Spagna 2020 · Prova 3 · Campo magnetico terrestre

función de

1. A partir de las expresiones (1) y (2), escriba una nueva expresión que muestre una dependencia de I en función de .

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funzione di

1. A partire dalle espressioni (1) e (2), scrivete una nuova espressione che mostri una dipendenza di I da funzione di .

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function of

1. Starting from expressions (1) and (2), write a new expression showing the dependence of I as a function of .

2. Montado el dispositivo, se gira el potenciómetro para tomar medidas de la intensidad eléctrica, I. Para cada valor de la intensidad la brújula muestra un ángulo . Los resultados obtenidos en una determinada localidad española se muestran en las fotografías recogidas en la figura 3, donde las intensidades están en miliamperios.

Traslade los valores que aparecen en la figura 3 a una tabla como la siguiente:

I (A) (o)

1

2

3

$\dots$

Figura 2 BH A B Potenciómetro Brújula Pila Miliamperímetro

Potenciómetro Brújula Miliamperímetro Pila Par de bobinas Helmholtz Par de bobinas Helmholtz = 0

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2. Appunto il dispositivo, si gira il potenziometro per misurare l’intensità elettrica, Per Ogni valore di intensità della compassa mostra un angolo . I risultati ottenuti in un determinato La località spagnola è mostrata nelle fotografie raccolte in figura 3, dove le intensità sono in Miliamperi.

Trasmettere i valori riportati nella figura 3 in una tabella come segue:

I (A) (o)

1

2

3

$\dots$

Figura 2 BH A B Potenzimetro Brugola Pietra Miliampirimetro

Potenzimetro Brugola Miliampirimetro Pietra Parete di bobine Helmholtz Parete di bobine Helmholtz = 0

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2. After assembling the device, the potentiometer is adjusted to take measurements of electric current, I. For each value of current, the compass shows an angle . The results obtained in a specific location in Spain are shown in the photographs collected in Figure 3, where currents are given in milliamperes.

Transfer the values appearing in Figure 3 to a table as follows:

I (A) θ (°)

1

2

3

$\dots$

Figure 2 BH A B Potentiometer Compass Battery Milliammeter

Potentiometer Compass Milliammeter Battery Helmholtz coil pair Helmholtz coil pair θ = 0

3. Anote en la tercera columna de la tabla los correspondientes valores de la función de .

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3. Nota nella terza colonna della tabella i relativi valori della funzione di .

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3. Write down the corresponding values of the function of .

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en el eje de ordenadas

4. Represente gráficamente los puntos correspondientes a esa dependencia lineal, con la intensidad eléctrica en el eje de ordenadas.

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all’asse di ordini

4. Rappresenta graficamente i punti corrispondenti a tale dipendenza lineare, con l’intensità elettrica sull’asse delle ordinanze.

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on the ordered axis

4. Graphically represent the points corresponding to that linear dependence, with electrical intensity on the order axis.

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5. Obtenga el valor de la pendiente, p, de la recta que mejor se ajusta a los puntos de la gráfica.

Topic: Magnetism Metodi: Curve Fitting, Graph Linearization Competenze: Curve Fitting, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

5. Ottieni il valore della pendenza, p, della retta che meglio si adatta ai punti del grafico.

Topic: Magnetism Metodi: Curve Fitting, Graph Linearization Competenze: Curve Fitting, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

5. Get the slope, p, value of the straight line that best fits the points on the graph.

Topic: Magnetism Metodi: Curve Fitting, Graph Linearization Competenze: Curve Fitting, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

6. Haga una estimación de la incertidumbre de la pendiente, p.

Topic: Magnetism Metodi: Error Propagation, Curve Fitting Competenze: Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

6. Stima l’incertezza della pendenza, p.

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6. Estimate the uncertainty of the slope, p.

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7. Sabiendo que r = 9,50 0,05 cm, N = 185 espiras y 0 = 4 10-7 $N\cdot A-2$, halle el valor de la componente horizontal del campo magnético, BH , en el lugar donde se han tomado las medidas.

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7. Sapendo che r = 9,50 0,05 cm, N = 185 spirale e 0 = 4 10-7 $N\cdot A-2$, trova il valore del componente L’aumento del campo magnetico, BH, è stato osservato sul punto di misurazione.

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7. Knowing that r = 9.50 0.05 cm, N = 185 spirals and 0 = 4 10-7 $N\cdot A-2$, find the value of the component horizontal magnetic field, BH, at the location where the measurements have been taken.

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BH. P3 Solución

8. Haga una estimación de la incertidumbre de la componente horizontal del campo magnético terrestre, BH. P3 Solución

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BH. P3 Soluzione

8. Estimare l’incertezza della componente orizzontale del campo magnetico terrestre; BH. P3 Soluzione

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BH. The following table shows the results of the evaluation:

8. Estimate the uncertainty of the horizontal component of the earth’s magnetic field, BH. P3 Solution

Topic: Magnetism Metodi: Error Propagation, Physical Modeling Competenze: Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Sustituyendo (1) en (2) se tiene: 0 8 tan 5 5 H N I rB

Despejando, obtenemos la intensidad en función del ángulo: 0 5 5 ( ) tan (3) 8 H rB I N

2-3) De la figura 3 leemos los valores de intensidad, convirtiendo de miliamperios a amperios, y los valores del ángulo a partir de la lectura de la brújula. La tercera columna es la función tangente del ángulo.

I (A) (o) tan 1 0 0 0,000 2 0,86 10-2 30 0,577 3 1,00 10-2 35 0,700 4 1,21 10-2 40 0,839 5 1,45 10-2 45 1,000 6 1,71 10-2 50 1,192 7 2,08 10-2 55 1,428 8 2,55 10-2 60 1,732 9 3,17 10-2 65 2,145 10 4,13 10-2 70 2,747 11 5,53 10-2 75 3,732 12 8,20 10-2 80 5,671

Representación gráfica de los puntos experimentales:

A B 5) Trazamos la recta que mejor se ajusta a los puntos de la gráfica. Tomamos dos puntos A y B alejados que pasen por esa recta, y a partir de ellos calculamos la pendiente: B A B A 0,076 0,000 5,20 0,00 0,0146 A y y p x x p

El mismo resultado se obtiene utilizando el método analítico de “mínimos cuadrados”.

A continuación se presenta una estimación gráfica de las rectas con pendientes máxima y mínima que se ajustan razonablemente a los puntos experimentales. Nótese que las rectas deben pasar por el origen de coordenadas, punto (0, 0).

A partir de los valores de la pendiente máxima y mínima obtenemos la incertidumbre: Bmax Amax max Bmax Amax Bmin Amin min Bmin Amin max min 0,068 0,000 0,0151 A 4,50 0,00 0,075 0,000 0,0144 A 5,20 0,00 0,0151 0,0144 2 2 0,0004 A y y p x x y y p x x p p p p

Por tanto, p = 0,0146 0,0004 A

Bmax Bmin Amax Amin 7) De la expresión (3), obtenida en el apartado 1, se tiene que la pendiente es 0 5 5 8 H rB p N

Despejamos la componente horizontal del campo: 0 8 (4) 5 5 H N p B r

Con los datos del enunciado y la pendiente obtenida en el apartado 5 calculamos el valor numérico: 7 5 -2 -1 2 5 8 4 10 185 0,0146 2,56 10 NA m 5 5 9,50 10 2,56 10 T H H B B

8. En la expresión (4), las únicas incertidumbres corresponden a la pendiente, p, y al radio, r. Así, 2 2 2 2 5 5 0,0004 0,05 2,56 10 0,0146 9,50 0,07 10 T H H H H p r B B p r B B

Por tanto, BH = (2,56 0,07) 10-5 T

Con el promedio de tres medidas tomadas con la herramienta “magnetómetro” de la aplicación Physics Toolbox Suite se obtiene un valor de 2,53 10-5 T para la componente horizontal del campo magnético terrestre en esa localidad (Salamanca).

Topic: Magnetism Metodi: Biot-Savart Law, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

1. Sostituendo (1) in (2), si ottiene: 0 8 tan 5 5 H N I rB

Esplicitando, si ricava l’intensità in funzione dell’angolo: 0 5 5 ( ) tan (3) 8 H rB I N

2-3) Dalla figura 3 si leggono i valori dell’intensità, convertiti da milliampere in ampere, e i valori dell’angolo ricavati dalla lettura della bussola. La terza colonna è la funzione tangente dell’angolo.

I (A) (°) tan

1 0 0 0,000

2 0,86 × 10⁻² 30 0,577

3 1,00 × 10⁻² 35 0,700

4 1,21 × 10⁻² 40 0,839

5 1,45 × 10⁻² 45 1,000

6 1,71 × 10⁻² 50 1,192

7 2,08 × 10⁻² 55 1,428

8 2,55 × 10⁻² 60 1,732

9 3,17 × 10⁻² 65 2,145

10 4,13 × 10⁻² 70 2,747

11 5,53 × 10⁻² 75 3,732

12 8,20 × 10⁻² 80 5,671

4. Rappresentazione grafica dei punti sperimentali:

A B

5. Tracciamo la retta che meglio si adatta ai punti del grafico. Scegliamo due punti A e B distanti tra loro, che appartengano a tale retta, e da essi calcoliamo la pendenza: B A B A 0,076 0,000 5,20 0,00 0,0146 A e y y p x x p

Si ottiene lo stesso risultato utilizzando il metodo analitico dei “minimi quadrati”.

6. Di seguito viene presentata un’analisi grafica delle rette con pendenza massima e minima che si adattano ragionevolmente ai punti sperimentali. Si osservi che le rette devono passare per l’origine degli assi, punto (0, 0).

A partire dai valori della pendenza massima e minima si ricava l’incertezza: Bmax Amax max Bmax Amax Bmin Amin min Bmin Amin max min 0,068 0,000 0,0151 A 4,50 0,00 0,075 0,000 0,0144 A 5,20 0,00 0,0151 0,0144 2 2 0,0004 A e y y p x x y y p x x p p p p

Pertanto, p = 0,0146 ± 0,0004 A

Bmax Bmin Amax Amin

7. Dall’espressione (3), ottenuta al punto 1, si ricava che la pendenza è 0 5 5 8 H rB p N

Isoliamo la componente orizzontale del campo: 0 8 (4) 5 5 H N p B r

Utilizzando i dati del testo e la pendenza calcolata al punto 5, si determina il valore numerico: 7 5 -2 -1 2 5 8 4 10 185 ± 0,0146 2,56 × 10 NA m 5 5 9,50 × 10 2,56 × 10 T H H B B

8. Nell’espressione (4), le uniche incertezze si riferiscono alla pendenza, p, e al raggio, r. Pertanto, 2 2 2 2 5 5 0,0004 0,05 2,56 × 10 0,0146 9,50 0,07 × 10 T H H H H p r B B p r B B

Pertanto, BH = (2,56 ± 0,07) × 10⁻⁵ T

Il valore medio di tre misurazioni effettuate con lo strumento “magnetometro” dell’applicazione Physics Toolbox Suite è di 2,53 × 10⁻⁵ T per la componente orizzontale del campo magnetico terrestre in quella località (Salamanca).

Substituting (1) into (2), we obtain: 0 8 tan 5 5 H N I rB

Solving for the current in terms of the angle: 0 5 5 ( ) tan (3) 8 H rB I N

2–3) From Figure 3, we read the current values (converted from milliamperes to amperes) and the angle values obtained from compass readings. The third column is the tangent of the angle.

I (A) (°) tan 1 0 0 0.000 2 0.86 × 10⁻² 30 0.577 3 1.00 × 10⁻² 35 0.700 4 1.21 × 10⁻² 40 0.839 5 1.45 × 10⁻² 45 1.000 6 1.71 × 10⁻² 50 1.192 7 2.08 × 10⁻² 55 1.428 8 2.55 × 10⁻² 60 1.732 9 3.17 × 10⁻² 65 2.145 10 4.13 × 10⁻² 70 2.747 11 5.53 × 10⁻² 75 3.732 12 8.20 × 10⁻² 80 5.671

Graphical representation of the experimental points:

A B

We draw the straight line that best fits the points on the graph. We select two distant points A and B lying on this line, and from them we calculate the slope: B A B A 0.076 0.000 5.20 0.00 0.0146 A and y y p x x p

The same result is obtained using the analytical method of “least squares”.

Next, we present a graphical estimation of the lines with maximum and minimum slopes that reasonably fit the experimental points. Note that both lines must pass through the origin, point (0, 0).

From the values of maximum and minimum slope we obtain the uncertainty: Bmax Amax max Bmax Amax Bmin Amin min Bmin Amin max min 0.068 0.000 0.0151 A 4.50 0.00 0.075 0.000 0.0144 A 5.20 0.00 0.0151 0.0144 2 2 0.0004 A y y p x x y y p x x p p p p

Therefore, p = 0.0146 ± 0.0004 A

Bmax Bmin Amax Amin

7. From expression (3), obtained in part 1, the slope is

0 5 5 8 H rB p N

Solving for the horizontal component of the magnetic field:

0 8 (4) 5 5 H N p B r

Using the data from the statement and the slope obtained in part 5, we compute the numerical value:

7 5 -2 -1 2 5 8 4 10 185 ± 0.0146 2.56 × 10 NA m 5 5 9.50 × 10 2.56 × 10 T H H B B

8. In expression (4), the only uncertainties correspond to the slope, p, and the radius, r. Thus,

2 2 2 2 5 5 0.0004 0.05 2.56 × 10 0.0146 9.50 0.07 × 10 T H H H H p r B B p r B B

Therefore, BH = (2.56 ± 0.07) × 10⁻⁵ T

The average of three measurements taken with the “magnetometer” tool from the Physics Toolbox Suite yields a value of 2.53 × 10⁻⁵ T for the horizontal component of Earth’s magnetic field in that location (Salamanca).