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P3. Oscilador electromagnético

El circuito que se muestra en la figura contiene dos rieles metálicos paralelos separados por una distancia $d$, que están sujetos sobre una mesa horizontal no conductora. Cada riel tiene una longitud $2L$, una resistencia eléctrica total $r$ y su resistividad es uniforme a lo largo del riel. Sus extremos están conectados a las dos baterías ideales (sin resistencia interna) de la figura, de fuerza electromotriz $E$ cada una, mediante cables de resistencia despreciable.

a) Determine la intensidad que circula por el circuito.

Se coloca ahora encima de los rieles y perpendicularmente a ellos la barra metálica homogénea $HG$ (de color rojo en la figura), de masa $m$ y resistencia $R$, de forma tal que puede deslizarse a lo largo de los rieles sin fricción. A continuación se estudiarán los circuitos $AHGD$ y $HCFG$, y los nodos $H$ y $G$.

b) Demuestre que cuando la barra $HG$ está en el centro, a una distancia $L$ de $AD$ (es decir, con $x=0$), se anula la intensidad $I_2$ que circula por ella.

c) Determine las resistencias $R_{AH}$ y $R_{DG}$ del circuito $AHGD$, así como las $R_{HC}$ y $R_{GF}$ del circuito $HCFG$, cuando la barra está desplazada una distancia $L+x$ de $AD$.

d) Obtenga la intensidad $I_2$ en el caso en que la barra está desplazada una distancia $L+x$ de $AD$.

e) Muestre que para $(x/L{)}^2$ despreciable la intensidad $I_2$ es proporcional al desplazamiento $x$, $I_2=cx$, y determine la constante $c$ en función de $E$, $r$, $R$ y $L$.

Se aplica ahora un campo magnético uniforme $\vec{B}$ perpendicular al plano del circuito (apuntando hacia fuera del papel como ejemplo en la figura).

f) Indique el efecto del campo magnético $\vec{B}$ sobre la barra cuando éste: i) apunta hacia fuera del papel como en la figura, y ii) cuando apunta hacia dentro.

g) Obtenga la aceleración de la barra causada por el campo magnético y, en el caso en que se produzcan pequeñas oscilaciones, determine su periodo. Trabaje con la expresión genérica $I_2=cx$ si no obtuvo el valor de $c$ en el apartado e).

Circuit with two rails and batteries

Circuit with sliding conducting bar HG

Topic: Circuits, Electromagnetic Induction, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Lorentz Force Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Battery, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.1

P3. Oscillatore elettromagnetico

Il circuito mostrato nella figura contiene due binari metallici paralleli separati da una distanza $d$, che sono collegati su un tavolo orizzontale non conduttore. Ogni rail ha una lunghezza $2L$, una resistenza elettrica totale $r$ e la sua resistività è uniforme lungo il rail. I suoi estremi sono collegati alle due batterie ideali (senza resistenza interna) della figura, di forza elettromotrice $E$ ciascuna, mediante cavi di resistenza scarsa.

a) Determina l’intensità che circola nel circuito.

Si colloca ora sopra i binari e perpendicolare a essi la barra metallica omogenea $HG$ (rossa nella figura), di massa $m$ e resistenza $R$, in modo da poter scivolare lungo i binari senza attrito. I circuiti $AHGD$ e $HCFG$ e i nodi $H$ e $G$ saranno studiati.

b) Dimostra che quando la barra $HG$ è al centro, a una distanza $L$ di $AD$ (cioè con $x=0$), l’intensità $I_2$ che circola attraverso la barra viene annullata.

c) Determina le resistenze $R_{AH}$ e $R_{DG}$ del circuito $AHGD$, nonché $R_{HC}$ e $R_{GF}$ del circuito $HCFG$, quando la barra è spostata a distanza $L+x$ di $AD$.

d) Ottenere l’intensità $I_2$ nel caso in cui la barra sia spostata a distanza $L+x$ di $AD$.

e) Mostrare che per $(x/L{)}^2$ scarsa l’intensità $I_2$ è proporzionale al spostamento $x$, $I_2=cx$, e determinare la costante $c$ in funzione di $E$, $r$, $R$ e $L$.

Ora viene applicato un campo magnetico uniforme $\vec{B}$ perpendicolare al piano del circuito (indicando fuori dalla carta come esempio nella figura).

f) Indicare l’effetto del campo magnetico $\vec{B}$ sulla barra quando: (i) punta fuori dalla carta come nella figura e (ii) punta dentro.

g) Ottenere l’accelerazione della barra causata dal campo magnetico e, nel caso di piccole oscillazioni, determinare il suo periodo. Lavorare con l’espressione generica $I_2=cx$ se non ha ottenuto il valore di $c$ in paragrafo e).

Circuito con due rails e batterie

Circuito con sliding conducting bar HG

Topic: Circuits, Electromagnetic Induction, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Lorentz Force Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Battery, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.1

**P3. The following table shows the results of the calculations:

The circuit shown in the figure contains two parallel metal rails separated by a distance $d$, which are held on a non-conducting horizontal table. Each rail has a length $2L$, a total electrical resistance $r$ and its resistance is uniform throughout the rail. Its ends are connected to the two ideal batteries (without internal resistance) of the figure, of electromotive force $E$ each, by means of scornful resistance cables.

(a) Determine the intensity of the circuit.

The homogeneous metal bar $HG$ (red in figure) of mass $m$ and resistance $R$ is now placed above the rails and perpendicular to them, so that it can slide along the rails without friction. The following circuits $AHGD$ and $HCFG$ and the nodes $H$ and $G$ shall be studied.

(b) Demonstrate that when the $HG$ bar is in the centre, at a distance $L$ from $AD$ (i.e. with $x=0$), the $I_2$ intensity circulating through it is cancelled.

(c) Determine the $R_{AH}$ and $R_{DG}$ resistance of the $AHGD$ circuit as well as the $R_{HC}$ and $R_{GF}$ resistance of the $HCFG$ circuit when the bar is moved a distance $L+x$ of $AD$.

(d) Get the intensity $I_2$ in the case where the bar is moved a distance $L+x$ of $AD$.

(e) Show that for $(x/L{)}^2$ negligible the intensity $I_2$ is proportional to the displacement $x$, $I_2=cx$, and determine the constant $c$ based on $E$, $r$, $R$ and $L$.

A uniform magnetic field $\vec{B}$ perpendicular to the plane of the circuit is now applied (pointing out of the paper as an example in the figure).

(f) Indicate the effect of the magnetic field $\vec{B}$ on the bar when it: (i) points outwards from the paper as shown in the figure, and (ii) points inwards.

(g) Find the acceleration of the bar caused by the magnetic field and, in the event of small oscillations, determine its period. Work with the generic expression $I_2=cx$ if you did not obtain the value of $c$ in paragraph (e).

Circuit with two rails and batteries

Circuit with sliding conducting bar HG

Topic: Circuits, Electromagnetic Induction, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Lorentz Force Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Battery, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.1