/s}$

Fig. 1a–1b: light in moving fiber, both directions

Fig. 2a–2b: light in rotating circular fiber ring

Fig. 3: schematic of fiber optic gyroscope with coil