Spagna 2026

1. Para realizar la primera medida se tira despacio del cuerpo de la jeringa, manteniéndola apoyada sobre la mesa, hasta que el pistón llegue a 11 ml sin sobrepasar la marca ni hacer retrocesos (figura 4). Lo normal es que en la pantalla quede fijo el valor de la medida cuando se suelta la jeringa; se anota el valor del volumen y el de la masa. Realice dos o tres veces la medida para cada posición del pistón y halle el valor medio de la masa.

Realmente, lo que se necesita conocer es el valor de la fuerza ejercida para la expansión del aire. Este valor se obtiene a partir de la expresión (3). Traslade los resultados de esta primera medida a una tabla con tres columnas, correspondientes a $V_i$, $m_i$ y $F_i$. Añada además otras tres columnas en las que se recogerá más adelante una función de $V_i$, una función de $F_i$ y la incertidumbre de la función de $V_i$. Se deja que el émbolo regrese a la posición inicial, se pone a cero la balanza (tara) y se vuelve a tirar del cuerpo de la jeringa hasta que el émbolo llegue a 12 ml. Se siguen los mismos pasos que en el caso anterior y se repite el proceso hasta llegar a la última medida. (3 puntos)

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

1. Per effettuare la prima misura si tira lentamente dal corpo della siringa, tenendola appoggiato sul tavolo, fino a quando il pistone raggiunge 11 ml senza superare la marca o Ritorni (Figura 4). La norma è che sullo schermo sia fissato il valore della misura quando si si scarica la siringa; si annotano il valore del volume e del massa. Facciate due o tre volte la misura per ogni posizione del pistone e trova il valore medio della massa.

In realtà, ciò che occorre sapere è il valore della forza esercitata per espandere l’aria. Questo valore viene ottenuto dall’espressione (3). Trasferire i risultati di questa prima misura a una tabella con tre colonne, corrispondente a $V_i$, $m_i$ e $F_i$. Aggiungi altre tre colonne in cui viene rilevata successivamente una funzione di $V_i$, una funzione di $F_i$ e l’incertezza della funzione di $V_i$. Si lascia che l’imbolo ritorni alla posizione iniziale, si pone a zero la bilancia (tara) e si torna a tirare dal corpo della siringa fino a che l’imbolo raggiunga i 12 ml. Seguono gli stessi passi La procedura è stata ripetuta fino all’ultimo provvedimento. (3 punti)

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1. To perform the first measurement, slowly pull the syringe body while keeping it resting on the table until the piston reaches 11 ml, without exceeding the mark or retracting (Figure 4). Normally, the displayed value will remain fixed when releasing the syringe; record the volume and mass values. Perform this measurement two or three times for each piston position and determine the average mass value.

Actually, what needs to be determined is the force exerted during air expansion. This value is obtained from expression (3). Transfer the results of this first measurement into a table with three columns corresponding to $V_i$, $m_i$ and $F_i$. Additionally, add three more columns to be filled later with a function of $V_i$, a function of $F_i$ and the uncertainty of the function in $V_i$.

Allow the piston to return to its initial position, reset the balance (tare), and again pull the syringe body until the piston reaches 12 ml. Follow the same steps as in the previous case, and repeat this process until completing the final measurement. (3 points)

2. Combine las expresiones (1) y (2) para obtener otra expresión en la que aparezca explícitamente una dependencia lineal entre una función de $V_i$ y una función de $F_i$. (2 puntos)

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2. Combina le espressioni (1) e (2) per ottenere un’altra espressione in cui si trovi Esplosivo una dipendenza lineare tra una funzione di $V_i$ e una funzione di $F_i$. (2 punti)

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2. Combine the expressions (1) and (2) to get another expression in which it appears explicitly a linear dependence between a $V_i$ function and a $F_i$ function. (two points)

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3. Complete la tabla de valores con los valores de la función de $V_i$ y la función de $F_i$. ( 1 punto)

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3. Completa la tabella dei valori con i valori della funzione $V_i$ e della funzione $F_i$. (punto 1)

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3. Complete the table of values with the values of the $V_i$ function and the $F_i$ function. (a) the amount of the aid

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4. Represente gráficamente los valores de la función de $V_i$ en ordenadas frente a los de la función de $F_i$, en abscisas, trace la recta que mejor se ajuste y obtenga la pendiente, $m$. (3 puntos)

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4. Rappresentare graficamente i valori della funzione di $V_i$ in ordinata rispetto ai valori della funzione di $F_i$ in ascissa, tracciare la retta che meglio si adatta e determinare la pendenza, $m$. (3 punti)

4. Graphically represent the values of the $V_i$ function in order versus those of the The $F_i$ function, in abscises, traces the strait that fits best and obtains the slope, $m$. (three points)

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5. Tiene que determinar los valores de las barras de error de los puntos extremos de la gráfica y recogerlos en la quinta columna de la tabla que ya construyó (sobre las barras de error, ver ANEXO). Las barras de error de la función de $F_i$ se considerarán despreciables y para las de la función de $V_i$ hay que tener en cuenta que las divisiones menores de la jeringa son de 1 ml y que su incertidumbre, $\Delta V_i$, debería ser la mitad de ese valor; sin embargo, como el espaciado de las marcas de división es suficientemente grande, se seguirá un criterio menos riguroso, tomando para la incertidumbre $\Delta V_i$ la cuarta parte de la división menor de la jeringa. Explique cómo se obtiene la incertidumbre de la función de $V_i$. (2 puntos)

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5. Devi determinare i valori degli errori delle estremità dei punti del grafico e riportarli nella quinta colonna della tabella già costruita (per gli errori, vedere ANNESSO). Gli errori della funzione di $F_i$ si considereranno trascurabili, mentre per quelli della funzione di $V_i$ bisogna tenere conto che le suddivisioni minori della siringa sono di 1 ml e che la sua incertezza, $\Delta V_i$, dovrebbe essere la metà di tale valore; tuttavia, poiché lo spazio tra le tacche è sufficientemente ampio, si adotterà un criterio meno rigoroso, assumendo per l’incertezza $\Delta V_i$ un quarto della suddivisione minore della siringa. Spiega come si ottiene l’incertezza della funzione di $V_i$. (2 punti)

5. You must determine the error bar values for the extreme points of the graph and record them in the fifth column of the table you have already constructed (for error bars, see APPENDIX). The error bars for the function $F_i$ will be considered negligible, and for the function $V_i$ you must account that the smallest divisions on the syringe are 1 ml, and its uncertainty, $\Delta V_i$, should be half of that value; however, since the spacing between division marks is sufficiently large, a less strict criterion will be followed, taking the uncertainty $\Delta V_i$ as one-quarter of the smallest division on the syringe. Explain how the uncertainty for the function $V_i$ is obtained. (2 points)

6. Considerando únicamente las barras de error (ver ANEXO) de los puntos extremos de la gráfica trace las rectas de máxima y mínima pendiente y calcule los valores de esas pendientes. (2 puntos)

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6. Considerando solo le barre di errore (vedi ANNEXO) dei punti estremisti della grafica traccia le rectitudini di pendice massima e minima e calcola i valori di quelle pendice. (2 punti)

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6. Considering only the error bars (see ANNEX) at the endpoints of the Graph traces the slopes of the maximum and minimum slope and calculates the values of those slopes. (two points)

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7. A partir de la pendiente máxima y mínima obtenga la incertidumbre de la pendiente, $\Delta m$ y escriba el valor de $(m\pm \Delta m)$. (2 puntos)

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7. Dal pendio massimo e minimo si ottiene l’incertezza del pendio $\Delta m$ e scrivere il valore di $(m\pm \Delta m)$. (2 punti)

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7. From the maximum and minimum slope obtain slope uncertainty $\Delta m$ and Enter the value of $(m\pm \Delta m)$. (two points)

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8. Conocidos los valores de $(m\pm \Delta m)$, de $(V_0\pm \Delta V_0)$ y sabiendo que el diámetro del pistón es $(d\pm \Delta d)=(1,95\pm 0,01)\text{cm}$, determine la sección del pistón con su incertidumbre, $(S\pm \Delta S)$, y obtenga el valor de la presión atmosférica $P_0$ y su incertidumbre $\Delta P_0$. (3 puntos)

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Error Propagation, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Error Propagation, Mathematical Modeling Objects: Gas, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.4

8. Conosciuti i valori di $(m\pm \Delta m)$, $(V_0\pm \Delta V_0)$ e sapendo che il diametro del pistone è $(d\pm \Delta d)=(1,95\pm 0,01)\text{cm}$, determinare la sezione del pistone con la sua incertezza, $(S\pm \Delta S)$, e si ottiene il valore della pressione atmosferica $P_0$ e la sua incertezza $\Delta P_0$. (3 punti)

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8. Knowing the values of $(m\pm \Delta m)$, $(V_0\pm \Delta V_0)$ and knowing that the diameter of the piston is $(d\pm \Delta d)=(1,95\pm 0,01)\text{cm}$, determine the piston section with its uncertainty, $(S\pm \Delta S)$, and The value of the air pressure $P_0$ and its uncertainty $\Delta P_0$ is obtained. (three points)

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Error Propagation, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Error Propagation, Mathematical Modeling Objects: Gas, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.4

9. Como ya se ha dicho, a pesar de que el pistón está lubricado con glicerina presenta alguna fricción con el cilindro de la jeringa. Al cerrar inicialmente la jeringa se tenía un volumen de aire $V_0$, se desplazaba el émbolo y, al recuperarse, el nuevo volumen era $V$, por lo que existía una variación de volumen $\Delta V$. Esto se puede atribuir a que la fuerza recuperadora debida a la diferencia de presión entre el interior de la jeringa, $P$, y la presión atmosférica, $P_0$, se puede considerar igual a la fuerza de fricción y, cuando se alcanza ese equilibrio de fuerzas el pistón se detiene.

• Según esto, obtenga una expresión para la fuerza de fricción, $F_R$, en función de $V$, $\Delta V$, $P_0$ y $S$.
• Con los datos que haya recogido, halle el valor numérico de la fuerza de fricción.
• Utilizando la balanza determine experimentalmente el valor de la fuerza de fricción y describa muy brevemente cómo lo ha realizado. Compare el valor experimental con el valor obtenido a partir de la expresión teórica. (2 puntos)

ANEXO

En una representación gráfica las barras de error muestran la variabilidad de un dato, visualizando la incertidumbre de la medida. Para una medida experimental en la que las variables son $(x\pm \Delta x)$ y $(y\pm \Delta y)$, las barras de error representan los límites superiores, $(+\Delta x)$ y $(+\Delta y)$, y los límites inferiores, $(-\Delta x)$ y $(-\Delta y)$, del dato representado (ver figura).

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Gas, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.4

9. Come già detto, anche se il pistone è lubrificato con glicerina presenta un certo numero di frattura con il cilindro della siringa. Quando si chiudeva inizialmente la siringa si trovava un volume di L’aria $V_0$, spostò l’imbolo e, recuperandosi, il nuovo volume era $V$, quindi esisteva una variazione di volume $\Delta V$. Questo può essere attribuito al fatto che la forza di recupero dovuta alla La differenza di pressione tra l’interno della siringa, $P$, e la pressione atmosferica, $P_0$, può essere Considerare uguale alla forza di attrito e, quando si raggiunge tale equilibrio di forze, il pistone si

• Si ferma.

• Quindi si ottiene un’espressione per la forza di attrito, $F_R$, in funzione di $V$, $\Delta V$, $P_0$ e $S$.
• Con i dati raccolti, trova il valore numerico della forza di attrito.
• Attraverso la bilancia, determina sperimentalmente il valore della forza di attrito e descrivi molto brevemente come l’ha fatto. Compare il valore sperimentale con il valore ottenuto a a partire dall’espressione teorica. (2 punti)

ANNEXO

In una rappresentazione grafica le barre di errore mostrano la variabilità di un dato, visualizzando la variabilità di un dato. l’incertezza della misura. Per una misurazione sperimentale in cui le variabili sono $(x\pm \Delta x)$ e $(y\pm \Delta y)$, le barre di errore rappresentano i limiti superiori, $(+\Delta x)$ e $(+\Delta y)$, e i limiti inferiori, $(-\Delta x)$ e $(-\Delta y)$, del dato rappresentato (vedi figura).

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9. As already mentioned, although the piston is lubricated with glycerin it has some friction with the syringe cylinder. The initial closure of the syringe had a volume of The air $V_0$, the bulb moved and, when recovered, the new volume was $V$, so there was a change in volume $\Delta V$. This can be attributed to the fact that the recovery force is due to the The pressure difference between the inside of the syringe, $P$, and the air pressure, $P_0$, may be Consider the force of friction equal and, when that balance of forces is reached, the piston is It stops.

• Accordingly, obtain an expression for the friction force, $F_R$, as a function of $V$, $\Delta V$, $P_0$ and $S$.
• Find the numerical value of the friction force with the data you have collected.
• Using the scale, experimentally determine the value of the friction force and describe very briefly how he has done it. Compare the experimental value with the value obtained at from the theoretical expression. (two points)

The following table shows the results of the evaluation:

In a graph representation the error bars show the variability of a data, visualizing the the uncertainty of the measure. For an experimental measurement in which the variables are $(x\pm \Delta x)$ and $(y\pm \Delta y)$, the error bars represent the upper limits, $(+\Delta x)$ and $(+\Delta y)$, and the lower limits, $(-\Delta x)$ and $(-\Delta y)$, of the data represented (see figure).

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RESOLUCIÓN

1. Pregunta 1 (3 puntos) — Pregunta 3 (1 punto) — Pregunta 5

Columnas de la tabla: $V_i/{\text{m}}^3$ · $m_i/\text{kg}$ · $(F_i=m_{i}g)/\text{N}$ · $(A_i=1/V_i)/{\text{m}}^{-3}$ · $\left(\Delta A_i=\frac{1}{V_i^2}\Delta V_i\right)/{\text{m}}^{-3}$

$V_i/{\text{m}}^3$	$m_i/\text{kg}$	$(F_i=m_{i}g)/\text{N}$	$(F_i=m_{i}g)/\text{N}$	$(A_i=1/V_i)/{\text{m}}^{-3}$	$\Delta A_i/{\text{m}}^{-3}$
$1,00\times 10^{-5}$	0,000	0,00	0,00	$1,00\times 10^5$	$3\times 10^3$
$1,10\times 10^{-5}$	0,382	3,74	3,74	$9,09\times 10^4$	$2\times 10^3$
$1,20\times 10^{-5}$	0,568	5,57	5,57	$8,33\times 10^4$	$2\times 10^3$
$1,30\times 10^{-5}$	0,738	7,23	7,23	$7,69\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,40\times 10^{-5}$	0,938	9,19	9,19	$7,14\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,50\times 10^{-5}$	0,980	9,60	9,60	$6,67\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,60\times 10^{-5}$	1,105	10,83	10,83	$6,25\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,70\times 10^{-5}$	1,240	12,15	12,15	$5,88\times 10^4$	$9\times 10^2$
$1,80\times 10^{-5}$	1,330	13,03	13,03	$5,56\times 10^4$	$8\times 10^2$
$1,90\times 10^{-5}$	1,361	13,34	13,34	$5,26\times 10^4$	$7\times 10^2$
$2,00\times 10^{-5}$	1,442	14,13	14,13	$5,00\times 10^4$	$6\times 10^2$

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Risoluzione

1. Domanda 1 (3 punti) Domanda 3 (1 punto) Domanda 5

Colonne della tabella: $V_i/{\text{m}}^3$ · $m_i/\text{kg}$ · $(F_i=m_{i}g)/\text{N}$ · $(A_i=1/V_i)/{\text{m}}^{-3}$ · $\left(\Delta A_i=\frac{1}{V_i^2}\Delta V_i\right)/{\text{m}}^{-3}$

$V_i/{\text{m}}^3$	$m_i/\text{kg}$	$(F_i=m_{i}g)/\text{N}$	$(F_i=m_{i}g)/\text{N}$	$(A_i=1/V_i)/{\text{m}}^{-3}$	$\Delta A_i/{\text{m}}^{-3}$
$1,00\times 10^{-5}$	0,000	0,00	0,00	$1,00\times 10^5$	$3\times 10^3$
$1,10\times 10^{-5}$	0,382	3,74	3,74	$9,09\times 10^4$	$2\times 10^3$
$1,20\times 10^{-5}$	0,568	5,57	5,57	$8,33\times 10^4$	$2\times 10^3$
$1,30\times 10^{-5}$	0,738	7,23	7,23	$7,69\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,40\times 10^{-5}$	0,938	9,19	9,19	$7,14\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,50\times 10^{-5}$	0,980	9,60	9,60	$6,67\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,60\times 10^{-5}$	1,105	10,83	10,83	$6,25\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,70\times 10^{-5}$	1,240	12,15	12,15	$5,88\times 10^4$	$9\times 10^2$
$1,80\times 10^{-5}$	1,330	13,03	13,03	$5,56\times 10^4$	$8\times 10^2$
$1,90\times 10^{-5}$	1,361	13,34	13,34	$5,26\times 10^4$	$7\times 10^2$
$2,00\times 10^{-5}$	1,442	14,13	14,13	$5,00\times 10^4$	$6\times 10^2$

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SOLUTION

1. Question 1 (3 points) — Question 3 (1 point) — Question 5

Table columns: $V_i/{\text{m}}^3$ · $m_i/\text{kg}$ · $(F_i=m_{i}g)/\text{N}$ · $(A_i=1/V_i)/{\text{m}}^{-3}$ · $\left(\Delta A_i=\frac{1}{V_i^2}\Delta V_i\right)/{\text{m}}^{-3}$

$V_i/{\text{m}}^3$	$m_i/\text{kg}$	$(F_i=m_{i}g)/\text{N}$	$(F_i=m_{i}g)/\text{N}$	$(A_i=1/V_i)/{\text{m}}^{-3}$	$\Delta A_i/{\text{m}}^{-3}$
$1,00\times 10^{-5}$	0.000	0.00	0.00	$1,00\times 10^5$	$3\times 10^3$
$1,10\times 10^{-5}$	0.382	3.74	3.74	$9,09\times 10^4$	$2\times 10^3$
$1,20\times 10^{-5}$	0.568	5.57	5.57	$8,33\times 10^4$	$2\times 10^3$
$1,30\times 10^{-5}$	0.738	7.23	7.23	$7,69\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,40\times 10^{-5}$	0.938	9.19	9.19	$7,14\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,50\times 10^{-5}$	0.980	9.60	9.60	$6,67\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,60\times 10^{-5}$	1.105	10.83	10.83	$6,25\times 10^4$	$1\times 10^3$
$1,70\times 10^{-5}$	1.240	12.15	12.15	$5,88\times 10^4$	$9\times 10^2$
$1,80\times 10^{-5}$	1.330	13.03	13.03	$5,56\times 10^4$	$8\times 10^2$
$1,90\times 10^{-5}$	1.361	13.34	13.34	$5,26\times 10^4$	$7\times 10^2$
$2,00\times 10^{-5}$	1.442	14.13	14.13	$5,00\times 10^4$	$6\times 10^2$

2. (2 puntos) A partir de las expresiones (1) y (2) se obtiene:

$\left(P_0-\frac{F_i}{S}\right)V_i=P_0{V}_0$

$\frac{1}{V_i}=\frac{1}{V_0}-\frac{1}{P_0{V}_{0}S}{F}_i(4)$

Al representar gráficamente $\frac{1}{V_i}$ frente a $F_i$ se obtiene una recta cuya pendiente es $-\frac{1}{P_0{V}_{0}S}$ de la que puede obtenerse $P_0$ si se conocen los valores de $V_0$ y $S$.

4. (3 puntos)

El valor de la pendiente es: $m=-3649{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

5. (2 puntos) Obtención de $\Delta \left(\frac{1}{V_i}\right)$. Llamando $\frac{1}{V_i}=A_i$ se tiene:

$\Delta A_i=\left|\frac{d{A}_i}{d{V}_i}\right|\Delta V_i=\frac{1}{V_i^2}\Delta V_i$

Otra forma:

$\Delta A_i=\frac{A_{i\text{maˊx}}-A_{i\text{mıˊn}}}{2}=\frac{{\left(\frac{1}{V_i}\right)}_{\text{maˊx}}-{\left(\frac{1}{V_i}\right)}_{\text{mıˊn}}}{2}$

Para los puntos extremos de las medidas y según el criterio establecido, se tiene:

$\text{Primer valor}:(V_1\pm \Delta V_1)=(10,00\pm 0,25)\times 10^{-6}{\text{m}}^3$

$\text{Uˊltimo valor}:(V_{11}\pm \Delta V_{11})=(20,00\pm 0,25)\times 10^{-6}{\text{m}}^3$

$\Delta A_1=\Delta \left(\frac{1}{V_1}\right)=\frac{\left(\frac{1}{9,75}-\frac{1}{10,25}\right)\times \frac{1}{10^{-6}}}{2}{\text{m}}^{-3}=2,5\times 10^3{\text{m}}^{-3}\approx 3\times 10^3{\text{m}}^{-3}$

$\Delta A_{11}=\Delta \left(\frac{1}{V_{11}}\right)=\frac{\left(\frac{1}{19,75}-\frac{1}{20,25}\right)\times \frac{1}{10^{-6}}}{2}{\text{m}}^{-3}=0,63\times 10^3{\text{m}}^{-3}\approx 0,6\times 10^3{\text{m}}^{-3}$

$\left(\frac{1}{V_1}\pm \Delta \frac{1}{V_1}\right)=\left[(1,00\times 10^5)\pm (3\times 10^3)\right]{\text{m}}^{-3}=(1,00\pm 0,03)\times 10^5{\text{m}}^{-3}$

$\left(\frac{1}{V_{11}}\pm \Delta \frac{1}{V_{11}}\right)=\left[(5,00\times 10^4)\pm (0,6\times 10^3)\right]{\text{m}}^{-3}=(5,00\pm 0,06)\times 10^4{\text{m}}^{-3}$

6. (2 puntos)

7. (2 puntos) Los valores de la pendiente y de su incertidumbre son:

$m=-3649{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$\Delta m=\frac{3793-3284}{2}{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}=254{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$(m\pm \Delta m)=(-3,6\pm 0,3)\times 10^3{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

8. (3 puntos)

Las pendientes, máxima y mínima (en valor absoluto), son:

$|m_{\text{maˊx}}|=3793{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$|m_{\text{mıˊn}}|=3284{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$S=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{1,95\times 10^{-2}}{2}\right)}^2{\text{m}}^2=2,986\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$S_{\text{maˊx}}=\pi {\left(\frac{d_{\text{maˊx}}}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{1,96\times 10^{-2}}{2}\right)}^2{\text{m}}^2=2,956\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$S_{\text{mıˊn}}=\pi {\left(\frac{d_{\text{mıˊn}}}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{1,94\times 10^{-2}}{2}\right)}^2{\text{m}}^2=3,017\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$\Delta S=\frac{(3,017-2,956)\times 10^{-4}}{2}{\text{m}}^2=0,03\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$(S\pm \Delta S)=(2,99\pm 0,03)\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

Por otra parte, de la expresión (4) se tiene:

$m=-\frac{1}{P_0{V}_{0}S}$

$P_0=-\frac{1}{m{V}_{0}S}=-\frac{1}{-3,6\times 10^3\times 1,0\times 10^{-5}\times 2,99\times 10^{-4}}\text{N}\cdot {\text{m}}^{-2}=92902\text{Pa}$

$\Delta P_0=P_0\sqrt{{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta V_0}{V_0}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta S}{S}\right)}^2}=92902\sqrt{{\left(\frac{0,3}{3,6}\right)}^2+{\left(\frac{0,03}{1,00}\right)}^2+{\left(\frac{0,03}{2,99}\right)}^2}=8280\text{Pa}$

$(P_0\pm \Delta P_0)=(9,3\pm 0,8)\times 10^4\text{Pa}$

(El experimento se realizó el Salamanca el 29 de enero de 2026, con situación de borrasca. El barómetro de mercurio señalaba 682 mm, lo que corresponde a una presión de $9,09\times 10^4\text{Pa}$).

9. (2 puntos)

• Consideramos un estado inicial en el que la jeringa contiene un volumen $V_0$ de aire a una presión, $P_0$ que es igual a la de la presión atmosférica. Se expande el aire actuando sobre el pistón, pero al soltarlo no se recupera el volumen inicial, sino que llega a un volumen mayor, $V$, con una presión, $P$, que será menor que la inicial. Como inicialmente la presión del aire dentro la jeringa es igual a la atmosférica, el pistón está sometido a dos fuerzas iguales, $F_0$ y de sentido contrario. Tras la expansión, la fuerza ejercida por el aire interior es $F$, siendo $F<F_0$. Los módulos de las fuerzas cumplen que:

$F_0=F+F_R$

donde $F_R$ es la fuerza de fricción entre el pistón y el cilindro de la jeringa. De la expresión anterior se tiene:

$F_R=F_0-F(1)$

además, siendo $S$ la sección del pistón, se puede escribir:

$F_0=P_{0}S(2)$

$F=\frac{P_0{V}_0}{V}S(3)$

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene:

$F_R=P_{0}S-\frac{P_0{V}_0}{V}S=P_{0}S\left(\frac{V-V_0}{V}\right)=\frac{P_{0}S\Delta V}{V}$

• Con los siguientes valores: $P_0=9,3\times 10^4\text{Pa}$, $S=2,99\times 10^{-4}{\text{m}}^2$, $V_0=1,0\times 10^{-5}{\text{m}}^3$, $V=1,05\times 10^{-5}{\text{m}}^3$, la fuerza de fricción es:

$F_R=\frac{9,3\times 10^4\times 2,99\times 10^{-4}\times 0,5\times 10^{-6}}{1,05\times 10^{-5}}\frac{\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{m}}^3}{{\text{m}}^3}=1,3\text{N}$

• Experimentalmente se ha medido la fuerza para desplazar el pistón desde un volumen de 10,0 ml a un volumen de 10,5 ml. Los resultados de tres medidas han sido: 0,235 kg, 0,185 kg y 0,205 kg, cuyo valor medio es 0,208 kg, por tanto: $F_R=mg=0,208\text{kg}\times 9,8\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}=2,0\text{N}$.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Error Propagation, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation Objects: Gas, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.5

2. (2 punti) Le espressioni (1) e (2) indicano:

$\left(P_0-\frac{F_i}{S}\right)V_i=P_0{V}_0$

$\frac{1}{V_i}=\frac{1}{V_0}-\frac{1}{P_0{V}_{0}S}{F}_i(4)$

Rappresentando graficamente $\frac{1}{V_i}$ rispetto a $F_i$ si ottiene una retta la cui pendenza è $-\frac{1}{P_0{V}_{0}S}$ della che può essere ottenuta $P_0$ se i valori di $V_0$ e $S$ sono conosciuti.

4. (3 punti)

Il valore della pendenza è: $m=-3649{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

5. (2 punti) Ottenimento di $\Delta \left(\frac{1}{V_i}\right)$. Chiamando $\frac{1}{V_i}=A_i$ si ottiene:

$\Delta A_i=\left|\frac{d{A}_i}{d{V}_i}\right|\Delta V_i=\frac{1}{V_i^2}\Delta V_i$

Un’altra forma:

$\Delta A_i=\frac{A_{i\text{maˊx}}-A_{i\text{mıˊn}}}{2}=\frac{{\left(\frac{1}{V_i}\right)}_{\text{maˊx}}-{\left(\frac{1}{V_i}\right)}_{\text{mıˊn}}}{2}$

Per gli estremi delle misure e secondo il criterio stabilito, si dispone di:

$\text{Primer valor}:(V_1\pm \Delta V_1)=(10,00\pm 0,25)\times 10^{-6}{\text{m}}^3$

$\text{Uˊltimo valor}:(V_{11}\pm \Delta V_{11})=(20,00\pm 0,25)\times 10^{-6}{\text{m}}^3$

$\Delta A_1=\Delta \left(\frac{1}{V_1}\right)=\frac{\left(\frac{1}{9,75}-\frac{1}{10,25}\right)\times \frac{1}{10^{-6}}}{2}{\text{m}}^{-3}=2,5\times 10^3{\text{m}}^{-3}\approx 3\times 10^3{\text{m}}^{-3}$

$\Delta A_{11}=\Delta \left(\frac{1}{V_{11}}\right)=\frac{\left(\frac{1}{19,75}-\frac{1}{20,25}\right)\times \frac{1}{10^{-6}}}{2}{\text{m}}^{-3}=0,63\times 10^3{\text{m}}^{-3}\approx 0,6\times 10^3{\text{m}}^{-3}$

$\left(\frac{1}{V_1}\pm \Delta \frac{1}{V_1}\right)=\left[(1,00\times 10^5)\pm (3\times 10^3)\right]{\text{m}}^{-3}=(1,00\pm 0,03)\times 10^5{\text{m}}^{-3}$

$\left(\frac{1}{V_{11}}\pm \Delta \frac{1}{V_{11}}\right)=\left[(5,00\times 10^4)\pm (0,6\times 10^3)\right]{\text{m}}^{-3}=(5,00\pm 0,06)\times 10^4{\text{m}}^{-3}$

6. (2 punti)

7. (2 punti) I valori della pendenza e della sua incertezza sono:

$m=-3649{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$\Delta m=\frac{3793-3284}{2}{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}=254{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$(m\pm \Delta m)=(-3,6\pm 0,3)\times 10^3{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

8. (3 punti)

Le pendenti, massime e minime (in valore assoluto), sono:

$|m_{\text{maˊx}}|=3793{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$|m_{\text{mıˊn}}|=3284{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$S=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{1,95\times 10^{-2}}{2}\right)}^2{\text{m}}^2=2,986\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$S_{\text{maˊx}}=\pi {\left(\frac{d_{\text{maˊx}}}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{1,96\times 10^{-2}}{2}\right)}^2{\text{m}}^2=2,956\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$S_{\text{mıˊn}}=\pi {\left(\frac{d_{\text{mıˊn}}}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{1,94\times 10^{-2}}{2}\right)}^2{\text{m}}^2=3,017\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$\Delta S=\frac{(3,017-2,956)\times 10^{-4}}{2}{\text{m}}^2=0,03\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$(S\pm \Delta S)=(2,99\pm 0,03)\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

Inoltre, l’espressione (4) ha:

$m=-\frac{1}{P_0{V}_{0}S}$

$P_0=-\frac{1}{m{V}_{0}S}=-\frac{1}{-3,6\times 10^3\times 1,0\times 10^{-5}\times 2,99\times 10^{-4}}\text{N}\cdot {\text{m}}^{-2}=92902\text{Pa}$

$\Delta P_0=P_0\sqrt{{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta V_0}{V_0}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta S}{S}\right)}^2}=92902\sqrt{{\left(\frac{0,3}{3,6}\right)}^2+{\left(\frac{0,03}{1,00}\right)}^2+{\left(\frac{0,03}{2,99}\right)}^2}=8280\text{Pa}$

$(P_0\pm \Delta P_0)=(9,3\pm 0,8)\times 10^4\text{Pa}$

(L’esperimento è stato effettuato a Salamanca il 29 gennaio 2026, con situazione di tempesta. Il barometro di mercurio segnava 682 mm, che corrisponde a una pressione di $9,09\times 10^4\text{Pa}$).

9. (2 punti)

• Consideramos un estado inicial en el que la jeringa contiene un volumen $V_0$ de aire a una pressione, $P_0$ che è pari a quella della pressione atmosferica. Se espandono l’aria agendo sul pistone, ma rilasciandolo Non si recupera il volume iniziale, ma si arriva a un volume maggiore, $V$, con una pressione inferiore, $P$ che l’iniziativa. Come inizialmente la pressione dell’aria all’interno della siringa è L’atmosfera è uguale, il pistone è sottoposto a due le forze uguali, $F_0$ e di senso contrario. Dopo la La forza esercitata dall’aria interna è $F$, essendo $F<F_0$. Moduli delle forze che:

$F_0=F+F_R$

dove $F_R$ è la forza di attrito tra il pistone e il cilindro della siringa. Della espressione il precedente è:

$F_R=F_0-F(1)$

Inoltre, essendo $S$ la sezione del pistone, si può scrivere:

$F_0=P_{0}S(2)$

$F=\frac{P_0{V}_0}{V}S(3)$

Substituendo (2) e (3) in (1) si ottiene:

$F_R=P_{0}S-\frac{P_0{V}_0}{V}S=P_{0}S\left(\frac{V-V_0}{V}\right)=\frac{P_{0}S\Delta V}{V}$

• Con i seguenti valori: $P_0=9,3\times 10^4\text{Pa}$, $S=2,99\times 10^{-4}{\text{m}}^2$, $V_0=1,0\times 10^{-5}{\text{m}}^3$, $V=1,05\times 10^{-5}{\text{m}}^3$, la forza di attrito è:

$F_R=\frac{9,3\times 10^4\times 2,99\times 10^{-4}\times 0,5\times 10^{-6}}{1,05\times 10^{-5}}\frac{\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{m}}^3}{{\text{m}}^3}=1,3\text{N}$

• La forza di spostamento del pistone da un volume di 10,0 è stata sperimentalmente misurata ml a un volume di 10,5 ml. I risultati di tre misure sono stati: 0,235 kg, 0,185 kg e 0,205 kg, il cui valore medio è di 0,208 kg, quindi: $F_R=mg=0,208\text{kg}\times 9,8\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}=2,0\text{N}$.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Error Propagation, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation Objects: Gas, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.5

2. (2 points) From the expressions (1) and (2) it is obtained:

$\left(P_0-\frac{F_i}{S}\right)V_i=P_0{V}_0$

$\frac{1}{V_i}=\frac{1}{V_0}-\frac{1}{P_0{V}_{0}S}{F}_i(4)$

By graphically representing $\frac{1}{V_i}$ vs $F_i$ a straight whose slope is $-\frac{1}{P_0{V}_{0}S}$ of the which can be obtained $P_0$ if the values of $V_0$ and $S$ are known.

4. (3 points)

The value of the slope is: $m=-3649{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

5. (2 points) Obtaining $\Delta \left(\frac{1}{V_i}\right)$. Calling $\frac{1}{V_i}=A_i$ is given:

$\Delta A_i=\left|\frac{d{A}_i}{d{V}_i}\right|\Delta V_i=\frac{1}{V_i^2}\Delta V_i$

Another way:

$\Delta A_i=\frac{A_{i\text{maˊx}}-A_{i\text{mıˊn}}}{2}=\frac{{\left(\frac{1}{V_i}\right)}_{\text{maˊx}}-{\left(\frac{1}{V_i}\right)}_{\text{mıˊn}}}{2}$

For the extremes of the measures and according to the established criterion, it shall be:

$\text{Primer valor}:(V_1\pm \Delta V_1)=(10,00\pm 0,25)\times 10^{-6}{\text{m}}^3$

$\text{Uˊltimo valor}:(V_{11}\pm \Delta V_{11})=(20,00\pm 0,25)\times 10^{-6}{\text{m}}^3$

$\Delta A_1=\Delta \left(\frac{1}{V_1}\right)=\frac{\left(\frac{1}{9,75}-\frac{1}{10,25}\right)\times \frac{1}{10^{-6}}}{2}{\text{m}}^{-3}=2,5\times 10^3{\text{m}}^{-3}\approx 3\times 10^3{\text{m}}^{-3}$

$\Delta A_{11}=\Delta \left(\frac{1}{V_{11}}\right)=\frac{\left(\frac{1}{19,75}-\frac{1}{20,25}\right)\times \frac{1}{10^{-6}}}{2}{\text{m}}^{-3}=0,63\times 10^3{\text{m}}^{-3}\approx 0,6\times 10^3{\text{m}}^{-3}$

$\left(\frac{1}{V_1}\pm \Delta \frac{1}{V_1}\right)=\left[(1,00\times 10^5)\pm (3\times 10^3)\right]{\text{m}}^{-3}=(1,00\pm 0,03)\times 10^5{\text{m}}^{-3}$

$\left(\frac{1}{V_{11}}\pm \Delta \frac{1}{V_{11}}\right)=\left[(5,00\times 10^4)\pm (0,6\times 10^3)\right]{\text{m}}^{-3}=(5,00\pm 0,06)\times 10^4{\text{m}}^{-3}$

6. (2 points)

7. (2 points) The values of the slope and its uncertainty are:

$m=-3649{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$\Delta m=\frac{3793-3284}{2}{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}=254{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$(m\pm \Delta m)=(-3,6\pm 0,3)\times 10^3{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

8. (3 points)

The slopes, maximum and minimum (in absolute value), are:

$|m_{\text{maˊx}}|=3793{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$|m_{\text{mıˊn}}|=3284{\text{m}}^{-3}\cdot {\text{N}}^{-1}$

$S=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{1,95\times 10^{-2}}{2}\right)}^2{\text{m}}^2=2,986\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$S_{\text{maˊx}}=\pi {\left(\frac{d_{\text{maˊx}}}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{1,96\times 10^{-2}}{2}\right)}^2{\text{m}}^2=2,956\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$S_{\text{mıˊn}}=\pi {\left(\frac{d_{\text{mıˊn}}}{2}\right)}^2=\pi {\left(\frac{1,94\times 10^{-2}}{2}\right)}^2{\text{m}}^2=3,017\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$\Delta S=\frac{(3,017-2,956)\times 10^{-4}}{2}{\text{m}}^2=0,03\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

$(S\pm \Delta S)=(2,99\pm 0,03)\times 10^{-4}{\text{m}}^2$

In addition, the expression (4) has the following:

$m=-\frac{1}{P_0{V}_{0}S}$

$P_0=-\frac{1}{m{V}_{0}S}=-\frac{1}{-3,6\times 10^3\times 1,0\times 10^{-5}\times 2,99\times 10^{-4}}\text{N}\cdot {\text{m}}^{-2}=92902\text{Pa}$

$\Delta P_0=P_0\sqrt{{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta V_0}{V_0}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta S}{S}\right)}^2}=92902\sqrt{{\left(\frac{0,3}{3,6}\right)}^2+{\left(\frac{0,03}{1,00}\right)}^2+{\left(\frac{0,03}{2,99}\right)}^2}=8280\text{Pa}$

$(P_0\pm \Delta P_0)=(9,3\pm 0,8)\times 10^4\text{Pa}$

(The experiment was conducted in Salamanca on 29 January 2026, with situation It’s a storm. The mercury barometer was 682 mm, which corresponds to a pressure of $9,09\times 10^4\text{Pa}$).

9. (2 points)

• Consideramos un estado inicial en el que la jeringa contiene un volumen $V_0$ de aire a una pressure, $P_0$ which is equal to that of atmospheric pressure. Se It expands the air by acting on the piston, but by releasing it The initial volume is not recovered, but reaches a volumen mayor, $V$, con una presión, $P$, que será menor than the initial. As the initial air pressure inside the syringe is The piston is subjected to two equal forces, $F_0$ and opposite. After the Expansion, the force exerted by the indoor air is $F$, being $F<F_0$. Modules of the forces comply with:

$F_0=F+F_R$

where $F_R$ is the friction force between the piston and the cylinder of the syringe. From the expression the following shall be given:

$F_R=F_0-F(1)$

In addition, being $S$ the piston section, it is possible to write:

$F_0=P_{0}S(2)$

$F=\frac{P_0{V}_0}{V}S(3)$

Substituting (2) and (3) for (1) is given as follows:

$F_R=P_{0}S-\frac{P_0{V}_0}{V}S=P_{0}S\left(\frac{V-V_0}{V}\right)=\frac{P_{0}S\Delta V}{V}$

• Con los siguientes valores: $P_0=9,3\times 10^4\text{Pa}$, $S=2,99\times 10^{-4}{\text{m}}^2$, $V_0=1,0\times 10^{-5}{\text{m}}^3$, $V=1,05\times 10^{-5}{\text{m}}^3$, la fuerza de fricción es:

$F_R=\frac{9,3\times 10^4\times 2,99\times 10^{-4}\times 0,5\times 10^{-6}}{1,05\times 10^{-5}}\frac{\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{m}}^3}{{\text{m}}^3}=1,3\text{N}$

• Experimentalmente se ha medido la fuerza para desplazar el pistón desde un volumen de 10,0 ml at a volume of 10,5 ml. The results of three measures were: 0,235 kg, 0,185 kg and 0,205 kg, the mean value of which is 0,208 kg, hence $F_R=mg=0,208\text{kg}\times 9,8\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}=2,0\text{N}$.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Error Propagation, Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Error Propagation Objects: Gas, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.5