P4 Radiación de Hawking
Hace hoy exactamente un mes (el 14 de marzo de 2018) falleció Stephen Hawking. Fue un brillante físico teórico de la Universidad de Cambridge que investigó en cosmología sobre el Big Bang, los agujeros negros, etc. Sus principales aportaciones se centran en teorías que intentan unificar la relatividad general con la teoría cuántica. También fue un científico muy popular por su trabajo divulgativo sobre el universo. Sirva este problema como pequeño homenaje a este querido personaje de la física.
Consideraremos en todo el problema un agujero negro de masa igual a la del planeta Tierra.
Datos: [S.I.]; kg.
El tamaño de un agujero negro se puede caracterizar mediante el radio de Schwarzschild, que es el radio de la superficie esférica que delimita la región de la cual no puede escapar la luz.
a) Calcule el valor del radio de Schwarzschild, , del agujero negro considerado.
b) Obtenga la expresión del campo gravitatorio en la superficie de un agujero, en función de y . Calcule su valor, en función de (campo en la superficie de la Tierra), para el agujero considerado.
El agujero emite radiación de forma equivalente a un cuerpo negro a la llamada temperatura de Hawking . Esta temperatura es inversamente proporcional a la masa del agujero y depende también de la velocidad de la luz, de la constante de Planck , de la constante de Boltzmann y de la constante de gravitación .
c) Obtenga mediante análisis dimensional la expresión para , salvo constantes numéricas adimensionales, en función de , , , y . (Ayuda: La constante de Planck relaciona la energía de un fotón con su frecuencia: ; y la constante de Boltzmann relaciona la energía interna de un objeto con su temperatura absoluta: ).
El espacio no está realmente vacío, sino lleno de pares partícula/antipartícula virtuales que continuamente se crean y se aniquilan debido a fluctuaciones cuánticas. Así, Hawking descubrió que los agujeros negros no son totalmente negros, sino que pueden emitir radiación. Ello es debido a que puede ocurrir que, para los pares que se crean justo en la superficie del agujero, un miembro del par se forme en el interior y el otro en el exterior, y así uno de los miembros escapa del agujero. Este fenómeno se denomina radiación de Hawking e implica, de acuerdo a la equivalencia entre la masa y la energía dada por la ecuación de Einstein de la relatividad especial, , que el agujero se iría evaporando y llegaría a desaparecer.
d) Puede calcularse que, para un agujero de masa , la radiación de Hawking es aproximadamente W por cada metro cuadrado de superficie del agujero. Estime una cota superior al tiempo que debe transcurrir para que el agujero desaparezca por completo.
Illustrative image alongside problem intro
Topic: Gravitation, Modern-Quantum Physics, Special Relativity Metodi: Dimensional Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Mass-Energy Equivalence Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Black Hole, Planet, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1
P4 Radiamento di Hawking
Oggi, esattamente un mese fa, il 14 marzo 2018, è morto Stephen Hawking. Era un brillante fisico teorico dell’Università di Cambridge che ha studiato cosmologia sul Big Bang, i buchi neri, ecc. I suoi principali contributi si concentrano sulle teorie che tentano di unificare la relatività generale con la teoria quantistica. Era anche uno scienziato molto popolare per il suo lavoro di divulgazione sull’universo. Serva questo problema come un piccolo omaggio a questo caro personaggio della fisica.
Considereremo in tutto il problema un buco nero di massa uguale a quello del pianeta Terra.
**Dati: ** [S.I.]; kg.
La dimensione di un buco nero può essere caratterizzata dal raggio di Schwarzschild, che è il raggio della superficie sferica che delimita la regione dalla quale la luce non può sfuggire.
a) Calcolare il valore del raggio di Schwarzschild, , del buco nero considerato.
b) Ottenere l’espressione del campo gravitazionale sulla superficie di un buco, in funzione di e . Calcola il suo valore, in base a (campo sulla superficie della Terra), per il foro in questione.
El agujero emite radiación de forma equivalente a un cuerpo negro a la llamada temperatura de Hawking . Questa temperatura è inversamente proporzionale al massa del buco e dipende anche dalla velocità della luce, dalla costante di Planck , dalla costante di Boltzmann e dalla costante di gravità .
c) Ottenere, mediante analisi dimensionale, l’espressione per , salvo costanti numeriche addimensionali, in funzione di , , , e . (Aiuto: la costante di Planck relaziona l’energia di un fotone con la sua frequenza: ; e la costante di Boltzmann relaziona l’energia interna di un oggetto con la sua temperatura assoluta: ).
Lo spazio non è veramente vuoto, ma pieno di coppie di particelle/antiparticelle virtuali che continuamente si creano e si annientano a causa di fluttuazioni quantistiche. Hawking scoprì che i buchi neri non sono completamente neri, ma possono emettere radiazioni. Questo perché può accadere che, per i coppi che si creano proprio sulla superficie del buco, un membro del coppio si forma all’interno e l’altro all’esterno, e così uno dei membri scappa dal buco. Questo fenomeno è chiamato radiazione di Hawking e implica, secondo l’equivalenza tra massa ed energia data dall’equazione di Einstein della relatività speciale, , che il buco si evaporerebbe e finirà per scomparire.
d) Si può calcolare che, per un buco di massa , la radiazione di Hawking sia di circa W per ogni metro quadrato di superficie del buco. Calcola un quota superiore al tempo necessario per eliminare completamente il buco.
Image illustrativo alongside problem intro
Topic: Gravitation, Modern-Quantum Physics, Special Relativity Metodi: Dimensional Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Mass-Energy Equivalence Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Black Hole, Planet, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1
P4 Radiación de Hawking
Exactly a month ago today (March 14, 2018) Stephen Hawking passed away. He was a brilliant theoretical physicist at Cambridge University who researched cosmology on the Big Bang, black holes, etc. His main contributions are focused on theories that attempt to unify general relativity with quantum theory. He was also a very popular scientist for his dissemination work on the universe. Use this problem as a small tribute to this beloved character in physics.
We’ll consider the whole problem a black hole with the same mass as the planet Earth.
Datos: [S.I.]; kg.
The size of a black hole can be characterized by the Schwarzschild radius, which is the radius of the spherical surface that delimits the region from which light cannot escape.
(a) Calculate the Schwarzschild radius of the black hole concerned.
(b) Obtain the expression of the gravitational field on the surface of a hole, based on and . Calculate its value, in terms of (field on the Earth’s surface), for the hole in question.
El agujero emite radiación de forma equivalente a un cuerpo negro a la llamada temperatura de Hawking . This temperature is inversely proportional to the mass of the hole and also depends on the speed of light, the Planck constant , the Boltzmann constant and the gravity constant .
(c) Obtain by dimensional analysis the expression for , except for additional dimensional numerical constants, based on , , , and . (Help: The Planck constant relates the energy of a photon to its frequency: ; and the Boltzmann constant relates the internal energy of an object to its absolute temperature: ).
Space is not really empty, but filled with virtual particle/antiparticle pairs that are continuously created and annihilated due to quantum fluctuations. Hawking discovered that black holes are not entirely black, but can emit radiation. This is because, for pairs that are created just on the surface of the hole, one pair member forms inside and the other outside, and thus one of the members escapes the hole. This phenomenon is called Hawking radiation and implies, according to the equivalence between mass and energy given by Einstein’s equation of special relativity, , that the hole would evaporate and eventually disappear.
d) It can be calculated that for a mass hole , the Hawking radiation is approximately W per square meter of the hole surface. Estimate a quota higher than the time it takes for the hole to completely disappear.
Illustrative image alongside problem intro
Topic: Gravitation, Modern-Quantum Physics, Special Relativity Metodi: Dimensional Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Mass-Energy Equivalence Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Black Hole, Planet, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1