Spagna 2014

Prueba experimental. Difracción de luz en un hilo.

Introducción; objetivo.

El año 2014 ha sido declarado Año Internacional de la Cristalografía por las Naciones Unidas, para conmemorar el centenario del descubrimiento de la difracción de rayos X por Max von Laue (1912) y el enunciado de la ecuación de Bragg (1913). A lo largo de estos 100 años la difracción de rayos X ha tenido, y tiene todavía, un papel esencial en el estudio y determinación de estructuras cristalinas.

La difracción en una estructura tridimensional es compleja. Posiblemente esté más familiarizado con la difracción de la luz en obstáculos más sencillos, como la doble rendija del experimento de Young: la luz que se difracta en dos rendijas próximas y paralelas interfiere sobre una pantalla produciendo franjas luminosas alternadas con otras oscuras (franjas de Young).

En esta prueba experimental se va a observar la difracción de luz monocromática (láser) en un hilo delgado. El objetivo de la prueba es determinar el diámetro del hilo.

Material.

• Puntero láser rojo, de longitud de onda $\lambda =650\text{nm}$.
• Hilo de cobre, montado en un soporte de cartulina (Atención: debe manejarse con cuidado para evitar que se doble).
• Metro de papel.
• Soporte de aluminio.
• Escala de medida, de papel milimetrado.
• Hoja de cartulina.
• Pinzas de ropa.
• Cinta adhesiva y tijeras.

Modelo teórico.

Cuando un haz colimado de luz monocromática incide sobre un hilo cilíndrico, con sección circular, sobre una pantalla alejada se observa una serie de máximos de interferencias/difracción, separados por mínimos nulos (figura 1). El máximo central tiene una anchura doble que los laterales, y su intensidad es mucho mayor.

Si la longitud de onda de la luz es $\lambda$ y el diámetro del hilo es $d$, se demuestra que el $m$-ésimo mínimo de intensidad luminosa en la pantalla se encuentra en la posición angular (véase la figura 1) dada por

$\sin {\alpha }_m=\frac{m\lambda }{d},m=\pm 1,\pm 2,\pm 3\dots$

En nuestro experimento, los valores de los ángulos ${\alpha }_m$ para los primeros mínimos son suficientemente pequeños para que se cumpla bien la aproximación

$\sin {\alpha }_m\approx \tan {\alpha }_m\approx {\alpha }_m=\frac{y_m}{x}$

donde $x$ es la distancia entre el hilo y la pantalla, e $y_m$ es la distancia del $m$-ésimo mínimo al centro de la figura de difracción. Con la aproximación anterior, es inmediato deducir que la distancia entre los mínimos simétricos $m$ y $-m$, uno a cada lado del eje del sistema, es

$Y_m=2y_m=\frac{2m\lambda }{d}x(1)$

En esta prueba se va a determinar el valor de $d$ a partir de las medidas de $Y_m$ en función de $x$.

Procedimiento experimental.

Advertencias previas:

• Esta prueba requiere el uso de un puntero láser. Debe evitar que el haz láser entre directamente en un ojo, suyo o de sus compañeros, pues podría causar una lesión en la retina.
• La duración de las pilas del puntero láser es muy limitada. Por tanto, sólo deberá encenderse al principio de la prueba, para verificar que funciona correctamente, y durante la toma de datos.
• El hilo de cobre montado en el soporte de cartulina es muy delgado y frágil. El soporte debe manejarse con cuidado y en ningún caso debe tocarse el hilo con los dedos.

Construcción del montaje (figura 2):

1. Extienda el metro de papel sobre la mesa y fíjelo con cinta adhesiva.
2. Construya la pantalla fijando con cinta adhesiva la escala de papel milimetrado al soporte de aluminio.
3. Coloque la pantalla de papel milimetrado coincidiendo con la marca de 0 cm del metro de papel, y en posición transversal.
4. El puntero láser tiene dos pulsadores: uno para que funcione como linterna de luz blanca y otro para el láser propiamente dicho. Sujete el puntero con ayuda de dos pinzas. Una de las pinzas debe oprimir el pulsador del láser, para mantenerlo encendido. Esta última pinza sólo debe ponerse inmediatamente antes de comenzar las medidas para evitar el agotamiento de las pilas. Las pinzas deben ajustarse para que el haz de luz sea aproximadamente paralelo a la mesa.
5. Sitúe el puntero sobre el metro de papel, a unos 80 cm de la pantalla, de modo que el haz de luz incida sobre la línea negra central de la escala milimetrada de la pantalla. Esta línea negra sirve para evitar el deslumbramiento por el máximo central de difracción y mejorar la visibilidad de los otros máximos, que son mucho menos intensos.
6. Es conveniente colocar la pantalla de observación bajo una visera hecha con cartulina negra, para evitar que la luz ambiente dificulte la observación de la figura de difracción.
7. Sujete la cartulina soporte del hilo con una pinza, de modo que el hilo quede vertical.
8. Coloque inicialmente el hilo a 65 cm de la pantalla ($x=65\text{cm}$), de modo que la luz incida sobre el alambre y se observe la figura de difracción en la pantalla. Ajuste cuidadosamente la posición del hilo en el haz de luz hasta conseguir una figura de difracción bien contrastada y simétrica respecto al centro.

Medidas y preguntas:

1. Mida en la pantalla la distancia $Y_m$ entre los mínimos simétricos $+m$ y $-m$, empleando el $m$ más alto posible, es decir, empleando los dos mínimos simétricos más alejados del centro que observe con nitidez. Repita la medida del mismo $Y_m$ colocando el hilo a distancias decrecientes de la pantalla, hasta $x_{\min }=30\text{cm}$. Anote los valores de $x$ e $Y_m$ en una tabla, indicando claramente el valor de $m$ empleado.

2. Represente gráficamente en una hoja de papel milimetrado los valores de $Y_m$, en ordenadas, frente a los de $x$, en abscisas.

3. Determine la pendiente, $p$, de la recta que mejor se ajusta a estos puntos.

4. Deduzca el valor del diámetro del hilo, $d$.

5. Haga una estimación de la incertidumbre de la pendiente, $\Delta p$, de la recta $Y_m(x)$.

6. Teniendo en cuenta el resultado anterior, y además que, según datos del fabricante, la longitud de onda del láser es $\lambda =(650\pm 10)\text{nm}$, haga una estimación de la incertidumbre del diámetro del hilo, $\Delta d$.

Diffraction pattern on screen from wire

Experimental setup diagram with laser

Topic: Wave Optics, Geometric Optics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Small-Angle Approximation, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Wire, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.1

La prova sperimentale. Diffrazione della luce su un filo.

Introduzione; obiettivo.

L’anno 2014 è stato dichiarato Anno internazionale della cristalografia dalle Nazioni Unite, per commemorare il centenario della scoperta della diffrazione dei raggi X da parte di Max von Laue (1912) e l’enunciamento dell’equazione di Bragg (1913). Nel corso di questi 100 anni la diffrazione dei raggi X ha avuto, e continua a svolgere, un ruolo essenziale nello studio e nella determinazione delle strutture cristalline.

La diffrazione in una struttura tridimensionale è complessa. Probabilmente è più familiare con la diffrazione della luce in ostacoli più semplici, come la doppia spaccatura dell’esperimento di Young: la luce diffratta in due spazi vicini e paralleli interferisce su uno schermo producendo strisce luminose alternate con altre strisce oscure (strisce di Young).

In questo test sperimentale si osserverà la diffrazione di luce monocromatica (laser) su un filo sottile. L’obiettivo della prova è determinare il diametro del filo.

Materiale.

• puntatore laser rosso, a lunghezza d’onda $\lambda =650\text{nm}$.
• filo di rame, montato su supporto di cartolina (attenzione: deve essere maneggiato con cura per evitare che si pieghi).
• Metro di carta.
• Supporto in alluminio.
• Scala di misura, di carta millimetrica.
• Carta di cartolina.
• Ghiacci di vestiti.
• Fascia adesiva e forbici.

Modello teorico.

Quando un fascio di luce monocromatica collimato incide su un filo cilindrico, a sezione circolare, su uno schermo lontano si osservano una serie di massimi di interferenze/difrazione, separati da minimi zero (Figura 1). Il massimo centrale ha il doppio di larghezza rispetto ai lati, e la sua intensità è molto maggiore.

Se la lunghezza d’onda della luce è $\lambda$ e il diametro del filo è $d$, si dimostra che il $m$-minimo di intensità luminosa sullo schermo si trova nella posizione angolare (vedi figura 1) data da

$\sin {\alpha }_m=\frac{m\lambda }{d},m=\pm 1,\pm 2,\pm 3\dots$

Nel nostro esperimento, i valori degli angoli ${\alpha }_m$ per i primi minimi sono abbastanza piccoli da soddisfare bene l’approccio

$\sin {\alpha }_m\approx \tan {\alpha }_m\approx {\alpha }_m=\frac{y_m}{x}$

dove $x$ è la distanza tra il filo e lo schermo, e $y_m$ è la distanza del $m$-esimo minimo al centro della figura di diffrazione. Con l’approccio precedente, si deduce immediatamente che la distanza tra i minimi simetrici $m$ e $-m$, uno su ogni lato dell’asse del sistema, è

$Y_m=2y_m=\frac{2m\lambda }{d}x(1)$

In questa prova si determina il valore di $d$ a partire dalle misure di $Y_m$ in funzione di $x$.

Processo sperimentale.

Preavvertenze:

• Questa prova richiede l’uso di un puntatore laser. Devi evitare che il raggi laser entri direttamente in un occhio, tuo o dei tuoi compagni, perché potrebbe causare un danno alla retina.
• La durata delle batterie del puntatore laser è molto limitata. Pertanto, deve essere acceso solo all’inizio della prova, per verificare che funzioni correttamente, e durante la presa dei dati.
• Il filo di rame montato sul supporto di cartolina è molto sottile e fragile. Il supporto deve essere maneggiato con cura e non deve in alcun caso essere toccato con le dita.

La costruzione dell’assemblaggio (Figura 2):

1. Stendete il metro di carta sul tavolo e attaccatelo con un’attaccante.
2. Costruisci lo schermo fissando con nastro adesivo la scala di carta millimetrica al supporto in alluminio.
3. Metti il display di carta millimetrica in corrispondenza del marchio di 0 cm del metro di carta, e in posizione trasversale.
4. Il puntatore laser ha due pulsanti: uno per funzionare come un lanterna di luce bianca e l’altro per il laser stesso. Sosteni il puntatore con due pinze. Uno dei pinzetti deve premere il pulsatore del laser, per tenerlo acceso. Questa ultima pinza deve essere applicata solo immediatamente prima di iniziare le misure per evitare l’esaurimento delle batterie. Le pinze devono essere regolate in modo che il fascio di luce sia approssimativamente parallelo al tavolo.
5. Posizionare il puntatore sopra il metro di carta, a circa 80 cm dallo schermo, in modo che il fascio di luce incida sulla linea nera centrale della scala a millimetri dello schermo. Questa linea nera serve a evitare l’illuminazione dal massimo centrale di diffrazione e a migliorare la visibilità degli altri massimi, che sono molto meno intensi.
6. È opportuno posizionare lo schermo di osservazione sotto una viscera fatta di cartolina nera, per evitare che la luce ambientale impedisca l’osservazione della figura di diffrazione.
7. Collacciate il cartone di supporto del filo con una pinza, in modo che il filo sia verticale.
8. Inizialmente posizionare il filo a 65 cm dal display ($x=65\text{cm}$) in modo che la luce incida sul filo e si osserva la figura di diffrazione sul display. Aggiusta con attenzione la posizione del filo nel fascio di luce fino a ottenere una figura di diffrazione ben contrastabile e simmetrica rispetto al centro.

Missioni e domande:

1. Misura sullo schermo la distanza $Y_m$ tra i minimi simmetrici $+m$ e $-m$, utilizzando il più alto possibile $m$, cioè utilizzando i due minimi simmetrici più lontani dal centro che osserva con precisione. Ripeti la misurazione della stessa $Y_m$ mettendo il filo a distanza decrescente dallo schermo fino a $x_{\min }=30\text{cm}$. Nota i valori di $x$ e $Y_m$ in una tabella, indicando chiaramente il valore di $m$ utilizzato.

2. Rappresenta graficamente su un foglio di carta millimetrica i valori di $Y_m$, ordinati, rispetto a quelli di $x$, in abscissi.

3. Determina la pendenza, $p$, della retta che si adatta meglio a questi punti.

4. Detrazione del valore del diametro del filo, $d$.

5. Estimare l’incertezza della pendenza, $\Delta p$, della retta $Y_m(x)$.

6. Considerando il risultato precedente, e inoltre che, secondo i dati del fabbricante, la lunghezza d’onda del laser è $\lambda =(650\pm 10)\text{nm}$, si fa un’estimazione dell’incertezza del diametro del filo, $\Delta d$.

Diffraction pattern on screen from wire

Experimental setup diagram with laser

Topic: Wave Optics, Geometric Optics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Small-Angle Approximation, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Wire, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.1

Experimental Test. Light Diffraction by a Wire.

Introduction; Objective.

The year 2014 has been declared the International Year of Crystallography by the United Nations, to commemorate the centenary of Max von Laue’s discovery of X-ray diffraction (1912) and the formulation of Bragg’s equation (1913). Over these past 100 years, X-ray diffraction has played—and continues to play—an essential role in the study and determination of crystal structures.

Diffraction by a three-dimensional structure is complex. You are probably more familiar with light diffraction by simpler obstacles, such as the double-slit setup in Young’s experiment: light diffracted through two closely spaced, parallel slits interferes on a screen, producing alternating bright and dark fringes (Young’s fringes).

In this experimental test, you will observe the diffraction of monochromatic light (laser) by a thin wire. The objective of this test is to determine the diameter of the wire.

Materials.

• Red laser pointer, wavelength $\lambda =650\text{nm}$.
• Copper wire, mounted on a cardboard holder (Caution: handle carefully to avoid bending it).
• Paper meter.
• Aluminum support.
• Measuring scale, made of millimeter graph paper.
• Cardboard sheet.
• Clothespins.
• Adhesive tape and scissors.

Theoretical Model.

When a collimated beam of monochromatic light is incident on a cylindrical wire with circular cross-section, a series of interference/diffraction maxima are observed on a distant screen, separated by null minima (Figure 1). The central maximum is twice as wide as the lateral ones, and its intensity is much greater.

If the wavelength of the light is $\lambda$ and the diameter of the wire is $d$, it can be shown that the angular position (see Figure 1) of the $m$-th intensity minimum on the screen is given by

$\sin {\alpha }_m=\frac{m\lambda }{d},m=\pm 1,\pm 2,\pm 3\dots$

In our experiment, the values of the angles ${\alpha }_m$ for the first minima are sufficiently small so that the approximation

$\sin {\alpha }_m\approx \tan {\alpha }_m\approx {\alpha }_m=\frac{y_m}{x}$

holds well, where $x$ is the distance between the wire and the screen, and $y_m$ is the distance from the $m$-th minimum to the center of the diffraction pattern. Using the above approximation, it is immediate to deduce that the distance between the symmetric minima $m$ and $-m$, located on opposite sides of the system’s axis, is

$Y_m=2y_m=\frac{2m\lambda }{d}x(1)$

In this experiment, the value of $d$ will be determined from measurements of $Y_m$ as a function of $x$.

Experimental procedure.

Precautions:

• This test requires the use of a laser pointer. You must avoid directing the laser beam directly into your eye or that of your colleagues, as it could cause retinal damage.
• The laser pointer battery life is very limited. Therefore, you should only turn it on at the beginning of the test to verify that it works properly, and during data collection.
• The copper wire mounted on the cardboard support is very thin and fragile. Handle the support with care, and under no circumstances should you touch the wire with your fingers.

Assembly of the setup (Figure 2):

1. Unfold the paper meter and secure it to the table with adhesive tape.

2. Construct the screen by attaching the millimeter paper scale to the aluminum support using adhesive tape.

3. Position the millimeter paper screen so that it aligns with the 0 cm mark on the paper meter, and place it in a transverse orientation.

4. The laser pointer has two buttons: one to operate as a white light flashlight, and another for the laser itself. Hold the pointer with two clips. One of the clips must press down on the laser button to keep it turned on. This clip should only be placed immediately before starting measurements, in order to avoid battery depletion. Adjust the clips so that the light beam is approximately parallel to the table.

5. Position the pointer on the paper meter approximately 80 cm from the screen, so that the light beam strikes the central black line of the millimeter scale on the screen. This black line helps prevent glare from the central diffraction maximum and improves visibility of the other maxima, which are much less intense.

6. It is advisable to place the observation screen under a visor made from black cardboard, in order to prevent ambient light from interfering with the observation of the diffraction pattern.

7. Hold the cardboard support of the wire using a clamp, so that the wire remains vertical.

8. Initially place the wire 65 cm from the screen ($x=65\text{cm}$), so that the light strikes the wire and the diffraction pattern is observed on the screen. Carefully adjust the position of the wire within the light beam until a well-contrasted and symmetric diffraction pattern relative to the center is obtained.

Measurements and Questions:

1. Measure on the screen the distance $Y_m$ between the symmetric minima $+m$ and $-m$, using the highest possible $m$, that is, using the two most distant symmetric minima from the center that you can observe clearly. Repeat this measurement of the same $Y_m$ by placing the wire at decreasing distances from the screen, down to $x_{\min }=30\text{cm}$. Record the values of $x$ and $Y_m$ in a table, clearly indicating the value of $m$ used.

2. Plot graphically on millimeter paper the values of $Y_m$, plotted on the ordinate axis, versus those of $x$, plotted on the abscissa axis.

3. Determine the slope, $p$, of the straight line that best fits these points.

4. Deduce the value of the wire diameter, $d$.

5. Make an estimate of the uncertainty in the slope, $\Delta p$, of the straight line $Y_m(x)$.

6. Taking into account the previous result, and additionally that according to manufacturer data, the laser wavelength is $\lambda =(650\pm 10)\text{nm}$, make an estimate of the uncertainty in the wire diameter, $\Delta d$.

Diffraction pattern on screen from wire

Experimental setup diagram with laser