Spagna 2014

Prueba experimental. Difracción de luz en un hilo.

Introducción; objetivo.

El año 2014 ha sido declarado Año Internacional de la Cristalografía por las Naciones Unidas, para conmemorar el centenario del descubrimiento de la difracción de rayos X por Max von Laue (1912) y el enunciado de la ecuación de Bragg (1913). A lo largo de estos 100 años la difracción de rayos X ha tenido, y tiene todavía, un papel esencial en el estudio y determinación de estructuras cristalinas.

La difracción en una estructura tridimensional es compleja. Posiblemente esté más familiarizado con la difracción de la luz en obstáculos más sencillos, como la doble rendija del experimento de Young: la luz que se difracta en dos rendijas próximas y paralelas interfiere sobre una pantalla produciendo franjas luminosas alternadas con otras oscuras (franjas de Young).

En esta prueba experimental se va a observar la difracción de luz monocromática (láser) en un hilo delgado. El objetivo de la prueba es determinar el diámetro del hilo.

Material.

Puntero láser rojo, de longitud de onda $λ = 650 nm$ .
Hilo de cobre, montado en un soporte de cartulina (Atención: debe manejarse con cuidado para evitar que se doble).
Metro de papel.
Soporte de aluminio.
Escala de medida, de papel milimetrado.
Hoja de cartulina.
Pinzas de ropa.
Cinta adhesiva y tijeras.

Modelo teórico.

Cuando un haz colimado de luz monocromática incide sobre un hilo cilíndrico, con sección circular, sobre una pantalla alejada se observa una serie de máximos de interferencias/difracción, separados por mínimos nulos (figura 1). El máximo central tiene una anchura doble que los laterales, y su intensidad es mucho mayor.

Si la longitud de onda de la luz es $λ$ y el diámetro del hilo es $d$ , se demuestra que el $m$ -ésimo mínimo de intensidad luminosa en la pantalla se encuentra en la posición angular (véase la figura 1) dada por

$sin α_{m} = \frac{mλ}{d}, m = \pm 1, \pm 2, \pm 3 \dots$

En nuestro experimento, los valores de los ángulos $α_{m}$ para los primeros mínimos son suficientemente pequeños para que se cumpla bien la aproximación

$sin α_{m} \approx tan α_{m} \approx α_{m} = \frac{y _{m}}{x}$

donde $x$ es la distancia entre el hilo y la pantalla, e $y_{m}$ es la distancia del $m$ -ésimo mínimo al centro de la figura de difracción. Con la aproximación anterior, es inmediato deducir que la distancia entre los mínimos simétricos $m$ y $- m$ , uno a cada lado del eje del sistema, es

$Y_{m} = 2 y_{m} = \frac{2 mλ}{d} x (1)$

En esta prueba se va a determinar el valor de $d$ a partir de las medidas de $Y_{m}$ en función de $x$ .

Procedimiento experimental.

Advertencias previas:

Esta prueba requiere el uso de un puntero láser. Debe evitar que el haz láser entre directamente en un ojo, suyo o de sus compañeros, pues podría causar una lesión en la retina.
La duración de las pilas del puntero láser es muy limitada. Por tanto, sólo deberá encenderse al principio de la prueba, para verificar que funciona correctamente, y durante la toma de datos.
El hilo de cobre montado en el soporte de cartulina es muy delgado y frágil. El soporte debe manejarse con cuidado y en ningún caso debe tocarse el hilo con los dedos.

Construcción del montaje (figura 2):

Extienda el metro de papel sobre la mesa y fíjelo con cinta adhesiva.
Construya la pantalla fijando con cinta adhesiva la escala de papel milimetrado al soporte de aluminio.
Coloque la pantalla de papel milimetrado coincidiendo con la marca de 0 cm del metro de papel, y en posición transversal.
El puntero láser tiene dos pulsadores: uno para que funcione como linterna de luz blanca y otro para el láser propiamente dicho. Sujete el puntero con ayuda de dos pinzas. Una de las pinzas debe oprimir el pulsador del láser, para mantenerlo encendido. Esta última pinza sólo debe ponerse inmediatamente antes de comenzar las medidas para evitar el agotamiento de las pilas. Las pinzas deben ajustarse para que el haz de luz sea aproximadamente paralelo a la mesa.
Sitúe el puntero sobre el metro de papel, a unos 80 cm de la pantalla, de modo que el haz de luz incida sobre la línea negra central de la escala milimetrada de la pantalla. Esta línea negra sirve para evitar el deslumbramiento por el máximo central de difracción y mejorar la visibilidad de los otros máximos, que son mucho menos intensos.
Es conveniente colocar la pantalla de observación bajo una visera hecha con cartulina negra, para evitar que la luz ambiente dificulte la observación de la figura de difracción.
Sujete la cartulina soporte del hilo con una pinza, de modo que el hilo quede vertical.
Coloque inicialmente el hilo a 65 cm de la pantalla ( $x = 65 cm$ ), de modo que la luz incida sobre el alambre y se observe la figura de difracción en la pantalla. Ajuste cuidadosamente la posición del hilo en el haz de luz hasta conseguir una figura de difracción bien contrastada y simétrica respecto al centro.

Medidas y preguntas:

Mida en la pantalla la distancia $Y_{m}$ entre los mínimos simétricos $+ m$ y $- m$ , empleando el $m$ más alto posible, es decir, empleando los dos mínimos simétricos más alejados del centro que observe con nitidez. Repita la medida del mismo $Y_{m}$ colocando el hilo a distancias decrecientes de la pantalla, hasta $x_{m i n} = 30 cm$ . Anote los valores de $x$ e $Y_{m}$ en una tabla, indicando claramente el valor de $m$ empleado.
Represente gráficamente en una hoja de papel milimetrado los valores de $Y_{m}$ , en ordenadas, frente a los de $x$ , en abscisas.
Determine la pendiente, $p$ , de la recta que mejor se ajusta a estos puntos.
Deduzca el valor del diámetro del hilo, $d$ .
Haga una estimación de la incertidumbre de la pendiente, $Δ p$ , de la recta $Y_{m} (x)$ .
Teniendo en cuenta el resultado anterior, y además que, según datos del fabricante, la longitud de onda del láser es $λ = (650 \pm 10) nm$ , haga una estimación de la incertidumbre del diámetro del hilo, $Δ d$ .

Diffraction pattern on screen from wire

Experimental setup diagram with laser

Topic: Wave Optics, Geometric Optics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Small-Angle Approximation, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Wire, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.1

La prova sperimentale. Diffrazione della luce su un filo.**

Introduzione; obiettivo.

L’anno 2014 è stato dichiarato Anno internazionale della cristalografia dalle Nazioni Unite, per commemorare il centenario della scoperta della diffrazione dei raggi X da parte di Max von Laue (1912) e l’enunciamento dell’equazione di Bragg (1913). Nel corso di questi 100 anni la diffrazione dei raggi X ha avuto, e continua a svolgere, un ruolo essenziale nello studio e nella determinazione delle strutture cristalline.

La diffrazione in una struttura tridimensionale è complessa. Probabilmente è più familiare con la diffrazione della luce in ostacoli più semplici, come la doppia spaccatura dell’esperimento di Young: la luce diffratta in due spazi vicini e paralleli interferisce su uno schermo producendo strisce luminose alternate con altre strisce oscure (strisce di Young).

In questo test sperimentale si osserverà la diffrazione di luce monocromatica (laser) su un filo sottile. L’obiettivo della prova è determinare il diametro del filo.

Materiale.

puntatore laser rosso, a lunghezza d’onda $λ = 650 nm$ .
filo di rame, montato su supporto di cartolina (attenzione: deve essere maneggiato con cura per evitare che si pieghi).
Metro di carta.
Supporto in alluminio.
Scala di misura, di carta millimetrica.
Carta di cartolina.
Ghiacci di vestiti.
Fascia adesiva e forbici.

Modello teorico.

Quando un fascio di luce monocromatica collimato incide su un filo cilindrico, a sezione circolare, su uno schermo lontano si osservano una serie di massimi di interferenze/difrazione, separati da minimi zero (Figura 1). Il massimo centrale ha il doppio di larghezza rispetto ai lati, e la sua intensità è molto maggiore.

Se la lunghezza d’onda della luce è $λ$ e il diametro del filo è $d$ , si dimostra che il $m$ -minimo di intensità luminosa sullo schermo si trova nella posizione angolare (vedi figura 1) data da

$sin α_{m} = \frac{mλ}{d}, m = \pm 1, \pm 2, \pm 3 \dots$

Nel nostro esperimento, i valori degli angoli $α_{m}$ per i primi minimi sono abbastanza piccoli da soddisfare bene l’approccio

$sin α_{m} \approx tan α_{m} \approx α_{m} = \frac{y _{m}}{x}$

dove $x$ è la distanza tra il filo e lo schermo, e $y_{m}$ è la distanza del $m$ -esimo minimo al centro della figura di diffrazione. Con l’approccio precedente, si deduce immediatamente che la distanza tra i minimi simetrici $m$ e $- m$ , uno su ogni lato dell’asse del sistema, è

$Y_{m} = 2 y_{m} = \frac{2 mλ}{d} x (1)$

In questa prova si determina il valore di $d$ a partire dalle misure di $Y_{m}$ in funzione di $x$ .

Processo sperimentale.

Preavvertenze:

Questa prova richiede l’uso di un puntatore laser. Devi evitare che il raggi laser entri direttamente in un occhio, tuo o dei tuoi compagni, perché potrebbe causare un danno alla retina.
La durata delle batterie del puntatore laser è molto limitata. Pertanto, deve essere acceso solo all’inizio della prova, per verificare che funzioni correttamente, e durante la presa dei dati.
Il filo di rame montato sul supporto di cartolina è molto sottile e fragile. Il supporto deve essere maneggiato con cura e non deve in alcun caso essere toccato con le dita.

La costruzione dell’assemblaggio (Figura 2):

Stendete il metro di carta sul tavolo e attaccatelo con un’attaccante.
Costruisci lo schermo fissando con nastro adesivo la scala di carta millimetrica al supporto in alluminio.
Metti il display di carta millimetrica in corrispondenza del marchio di 0 cm del metro di carta, e in posizione trasversale.
Il puntatore laser ha due pulsanti: uno per funzionare come un lanterna di luce bianca e l’altro per il laser stesso. Sosteni il puntatore con due pinze. Uno dei pinzetti deve premere il pulsatore del laser, per tenerlo acceso. Questa ultima pinza deve essere applicata solo immediatamente prima di iniziare le misure per evitare l’esaurimento delle batterie. Le pinze devono essere regolate in modo che il fascio di luce sia approssimativamente parallelo al tavolo.
Posizionare il puntatore sopra il metro di carta, a circa 80 cm dallo schermo, in modo che il fascio di luce incida sulla linea nera centrale della scala a millimetri dello schermo. Questa linea nera serve a evitare l’illuminazione dal massimo centrale di diffrazione e a migliorare la visibilità degli altri massimi, che sono molto meno intensi.
È opportuno posizionare lo schermo di osservazione sotto una viscera fatta di cartolina nera, per evitare che la luce ambientale impedisca l’osservazione della figura di diffrazione.
Collacciate il cartone di supporto del filo con una pinza, in modo che il filo sia verticale.
Inizialmente posizionare il filo a 65 cm dal display ( $x = 65 cm$ ) in modo che la luce incida sul filo e si osserva la figura di diffrazione sul display. Aggiusta con attenzione la posizione del filo nel fascio di luce fino a ottenere una figura di diffrazione ben contrastabile e simmetrica rispetto al centro.

**Missioni e domande: **

Misura sullo schermo la distanza $Y_{m}$ tra i minimi simmetrici $+ m$ e $- m$ , utilizzando il più alto possibile $m$ , cioè utilizzando i due minimi simmetrici più lontani dal centro che osserva con precisione. Ripeti la misurazione della stessa $Y_{m}$ mettendo il filo a distanza decrescente dallo schermo fino a $x_{m i n} = 30 cm$ . Nota i valori di $x$ e $Y_{m}$ in una tabella, indicando chiaramente il valore di $m$ utilizzato.
Rappresenta graficamente su un foglio di carta millimetrica i valori di $Y_{m}$ , ordinati, rispetto a quelli di $x$ , in abscissi.
Determina la pendenza, $p$ , della retta che si adatta meglio a questi punti.
Detrazione del valore del diametro del filo, $d$ .
Estimare l’incertezza della pendenza, $Δ p$ , della retta $Y_{m} (x)$ .
Considerando il risultato precedente, e inoltre che, secondo i dati del fabbricante, la lunghezza d’onda del laser è $λ = (650 \pm 10) nm$ , si fa un’estimazione dell’incertezza del diametro del filo, $Δ d$ .

Diffraction pattern on screen from wire

Experimental setup diagram with laser

The test is carried out in a laboratory. Diffraction of light in a thread.**

The Commission shall adopt delegated acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1290/2001.

The year 2014 has been declared the International Year of Crystallography by the United Nations, to commemorate the centenary of the discovery of X-ray diffraction by Max von Laue (1912) and the enunciation of Bragg’s equation (1913). Over the past 100 years, X-ray diffraction has played, and still does, an essential role in the study and determination of crystalline structures.

Diffraction in a three-dimensional structure is complex. You’re probably more familiar with diffracting light in simpler obstacles, such as the double-slit of Young’s experiment: light diffracting in two nearby and parallel slits interferes on a screen producing alternating bright stripes with other dark ones (Young’s stripes).

In this experimental test, monochrome light (laser) diffraction on a thin thread is observed. The purpose of the test is to determine the diameter of the thread.

The following information is provided for in Article 2 (1) of Regulation (EU) No 1303/2013.

Red laser pointer, with wavelength $λ = 650 nm$ .
Copper thread, mounted on a cardboard support (Warning: handle it carefully to avoid folding).
It’s a paper subway.
Aluminum support.
It’s a measuring scale, a millimeter of paper.
It’s a cardboard sheet.
Clothes and clothing.
Glue tape and scissors.

Theoretical model of the system

When a monochrome light-collimated beam hits a cylindrical thread, with a circular section, on a distant screen, a series of interference/diffraction maxims, separated by minimum zeros, is observed (Figure 1). The central maximum is twice as wide as the lateral ones, and its intensity is much higher.

If the wavelength of the light is $λ$ and the diameter of the wire is $d$ , the $m$ -minimum light intensity on the screen is shown to be at the angular position (see Figure 1) given by

$sin α_{m} = \frac{mλ}{d}, m = \pm 1, \pm 2, \pm 3 \dots$

In our experiment, the values of the angles $α_{m}$ for the first minima are small enough to satisfy the approximation

$sin α_{m} \approx tan α_{m} \approx α_{m} = \frac{y _{m}}{x}$

where $x$ is the distance between the thread and the screen, and $y_{m}$ is the distance of the $m$ -minimum to the centre of the diffraction figure. With the above approximation, it is immediately deduced that the distance between the symmetric minima $m$ and $- m$ , one on each side of the system axis, is

$Y_{m} = 2 y_{m} = \frac{2 mλ}{d} x (1)$

In this test the value of $d$ is to be determined from the measurements of $Y_{m}$ in relation to $x$ .

The following information is provided by the Commission in the field of safety and health:

Warnings:

This test requires the use of a laser pointer. You must prevent the laser beam from directly entering one eye, your own or your peers’ eye, as it could cause an injury to the retina.
The battery life of the laser pointer is very limited. Therefore, it should only be switched on at the beginning of the test, to verify that it is working correctly, and during data collection.
The copper thread mounted on the cardboard support is very thin and fragile. The support must be handled carefully and the thread must not be touched with the fingers.

The following is the list of the components of the assembly:

Spread the paper meter over the table and tie it with tape.
Build the screen by attaching the millimeter scale of paper to the aluminium support with adhesive tape.
Place the millimeter paper screen in line with the 0 cm mark of the paper meter, and in a transverse position.
The laser pointer has two pushers: one to function as a white light flashlight and one for the laser itself. Hold the pointer with two tweezers. One of the tweezers must squeeze the laser pulser, to keep it on. This last tweezer should only be applied immediately before starting the measurements to prevent battery depletion. The tweezers must be adjusted so that the beam of light is approximately parallel to the table.
Place the pointer on the paper meter, about 80 cm from the screen, so that the beam of light hits the central black line of the millimeter scale of the screen. This black line serves to avoid glare from the central maximum of diffraction and to improve the visibility of the other maximum, which are much less intense.
The observation screen should be placed under a visor made of black cardboard, to prevent ambient light from making the observation of the diffraction figure difficult.
Hold the cardboard support of the thread with a tweezer so that the thread is vertical.
Initially place the thread 65 cm from the screen ( $x = 65 cm$ ) so that the light hits the wire and the diffraction figure is seen on the screen. Carefully adjust the position of the thread in the beam of light until a well-contrasted and symmetrical diffraction figure is obtained with respect to the centre.

Measures and questions:

Measure on the screen the distance $Y_{m}$ between the symmetric minima $+ m$ and $- m$ , using the highest possible $m$ , i.e. using the two symmetric minima further away from the centre of sharp observation. Repeat the measurement of the same $Y_{m}$ by placing the thread at decreasing distances from the screen, up to $x_{m i n} = 30 cm$ . Write down the values of $x$ and $Y_{m}$ in a table, clearly indicating the value of $m$ used.
Graphically represent on a sheet of millimeter paper the values of $Y_{m}$ in order versus $x$ in abscises.
Determine the slope, $p$ , of the straight line that best fits these points.
Subtract the value of the diameter of the thread, $d$ .
Estimate the slope uncertainty, $Δ p$ , of the straight $Y_{m} (x)$ .
Taking into account the above result, and furthermore that, according to manufacturer data, the laser wavelength is $λ = (650 \pm 10) nm$ , estimate the uncertainty of the thread diameter, $Δ d$ .

Diffraction pattern on screen from wire

The following table shows the results of the experimental setup diagram with laser:

Raccolta Gare di Fisica

Esplora

Spagna 2014

Vista grafico