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P3 Enfoque magnético

El enfoque magnético consiste en la focalización de un haz de electrones sobre un punto utilizando un campo magnético que hace las veces de «lente». El enfoque magnético tiene muchas aplicaciones: se utiliza por ejemplo en los tubos de rayos catódicos, en los microscopios electrónicos, en los aceleradores de partículas y en instrumentos médicos de diagnóstico.

En este problema vamos a estudiar un cañón de electrones con sistema de enfoque magnético. Los electrones emitidos por un filamento incandescente (cátodo) son acelerados mediante una diferencia de potencial hasta el ánodo, al que llegan con velocidad $v_{0}$ . A continuación, el haz atraviesa un par de placas deflectoras horizontales con campo eléctrico uniforme perpendicular al haz: $E = E_{0} cos 2 π f t$ . Finalmente, el haz penetra en una región con campo magnético $B$ uniforme y paralelo al eje del tubo, que actúa desde la salida de las placas hasta la pantalla.

Consideramos que todos los electrones salen del ánodo a lo largo del eje del tubo con la misma velocidad $v_{0}$ . La longitud de las placas deflectoras es $d$ y la distancia desde el extremo de las placas a la pantalla es $l$ . Los electrones tienen carga $e$ y masa $m$ . Durante el tiempo de travesía entre las placas el campo eléctrico se puede considerar constante: $E = E_{0}$ .

(a) Determine, en función de las variables del problema:

la velocidad transversal $v_{⊥}$ de los electrones tras atravesar el espacio entre las placas deflectoras;
la inclinación $tan θ$ de su trayectoria una vez que salen de las placas (donde $θ$ es el ángulo respecto al eje del tubo);
la longitud $h$ de la línea vertical trazada por los electrones al impactar en la pantalla debido al campo alternante.

Figura 1: cañón de electrones con enfoque magnético

Figura 2: acción de las placas deflectoras

Topic: Electromagnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Lorentz Force Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2

P3 Approccio magnetico

L’approccio magnetico consiste nel focalizzare un fascio di elettroni su un punto utilizzando un campo magnetico che fa volte di lente. L’approccio magnetico ha molte applicazioni: è utilizzato, ad esempio, nei tubi di raggi catodici, nei microscopi elettronici, negli acceleratori di particelle e negli strumenti medici di diagnosi.

In questo problema, studiamo un cannone di elettroni con sistema di messa a fuoco magnetica. Gli elettroni emessi da un filamento incandescente (cattode) sono accelerati mediante una differenza di potenziale fino all’anodo, al quale arrivano a velocità $v_{0}$ . Il fascio passa quindi attraverso una coppia di schede deflettrici orizzontali con un campo elettrico uniforme perpendicolare al fascio: $E = E_{0} cos 2 π f t$ . Infine, il fascio penetra in una regione con un campo magnetico $B$ uniforme e parallelo all’asse del tubo, che agisce dall’uscita delle lastre allo schermo.

Consideriamo che tutti gli elettroni usciranno dall’anodo lungo l’asse del tubo con la stessa velocità $v_{0}$ . La lunghezza delle plache deflettrici è $d$ e la distanza dall’estremità delle plache allo schermo è $l$ . Gli elettroni hanno carico $e$ e massa $m$ . Durante il tempo di passaggio tra le plache il campo elettrico può essere considerato costante: $E = E_{0}$ .

**(a) ** Determina, in base alle variabili del problema:

la velocità trasversale $v_{⊥}$ degli elettroni dopo aver attraversato lo spazio tra le plache deflettrici;
l’inclinazione $tan θ$ del suo percorso una volta uscita dalle lastre (dove $θ$ è l’angolo rispetto all’asse del tubo);
la lunghezza $h$ della linea verticale tracciata dagli elettroni quando colpiscono lo schermo a causa del campo alternativo.

Figura 1: cannone di elettroni a fuoco magnetico

Figura 2: azione delle plache deflettrici

P3 Enfoque magnético

The magnetic approach consists of focusing an electron beam over a point using a magnetic field that makes times lente. The magnetic approach has many applications: it is used, for example, in cathode ray tubes, in electron microscopes, in particle accelerators and in medical diagnostic instruments.

In this problem we’re going to study an electron cannon with a magnetic focusing system. The electrons emitted by an incandescent filament (catode) are accelerated by a potential difference to the anode, which they reach at $v_{0}$ speed. The beam then passes through a pair of horizontal deflector plates with a uniform electric field perpendicular to the beam: $E = E_{0} cos 2 π f t$ . Finally, the beam penetrates a region with a uniform magnetic field $B$ parallel to the tube axis, which acts from the outlet of the plates to the screen.

We consider that all the electrons exit the anode along the tube axis at the same speed $v_{0}$ . The length of the deflector plates is $d$ and the distance from the end of the plates to the screen is $l$ . The electrons have a charge $e$ and a mass $m$ . During the time of passage between the plates the electric field can be considered constant: $E = E_{0}$ .

**(a) ** Determine, depending on the variables of the problem:

la velocidad transversal $v_{⊥}$ de los electrones tras atravesar el espacio entre las placas deflectoras;
the $tan θ$ slope of its path once it leaves the plates (where $θ$ is the angle with respect to the tube axis);
the $h$ length of the vertical line drawn by the electrons when impacting the screen due to the alternating field.

Figura 1: cañón de electrones con enfoque magnético

Figure 2: action of the deflector plates

Suponga en adelante que también actúa el campo magnético longitudinal y uniforme $B$ entre la salida de las placas y la pantalla. Este campo no afecta el movimiento longitudinal de los electrones, pero sí el movimiento transversal: los electrones que salen de las placas con velocidad transversal $v_{⊥}$ se mueven en trayectorias helicoidales (combinación del avance longitudinal con el movimiento circular en un plano perpendicular al eje).

Recuérdese que, dependiendo del valor de $E$ en cada instante de tiempo, entre $- E_{0}$ y $E_{0}$ , los electrones salen del punto $P$ formando diferentes ángulos $θ$ , y con diferentes velocidades transversales $v_{⊥}$ , por encima y por debajo del eje.

(b) Considere las trayectorias de los electrones que salen desde $P$ hacia arriba del eje y las que salen hacia abajo. Justifique cuáles forman hélices a derechas y cuáles a izquierdas.

Figura 3: trayectorias helicoidales con campo magnético

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Electron, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2

Supponiamo che agisca anche il campo magnetico longitudinale e uniforme $B$ tra l’uscita delle schede e lo schermo. Questo campo non influenza il movimento longitudinale degli elettroni, ma si tratta del movimento transversale: gli elettroni che uscivano dalle placche con velocità transversale $v_{⊥}$ si muovono in traiettorie elicidali (combinazione dell’avanzamento longitudinale con il movimento circolare in un piano perpendicolare all’asse).

Ricorda che, a seconda del valore di $E$ in ogni istante di tempo, tra $- E_{0}$ e $E_{0}$ , gli elettroni usciranno dal punto $P$ formando diversi angoli $θ$ , e con diverse velocità trasversali $v_{⊥}$ , sopra e sotto l’asse.

**(b) ** Considera le tracce degli elettroni che usciranno da $P$ verso l’alto dell’asse e quelli che usciranno verso il basso. Esprimi quali formano a destra e quali a sinistra.

Figura 3: traiettorie elicidali con campo magnetico

Assume that the longitudinal and uniform magnetic field $B$ also acts between the plate output and the display. This field does not affect the longitudinal movement of electrons, but does affect the transverse motion: electrons leaving plates with transverse velocity $v_{⊥}$ move in helicoidal trajectories (combination of longitudinal advance with circular motion in a plane perpendicular to the axis).

Remember that depending on the value of $E$ at each time, between $- E_{0}$ and $E_{0}$ , the electrons exit the $P$ point forming different angles $θ$ , and with different transverse velocities $v_{⊥}$ , above and below the axis.

**(b) ** Consider the paths of electrons going out from $P$ up the axis and going down. Justify which propellers form on the right and which on the left.

The following is the list of the types of helical paths with a magnetic field:

(c) Sitúese detrás de la pantalla de forma que los electrones avanzan hacia usted. Dibuje cómo se verían las trayectorias desde esa posición. Indique en el dibujo el centro de la pantalla $C$ y muestre distintas trayectorias para dar cuenta de que $E$ puede ser positivo o negativo y que además $E$ y $B$ pueden variar en módulo. Con la ayuda de flechitas, indique los posibles sentidos de giro: horario y/o antihorario.

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Electron, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2

Mettiti dietro lo schermo in modo che gli elettroni si avvicinino a te. Disegna come sarebbero state le tracce da quella posizione. Indicare nel disegno il centro dello schermo $C$ e mostrare diverse tracce per capire che $E$ può essere positivo o negativo e che inoltre $E$ e $B$ possono variare in modulo. Con l’aiuto di frecce, indicare i possibili sentieri di giro: orario e/o antiorario.

**(c) ** Put yourself behind the screen so that the electrons move towards you. Draw what trajectories would look like from that position. In the drawing, indicate the centre of the $C$ screen and display different paths to see whether $E$ can be positive or negative and whether $E$ and $B$ can also vary in module. With the help of arrows, indicate the possible spinning senses: time and/or anti-time.

(d) Demuestre que los electrones con mayor velocidad transversal viajan en círculos más grandes, y viceversa. Determine el radio $R$ de las trayectorias circulares proyectadas sobre un plano transversal en función de las variables del problema, y muestre que es independiente de la masa y carga de los electrones.

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.2

**(d) ** Dimostra che gli elettroni con più velocità trasversali viaggiano in cerchi più grandi, e viceversa. Determina il raggio $R$ delle traiettorie circolari proiettate su un piano transversale in base alle variabili del problema, e mostra che è indipendente dalla massa e dalla carica degli elettroni.

It demonstrates that the electrons with the highest transverse velocity travel in larger circles, and vice versa. Determine the radius $R$ of the circular paths projected over a transverse plane based on the variables of the problem, and show that it is independent of the mass and charge of the electrons.

(e) Determine el periodo de rotación $T$ de las trayectorias helicoidales. ¿Es el mismo para todas las posibles trayectorias?

Topic: Magnetism, Oscillations & Waves Metodi: Lorentz Force Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.2

**(e) ** Determina il periodo di rotazione $T$ delle traiettorie elicodali. È lo stesso per tutti i percorsi possibili?

(e) Determine el periodo de rotación $T$ de las trayectorias helicoidales. Is it the same for all possible trajectories?

Se varía ahora lentamente el campo magnético hasta conseguir que el tiempo requerido para que los electrones hagan una revolución completa sea igual al tiempo que emplean en llegar de las placas deflectoras a la pantalla. Entonces todos los electrones se enfocarán en el punto central independientemente del ángulo de divergencia $θ$ que llevaban al inicio.

(f) ¿Cuál es el valor del campo magnético $B_{1}$ con el que se consigue este enfoque? ¿Qué campo $B_{n}$ es necesario para que los electrones den $n$ vueltas antes de llegar a la pantalla?

Topic: Magnetism, Electromagnetic Induction Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il campo magnetico varia lentamente fino a far sì che il tempo necessario per fare un’intera rivoluzione degli elettroni sia uguale al tempo impiegato per arrivare dalle placche deflettrici allo schermo. Entonces todos los electrones se enfocarán en el punto central independientemente del ángulo de divergencia $θ$ que llevaban al inicio.

**(f) ** Qual è il valore del campo magnetico $B_{1}$ con cui si ottiene questo approccio? Quale campo $B_{n}$ è necessario per far girare gli elettroni $n$ prima di raggiungere lo schermo?

The magnetic field is now slowly varying until the time required for electrons to make a complete revolution is equal to the time they take to get from the deflector plates to the screen. Entonces todos los electrones se enfocarán en el punto central independientemente del ángulo de divergencia $θ$ que llevaban al inicio.

**(f) ** What is the value of the magnetic field $B_{1}$ with which this approach is achieved? What field $B_{n}$ is required for electrons to spin $n$ before reaching the screen?

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