Spagna na

P3. Ondas gravitacionales

El 11 de febrero de 2016 la colaboración aLIGO (advanced Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) anunció al mundo la primera detección directa de ondas gravitacionales, predichas desde hace un siglo por la Teoría de la Relatividad General de Einstein. La señal con el código GW150914 (figura 1) se había detectado el 14 de septiembre de 2015 en los observatorios de Hanford y Livingston como una oscilación de unos 40 Hz de frecuencia inicial, que aumentó hasta unos 250 Hz en menos de 20 ms. El análisis de la señal, que llevó varios meses, permitió deducir que la onda se había producido a más de mil millones de años luz de la Tierra durante el proceso de fusión de dos agujeros negros moviéndose en órbitas espirales, es decir de radio decreciente, debido precisamente a la pérdida de energía por la emisión de una potente onda gravitacional (figura 2), hasta que el sistema colapsó en un único agujero negro de masa apreciablemente inferior a la suma de las masas de los dos agujeros negros originales.

Como sabrá, un agujero negro es un objeto de enorme masa que crea en su entorno un campo gravitatorio tan intenso que ninguna partícula, incluido un fotón que viaja a la velocidad de la luz $c$ , puede escapar a su atracción si se encuentra a una distancia de su centro inferior a $R_{s}$ (radio de Schwarzschild). En primera aproximación, podemos imaginar el agujero negro como una esfera masiva de radio $R_{s}$ .

a) Planteando que la velocidad de escape desde la distancia $R_{s}$ es $c$ , demuestre que el radio de Schwarzschild de un agujero negro de masa $M$ es

$R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$

donde $G$ es la constante de gravitación universal.

Fig. 1 señales detectadas GW150914

Fig. 2 ondas gravitacionales agujeros negros en órbita

Topic: Gravitation, Special Relativity, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Black Hole, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1

P3. Ondas gravitacionales

L’11 febbraio 2016 la collaborazione aLIGO (advanced Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) ha annunciato al mondo il primo rilevamento diretto di onde gravitazionali, predetto da un secolo dalla Teoria della Relatività Generale di Einstein. Il segnale con il codice GW150914 (Figura 1) era stato rilevato il 14 settembre 2015 negli osservatori di Hanford e Livingston come un’oscillazione di circa 40 Hz di frequenza iniziale, che è aumentata fino a circa 250 Hz in meno di 20 ms. L’analisi del segnale, che ha durato diversi mesi, ha permesso di dedurre che l’onda si era prodotta a più di un miliardo di anni luce dalla Terra durante il processo di fusione di due buchi neri muovendo in orbite spirali, cioè di radio in diminuzione, proprio a causa della perdita di energia dall’emissione di una potente onda gravitazionale (figura 2), fino a quando il sistema è crollato in un unico buco nero di massa apprezibilmente inferiore alla somma delle masse dei due buchi neri originali.

Come saprai, un buco nero è un oggetto di enorme massa che crea nel suo ambiente un campo gravitazionale così intenso che nessuna particella, compresi un fotone che viaggia alla velocità della luce $c$ , può sfuggire alla sua attrazione se si trova a una distanza dal suo centro inferiore a $R_{s}$ (radia di Schwarzschild). En primera aproximación, podemos imaginar el agujero negro como una esfera masiva de radio $R_{s}$ .

**a) ** Sosteniendo che la velocità di scarico da $R_{s}$ è $c$ , dimostra che il raggio di Schwarzschild di un buco nero di massa $M$ è

$R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$

dove $G$ è la costante di gravitazione universale.

Fig. 1 segnali rilevati GW150914

Fig. 2 ondate gravitazionali buchi neri in orbita

P3. Ondas gravitacionales

On 11 February 2016, the collaboration with aLIGO (advanced Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) announced to the world the first direct detection of gravitational waves, predicted a century ago by Einstein’s General Theory of Relativity. The signal with the code GW150914 (Figure 1) had been detected on 14 September 2015 at the Hanford and Livingston observatories as a oscillation of about 40 Hz of initial frequency, which increased to about 250 Hz in less than 20 ms. The analysis of the signal, which lasted several months, led to the conclusion that the wave had occurred over a billion light years from Earth during the process of merging two black holes moving in spiral orbits, i.e. of decreasing radius, precisely due to the loss of energy by the emission of a powerful gravitational wave (Figure 2), until the system collapsed into a single black hole of appreciably less mass than the sum of the masses of the original two black holes.

As you know, a black hole is an object of enormous mass that creates in its environment a gravitational field so intense that no particle, including a photon traveling at the speed of light $c$ , can escape its attraction if it is at a distance from its center less than $R_{s}$ (Schwarzschild’s radius). En primera aproximación, podemos imaginar el agujero negro como una esfera masiva de radio $R_{s}$ .

**a) ** Providing that the escape velocity from the distance $R_{s}$ is $c$ , show that the Schwarzschild radius of a black hole of mass $M$ is

$R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$

where $G$ is the universal gravitational constant.

Fig. 1 signals detected GW150914

Fig. 2 gravitational waves black holes in orbit

Estudiaremos a continuación el movimiento orbital de dos agujeros negros de igual masa $M$ que interaccionan gravitatoriamente. Suponga que ambos describen una trayectoria circular en torno al centro geométrico $O$ del sistema (centro de masas), siendo $R$ la distancia entre sus centros (figura 3).

b) Determine la velocidad angular $ω$ con que giran ambos cuerpos, en función de $G$ , $M$ y $R$ .

Fig. 3 dos masas M en órbita circular

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Astrophysics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.1

In seguito, studiamo il movimento orbitale di due buchi neri di massa uguale $M$ che interagiscono gravitatoriamente. Supponiamo che entrambi descrivano un percorso circolare attorno al centro geometrico $O$ del sistema (centro di massa), essendo $R$ la distanza tra i loro centri (figura 3).

**b) ** Determina la velocità angolare $ω$ con cui i due corpi girano, in funzione di $G$ , $M$ e $R$ .

Fig. 3 due masse M in orbita circolare

We will then study the orbital motion of two black holes of equal mass $M$ interacting gravitationally. Suponga que ambos describen una trayectoria circular en torno al centro geométrico $O$ del sistema (centro de masas), siendo $R$ la distancia entre sus centros (figura 3).

**b) ** Determine the angular speed $ω$ at which both bodies rotate, based on $G$ , $M$ and $R$ .

Fig. 3 two masses M in circular orbit

Vamos a hacer algunos cálculos aproximados, cuando los agujeros negros están próximos a tocarse, es decir cuando la distancia entre sus centros es un poco superior a $2 R_{s}$ . Considere en concreto $R = 3 R_{s}$ . La frecuencia de la señal oscilante detectada en la Tierra en estas circunstancias fue $f_{se \overset{n}{˜} al} = 200 Hz$ (situación en $t \approx 0, 42 ms$ en la escala de la figura 1).

Ayuda: Tenga en cuenta que en cada revolución completa del sistema binario se emiten dos crestas de ondas gravitatorias, de forma que la frecuencia de la señal detectada en la Tierra es el doble de la frecuencia de la órbita de los agujeros negros.

c) Obtenga una expresión para $ω$ en este caso, en función de $G$ , $M$ y $c$ .

Topic: Gravitation, Astrophysics, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.1

Facciamo alcuni calcoli approssimativi, quando i buchi neri sono vicini al loro tocco, cioè quando la distanza tra i loro centri è un po’ superiore a $2 R_{s}$ . Considera in particolare $R = 3 R_{s}$ . La frequenza del segnale oscillante rilevato sulla Terra in queste circostanze è stata $f_{se \overset{n}{˜} al} = 200 Hz$ (situazione in $t \approx 0, 42 ms$ sulla scala di figura 1).

Aiuto: Si noti che in ogni completa rivoluzione del sistema binario vengono emesse due cime di onde gravitazionali, in modo che la frequenza del segnale rilevato sulla Terra sia doppia della frequenza dell’orbita dei buchi neri.

**c) ** Ottieni un’espressione per $ω$ in questo caso, in funzione di $G$ , $M$ e $c$ .

Let’s do some approximate calculations, when the black holes are close to touching each other, that is, when the distance between their centers is a little bit higher than $2 R_{s}$ . Consider in particular $R = 3 R_{s}$ . The frequency of the oscillating signal detected on Earth under these circumstances was $f_{se \overset{n}{˜} al} = 200 Hz$ (situation in $t \approx 0, 42 ms$ on the scale in Figure 1).

Help: Note that at each complete revolution of the binary system two crests of gravitational waves are emitted, so that the frequency of the signal detected on Earth is twice the frequency of the orbit of black holes.

**c) ** Get an expression for $ω$ in this case, based on $G$ , $M$ and $c$ .

d) Calcule la masa $M$ de cada agujero negro. Exprese su resultado en kg y en masas del Sol.

Datos: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} / kg^{2}$ , $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m/s$ , $M_{Sol} = 2, 0 \times 1 0^{30} kg$ .

Topic: Gravitation, Astrophysics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Dimensional Analysis, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.1

**d) ** Calcola la massa $M$ di ogni buco nero. Esprimete il risultato in kg e masse del Sole.

Data: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} / kg^{2}$ , $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m/s$ , $M_{Sol} = 2, 0 \times 1 0^{30} kg$ .

**d) ** Calculate the mass $M$ of each black hole. Express your result in kg and masses of the Sun.

Datos: $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} / kg^{2}$ , $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m/s$ , $M_{Sol} = 2, 0 \times 1 0^{30} kg$ .

La Teoría de la Relatividad General permite determinar la potencia $P$ emitida en forma de ondas gravitacionales por un sistema de dos masas orbitando bajo la atracción gravitatoria mutua, como el que estamos considerando. Suponiendo que las dos masas son iguales y que la órbita es circular, se obtiene

$P = \frac{64}{5} \frac{G ^{4} M ^{5}}{c ^{5} R ^{5}}$

La órbita real es espiral, con radio decreciente, pero pueden hacerse cálculos estimativos considerando la misma órbita circular con $R = 3 R_{s}$ de los apartados anteriores. En la figura 1 se observa que la onda gravitatoria se emitió principalmente durante un breve intervalo de tiempo, del orden de $Δ t \sim 10 ms$ .

e) Suponiendo que toda la energía emitida durante el proceso de interacción y colapso de los agujeros negros se traduce en una pérdida de masa del sistema, haga una estimación de esta pérdida, $Δ M$ . Exprese su resultado en kg y en masas del Sol.

Topic: Gravitation, Astrophysics, Special Relativity Metodi: Mass-Energy Equivalence, Energy Conservation Method, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.2

La Teoría de la Relatividad General permite determinar la potencia $P$ emitida en forma de ondas gravitacionales por un sistema de dos masas orbitando bajo la atracción gravitatoria mutua, como el que estamos considerando. Supponendo che le due masse siano uguali e che l’orbita sia circolare, si ottiene

$P = \frac{64}{5} \frac{G ^{4} M ^{5}}{c ^{5} R ^{5}}$

L’orbita reale è spirale, con radio decrescente, ma si possono fare calcoli stimativi considerando la stessa orbita circolare con $R = 3 R_{s}$ dei paragrafi precedenti. La figura 1 mostra che l’onda gravitazionale è stata emessa principalmente per un breve intervallo di tempo, dell’ordine di $Δ t \sim 10 ms$ .

**e) ** Supponendo che tutta l’energia emessa durante il processo di interazione e collasso dei buchi neri si traduca in una perdita di massa del sistema, si fa una stima di questa perdita, $Δ M$ . Esprimete il risultato in kg e masse del Sole.

General relativity allows us to determine the power $P$ emitted as gravitational waves by a two-mass system orbiting under mutual gravitational attraction, such as the one we are considering. Assuming that the two masses are equal and that the orbit is circular, you get

$P = \frac{64}{5} \frac{G ^{4} M ^{5}}{c ^{5} R ^{5}}$

The actual orbit is spiral, with a decreasing radius, but estimates can be made by considering the same circular orbit with $R = 3 R_{s}$ as in the previous paragraphs. In Figure 1 it is observed that the gravitational wave was mainly emitted over a short time interval, of the order of $Δ t \sim 10 ms$ .

**e) ** Assuming that all energy emitted during the black hole interaction and collapse process results in a loss of mass of the system, estimate this loss, $Δ M$ . Express your result in kg and masses of the Sun.

Vamos a hablar ahora del sistema de detección. Se ha empleado un interferómetro de Michelson, que se esquematiza en la figura 4. Un haz de luz láser, de longitud de onda $λ$ , incide a 45° sobre una lámina semiespejada (divisor de haz, D) donde se divide en dos haces, 1 y 2, que viajan en direcciones perpendiculares. Cada haz se refleja normalmente en un espejo plano, E1 y E2, y vuelve hacia D. Parte del haz 1 se refleja y parte del 2 se transmite, de forma que en el haz 3 se superponen (interfieren) las ondas luminosas 1 y 2 que han ido y vuelto por cada uno de los brazos del interferómetro. La intensidad de la onda resultante depende de la diferencia de fase, $φ$ , entre estas dos ondas. Por ejemplo, si se superponen en contrafase ( $φ = π$ ) la intensidad resultante $I_{3}$ es nula (mínimo interferencial). Cualquier pequeña variación en la longitud de los brazos produce un cambio en el estado interferencial y por tanto en $I_{3}$ , que se mide con un fotodetector, F.

Siguiendo con el ejemplo anterior, si partiendo de un mínimo interferencial la longitud de uno de los brazos aumenta en $λ /4$ , el camino total recorrido por la luz en ese brazo (ida y vuelta) aumenta en $λ /2$ , de forma que las ondas pasan a interferir en fase y se tiene un máximo interferencial. Si el aumento de longitud fuese $λ /2$ se alcanzaría un nuevo mínimo nulo, en el orden interferencial siguiente al inicial.

En el interferómetro del observatorio de Livingston los dos brazos tienen la misma longitud $L_{0} = 4, 0 km$ . En la figura 5 se esquematiza, de forma muy exagerada, lo que ocurre cuando una onda gravitacional alcanza la superficie de la Tierra. Estas ondas acortan y alargan periódicamente la fábrica del espacio-tiempo de forma que la longitud $L$ de los brazos del interferómetro oscila entre $L_{0} + A$ y $L_{0} - A$ , con la particularidad de que estas oscilaciones están en contrafase, es decir cuando el brazo 1 alcanza su longitud máxima $L_{0} + A$ , el brazo 2 tiene la mínima, $L_{0} - A$ , y viceversa.

Suele trabajarse en función de la deformación unitaria (“strain” en inglés) definida como $h = Δ L / L_{0}$ , donde $Δ L$ es la diferencia entre las longitudes de los dos brazos. Esta magnitud adimensional $h$ es la que aparece en ordenadas de la gráfica de la figura 1, en la que se observan claramente las oscilaciones de $h$ producidas por la llegada de la onda gravitacional. La amplitud de esta oscilación llega a alcanzar el valor $h_{m a x} = 1 0^{- 21}$ cuando los agujeros negros empiezan a fusionarse.

f) Haga una estimación de la máxima amplitud de oscilación de los brazos del interferómetro de Livingston, $A_{m a x}$ , cuando recibió esta señal. Compare su resultado con el radio de un protón.

Dato: radio de un protón $r_{p} = 0, 88 \times 1 0^{- 15} m$ .

Fig. 4 interferómetro de Michelson esquema

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves, Geometric Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Wave Equation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.2

Ora parliamo del sistema di rilevamento. È stato utilizzato un interferometro Michelson, che è schematizzato in figura 4. Un raggio laser di luce, di lunghezza d’onda $λ$ , incide su 45° su una lamina semisfusa (divisore di raggio, D) dove si divide in due fasci, 1 e 2, che viaggiano in direzioni perpendicolari. Ogni fascio si riflette normalmente in uno specchio piatto, E1 e E2, e si riporta verso D. Parte del raggio 1 si riflette e parte del raggio 2 si trasmette, in modo che nel raggio 3 si superponano (interferiscono) le onde luminose 1 e 2 che sono andate e ritornate da ciascun braccio dell’interferometro. L’intensità dell’onda risultante dipende dalla differenza di fase, $φ$ , tra queste due onde. Per esempio, se si superponono in contrfase ( $φ = π$ ) l’intensità risultante $I_{3}$ è zero (minimo interferenza). Qualsiasi piccola variazione della lunghezza degli bracci produce un cambiamento nello stato di interferenza e quindi in $I_{3}$ , misurato con un fotodettore, F.

Seguendo l’esempio precedente, se partendo da un minimo interferenziale la lunghezza di una delle braccia aumenta a $λ /4$ , il percorso totale percorso dalla luce in quella braccia (da e verso) aumenta a $λ /2$ , in modo che le onde entrino a interferire in fase e si ha un massimo interferenziale. Se l’aumento di lunghezza fosse $λ /2$ , si raggiungerebbe un nuovo minimo zero, nell’ordine interferenziale successivo all’inizio.

Nell’interferometro dell’osservatorio di Livingston, i due braccia hanno la stessa lunghezza $L_{0} = 4, 0 km$ . La figura 5 schematizza, in modo eccessivo, ciò che accade quando un’onda gravitazionale raggiunge la superficie terrestre. Queste onde abbreviano e allungano periodicamente la fabbrica dello spazio-tempo in modo che la lunghezza $L$ degli bracci dell’interferometro oscilla tra $L_{0} + A$ e $L_{0} - A$ , con la particolarità che queste oscillazioni sono in contrafase, cioè quando l’armo 1 raggiunge la sua lunghezza massima $L_{0} + A$ , l’armo 2 ha la minima, $L_{0} - A$ , e viceversa.

Si lavora solitamente in funzione della deformazione unitaria (“strain” in inglese) definita come $h = Δ L / L_{0}$ , dove $Δ L$ è la differenza tra le lunghezze delle due braccia. Questa magnitudine dimensionale $h$ è quella che appare in ordinati del grafico di figura 1, in cui si osservano chiaramente le oscillazioni di $h$ prodotte dall’arrivo dell’onda gravitazionale. L’ampiezza di questa oscillazione raggiunge il valore $h_{m a x} = 1 0^{- 21}$ quando i buchi neri iniziano a fondere.

**f) ** Fai una stima della massima amplitudine di oscillazione degli bracci dell’interferometro di Livingston, $A_{m a x}$ , quando hai ricevuto questo segnale. Confronta il risultato con il raggio di un protone.

Data: raggio di un protone $r_{p} = 0, 88 \times 1 0^{- 15} m$ .

Fig. 4 interferometro Michelson schema

Let’s talk about the detection system now. A Michelson interferometer has been used, which is outlined in Figure 4. A laser beam of $λ$ wavelength affects 45° on a semi-split sheet (beam divider, D) where it is divided into two beams, 1 and 2, traveling in perpendicular directions. Each beam is normally reflected in a flat mirror, E1 and E2, and turns back towards D. Part of beam 1 is reflected and part of beam 2 is transmitted, so that in beam 3 the light waves 1 and 2 that have been passed back and forth by each of the interferometer arms overlap (interfere). The intensity of the resulting wave depends on the phase difference, $φ$ , between these two waves. For example, if they are superimposed in the counterphase ( $φ = π$ ) the resulting intensity $I_{3}$ is zero (minimum interference). Any small variation in arm length produces a change in the interference state and therefore in $I_{3}$ , which is measured with a photodetector, F.

Following the example above, if starting from an interference minimum the length of one arm increases by $λ /4$ , the total path taken by the light in that arm (going back and forth) increases by $λ /2$ , so that the waves interfere in phase and an interference maximum is achieved. If the length increase was $λ /2$ a new minimum zero would be reached, in the interference order following the initial one.

In the Livingston Observatory interferometer the two arms have the same length $L_{0} = 4, 0 km$ . Figure 5 shows, in a very exaggerated way, what happens when a gravitational wave hits the Earth’s surface. These waves periodically shorten and lengthen the spacetime factory so that the $L$ length of the interferometer arms oscillates between $L_{0} + A$ and $L_{0} - A$ , with the particularity that these oscillations are in contraphase, i.e. when arm 1 reaches its maximum length $L_{0} + A$ , arm 2 has the minimum, $L_{0} - A$ , and vice versa.

It is usually worked on the basis of the unitary deformation (“strain” in English) defined as $h = Δ L / L_{0}$ , where $Δ L$ is the difference between the lengths of the two arms. This dimension $h$ is the one shown in the order of the graph in Figure 1, which clearly observes the oscillations of $h$ produced by the gravitational wave arrival. The amplitude of this oscillation reaches $h_{m a x} = 1 0^{- 21}$ when the black holes begin to merge.

**f) ** Estimate the maximum range of oscillation of the arms of the Livingston interferometer, $A_{m a x}$ , when you received this signal. Compare your result to the radius of a proton.

Date: radius of one proton $r_{p} = 0, 88 \times 1 0^{- 15} m$ .

The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. The following table shows the results of the calculation of the maximum value of the value of the product:

La deformación a detectar es en la práctica tan pequeña que han sido necesarios extraordinarios esfuerzos técnicos para impedir que quede enmascarada por el “ruido” producido por microsismos o pequeñas variaciones térmicas.

Para poder detectar ondas muy débiles conviene que $L_{0}$ sea lo mayor posible. Pero la longitud antes indicada, $L_{0} = 4, 0 km$ , no sería suficiente en la práctica para poder detectar las ondas producidas por la mayoría de los sucesos cósmicos previsibles. Para aumentar la longitud, se ha recurrido a situar otro espejo dentro de cada brazo, entre el divisor de haz y el espejo original del Michelson (figura 6). Estos espejos tienen una pequeña transmitancia, de forma que, en promedio, la luz realiza unos $N = 280$ viajes de ida y vuelta entre los dos espejos enfrentados antes de volver a alcanzar el divisor de haz y contribuir a la interferencia en el haz 3. Con este procedimiento se consigue aumentar la longitud efectiva de los brazos del Michelson hasta

$L_{ef} = N L_{0} = 1100 km$

Para terminar, vamos a caracterizar la extraordinaria sensibilidad del aparato. Observando la gráfica de la figura 1, se deduce que el sistema es capaz de detectar deformaciones, no enmascaradas por el ruido, con una amplitud mínima $h_{m i n} = 1 0^{- 22}$ .

g) Exprese la sensibilidad del instrumento en fracciones de orden interferencial,

$\frac{φ _{m i n}}{2 π}$

Ayuda: Cada nuevo orden interferencial corresponde a un cambio $2 π$ en la diferencia de fase $φ$ entre las dos ondas que se superponen en el haz 3.

Datos: longitud de onda de la luz láser (Nd-YAG): $λ = 1, 06 μ m$ .

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves, Geometric Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.3

La deformazione da rilevare è in pratica così piccola che sono stati necessari straordinari sforzi tecnici per impedirla di essere mascherata dal “ruido” prodotto da microsismi o piccole variazioni termiche.

Per rilevare onde molto deboli è opportuno che $L_{0}$ sia il più grande possibile. Ma la lunghezza precedentemente indicata, $L_{0} = 4, 0 km$ , non sarebbe sufficiente in pratica per poter rilevare le onde prodotte dalla maggior parte degli eventi cosmici prevedibili. Per aumentare la lunghezza, si è utilizzato altri specchi all’interno di ciascun braccio, tra il divisore di fasce e lo specchio originale del Michelson (Figura 6). Questi specchi hanno una piccola trasmissione, in modo che, in media, la luce fa un giro di $N = 280$ tra i due specchi di fronte prima di raggiungere di nuovo il divisore di fascio e contribuire all’interferenza nel fascio 3. Questa procedura permette di aumentare la lunghezza effettiva degli bracci del Michelson fino a

$L_{ef} = N L_{0} = 1100 km$

Per concludere, descriveremo l’eccezionale sensibilità dell’apparecchio. La misurazione di un’ampiezza minima $h_{m i n} = 1 0^{- 22}$ è stata effettuata in base al grafico di cui alla figura 1.

**g) ** Esprimere la sensibilità dell’apparecchio in frazioni di ordine interferenziale,

$\frac{φ _{m i n}}{2 π}$

*Aiuto:*Ogni nuovo ordine di interferenza corrisponde a un cambiamento $2 π$ nella differenza di fase $φ$ tra le due onde che si superponono nel fascio 3.

Data: lunghezza d’onda della luce laser (Nd-YAG): $λ = 1, 06 μ m$ .

The deformation to be detected is in practice so small that extraordinary technical efforts have been required to prevent it from being masked by the “noise” produced by microsisms or small thermal variations.

To detect very faint waves, $L_{0}$ should be as large as possible. But the length above, $L_{0} = 4, 0 km$ , would not be sufficient in practice to detect the waves produced by most predictable cosmic events. To increase the length, another mirror has been used within each arm, between the beam splitter and the original Michelson mirror (Figure 6). These mirrors have a small transmittance, so that, on average, light makes some $N = 280$ round trip between the two mirrors facing before reaching the beam splitter again and contributing to the interference in beam 3. This procedure increases the effective length of the Michelson’s arms to

$L_{ef} = N L_{0} = 1100 km$

Finally, we will characterize the extraordinary sensitivity of the apparatus. The system is capable of detecting distortions, not masked by noise, with a minimum amplitude $h_{m i n} = 1 0^{- 22}$ , by looking at the graph in Figure 1.

**g) ** Express the sensitivity of the instrument in fractions of interferential order,

$\frac{φ _{m i n}}{2 π}$

Help: Each new interference order corresponds to a change $2 π$ in the phase difference $φ$ between the two waves that overlap in beam 3.

Data: wavelength of the laser light (Nd-YAG): $λ = 1, 06 μ m$ .

Raccolta Gare di Fisica

Esplora

Spagna na

Vista grafico