Spagna 2014

P3. ¡Y se hizo la luz!

La energía eléctrica empezó a utilizarse a partir del descubrimiento por Michael Faraday de la ley de inducción electromagnética en 1833, aunque en aquel momento no podía sospecharse la enorme trascendencia del descubrimiento. En menos de medio siglo se desarrollaron las tecnologías para la producción y aprovechamiento de la energía eléctrica.

En las centrales hidroeléctricas se genera esta energía mediante un salto de agua, es decir transformando en eléctrica la energía potencial gravitatoria del agua. La primera central de este tipo funcionó en Wisconsin (EEUU) en el año 1882. En China se ha puesto recientemente en marcha la central hidroeléctrica más grande del mundo (presa de las Tres Gargantas), con una potencia de 22,5 GW. En Galicia puede citarse la central de San Esteban, en el río Sil, la más potente de Europa cuando fue inaugurada en 1956, con 0,26 GW. La figura 1 muestra las partes principales de una central hidroeléctrica.

Considera una central hidroeléctrica de desnivel $H$ , entre el nivel del embalse y la salida de las turbinas. La velocidad del agua, tanto antes del salto como después de atravesar la turbina, en el desagüe, es prácticamente nula. El caudal de agua (volumen por unidad de tiempo) que alimenta la turbina es $C$ . La densidad del agua es $d$ .

a) Suponiendo que el rendimiento energético de la central es $η$ , determina la potencia eléctrica que produce, $P_{e}$ .

Fig. 1: central hidroeléctrica partes principales

Fig. 2: bombilla incandescencia vieja

Topic: Conservation of Energy, Fluid Mechanics, Electromagnetic Induction Metodi: Energy Conservation Method, Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

**P3. E la luce è diventata!

L’energia elettrica è stata utilizzata dalla scoperta da parte di Michael Faraday della legge dell’induzione elettromagnetica nel 1833, anche se a quel tempo non si poteva sospettare l’enorme trascendenza della scoperta. In meno di mezzo secolo sono state sviluppate le tecnologie per la produzione e lo sfruttamento dell’energia elettrica.

Le centrali idroelettriche generano questa energia attraverso un salto d’acqua, cioè trasformando in elettricità l’energia potenziale gravitazionale dell’acqua. La prima centrale di questo tipo fu operata nel Wisconsin (Stati Uniti) nel 1882. In Cina è stata recentemente avviata la più grande centrale idroelettrica del mondo (la diga delle Tre Gorge), con una potenza di 22,5 GW. In Galizia si può citare la centrale di San Esteban, sul fiume Sil, la più potente d’Europa quando fu inaugurata nel 1956, con 0,26 GW. La figura 1 mostra le parti principali di una centrale idroelettrica.

Considera un impianto idroelettrico di $H$ , tra il livello del bacino e l’uscita delle turbine. La velocità dell’acqua, sia prima che dopo il salto, nel flusso, è praticamente zero. Il flusso d’acqua (volume per unità di tempo) che alimenta la turbina è $C$ . La densità dell’acqua è $d$ .

a) Supponendo che la potenza energetica della centrale sia $η$ , determina la potenza elettrica che produce, $P_{e}$ .

Fig. 1: centrale idroelettrica parti principali

Fig. 2: vecchia lampada incandescente

**P3. And it was light!

Electricity began to be used from the discovery by Michael Faraday of the law of electromagnetic induction in 1833, although at that time the enormous significance of the discovery could not be suspected. In less than half a century, technologies for the production and exploitation of electricity have been developed.

In hydroelectric power plants, this energy is generated by a water leap, that is, by transforming the gravitational potential energy of water into electricity. The first such power plant was built in Wisconsin in 1882. China recently started the world’s largest hydroelectric power plant (Tri-Gangantas Dam), with a capacity of 22,5 GW. In Galicia, the power plant of San Esteban, on the Sil River, was the most powerful in Europe when it was inaugurated in 1956, with 0.26 GW. Figure 1 shows the main parts of a hydroelectric power plant.

Consider a hydroelectric power station of $H$ level, between the reservoir level and the turbine output. The speed of water, both before the jump and after it crosses the turbine, in the drain, is practically zero. The water flow rate (volume per unit time) that feeds the turbine is $C$ . The density of water is $d$ .

(a) Assuming that the power output of the plant is $η$ , it determines the electrical power it produces, $P_{e}$ .

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 1: main hydroelectric power station parts*

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 2: old incandescent bulb*

Los generadores de las centrales hidroeléctricas son sistemas muy complejos. En esencia, la rotación del generador, accionado por la turbina, produce un campo magnético giratorio que induce corriente eléctrica en uno o varios conjuntos de espiras en reposo.

Considera, como modelo muy simplificado, una bobina fija de $N$ espiras de área $A$ , cada una, en presencia de un campo magnético uniforme de intensidad $B$ que gira con velocidad angular $ω$ , como se muestra en la figura 3.

b) Determina el flujo magnético que atraviesa la bobina, $Φ$ , y la fuerza electromotriz inducida entre sus bornes, $ε$ .

Fig. 3: bobina fija campo magnético giratorio

Topic: Electromagnetic Induction, Electromagnetism, Oscillations & Waves Metodi: Faraday’s Law of Induction, Physical Modeling, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.2

I generatori delle centrali idroelettriche sono sistemi molto complessi. In sostanza, la rotazione del generatore, azionata dalla turbina, produce un campo magnetico giratorio che induce corrente elettrica in uno o più gruppi di spirale a riposo.

Considera, come modello molto semplificato, una bobina fissa di spirale di area $N$ $A$ , ciascuna, in presenza di un campo magnetico uniforme di intensità $B$ che ruota a velocità angolare $ω$ , come mostrato nella figura 3.

b) Determina il flusso magnetico che attraversa la bobina, $Φ$ , e la forza elettromotrice indotta tra i suoi bordi, $ε$ .

Fig. 3: bobina fissa campo magnetico giratorio

Generators in hydroelectric power plants are very complex systems. In essence, the rotation of the generator, driven by the turbine, produces a rotating magnetic field that induces electric current in one or more sets of resting spirals.

It considers, as a very simplified model, a fixed coil of $N$ area $A$ spirals, each in the presence of a uniform magnetic field of $B$ intensity rotating at angular speed $ω$ , as shown in Figure 3.

(b) Determines the magnetic flux through the coil, $Φ$ , and the induced electromotive force between its terminals, $ε$ .

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. The following conditions shall apply:

El surtidor de una fuente pública expulsa un chorro vertical de agua mediante una bomba impulsora que trabaja en circuito cerrado. La bomba eleva un caudal $C^{'} = 2, 0 \times 1 0^{- 3}$ m³/s hasta una altura $h = 5, 0$ m respecto a la superficie libre del agua, con un rendimiento de bombeo $η^{'} = 0, 8$ . La densidad del agua es $d = 1, 0 \times 1 0^{3}$ kg/m³.

c) Determina y calcula la potencia consumida por el motor eléctrico de la bomba.

Topic: Fluid Mechanics, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Energy Conservation Method, Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il rifornitore di una fonte pubblica espelle un jet verticale di acqua tramite una pompa a impulso che opera in circuito chiuso. La pompa eleva un flusso $C^{'} = 2, 0 \times 1 0^{- 3}$ m3/s fino a un’altezza $h = 5, 0$ m rispetto alla superficie libera dell’acqua, con un rendimento di pompazione $η^{'} = 0, 8$ . La densità dell’acqua è $d = 1, 0 \times 1 0^{3}$ kg/m3.

c) Determina e calcola la potenza consumata dal motore elettrico della pompa.

The supplier of a public source expels a vertical jet of water by means of a power pump operating in a closed circuit. The pump shall raise a flow rate $C^{'} = 2, 0 \times 1 0^{- 3}$ m3/s to a height $h = 5, 0$ m with respect to the free surface of the water, with a pumping performance $η^{'} = 0, 8$ . The density of water is $d = 1, 0 \times 1 0^{3}$ kg/m3.

El motor de la bomba consume la potencia correspondiente a una parte $Δ H$ del desnivel $H$ de la central que le suministra la electricidad. Las características de la central son: altura de caída del agua $H = 902$ m, caudal $C = 2, 59 \times 1 0^{1}$ m³/s y rendimiento $η = 0, 87$ .

d) Determina y calcula $Δ H$ .

Topic: Fluid Mechanics, Conservation of Energy, Circuits Metodi: Energy Conservation Method, Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il motore della pompa consuma la potenza corrispondente a una parte $Δ H$ del livello $H$ della centrale che le fornisce l’energia. Le caratteristiche della centrale sono: altezza di scarica dell’acqua $H = 902$ m, flusso $C = 2, 59 \times 1 0^{1}$ m3/s e rendimento $η = 0, 87$ .

d) Determina e calcola $Δ H$ .

The pump engine consumes the power corresponding to a $Δ H$ part of the $H$ level of the power supply. The characteristics of the power plant are: water drop height $H = 902$ m, flow rate $C = 2, 59 \times 1 0^{1}$ m3/s and performance $η = 0, 87$ .

(d) Determine and calculate $Δ H$ .

El filamento de una bombilla de incandescencia es un fino hilo cilíndrico de Wolframio enrollado en hélice. Cuando se alimenta con una tensión $V$ , su resistencia eléctrica a la temperatura de trabajo es $R$ .

Si el filamento incandescente se comportase como un cuerpo negro, la potencia radiante emitida vendría dada por la ley de Stefan-Boltzmann:

$P_{n} = σ S T^{4}$

donde $σ$ es la constante de Stefan-Boltzmann, $S$ es el área de la superficie total emisora, y $T$ su temperatura absoluta. En la práctica, dependiendo del material y de la temperatura, la potencia radiante emitida por el filamento, $P_{f}$ , es inferior a $P_{n}$ en un factor $e < 1$ , llamado emisividad, es decir la potencia real emitida es $P_{f} = e σ S T^{4}$ . Asume que la potencia eléctrica que consume la bombilla, $P_{c}$ , es igual a la que emite, $P_{f}$ .

e) Determina las expresiones del radio, $r$ , y de la longitud total, $l$ , del filamento de una bombilla, en función de $P_{c}$ , $V$ , $e$ , $σ$ , $T$ y de la resistividad del material, $ρ$ , a la temperatura de trabajo.

Nota: La relación entre la resistencia $R$ de un conductor cilíndrico y la resistividad $ρ$ del material es $R = ρ l / a$ , donde $l$ es la longitud del cilindro y $a$ es el área de su sección circular.

Topic: Thermodynamics, Electromagnetism, Circuits Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il filamento di una lampada incandescente è un filo cilindrico di Wolframio fino in alicata. Quando viene alimentato con una tensione $V$ , la sua resistenza elettrica alla temperatura di lavoro è $R$ .

Se il filamento incandescente si comportasse come un corpo nero, la potenza radiante emessa sarebbe data dalla legge di Stefan-Boltzmann:

$P_{n} = σ S T^{4}$

dove $σ$ è la costante di Stefan-Boltzmann, $S$ è l’area della superficie totale emittente, e $T$ la sua temperatura assoluta. In pratica, a seconda del materiale e della temperatura, la potenza radiante emessa dal filamento, $P_{f}$ , è inferiore a $P_{n}$ in un fattore $e < 1$ , chiamato emissività, cioè la potenza reale emessa è $P_{f} = e σ S T^{4}$ . Suppone che la potenza elettrica consumata dalla lampada, $P_{c}$ , sia pari a quella emessa, $P_{f}$ .

e) Determina le espressioni del raggio, $r$ , e della lunghezza totale, $l$ , del filamento di una lampada, in funzione delle temperature di lavoro $P_{c}$ , $V$ , $e$ , $σ$ , $T$ e della resistività del materiale, $ρ$ .

Nota: il rapporto tra la resistenza $R$ di un conduttore cilindrico e la resistività $ρ$ del materiale è $R = ρ l / a$ , dove $l$ è la lunghezza del cilindro e $a$ è l’area della sua sezione circolare.

The filament of an incandescent bulb is a thin cylindrical thread of Wolframium wrapped in a propeller. When fed with a voltage $V$ , its electrical resistance to the working temperature is $R$ .

If the filament were to behave like a black body, the radiant power emitted would be given by Stefan-Boltzmann’s law:

$P_{n} = σ S T^{4}$

where $σ$ is the Stefan-Boltzmann constant, $S$ is the area of the total emission surface, and $T$ its absolute temperature. In practice, depending on the material and temperature, the radiant power emitted by the filament, $P_{f}$ , is less than $P_{n}$ by a factor $e < 1$ , called emissivity, i.e. the actual power emitted is $P_{f} = e σ S T^{4}$ . Assumes that the electrical power consumed by the bulb, $P_{c}$ , is equal to that emitted, $P_{f}$ .

(e) Determine the expressions of the radius, $r$ , and the total length, $l$ , of a filament of a bulb, according to $P_{c}$ , $V$ , $e$ , $σ$ , $T$ and the resistivity of the material, $ρ$ , to the working temperature.

Note: The ratio of the resistance $R$ of a cylindrical conductor to the resistivity $ρ$ of the material is $R = ρ l / a$ , where $l$ is the length of the cylinder and $a$ is the area of its circular section.

f) Calcula los valores numéricos de $r$ y de $l$ del filamento de una bombilla de $P_{c} = 60$ W y $V = 220$ V.

Datos: $T = 2500$ K; $ρ = 7, 4 \times 1 0^{- 7}$ Ω·m; $e = 0, 4$ ; $σ = 5, 67 \times 1 0^{- 8}$ W·m $^{- 2}$ ·K $^{- 4}$ .

Topic: Thermodynamics, Electromagnetism, Circuits Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Significant Figures Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.2

f) Calcola i valori numerici di $r$ e $l$ del filamento di una lampada di $P_{c} = 60$ W e $V = 220$ V.

I dati: $T = 2500$ K; $ρ = 7, 4 \times 1 0^{- 7}$ Ω·m; $e = 0, 4$ ; $σ = 5, 67 \times 1 0^{- 8}$ W·m $^{- 2}$ ·K $^{- 4}$ .

Topic: Thermodynamics, Electromagnetism, Circuits Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Significant Figures Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.2

(f) Calculate the numerical values of $r$ and $l$ of the filament of a bulb of $P_{c} = 60$ W and $V = 220$ V.

Datos: $T = 2500$ K; $ρ = 7, 4 \times 1 0^{- 7}$ Ω·m; $e = 0, 4$ ; $σ = 5, 67 \times 1 0^{- 8}$ W·m $^{- 2}$ ·K $^{- 4}$ .

Topic: Thermodynamics, Electromagnetism, Circuits Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Significant Figures Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.2

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