Spagna 2017

Prueba experimental. Determinación del módulo de cizalladura del cobre.

Objetivo

El módulo de cizalladura (también llamado de corte, de rigidez o de elasticidad transversal) es una constante de cada material elástico que caracteriza la deformación que sufre el material cuando se somete a un esfuerzo de corte, es decir aplicado en dirección tangente a la superficie sobre la que actúa.

El principal objetivo de esta prueba es determinar experimentalmente el módulo de cizalladura del cobre a partir de medidas del periodo de oscilación de un péndulo de torsión, formado por un hilo cilíndrico de cobre del que se suspende una arandela metálica (figura 1).

Material (véase la figura 2)

• Palito de madera.
• Pinza metálica.
• Cinta adhesiva.
• Hilo de cobre de sección circular. Diámetro: $D=(0,395\pm 0,003)$ mm.
• Arandela. Su masa, $M$, está indicada en una etiqueta dentro de la bolsa.
• Metro de papel.
• Cronómetro.
• Calibre.

Modelo teórico

Se demuestra que, para pequeñas deformaciones torsionales del hilo, el periodo de oscilación de un péndulo de torsión, $T$, viene dado por

$T=2\pi \sqrt{\frac{8IL}{\pi G{R}^4}}(1)$

donde $L$ es la longitud del hilo, $R$ el radio de su sección, $G$ el módulo de cizalladura del material del hilo e $I$ el momento de inercia de la arandela respecto a un eje diametral. Supuesto que el grosor de la arandela es pequeño comparado con sus radios, $I$ viene dado por

$I=\frac{M}{4}\left(r_1^2+r_2^2\right)(2)$

donde $M$ es la masa de la arandela, y $r_1$ y $r_2$ son sus radios interior y exterior (figura 1).

Procedimiento experimental

Determinación de $I$.

1. Mida con el calibre los diámetros interior y exterior de la arandela. Calcule su momento de inercia. (2 p.)

2. Haga una estimación de la incertidumbre del momento de inercia, $\Delta I$. Suponga que la incertidumbre de $M$ es $\Delta M=0,01$ g. (2 p.)

Determinación de $G$.

Atención: El hilo del péndulo que se va a construir tiene que quedar recto y vertical, por lo que debe tener especial cuidado en evitar que el hilo se doble. Fije sobre la mesa el metro de papel, con cinta adhesiva. Fije también sobre la mesa el palito de madera, de forma que sobresalga unos centímetros del borde. Con un pequeño nudo, ate la arandela en un extremo del hilo de cobre. El nudo debe quedar lo más cerca posible del borde de la arandela. Asegúrese de que, al suspender la arandela del hilo, ésta queda en un plano vertical. Sujete el hilo con la pinza y cuelgue el péndulo, pasando el palito por los orificios de la pinza (figura 3). Ajuste la longitud de hilo, $L$, al valor máximo que permita la altura de la mesa, sin que la arandela toque el suelo. Extienda el péndulo sobre el metro y mida la longitud del hilo, $L$.

3. Mida el periodo $T$ de las oscilaciones torsionales del péndulo. Repita el proceso para valores de $L$ decrecientes, hasta unos 25 cm. Presente sus resultados en una tabla. (2 p.)

Según la ecuación (1), se espera una dependencia lineal entre $T^2$ y $L$.

4. Represente gráficamente en un papel milimetrado los puntos correspondientes a esta dependencia. (3 p.)

5. Determine la pendiente, $p$, de la recta que mejor se ajusta a esos puntos. (2 p.)

6. Deduzca el valor del módulo de cizalladura del cobre, $G$. (2 p.)

Para hacer una estimación de la incertidumbre de este módulo, $\Delta G$, habría que considerar tres fuentes de error: radio del hilo, momento de inercia y pendiente de la recta ajustada.

7. Suponiendo que la fuente de incertidumbre dominante es la del radio del hilo, haga una estimación de $\Delta G$. (3 p.)

Comprobación de la dependencia $T(L)$.

La ecuación (1) indica que se espera $T$ proporcional a $L^{1/2}$. Imagine ahora que no conoce esta dependencia, y que plantea la hipótesis $T=K{L}^n$, donde $K$ es una constante y $n$ es un número desconocido, que se espera racional sencillo (entero, semientero…).

8. A partir de su serie de datos experimentales y la gráfica que considere oportuna, compruebe que el exponente adecuado es $n=1/2$. (4 p.)

Torsion pendulum with copper wire and washer

Experimental setup materials overview

Topic: Elasticity & Materials, Oscillations & Waves, Rotational Dynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Pendulum, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1

La prova sperimentale. Determinazione del modulo di taglio del rame.**

Obiettivo

Il modulo di taglio (chiamato anche di taglio, di rigidità o di elasticità transversale) è una costante di ogni materiale elastico che caratterizza la deformazione che il materiale subisce quando viene sottoposto a uno sforzo di taglio, cioè applicato in direzione tangente alla superficie su cui agisce.

L’obiettivo principale di questa prova è determinare sperimentalmente il modulo di taglio del rame a partire da misure del periodo di oscillazione di un pendolo di torsione, formato da un filo cilindrico di rame dal quale viene sospesa una pinza metallica (figura 1).

Materiale (vedere figura 2)

• Un palo di legno.
• Pinta metallica.
• Cintura adesiva.
• Filo di rame di sezione circolare. Diametro: $D=(0,395\pm 0,003)$ mm.
• Faglielo. La sua massa, $M$, è indicata su una etichetta all’interno della borsa.
• Metro di carta.
• Un cronometro.
• Calibro.

Modello teorico

Per le piccole deformazioni torsionarie del filo, è dimostrato che il periodo di oscillazione di un pendolo di torsione, $T$, è dato da

$T=2\pi \sqrt{\frac{8IL}{\pi G{R}^4}}(1)$

dove $L$ è la lunghezza del filo, $R$ il raggio della sezione, $G$ il modulo di taglio del materiale del filo e $I$ il momento di inerzia della pinza rispetto ad un asse diametrale. Se il grosso della ragglia è piccolo rispetto ai suoi raggi, $I$ viene dato da

$I=\frac{M}{4}\left(r_1^2+r_2^2\right)(2)$

dove $M$ è la massa della ghiandola, e $r_1$ e $r_2$ sono i suoi raggi interni ed esterni (figura 1).

Processo sperimentale

Determinazione di $I$.

1. Misurare con il calibro i diametri interni ed esterni della catena. Calcola il suo momento di inerzia. (2 p.)

2. Estimare l’incertezza del momento di inerzia, $\Delta I$. Supponiamo che l’incertezza di $M$ sia $\Delta M=0,01$ g. (2 p.)

Determinazione di $G$.

Attenzione: il filo del pendolo da costruire deve essere retto e verticale, quindi deve essere particolarmente attento a non piegare il filo. Ho fissato sul tavolo il metro di carta, con la cinta adesiva. Metti anche sul tavolo il bastone di legno, in modo che il bordo salga fuori per circa un centimetro. Con un piccolo nodo, attacca la catena ad una estremità del filo di rame. Il nodo deve essere posto il più vicino possibile al bordo della pinza. Assicurarsi che, quando si sospende la fionda, essa rimanga in un piano verticale. Sosteni il filo con la pinza e appendi il pendolo, passando il bastone attraverso i fori della pinza (figura 3). Adatta la lunghezza del filo, $L$, al massimo valore consentito dall’altezza del tavolo, senza che la pinza tocchi il suolo. Estendere il pendolo sul metro e misurare la lunghezza del filo, $L$.

3. Misura il periodo $T$ delle oscillazioni torsionali del pendolo. Ripeti il processo per valori $L$ in calo, fino a circa 25 cm. Presenta i risultati in una tabella. (2 p.)

In base all’equazione (1), si prevede una dipendenza lineare tra $T^2$ e $L$.

4. Rappresenta in forma grafica su carta millimetrica i punti corrispondenti a tale dipendenza. (3 p.)

5. Determina la pendenza, $p$, della retta che meglio si adatta a tali punti. (2 p.)

6. Detrazione del valore del modulo di taglio del rame, $G$. (2 p.)

Per una stima dell’incertezza di questo modulo, $\Delta G$, occorrono tre fonti di errore: radius del filo, momento di inerzia e pendizione della retta regolata.

7. Supponendo che la fonte di incertezza dominante sia quella del raggio del filo, si fa una stima di $\Delta G$. (3 p.)

Controlla della dipendenza $T(L)$.

L’equazione (1) indica che $T$ è atteso proporzionale a $L^{1/2}$. Immaginate ora di non conoscere questa dipendenza, e di sollevare l’ipotesi $T=K{L}^n$, dove $K$ è una costante e $n$ è un numero sconosciuto, che si aspetta razionale semplice (intero, semimetro…).

8. Sulla base del suo set di dati sperimentali e del grafico che ritiene opportuno, verificare che l’esponente appropriato sia $n=1/2$. (4 p.)

Pendolo a torsione con copper wire e washer

Settatura di materiale sperimentale overview

Topic: Elasticity & Materials, Oscillations & Waves, Rotational Dynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Pendulum, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1

Prueba experimental. Determination of the copper cutting module.

Objetivo

The cutting module (also called cutting, rigidity or transverse elasticity) is a constant of each elastic material that characterizes the deformation that the material undergoes when subjected to cutting stress, i.e. applied in a tangent direction to the surface on which it acts.

The main objective of this test is to experimentally determine the copper shear module from measurements of the oscillation period of a torsion pendulum, formed by a cylindrical copper thread from which a metal clamp is suspended (Figure 1).

Material (véase la figura 2)

• A wooden stick.
• It’s a metallic pin.
• It’s the tape.
• Circular section copper thread. Diámetro: $D=(0,395\pm 0,003)$ mm.
• Scratch it. Its mass, $M$, is indicated on a label inside the bag.
• It’s a paper subway.
• It’s a timekeeper.
• It’s a caliber.

Modelo teórico

It is shown that for small torsional deformations of the yarn, the oscillation period of a torsion pendulum, $T$, is given by

$T=2\pi \sqrt{\frac{8IL}{\pi G{R}^4}}(1)$

where $L$ is the length of the thread, $R$ the radius of its section, $G$ the cutting modulus of the thread material and $I$ the moment of inertia of the blade with respect to a diameter axis. Assuming the thickness of the claw is small compared to its radii, $I$ is given by

$I=\frac{M}{4}\left(r_1^2+r_2^2\right)(2)$

where $M$ is the mass of the claw, and $r_1$ and $r_2$ are its inner and outer radii (Figure 1).

Procedimiento experimental

Determinación de $I$.

1. Measure the internal and external diameters of the screw with the caliber. Calculate its moment of inertia. (2 p.)

2. Estimate the uncertainty of the moment of inertia, $\Delta I$. Suppose the uncertainty of $M$ is $\Delta M=0,01$ g. (2 p.)

Determinación de $G$.

Attention: The thread of the pendulum to be built must be straight and vertical, so you must take special care not to bend the thread. I fixed the paper meter on the table, with tape. And I set the wooden staff upon the table, so that the edge of the table should be a few inches. With a small knot, tie the scythe to one end of the copper thread. The knot must be kept as close as possible to the edge of the screw. Make sure that when you suspend the threaded clamp, it remains in a vertical plane. Hold the thread with the tweezers and hang the pendulum, passing the stick through the tweezers holes (Figure 3). Adjust the length of the thread, $L$, to the maximum height of the table, without the screw touching the ground. Extend the pendulum over the meter and measure the length of the thread, $L$.

3. Measure the $T$ period of torsional oscillations of the pendulum. Repeat the process for decreasing $L$ values, up to about 25 cm. Present your results in a table. (2 p.)

According to equation (1), a linear dependence between $T^2$ and $L$ is expected.

4. Graphically represent the points corresponding to this dependence on a millimeter paper. (3 p.)

5. Determine the slope, $p$, of the straight line that best fits those points. (2 p.)

6. Subtract the value of the copper cutting module, $G$. (2 p.)

To estimate the uncertainty of this module, $\Delta G$, three sources of error should be considered: thread radius, moment of inertia and slope of the straight line.

7. Assuming that the source of the dominant uncertainty is the thread radius, make an estimate of $\Delta G$. (3 p.)

Comprobación de la dependencia $T(L)$.

Equation (1) indicates that $T$ is expected to be proportional to $L^{1/2}$. Now imagine that you don’t know this dependence, and you propose the $T=K{L}^n$ hypothesis, where $K$ is a constant and $n$ is an unknown number, which is expected to be a simple rational number (entire, semitero…).

8. On the basis of your experimental data set and the chart you consider appropriate, check that the appropriate exponent is $n=1/2$. (4 p.)

Torsion pendulum with copper wire and washer

Experimental setup materials overview

Topic: Elasticity & Materials, Oscillations & Waves, Rotational Dynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Pendulum, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1