P3. El máser
El término MÁSER es el acrónimo de Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. El máser es el precursor del máser óptico o LÁSER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), que funciona de forma similar, pero emitiendo luz visible.
En este problema vamos a estudiar algunos aspectos del primer máser construido por Townes y sus colaboradores Gordon y Zeiger en 1955. Se trata de un máser de amoníaco, un aparato que rezuma física por todas partes.
Funcionamiento
El máser y el láser están basados en el fenómeno de emisión estimulada de radiación, estudiado por Albert Einstein en 1916: Cuando una molécula se halla en un estado excitado, de energía mayor que la de su estado fundamental, , puede producirse la transición espontánea del nivel excitado al fundamental, emitiendo un fotón cuya frecuencia corresponde al salto energético entre los dos niveles.
Pero si un fotón de esa misma frecuencia incide sobre una molécula en el estado excitado, se puede inducir o estimular la transición al fundamental, resultando dos fotones de la misma frecuencia, el incidente más el emitido. Cuando el fenómeno ocurre dentro de una cavidad de paredes reflectoras (cavidad resonante), se desencadena una cascada de emisiones estimuladas y se amplifica la radiación inicial, siempre que dentro de la cavidad se mantenga de alguna forma la población de moléculas excitadas. Un orificio en la cavidad resonante deja salir parte de la radiación (microondas en el máser o luz en el láser) en forma de un haz estable, unidireccional y muy monocromático, es decir de una frecuencia bien determinada.
El máser de amoníaco de Townes
La molécula de amoníaco puede tener dos estados de energía dependiendo de su orientación espacial respecto al sentido de rotación de la molécula. Para la rotación mostrada en las figuras 1a y 1b, se presenta el estado 1 de menor energía cuando el átomo de nitrógeno está por debajo de los átomos de hidrógeno, y el estado 2 de mayor energía cuando el nitrógeno está por encima. Estos dos niveles son muy próximos: la diferencia de energía entre ellos es tan sólo , lo que explica que la radiación emitida en la transición sea de microondas (figura 1c).
a) Calcule la frecuencia de la radiación emitida en la transición entre los estados 2 y 1.
Datos: carga elemental ; constante de Planck .
b) El máser de Townes emitía con una potencia de . ¿Cuántas moléculas efectivas de amoníaco emitían radiación en cada segundo?
El máser es un oscilador extraordinariamente estable y monocromático, por lo que sirvió como patrón para la fabricación de los primeros relojes atómicos. La frecuencia de la radiación emitida por el máser de amoníaco tiene una incertidumbre (ancho de banda) de tan solo 75 Hz.
c) Haga una estimación del número de años que han de transcurrir para que el reloj acumule un error de 1 s.
Un tanque de amoníaco suministra las moléculas al aparato. A temperatura ambiente, los dos estados están prácticamente igual de poblados, es decir, la mitad de las moléculas está en cada uno de estos estados. Para que la emisión estimulada domine sobre la absorción de radiación, y por tanto haya amplificación, es necesario disponer de más moléculas en el estado excitado que en el fundamental. Para ello, hay que seleccionar las moléculas con energía y descartar las de antes de que entren en la cavidad resonante.
Esto se consigue con un dispositivo llamado selector. Consiste en una lente electrostática cuadrupolar formada por cuatro electrodos situados longitudinal y simétricamente alrededor del haz de moléculas procedente del tanque (figura 2). Dos electrodos opuestos están conectados a una fuente de tensión y los otros dos a .
Para comprender cómo es la distribución de potencial eléctrico dentro de este selector, en primer lugar vamos a estudiar un modelo simplificado de sistema cuadrupolar, formado por cuatro cargas puntuales situadas simétricamente sobre los ejes coordenados a una distancia del origen O, como se indica en la figura 3.
d) Determine el potencial electrostático en el punto P de la figura 3, situado a una distancia del origen, en función de , y .
e) Desarrolle la expresión anterior de en serie de potencias de , y obtenga una expresión aproximada suponiendo que . Considere despreciables potencias superiores a 2 del cociente .
Ayuda: Tenga en cuenta el desarrollo en serie binomial
Extendiendo el cálculo anterior a cualquier punto P del plano XY se encuentra que el potencial cerca de O tiene una dependencia hiperbólica .
En un selector real el sistema cuadrupolar no está formado por cargas sino por varillas conductoras hiperbólicas conectadas a un potencial que producen líneas equipotenciales también hiperbólicas (figura 4):
donde es la distancia del centro a cada electrodo. En el máser de Townes, y .
Por simplicidad en adelante vamos a trabajar exclusivamente en el plano YZ, es decir . Nótese que en las expresiones anteriores no hay ninguna dependencia con , lo que significa que pueden despreciarse, o están compensados por algún método, los efectos debidos a la falta de invariancia longitudinal cerca de los extremos de entrada y salida del selector (efectos de bordes).
f) Justifique que el campo eléctrico en un punto del plano YZ sólo tiene componente . A partir de la expresión (1), compruebe que el campo es de la forma . Determine y calcule numéricamente la constante .
Cuando las moléculas de amoníaco (que son moléculas dipolares) penetran en el selector, la interacción con el campo eléctrico hace que la energía de sus dos niveles se vea perturbada por un término de energía potencial, , que disminuye la energía del estado 1 y aumenta la del 2 en esa misma cantidad. Un estudio de mecánica cuántica permite demostrar que esta energía potencial es proporcional al cuadrado del campo eléctrico (efecto Stark cuadrático), de la forma:
donde es una constante conocida (momento dipolar eléctrico de la molécula) y es el campo eléctrico a una distancia del eje OZ. Esta energía es positiva para las moléculas en el estado 2 y negativa para las que están en el estado 1, de ahí el doble signo.
En consecuencia, sobre las moléculas actúa una fuerza radial de sentido contrario para los dos estados. En nuestro estudio en el plano YZ, la dependencia se reduce a .
g) Determine la fuerza sobre una molécula en función de , y .
Supongamos que las moléculas penetran en el selector a una altura y con velocidad paralela al eje OZ (figura 5). Sobre las moléculas en el estado 1 actúa una fuerza que las aleja de este eje, de forma que en la práctica no alcanzan la salida. Sin embargo, sobre las moléculas en el estado 2 actúa una fuerza proporcional a dirigida siempre hacia el eje OZ (fuerza elástica), de forma que realizan un movimiento armónico simple en la dirección transversal mientras avanzan a velocidad en la dirección .
Fig. 1a: NH3 state 1 nitrogen below H atoms
Fig. 1b: NH3 state 2 nitrogen above H atoms
Fig. 1c: energy level diagram photon emission
Fig. 2: quadrupole electrostatic selector electrodes
Fig. 3: four point charges ±q on coordinate axes
Fig. 4: hyperbolic equipotential lines ±Ve
Fig. 5: molecules entering selector at height y0
Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Photon Energy Relation, Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Photon, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.1
P3. Il più
Il termine MASER è l’acronimo di Amplificazione Microwave da Emissione Stimulada di Radiation. Il maser è il precursore del maser ottico o LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), che funziona in modo simile, ma emette luce visibile.
In questo problema, esamineremo alcuni aspetti del primo masser costruito da Townes e dai suoi collaboratori Gordon e Zeiger nel 1955. Si tratta di un mascher di ammoniaca, un dispositivo che riassume la fisica ovunque.
Funzionamento
Il laser e il maser si basano sul fenomeno di emissione stimolata di radiazioni, studiato da Albert Einstein nel 1916: Quando una molecola è in uno stato eccitato, di energia superiore a quella del suo stato fondamentale, , può verificarsi la transizione spontanea dal livello eccitato al livello fondamentale, emettendo un fotone la cui frequenza corrisponde al salto energetico tra i due livelli.
Ma se un fotone di questa stessa frequenza incide su una molecola nello stato eccitato, si può indurre o stimolare la transizione al fondamentale, risultando due fotoni della stessa frequenza, l’incidente più l’emissione. Quando il fenomeno si verifica all’interno di una cavità di pareti riflettenti (cavità risonante), si scatena una cascata di emissioni stimolate e si amplifica la radiazione iniziale, a condizione che all’interno della cavità sia mantenuta in qualche modo la popolazione di molecole eccitate. Un orificio nella cavità risonante lascia uscire parte della radiazione (microonde nel maser o luce nel laser) sotto forma di un raggio stabile, unidirezionale e molto monocromatico, cioè di una frequenza ben determinata.
Il maser di ammoniaca di Townes
La molecola di ammoniaca può avere due stati di energia a seconda della sua orientamento spaziale rispetto al senso di rotazione della molecola. Per la rotazione mostrata nelle figure 1a e 1b, si presenta lo stato 1 di minore energia quando l’atomo di nitrogeno è sotto gli atomi di idrogeno, e lo stato 2 di maggiore energia quando l’atomo di nitrogeno è sopra. Questi due livelli sono molto vicini: la differenza di energia tra loro è di solo , che spiega che la radiazione emessa in transizione è di microonde (figura 1c).
a) Calcola la frequenza della radiazione emessa in transizione tra stati 2 e 1.
Data: carico elementare ; costante di Planck .
Il macerino di Townes emetteva con una potenza di . Quante molecole di ammoniaca effettive emettevano radiazioni ogni secondo?
Il maser è un oscillatore straordinariamente stabile e monocromatico, per cui è servito come modello per la fabbricazione dei primi orologi atomici. La frequenza della radiazione emessa dal maser di ammoniaca ha un’incertezza (ampiezza di banda) di appena 75 Hz.
c) Fa’ un’estimazione del numero di anni che devono passare per il tempo per accumulare un errore di 1 s.
Un serbatoio di ammoniaca fornisce le molecole all’apparecchio. A temperatura ambiente, i due stati sono praticamente uguali di popolazioni, cioè metà delle molecole sono in ciascuno di questi stati. Per che l’emissione stimolata domini l’assorbimento di radiazioni e quindi si verifichi l’amplificazione, è necessario disporre di più molecole nello stato eccitato che nello stato fondamentale. Per questo, è necessario selezionare le molecole con energia e eliminare quelle di prima di entrare nella cavità risonante.
Questo è ottenuto con un dispositivo chiamato selector. Consiste in una lente elettrostatica quadrupolare costituita da quattro elettrodi situati longitudinalmente e simmetricamente intorno al fascio di molecole provenienti dal serbatoio (figura 2). Due elettrodi opposti sono collegati ad una fonte di tensione e gli altri due a .
Per capire come è la distribuzione del potenziale elettrico all’interno di questo selettore, iniziamo studiando un modello semplificato di sistema quadripolare, formato da quattro cariche puntate situate simmetricamente sugli assi coordinati a una distanza dall’origine O, come indicato nella figura 3.
d) Determina il potenziale elettrostatico nel punto P della figura 3, situato a una distanza dalla fonte, in funzione di , e .
e) Sviluppa l’espressione precedente di in serie di potenze di , e ottiene un’espressione approssimativa supponendo che . Considera potenze scarsa superiore a 2 del coefficiente .
Aiuto: Considerazione dello sviluppo in serie binomial
Estendendo il calcolo precedente a qualsiasi punto P del piano XY si trova che il potenziale vicino a O ha una dipendenza iperbolica .
In un selettore reale il sistema quadrupolare non è costituito da carichi ma da bastone conduttori iperbolici collegati a un potenziale che producono linee equipotenziali e iperboliche (figura 4):
dove è la distanza dal centro a ciascun elettrodo. Al maser di Townes, e .
Per semplicità, lavoreremo esclusivamente sul piano YZ, cioè . Si noti che nelle espressioni precedenti non vi è alcuna dipendenza da , il che significa che gli effetti dovuti alla mancanza di invarianza longitudinale nei pressi delle estremità di ingresso e di uscita del selettore (effetti di bordi) possono essere disprezzati, o compensati da un metodo.
f) giustifica che il campo elettrico in un punto del piano YZ abbia solo la componente . A partire dall’espressione (1), verificate che il campo sia di forma . Determina e calcola numericamente la costante .
Quando le molecole di ammoniaca (che sono molecole dipolari) penetrano nel selettore, l’interazione con il campo elettrico fa sì che l’energia dei suoi due livelli sia perturbata da un termine di energia potenziale, , che diminuisce l’energia dello stato 1 e aumenta quella del 2 in quella stessa quantità. Uno studio di meccanica quantistica permette di dimostrare che questa energia potenziale è proporzionale al quadrato del campo elettrico (effetto Stark quadratico), in modo:
dove è una costante nota (momento di dipolarità elettrica della molecola) e è il campo elettrico a una distanza dall’asse OZ. Questa energia è positiva per le molecole dello stato 2 e negativa per quelle dello stato 1, quindi il doppio segno.
Di conseguenza, sulle molecole agisce una forza radial di senso contrario per i due stati. Nel nostro studio sul piano YZ, la dipendenza viene ridotta a .
g) Determina la forza su una molecola in funzione di , e .
Supponiamo che le molecole penetrino il selettore ad un’altezza e con velocità parallela all’asse OZ (figura 5). Su molecole dello stato 1 agisce una forza che le allontana da questo asse, in modo che in pratica non raggiungano l’uscita. Tuttavia, sulle molecole dello stato 2 agisce una forza proporzionale a sempre diretta verso l’asse OZ (forza elastica), in modo che effettuino un semplice movimento armonico nella direzione trasversale mentre avanzano a velocità nella direzione .
Fig. 1a: NH3 state 1 nitrogen below H atomi
Fig. 1b: NH3 state 2 nitrogen above H atoms
Fig. 1c: diagramma di livello di energia di emissione dei fotoni
Fig. 2: quadrupole elettrostatico selettore elettrodi
Fig. 3: quattro punti di carico ±q on coordinate axes
Fig. 4: linee equipotenziali iperboliche ±Ve
Fig. 5 - molecole che entrano selector a altezza e0
Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Photon Energy Relation, Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Photon, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.1
P3. The Maser
The term MASER is an acronym for Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. The maser is the precursor to the optical maser or LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), which operates similarly but emits visible light.
In this problem, we will examine some aspects of the first maser built by Townes and his collaborators Gordon and Zeiger in 1955. It was an ammonia maser, a device brimming with physics.
Operation
The maser and the laser are based on the phenomenon of stimulated emission of radiation, studied by Albert Einstein in 1916: When a molecule is in an excited state with energy higher than that of its ground state, , a spontaneous transition from the excited level to the ground state may occur, emitting a photon whose frequency corresponds to the energy difference between the two levels.
But if a photon of the same frequency strikes a molecule in the excited state, it can induce or stimulate the transition back to the ground state, resulting in two photons of the same frequency—the incident one and the emitted one. When this process occurs inside a cavity with reflective walls (resonant cavity), a cascade of stimulated emissions is triggered, amplifying the initial radiation, provided that, within the cavity, an excess population of excited molecules is maintained. An opening in the resonant cavity allows part of the radiation (microwaves in a maser or light in a laser) to exit as a stable, unidirectional, and highly monochromatic beam—meaning radiation of a well-defined frequency.
The ammonia maser by Townes
The ammonia molecule can exist in two energy states depending on its spatial orientation relative to the direction of molecular rotation. For the rotation shown in Figures 1a and 1b, State 1 (lower energy) occurs when the nitrogen atom is below the hydrogen atoms, and State 2 (higher energy) when nitrogen is above. These two levels are very close: the energy difference between them is only , which explains why radiation emitted during the transition is in the microwave range (Figure 1c).
a) Calculate the frequency of radiation emitted during the transition from State 2 to State 1.
Data: elementary charge ; Planck constant .
b) The Townes maser emitted with a power of . How many effective ammonia molecules emitted radiation per second?
The maser is an extremely stable and monochromatic oscillator, which made it serve as a standard for the development of the first atomic clocks. The frequency of radiation emitted by the ammonia maser has an uncertainty (bandwidth) as low as 75 Hz.
c) Make an estimate of the number of years that must pass for the clock to accumulate a 1 s error.
An ammonia tank supplies molecules to the apparatus. At room temperature, the two energy levels are almost equally populated, meaning half of the molecules are in each state. For stimulated emission to dominate over radiation absorption—and thus achieve amplification—it is necessary to have more molecules in the excited state than in the ground state. To achieve this, molecules with energy must be selected and those with energy discarded before entering the resonant cavity.
This is accomplished using a device called a selector. It consists of a quadrupole electrostatic lens formed by four electrodes positioned longitudinally and symmetrically around the molecular beam coming from the tank (Figure 2). Two opposite electrodes are connected to a voltage source , and the other two to .
To understand how the electric potential distribution is inside this selector, first we will study a simplified quadrupole system composed of four point charges symmetrically located along the coordinate axes at a distance from the origin O, as shown in Figure 3.
d) Determine the electrostatic potential at point P in Figure 3, located at a distance from the origin, in terms of , and .
e) Expand the previous expression for in a power series of , and obtain an approximate expression assuming that . Neglect powers higher than 2 of the ratio .
Hint: Consider the binomial series expansion
Extending this calculation to any point P in the XY plane, it is found that the potential near O exhibits a hyperbolic dependence .
In a real selector, the quadrupole system is not formed by point charges but by hyperbolic conducting rods connected to a potential , which produce hyperbolic equipotential lines (Figure 4):
where is the distance from the center to each electrode. In the Townes maser, and .
For simplicity, from now on we will work exclusively in the YZ plane, i.e. . Note that in the previous expressions there is no dependence on , which means that effects due to the lack of longitudinal invariance near the input and output ends of the selector (edge effects) can be neglected, or are compensated by some method.
f) Justify that the electric field at a point in the YZ plane has only a component. From expression (1), verify that the field is of the form . Determine and numerically calculate the constant .
When ammonia molecules (which are dipolar molecules) enter the selector, their interaction with the electric field causes a perturbation in the energy of their two levels due to a potential energy term, , which lowers the energy of state 1 and raises that of state 2 by the same amount. A quantum mechanical analysis shows that this potential energy is proportional to the square of the electric field (quadratic Stark effect), in the form:
where is a known constant (the electric dipole moment of the molecule) and is the electric field at a distance from the OZ axis. This energy is positive for molecules in state 2 and negative for those in state 1, hence the double sign.
Consequently, a radial force of opposite direction acts on the molecules in the two states. In our study within the YZ plane, the dependence reduces to .
g) Determine the force on a molecule as a function of , and .
Assume that the molecules enter the selector at a height and with velocity parallel to the OZ axis (Figure 5). On molecules in state 1, a force acts that pushes them away from this axis, so in practice they do not reach the exit. However, on molecules in state 2 a force proportional to acts, always directed toward the OZ axis (elastic force), so that they perform simple harmonic motion in the transverse direction while advancing at velocity along the direction .
Fig. 1a: NH3 state 1 nitrogen below H atoms
Fig. 1b: NH3 state 2 nitrogen above H atoms
Fig. 1c: energy level diagram photon emission
Fig. 2: quadrupole electrostatic selector electrodes
Fig. 3: four point charges ±q on coordinate axes
Fig. 4: hyperbolic equipotential lines ±Ve
Fig. 5: molecules entering selector at height y0