Spagna 2015

P3. El máser

El término MÁSER es el acrónimo de Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. El máser es el precursor del máser óptico o LÁSER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), que funciona de forma similar, pero emitiendo luz visible.

En este problema vamos a estudiar algunos aspectos del primer máser construido por Townes y sus colaboradores Gordon y Zeiger en 1955. Se trata de un máser de amoníaco, un aparato que rezuma física por todas partes.

Funcionamiento

El máser y el láser están basados en el fenómeno de emisión estimulada de radiación, estudiado por Albert Einstein en 1916: Cuando una molécula se halla en un estado excitado, de energía $E_2$ mayor que la de su estado fundamental, $E_1$, puede producirse la transición espontánea del nivel excitado al fundamental, emitiendo un fotón cuya frecuencia corresponde al salto energético $\Delta E=E_2-E_1$ entre los dos niveles.

Pero si un fotón de esa misma frecuencia incide sobre una molécula en el estado excitado, se puede inducir o estimular la transición al fundamental, resultando dos fotones de la misma frecuencia, el incidente más el emitido. Cuando el fenómeno ocurre dentro de una cavidad de paredes reflectoras (cavidad resonante), se desencadena una cascada de emisiones estimuladas y se amplifica la radiación inicial, siempre que dentro de la cavidad se mantenga de alguna forma la población de moléculas excitadas. Un orificio en la cavidad resonante deja salir parte de la radiación (microondas en el máser o luz en el láser) en forma de un haz estable, unidireccional y muy monocromático, es decir de una frecuencia bien determinada.

El máser de amoníaco de Townes

La molécula de amoníaco puede tener dos estados de energía dependiendo de su orientación espacial respecto al sentido de rotación de la molécula. Para la rotación mostrada en las figuras 1a y 1b, se presenta el estado 1 de menor energía cuando el átomo de nitrógeno está por debajo de los átomos de hidrógeno, y el estado 2 de mayor energía cuando el nitrógeno está por encima. Estos dos niveles son muy próximos: la diferencia de energía entre ellos es tan sólo $\Delta E=9,84\times 10^{-5}\text{eV}$, lo que explica que la radiación emitida en la transición sea de microondas (figura 1c).

a) Calcule la frecuencia de la radiación emitida en la transición entre los estados 2 y 1.

Datos: carga elemental $e=1,60\times 10^{-19}\text{C}$; constante de Planck $h=6,63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$.

b) El máser de Townes emitía con una potencia de $10^{-10}\text{W}$. ¿Cuántas moléculas efectivas de amoníaco emitían radiación en cada segundo?

El máser es un oscilador extraordinariamente estable y monocromático, por lo que sirvió como patrón para la fabricación de los primeros relojes atómicos. La frecuencia de la radiación emitida por el máser de amoníaco tiene una incertidumbre (ancho de banda) de tan solo 75 Hz.

c) Haga una estimación del número de años que han de transcurrir para que el reloj acumule un error de 1 s.

Un tanque de amoníaco suministra las moléculas al aparato. A temperatura ambiente, los dos estados están prácticamente igual de poblados, es decir, la mitad de las moléculas está en cada uno de estos estados. Para que la emisión estimulada domine sobre la absorción de radiación, y por tanto haya amplificación, es necesario disponer de más moléculas en el estado excitado que en el fundamental. Para ello, hay que seleccionar las moléculas con energía $E_2$ y descartar las de $E_1$ antes de que entren en la cavidad resonante.

Esto se consigue con un dispositivo llamado selector. Consiste en una lente electrostática cuadrupolar formada por cuatro electrodos situados longitudinal y simétricamente alrededor del haz de moléculas procedente del tanque (figura 2). Dos electrodos opuestos están conectados a una fuente de tensión $V_e$ y los otros dos a $-V_e$.

Para comprender cómo es la distribución de potencial eléctrico dentro de este selector, en primer lugar vamos a estudiar un modelo simplificado de sistema cuadrupolar, formado por cuatro cargas puntuales $\pm q$ situadas simétricamente sobre los ejes coordenados a una distancia $d$ del origen O, como se indica en la figura 3.

d) Determine el potencial electrostático $V(y)$ en el punto P de la figura 3, situado a una distancia $y$ del origen, en función de $y$, $d$ y $q$.

e) Desarrolle la expresión anterior de $V(y)$ en serie de potencias de $y/d$, y obtenga una expresión aproximada suponiendo que $y\ll d$. Considere despreciables potencias superiores a 2 del cociente $y/d$.

Ayuda: Tenga en cuenta el desarrollo en serie binomial $(1+\delta {)}^n=1+n\delta +\frac{n(n-1)}{2!}{\delta }^2+\cdots$

Extendiendo el cálculo anterior a cualquier punto P del plano XY se encuentra que el potencial cerca de O tiene una dependencia hiperbólica $V(x,y)\propto y^2-x^2$.

En un selector real el sistema cuadrupolar no está formado por cargas sino por varillas conductoras hiperbólicas conectadas a un potencial $\pm V_e$ que producen líneas equipotenciales también hiperbólicas (figura 4):

$V(x,y)=V_e\frac{y^2-x^2}{r_e^2}(1)$

donde $r_e$ es la distancia del centro a cada electrodo. En el máser de Townes, $r_e=0,5\text{cm}$ y $V_e=15\text{kV}$.

Por simplicidad en adelante vamos a trabajar exclusivamente en el plano YZ, es decir $x=0$. Nótese que en las expresiones anteriores no hay ninguna dependencia con $z$, lo que significa que pueden despreciarse, o están compensados por algún método, los efectos debidos a la falta de invariancia longitudinal cerca de los extremos de entrada y salida del selector (efectos de bordes).

f) Justifique que el campo eléctrico en un punto del plano YZ sólo tiene componente $y$. A partir de la expresión (1), compruebe que el campo es de la forma $\mathcal{E}(y)=-Cy$. Determine y calcule numéricamente la constante $C$.

Cuando las moléculas de amoníaco (que son moléculas dipolares) penetran en el selector, la interacción con el campo eléctrico hace que la energía de sus dos niveles se vea perturbada por un término de energía potencial, $U$, que disminuye la energía del estado 1 y aumenta la del 2 en esa misma cantidad. Un estudio de mecánica cuántica permite demostrar que esta energía potencial es proporcional al cuadrado del campo eléctrico (efecto Stark cuadrático), de la forma:

$U(r)=\pm \frac{\mu }{\Delta E}[\mathcal{E}(r){]}^2(2)$

donde $\mu$ es una constante conocida (momento dipolar eléctrico de la molécula) y $\mathcal{E}(r)$ es el campo eléctrico a una distancia $r=\sqrt{x^2+y^2}$ del eje OZ. Esta energía es positiva para las moléculas en el estado 2 y negativa para las que están en el estado 1, de ahí el doble signo.

En consecuencia, sobre las moléculas actúa una fuerza radial $F(r)$ de sentido contrario para los dos estados. En nuestro estudio en el plano YZ, la dependencia $F(r)$ se reduce a $F(y)$.

g) Determine la fuerza $F(y)$ sobre una molécula en función de $\mu$, $\Delta E$ y $C$.

Supongamos que las moléculas penetran en el selector a una altura $y_0$ y con velocidad $v_0$ paralela al eje OZ (figura 5). Sobre las moléculas en el estado 1 actúa una fuerza que las aleja de este eje, de forma que en la práctica no alcanzan la salida. Sin embargo, sobre las moléculas en el estado 2 actúa una fuerza proporcional a $y$ dirigida siempre hacia el eje OZ (fuerza elástica), de forma que realizan un movimiento armónico simple en la dirección transversal $y$ mientras avanzan a velocidad $v_0$ en la dirección $z$.

Fig. 1a: NH3 state 1 nitrogen below H atoms

Fig. 1b: NH3 state 2 nitrogen above H atoms

Fig. 1c: energy level diagram photon emission

Fig. 2: quadrupole electrostatic selector electrodes

Fig. 3: four point charges ±q on coordinate axes

Fig. 4: hyperbolic equipotential lines ±Ve

Fig. 5: molecules entering selector at height y0

Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Photon Energy Relation, Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Photon, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.1

P3. Il più

Il termine MASER è l’acronimo di Amplificazione Microwave da Emissione Stimulada di Radiation. Il maser è il precursore del maser ottico o LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), che funziona in modo simile, ma emette luce visibile.

In questo problema, esamineremo alcuni aspetti del primo masser costruito da Townes e dai suoi collaboratori Gordon e Zeiger nel 1955. Si tratta di un mascher di ammoniaca, un dispositivo che riassume la fisica ovunque.

Funzionamento

Il laser e il maser si basano sul fenomeno di emissione stimolata di radiazioni, studiato da Albert Einstein nel 1916: Quando una molecola è in uno stato eccitato, di energia $E_2$ superiore a quella del suo stato fondamentale, $E_1$, può verificarsi la transizione spontanea dal livello eccitato al livello fondamentale, emettendo un fotone la cui frequenza corrisponde al salto energetico $\Delta E=E_2-E_1$ tra i due livelli.

Ma se un fotone di questa stessa frequenza incide su una molecola nello stato eccitato, si può indurre o stimolare la transizione al fondamentale, risultando due fotoni della stessa frequenza, l’incidente più l’emissione. Quando il fenomeno si verifica all’interno di una cavità di pareti riflettenti (cavità risonante), si scatena una cascata di emissioni stimolate e si amplifica la radiazione iniziale, a condizione che all’interno della cavità sia mantenuta in qualche modo la popolazione di molecole eccitate. Un orificio nella cavità risonante lascia uscire parte della radiazione (microonde nel maser o luce nel laser) sotto forma di un raggio stabile, unidirezionale e molto monocromatico, cioè di una frequenza ben determinata.

Il maser di ammoniaca di Townes

La molecola di ammoniaca può avere due stati di energia a seconda della sua orientamento spaziale rispetto al senso di rotazione della molecola. Per la rotazione mostrata nelle figure 1a e 1b, si presenta lo stato 1 di minore energia quando l’atomo di nitrogeno è sotto gli atomi di idrogeno, e lo stato 2 di maggiore energia quando l’atomo di nitrogeno è sopra. Questi due livelli sono molto vicini: la differenza di energia tra loro è di solo $\Delta E=9,84\times 10^{-5}\text{eV}$, che spiega che la radiazione emessa in transizione è di microonde (figura 1c).

**a) ** Calcola la frequenza della radiazione emessa in transizione tra stati 2 e 1.

Data: carico elementare $e=1,60\times 10^{-19}\text{C}$; costante di Planck $h=6,63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$.

Il macerino di Townes emetteva con una potenza di $10^{-10}\text{W}$. Quante molecole di ammoniaca effettive emettevano radiazioni ogni secondo?

Il maser è un oscillatore straordinariamente stabile e monocromatico, per cui è servito come modello per la fabbricazione dei primi orologi atomici. La frequenza della radiazione emessa dal maser di ammoniaca ha un’incertezza (ampiezza di banda) di appena 75 Hz.

**c) ** Fa’ un’estimazione del numero di anni che devono passare per il tempo per accumulare un errore di 1 s.

Un serbatoio di ammoniaca fornisce le molecole all’apparecchio. A temperatura ambiente, i due stati sono praticamente uguali di popolazioni, cioè metà delle molecole sono in ciascuno di questi stati. Per che l’emissione stimolata domini l’assorbimento di radiazioni e quindi si verifichi l’amplificazione, è necessario disporre di più molecole nello stato eccitato che nello stato fondamentale. Per questo, è necessario selezionare le molecole con energia $E_2$ e eliminare quelle di $E_1$ prima di entrare nella cavità risonante.

Questo è ottenuto con un dispositivo chiamato selector. Consiste in una lente elettrostatica quadrupolare costituita da quattro elettrodi situati longitudinalmente e simmetricamente intorno al fascio di molecole provenienti dal serbatoio (figura 2). Due elettrodi opposti sono collegati ad una fonte di tensione $V_e$ e gli altri due a $-V_e$.

Per capire come è la distribuzione del potenziale elettrico all’interno di questo selettore, iniziamo studiando un modello semplificato di sistema quadripolare, formato da quattro cariche puntate $\pm q$ situate simmetricamente sugli assi coordinati a una distanza $d$ dall’origine O, come indicato nella figura 3.

**d) ** Determina il potenziale elettrostatico $V(y)$ nel punto P della figura 3, situato a una distanza $y$ dalla fonte, in funzione di $y$, $d$ e $q$.

**e) ** Sviluppa l’espressione precedente di $V(y)$ in serie di potenze di $y/d$, e ottiene un’espressione approssimativa supponendo che $y\ll d$. Considera potenze scarsa superiore a 2 del coefficiente $y/d$.

Aiuto: Considerazione dello sviluppo in serie binomial $(1+\delta {)}^n=1+n\delta +\frac{n(n-1)}{2!}{\delta }^2+\cdots$

Estendendo il calcolo precedente a qualsiasi punto P del piano XY si trova che il potenziale vicino a O ha una dipendenza iperbolica $V(x,y)\propto y^2-x^2$.

In un selettore reale il sistema quadrupolare non è costituito da carichi ma da bastone conduttori iperbolici collegati a un potenziale $\pm V_e$ che producono linee equipotenziali e iperboliche (figura 4):

$V(x,y)=V_e\frac{y^2-x^2}{r_e^2}(1)$

dove $r_e$ è la distanza dal centro a ciascun elettrodo. Al maser di Townes, $r_e=0,5\text{cm}$ e $V_e=15\text{kV}$.

Per semplicità, lavoreremo esclusivamente sul piano YZ, cioè $x=0$. Si noti che nelle espressioni precedenti non vi è alcuna dipendenza da $z$, il che significa che gli effetti dovuti alla mancanza di invarianza longitudinale nei pressi delle estremità di ingresso e di uscita del selettore (effetti di bordi) possono essere disprezzati, o compensati da un metodo.

**f) ** giustifica che il campo elettrico in un punto del piano YZ abbia solo la componente $y$. A partire dall’espressione (1), verificate che il campo sia di forma $\mathcal{E}(y)=-Cy$. Determina e calcola numericamente la costante $C$.

Quando le molecole di ammoniaca (che sono molecole dipolari) penetrano nel selettore, l’interazione con il campo elettrico fa sì che l’energia dei suoi due livelli sia perturbata da un termine di energia potenziale, $U$, che diminuisce l’energia dello stato 1 e aumenta quella del 2 in quella stessa quantità. Uno studio di meccanica quantistica permette di dimostrare che questa energia potenziale è proporzionale al quadrato del campo elettrico (effetto Stark quadratico), in modo:

$U(r)=\pm \frac{\mu }{\Delta E}[\mathcal{E}(r){]}^2(2)$

dove $\mu$ è una costante nota (momento di dipolarità elettrica della molecola) e $\mathcal{E}(r)$ è il campo elettrico a una distanza $r=\sqrt{x^2+y^2}$ dall’asse OZ. Questa energia è positiva per le molecole dello stato 2 e negativa per quelle dello stato 1, quindi il doppio segno.

Di conseguenza, sulle molecole agisce una forza radial $F(r)$ di senso contrario per i due stati. Nel nostro studio sul piano YZ, la dipendenza $F(r)$ viene ridotta a $F(y)$.

**g) ** Determina la forza $F(y)$ su una molecola in funzione di $\mu$, $\Delta E$ e $C$.

Supponiamo che le molecole penetrino il selettore ad un’altezza $y_0$ e con velocità $v_0$ parallela all’asse OZ (figura 5). Su molecole dello stato 1 agisce una forza che le allontana da questo asse, in modo che in pratica non raggiungano l’uscita. Tuttavia, sulle molecole dello stato 2 agisce una forza proporzionale a $y$ sempre diretta verso l’asse OZ (forza elastica), in modo che effettuino un semplice movimento armonico nella direzione trasversale $y$ mentre avanzano a velocità $v_0$ nella direzione $z$.

Fig. 1a: NH3 state 1 nitrogen below H atomi

Fig. 1b: NH3 state 2 nitrogen above H atoms

Fig. 1c: diagramma di livello di energia di emissione dei fotoni

Fig. 2: quadrupole elettrostatico selettore elettrodi

Fig. 3: quattro punti di carico ±q on coordinate axes

Fig. 4: linee equipotenziali iperboliche ±Ve

Fig. 5 - molecole che entrano selector a altezza e0

Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Photon Energy Relation, Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Photon, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.1

P3. The maser

The term MASER is an acronym for Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. The laser is the precursor to the optical laser or LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), which works similarly but emits visible light.

In this problem we will examine some aspects of the first mazer built by Townes and his collaborators Gordon and Zeiger in 1955. It’s an ammonia mazer, a device that resonates physically everywhere.

The following information shall be provided:

The laser and the laser are based on the phenomenon of stimulated radiation emission, studied by Albert Einstein in 1916: When a molecule is in an excited state, of energy $E_2$ greater than that of its fundamental state, $E_1$, the spontaneous transition from the excited level to the fundamental can occur, emitting a photon whose frequency corresponds to the energy jump $\Delta E=E_2-E_1$ between the two levels.

But if a photon of the same frequency hits a molecule in the excited state, it can induce or stimulate the transition to the fundamental, resulting in two photons of the same frequency, the incident plus the emitted. When the phenomenon occurs within a cavity of reflective walls (resonant cavity), a cascade of stimulated emissions is triggered and the initial radiation is amplified, provided that the population of excited molecules is somehow maintained within the cavity. A hole in the resonant cavity releases some of the radiation (microwaves in the maser or light in the laser) in the form of a stable, one-way beam that is very monochromatic, that is, at a well-defined frequency.

The following table summarizes the results of the calculations:

The ammonia molecule can have two energy states depending on its spatial orientation relative to the direction of the molecule’s rotation. For the rotation shown in Figures 1a and 1b, state 1 of lower energy is presented when the nitrogen atom is below the hydrogen atoms, and state 2 of higher energy is presented when the nitrogen is above. These two levels are very close: the energy difference between them is only $\Delta E=9,84\times 10^{-5}\text{eV}$, which explains that the radiation emitted in the transition is microwave (Figure 1c).

**a) ** Calculate the frequency of radiation emitted in the transition between states 2 and 1.

The data are: elementary load $e=1,60\times 10^{-19}\text{C}$; Planck constant $h=6,63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$.

The Townes mazer was emitting at a power of $10^{-10}\text{W}$. How many effective ammonia molecules emitted radiation every second?

The maser is an extraordinarily stable and monochromatic oscillator, so it served as a pattern for the manufacture of the first atomic clocks. The frequency of the radiation emitted by the ammonia macer has an uncertainty (bandwidth) of only 75 Hz.

**c) ** Estimate the number of years it takes for the clock to accumulate a 1 s error.

An ammonia tank supplies the molecules to the device. At room temperature, the two states are practically equal in population, that is, half of the molecules are in each of these states. For the stimulated emission to dominate the radiation absorption and therefore to have amplification, more molecules in the excited state than in the fundamental state are required. For this purpose, the $E_2$ energy molecules must be selected and those of $E_1$ discarded before they enter the resonant cavity.

This is achieved with a device called selector. It consists of a quadrupolar electrostatic lens formed by four electrodes located longitudinally and symmetrically around the beam of molecules coming from the tank (Figure 2). Two opposing electrodes are connected to one voltage source $V_e$ and the other two to $-V_e$.

To understand how the electrical potential distribution is within this selector, first we will study a simplified model of a quadrilateral system, made up of four point charges $\pm q$ symmetrically located on the coordinate axes at a distance $d$ from the origin O, as shown in Figure 3.

**d) ** Determine the electrostatic potential $V(y)$ at point P of Figure 3, located at a distance $y$ from the source, based on $y$, $d$ and $q$.

**e) ** Develop the previous expression of $V(y)$ in the $y/d$ series of powers, and obtain an approximate expression assuming $y\ll d$. Consider negligible powers greater than 2 of the $y/d$ coefficient.

Help: Consider the binomial series development $(1+\delta {)}^n=1+n\delta +\frac{n(n-1)}{2!}{\delta }^2+\cdots$

Extending the previous calculation to any point P of the plane XY, the potential near O has a hyperbolic dependence $V(x,y)\propto y^2-x^2$.

In a real selector the quadrupolar system is not made up of loads but of hyperbolic conducting rods connected to a potential $\pm V_e$ that produce equipotential lines as well as hyperbolic lines (Figure 4):

$V(x,y)=V_e\frac{y^2-x^2}{r_e^2}(1)$

where $r_e$ is the distance from the centre to each electrode. In the Townes mazer, $r_e=0,5\text{cm}$ and $V_e=15\text{kV}$.

For simplicity, we will work exclusively on the YZ plane, i.e. $x=0$. Note that in the above expressions there is no dependence on $z$, meaning that effects due to the lack of longitudinal invariance near the input and output ends of the selector (edge effects) can be neglected, or compensated by some method.

**f) ** Justify that the electric field at a point in the YZ plane has only component $y$. From expression (1), check that the field is $\mathcal{E}(y)=-Cy$. Determine and numerically calculate the $C$ constant.

When the ammonia molecules (which are dipolar molecules) penetrate the selector, the interaction with the electric field causes the energy of its two levels to be disturbed by a potential energy term, $U$, which decreases the energy of state 1 and increases that of state 2 in that same amount. A study of quantum mechanics allows us to show that this potential energy is proportional to the square of the electric field (quadratic Stark effect), in the form:

$U(r)=\pm \frac{\mu }{\Delta E}[\mathcal{E}(r){]}^2(2)$

where $\mu$ is a known constant (molecule electric dipole moment) and $\mathcal{E}(r)$ is the electric field at a distance $r=\sqrt{x^2+y^2}$ from the OZ axis. This energy is positive for molecules in state 2 and negative for those in state 1, hence the double sign.

Consequently, a radial force $F(r)$ acting in the opposite direction for the two states acts on the molecules. In our study on the YZ plane, the $F(r)$ dependence is reduced to $F(y)$.

**g) ** Determine the force $F(y)$ on a molecule based on $\mu$, $\Delta E$ and $C$.

Suppose the molecules penetrate the selector at a height $y_0$ and at a speed $v_0$ parallel to the OZ axis (Figure 5). On molecules in state 1 a force acts that moves them away from this axis, so that in practice they do not reach the exit. However, on the molecules in state 2 there is a force proportional to $y$ always directed towards the OZ axis (elastic force), so that they perform a simple harmonic movement in the transverse direction $y$ while advancing at speed $v_0$ in the direction $z$.

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 1a: NH3 state 1 nitrogen below H atoms*

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 1b: NH3 state 2 nitrogen above H atoms*

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 1c: energy level diagram photon emission*

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. The following is the list of the types of electrical equipment used:

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. The following is the list of the following:

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. The following is the list of the types of electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by electricity generated by electricity.

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. The following is the list of the active substances used in the preparation of the product:

Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Photon Energy Relation, Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Photon, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.1