Spagna 2005

Prueba experimental. El vuelo del capacillo

Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido con velocidad $v$ , su movimiento se ve frenado por una fuerza, llamada de resistencia. Supongamos que esta fuerza depende de $v$ en la forma

$F = c v^{γ}$

donde $c$ y $γ$ son constantes que dependen de la forma y tamaño del cuerpo y de las características del fluido (densidad y viscosidad).

En este problema se va a estudiar experimentalmente la caída en el aire de uno o varios capacillos superpuestos, de manera que cambia la masa del objeto que cae, pero no su forma (aerodinámica). Como podrá comprobar, la velocidad de caída es prácticamente uniforme desde el momento en que se sueltan.

a) Las únicas fuerzas que actúan sobre los capacillos cuando caen son su peso y la resistencia del aire. Teniendo esto en cuenta, y llamando $n$ al número de capacillos y $m_{0}$ a la masa de cada uno, obtenga una expresión analítica para la velocidad uniforme (límite) de caída, $v_{n}$ . Transforme esta expresión y demuestre que existe una dependencia lineal entre $ln (t_{n})$ y $ln (n)$ , donde $t_{n}$ es el tiempo de caída de $n$ capacillos desde una altura $h$ :

$ln (t_{n}) = - \frac{1}{γ} ln (n) - \frac{1}{γ} ln (\frac{g m _{0}}{c}) + ln (h)$

b) Basándose en la expresión anterior y en sus medidas experimentales de tiempos de caída, $t_{n}$ , para $n = 1, 2, 3$ y $4$ , determine el valor de $γ$ en este experimento.

c) Haga una estimación de la incertidumbre (margen de error) del valor de $γ$ obtenido.

d) A partir de las medidas experimentales que considere oportunas, determine la masa $M$ de la arandela metálica que se suministra. Para responder a esta pregunta, tenga en cuenta que la masa de un capacillo es $m_{0} = 0, 25 g$ .

Material del que dispone:

Cuatro capacillos de igual masa, $m_{0}$ .
Un cronómetro.
Papel milimetrado.
Una arandela de masa $M$ desconocida.
Cinta adhesiva.

Comentarios y sugerencias:

Dispone inicialmente de cuatro capacillos superpuestos y bien empaquetados. Comience midiendo el tiempo de caída de este conjunto y, después, vaya retirándolos uno a uno.
La forma de los capacillos influye notablemente en el valor de la fuerza de resistencia, a través de la constante $c$ . Debe tener especial cuidado de no deformarlos durante las medidas.
Deje caer los capacillos con la parte abierta hacia arriba (al revés que un paracaídas).
Déjelos caer desde la máxima altura $h$ que le permita su brazo. No necesita conocer el valor de $h$ ; basta con que sea siempre el mismo (aproximadamente).
Emplee la cinta adhesiva para fijar la arandela a la base de un capacillo, por su lado interior.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Free-Body Diagram, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Prueba experimental. Il volo del capriccio

Quando un corpo si muove nel seno di un fluido a velocità $v$ , il suo movimento viene frenato da una forza, chiamata resistenza. Supponiamo che questa forza dipenda da $v$ nella forma

$F = c v^{γ}$

dove $c$ e $γ$ sono costanti che dipendono dalla forma e dalle dimensioni del corpo e dalle caratteristiche del fluido (densità e viscosità).

In questo problema si studierà sperimentalmente il cadere in aria di uno o più cappelli superposti, in modo da cambiare la massa dell’oggetto che cade, ma non la sua forma (aerodinamica). Come potete vedere, la velocità di caduta è praticamente uniforme dal momento in cui si rilasciano.

**a) ** Le uniche forze che agiscono sui caschi quando cadono sono il loro peso e la resistenza dell’aria. Tenendo conto di questo, chiamando $n$ al numero di caselle e $m_{0}$ alla massa di ciascuna, ottieni un’espressione analitica per la velocità uniforme (limit) di caduta, $v_{n}$ . Trasforma questa espressione e dimostra che esiste una dipendenza lineare tra $ln (t_{n})$ e $ln (n)$ , dove $t_{n}$ è il tempo di caduta di $n$ cappelli da un’altezza $h$ :

$ln (t_{n}) = - \frac{1}{γ} ln (n) - \frac{1}{γ} ln (\frac{g m _{0}}{c}) + ln (h)$

**b) ** Basandosi sull’espressione precedente e sulle sue misurazioni sperimentali dei tempi di caduta, $t_{n}$ , per $n = 1, 2, 3$ e $4$ , determina il valore di $γ$ in questo esperimento.

**c) ** Fa’ un’estimazione dell’incertezza (margine di errore) del valore di $γ$ ottenuto.

**d) ** Sulla base delle misure sperimentali che ritiene opportune, determinare la massa $M$ della fornitura metallica da fornire. Per rispondere a questa domanda, si noti che la massa di un capriccio è $m_{0} = 0, 25 g$ .

**Materiale di cui dispone: **

Quattro cappelli uguali in massa, $m_{0}$ .
Un cronometro.
Papero millimetrico.
Una arandela de masa $M$ desconocida.
Cintura adesiva.

Commenti e suggerimenti:

dispone inizialmente di quattro cappelle superplessi e ben imballate. Inizia misurando il tempo di caduta di questo insieme e poi, vai a toglierli uno dopo l’altro.
La forma dei cappelli influisce notevolmente sul valore della forza di resistenza, attraverso la costante $c$ . Deve essere particolarmente attento a non deformarli durante le misure.
Lascia cadere i cappelli con la parte aperta verso l’alto (inverso un paracadute).
Déjelos caer desde la máxima altura $h$ que le permita su brazo. Non è necessario conoscere il valore di $h$ ; basta che sia sempre lo stesso (circa).
Utilizzare la cinta adesiva per fissare la catena alla base di un rivestimento, sul suo lato interno.

Prueba experimental. The flight of the cape

When a body moves within a fluid at $v$ speed, its motion is held back by a force, called resistance. Suppose this force depends on $v$ in the form

$F = c v^{γ}$

where $c$ and $γ$ are constants that depend on the shape and size of the body and fluid characteristics (density and viscosity).

In this problem, one will experimentally study the fall into the air of one or more overlapping caps, so that the mass of the falling object changes, but not its shape (aerodynamics). As you can see, the drop rate is almost uniform from the moment they are released.

a) Las únicas fuerzas que actúan sobre los capacillos cuando caen son su peso y la resistencia del aire. Taking this into account, and calling $n$ to the number of caps and $m_{0}$ to the mass of each, obtain an analytical expression for the uniform (limit) drop velocity, $v_{n}$ . Transform this expression and prove that there is a linear dependence between $ln (t_{n})$ and $ln (n)$ , where $t_{n}$ is the fall time of $n$ headgear from a height $h$ :

$ln (t_{n}) = - \frac{1}{γ} ln (n) - \frac{1}{γ} ln (\frac{g m _{0}}{c}) + ln (h)$

**b) ** Based on the above expression and its experimental measurements of drop times, $t_{n}$ , for $n = 1, 2, 3$ and $4$ , determine the value of $γ$ in this experiment.

**c) ** Estimate the uncertainty (error margin) of the $γ$ value obtained.

**d) ** Determine the mass $M$ of the metal cladding supplied from the experimental measures which you consider appropriate. To answer this question, please note that the mass of a capillary is $m_{0} = 0, 25 g$ .

**Material at your disposal: **

Four headgear of equal mass, $m_{0}$ .
A timepiece.
It’s a millimeter piece of paper.
Una arandela de masa $M$ desconocida.
It’s the tape.

Comentarios y sugerencias:

It has four overlapping and well-packed headgear initially. Start by measuring the time of fall of this set and then go on to remove them one by one.
The shape of the caps significantly influences the value of the resistance strength, through the constant $c$ . You must be especially careful not to distort them during the measurements.
Drop the caps with the open part up (in reverse as a parachute).
Déjelos caer desde la máxima altura $h$ que le permita su brazo. You do not need to know the value of $h$ ; just keep it the same (approximately).
Use the adhesive tape to attach the clamp to the base of a cape on its inner side.

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