IZhO 2022

Experiment 1: Sliding friction

To measure the coefficient of sliding friction, the rolling of a solid homogeneous cylinder on an inclined plane is studied at various angles of inclination of the plane to the horizon. We assume that the force of sliding friction is described by the well-known Coulomb-Amonton law:

$F_{s} = μ_{s} N, (1)$

where $N$ stands for the normal reaction force and $μ_{s}$ denotes the coefficient of sliding friction.

Consider the experimental setup to be a wide flat steel plate, whose angle of inclination to the horizon can be arbitrarily varied. The error in setting the angle of inclination of the plane to the horizon is $Δ α = 0.2°$ .

The solid homogeneous steel cylinder can roll down the plate with its axis remaining horizontal all the time. To measure the acceleration, three optical sensors (0, 1, 2) are fixed on the plate. Each sensor consists of a light source and a photodetector, which are mounted on the identical stands. The solid homogeneous cylinder is placed on the plate and released. The cylinder moves down between these stands and blocks the light beam so that at the moment of light interruption, an electrical impulse is generated that controls an electronic stopwatch (not shown in the figure). When the cylinder passes sensor 0, a stopwatch is started, when the cylinder passes sensors 1 and 2, the times of these passages are recorded.

Thus, the following time intervals are measured in the experiment: $t_{1}$ — cylinder motion time interval from sensor 0 to sensor 1; $t_{2}$ — cylinder motion time interval from sensor 0 to sensor 2.

These time intervals are recorded with 4 significant digits. The instrumental error in measuring time intervals $t_{1}$ and $t_{2}$ is equal $Δ t = 2 \times 1 0^{- 4}$ s.

The distances between the sensors are measured as:

from sensor 0 to sensor 1: $S_{1} = (50.0 \pm 0.2)$ cm;
from sensor 0 to sensor 2: $S_{2} = (100.0 \pm 0.2)$ cm.

When making numerical calculations, assume that the free fall acceleration is equal $g = 9.81$ m/s².

The results of measuring time intervals $t_{1}$ and $t_{2}$ are given in Table 1 for different angles of inclination of the plate to the horizon.

Table 1. Time intervals of the cylinder motion.

$α$ (°)	$t_{1}$ (s)	$t_{2}$ (s)
20	0.4546	0.7187
25	0.3936	0.6290
30	0.3462	0.5589
35	0.3229	0.5211
40	0.3358	0.5283
45	0.3084	0.4911
50	0.2682	0.4347
55	0.2816	0.4432
60	0.2600	0.4113
65	0.2461	0.3908
70	0.2308	0.3675
75	0.2218	0.3542

Theoretical part

1.1 Derive formulas for the acceleration of the cylinder axis in two cases: A) the motion of the cylinder occurs without slipping — acceleration $a_{1}$ ; B) when moving along the plate, the cylinder slips — acceleration $a_{2}$ . Express your answers in terms of $α$ , $g$ , $μ_{s}$ .

1.2 Express the maximum angle $α_{cr}$ of inclination of the plate, at which the motion of the cylinder still occurs without slipping, in terms of the coefficient of friction $μ_{s}$ .

Processing of measurement data

1.3 Using the measurement results given in Table 1, calculate the acceleration with which the cylinder axis moved for each angle of inclination of the plate. Put down the formula for the acceleration, according to which the calculations are carried out. Draw a graph of the acceleration versus the angle and with its aid find an approximate value of the critical $α_{cr}$ .

1.4 Carry out the linearization of the obtained dependence, i.e. find such values $X (α, a)$ and $Y (α, a)$ so that the dependence $Y (X)$ turns linear for both cases when the cylinder moves without slipping and with slipping. Draw a linearized dependence $Y (X)$ for all experimental points.

1.5 Using the linearized relationship $Y (X)$ , calculate the coefficient of friction $μ_{s}$ between the cylinder and the plate. Estimate the error $Δ μ_{s}$ of the obtained value. Put down the formulas used in your calculations.

1.6 Using the linearized relationship $Y (X)$ , calculate the value of the critical angle $α_{cr}$ , at which the cylinder starts to slip. Estimate the error of the obtained value. Put down the formulas used in your calculations.

Inclined plate with three optical sensors

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Cylinder, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.1

Esperimento 1: attrito scorrevole

Per misurare il coefficiente di attrito scorrevole, si studia il rotolamento di un cilindro solido omogeneo su un piano inclinato in vari angoli di inclinazione del piano verso l’orizzonte. Supponiamo che la forza di attrito scorrevole sia descritta dalla nota legge di Coulomb-Amonton:

$F_{s} = μ_{s} N, (1)$

dove $N$ rappresenta la forza di reazione normale e $μ_{s}$ indica il coefficiente di attrito di scorrere.

Considera che l’impianto sperimentale sia una larga piastra di acciaio piatta, il cui angolo di inclinazione all’orizzonte può essere arbitrariamente variabile. L’errore nell’impostare l’angolo di inclinazione del piano verso l’orizzonte è $Δ α = 0.2°$ .

Il cilindro di acciaio solido omogeneo può rotolare la piastra con l’asse che rimane orizzontale in ogni momento. Per misurare l’accelerazione, sulla targa sono fissati tre sensori ottici (0, 1, 2). Ogni sensore è costituito da una fonte di luce e da un fotodettore, montati su stand identici. Il cilindro solido omogeneo viene posto sulla piastra e rilasciato. Il cilindro si muove verso il basso tra questi supporti e blocca il fascio luminoso in modo che, nel momento dell’interruzione della luce, venga generato un impulso elettrico che controlla un orologio di fermo elettronico (non mostrato nella figura). Quando il cilindro passa il sensore 0, viene avviato un orologio fermo, quando il cilindro passa i sensori 1 e 2, vengono registrati i tempi di questi passaggi.

Pertanto, nell’esperimento vengono misurati i seguenti intervalli temporali: $t_{1}$ intervallo di tempo di movimento del cilindro dal sensore 0 al sensore 1; $t_{2}$ intervallo di tempo di movimento del cilindro dal sensore 0 al sensore 2.

Questi intervalli temporali sono registrati con 4 cifre significative. L’errore strumentale negli intervalli di tempo di misura $t_{1}$ e $t_{2}$ è uguale a $Δ t = 2 \times 1 0^{- 4}$ s.

Le distanze tra i sensori sono misurate come:

dal sensore 0 al sensore 1: $S_{1} = (50.0 \pm 0.2)$ cm;
dal sensore 0 al sensore 2: $S_{2} = (100.0 \pm 0.2)$ cm.

Quando si effettuano calcoli numerici, supponiamo che l’accelerazione della caduta libera sia uguale a $g = 9.81$ m/s2.

I risultati degli intervalli di misurazione $t_{1}$ e $t_{2}$ sono riportati nella tabella 1 per gli angoli di inclinazione della targa verso l’orizzonte.

Tabella 1. Intervalli temporali del movimento del cilindro.

$α$ (°)	$t_{1}$ (s)	$t_{2}$ (s)
20	0.4546	0.7187
25	0.3936	0.6290
30	0.3462	0.5589
35	0.3229	0.5211
40	0.3358	0.5283
45	0.3084	0.4911
50	0.2682	0.4347
55	0.2816	0.4432
60	0.2600	0.4113
65	0.2461	0.3908
70	0.2308	0.3675
75	0.2218	0.3542

Parte teorica

1.1 Formula derivata per l’accelerazione dell’asse del cilindro in due casi: A) il movimento del cilindro avviene senza scivolare accelerazione $a_{1}$ ; B) quando si muove lungo la piastra, il cilindro scivola accelerazione $a_{2}$ . Esprimere le risposte in termini di $α$ , $g$ , $μ_{s}$ .

1.2 Esprimere l’angolo massimo $α_{cr}$ di inclinamento della piastra, al quale il movimento del cilindro si verifica ancora senza scivolare, in termini di coefficiente di attrito $μ_{s}$ .

Processamento dei dati di misura

1.3 Con i risultati di misurazione riportati nella tabella 1, calcolare l’accelerazione con cui l’asse del cilindro si è spostato per ogni angolo di inclinamento della piastra. Si deve calcolare la formula dell’accelerazione, secondo la quale vengono effettuati i calcoli. Disegnare un grafico dell’accelerazione contro l’angolo e trovare con il suo aiuto un valore approssimativo del critico $α_{cr}$ .

**1.4 ** Realizzare la linearizzazione della dipendenza ottenuta, ovvero trovare tali valori $X (α, a)$ e $Y (α, a)$ in modo che la dipendenza $Y (X)$ diventi lineare per entrambi i casi in cui il cilindro si muove senza scivolare e con scivolamento. Disegnare una dipendenza linearizzata $Y (X)$ per tutti i punti sperimentali.

1.5 Con la relazione linearizzata $Y (X)$ calcolare il coefficiente di attrito $μ_{s}$ tra il cilindro e la piastra. Calcolare l’errore $Δ μ_{s}$ del valore ottenuto. Scrivi le formule utilizzate nei tuoi calcoli.

1.6 Usando la relazione linearizzata $Y (X)$ , calcolare il valore dell’angolo critico $α_{cr}$ , all’inizio della scivolazione del cilindro. Valutare l’errore del valore ottenuto. Scrivi le formule utilizzate nei tuoi calcoli.

Platte inclinate con tre sensori ottici

Experiment 2: Rolling friction

In reality, even in the absence of slipping between the bodies, there are frictional forces called rolling friction forces. In this experiment, the following setup is used to study the rolling friction. A small rod is rigidly attached to the side surface of a massive solid cylinder, whose imaginary prolongation crosses the axis of the cylinder. The cylinder is located on the two horizontal plates so that it can roll over them without slipping. In this case, the rod lies always in the gap between the plates.

Let us use the following notation: the radius of the cylinder $R$ , the mass of the cylinder $M$ , the mass of the attached rod $m$ , which can be considered significantly less than the mass of the cylinder, the distance from the center of mass of the rod to the axis of the cylinder $l$ .

Usually, the formula for the rolling friction force is written as

$F_{R} = \frac{δ}{R} N,$

where $N$ is the normal reaction force, $R$ stands for the radius of the rolling body, and $δ$ refers to the rolling friction coefficient. In this part of the problem, it is necessary to determine the dimensionless value $μ_{r} = δ / R$ , which for brevity is called the coefficient of rolling friction. Typically, the coefficient of rolling friction is much less in magnitude than the coefficient of sliding friction studied above.

During the experiment, the cylinder is placed into its initial position in such a way that the rod is directed vertically upwards, after which the cylinder is released without any significant push. The cylinder starts to roll on the plates, performing damped oscillations due to the action of the rolling friction force. In this case, the coordinates of successive extreme positions of the cylinder (stoppage points) are written down: $x_{0}$ — initial position, $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ — coordinates of successive stoppage points. The origin of coordinates $x = 0$ corresponds to the point where the rod is directed vertically downwards. Table 2 shows the experimental values of the coordinates of the stoppage points, whose measurement error is found as $Δ x = 0.2$ cm.

Table 2. Coordinates of the stoppage points.

$k$	$x_{k}$ (cm)
0	15.8
1	−11.6
2	10.1
3	−9.0
4	7.7
5	−7.0
6	5.7
7	−5.3
8	4.7
9	−3.9
10	2.8

To determine the setup parameters, the period of small oscillations of the cylinder near the equilibrium position (point $x = 0$ ) is measured. For this, the times of five oscillations of the cylinder with the rod are measured several times. The results of these measurements are shown in Table 3. The instrumental error of the time measurement is $Δ t = 0.02$ s.

Table 3. The times of five oscillations.

$k$	$t_{5}$ (s)
1	7.39
2	7.21
3	7.26
4	7.47
5	7.44

Theoretical part

2.1 Derive the formula for the period of the small fluctuations described right above. Express the oscillation period in terms of the setup parameters $M, m, R, l$ and the free fall acceleration $g$ .

2.2 Derive an equation relating the coordinates of two successive cylinder stoppage points $x_{k}$ , $x_{k - 1}$ in the described cylinder rolling experiment. This equation, in addition to the coordinates, may include the setup parameters $M, m, R, l$ , the free fall acceleration $g$ and the coefficient of rolling friction $μ_{r}$ .

2.3 Express the coordinate of the $k$ -th cylinder stoppage point in terms of the initial coordinate $x_{0}$ and the coordinates of all previous stoppage points $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k - 1}$ . This equation, in addition to the coordinates of the stoppage points, should include only the free fall acceleration $g$ and the period of small oscillations $T$ .

Processing of measurement data

2.4 Using the measurement results given in Table 3, calculate the period $T$ of small oscillations of the cylinder. Estimate the measurement error $Δ T$ of this quantity.

2.5 Propose such values $Y (x_{k})$ and $X (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{k})$ such that the dependence $Y (X)$ turns linear and allows you to calculate the coefficient of rolling friction $μ_{r}$ . Draw a graph of the linearized relationship $Y (X)$ .

2.6 Using the linearized relationship $Y (X)$ , calculate the coefficient of rolling friction $μ_{r}$ . Estimate the error $Δ μ_{r}$ of the obtained value.

Cylinder with rod on horizontal plates

Oscillation coordinate diagram stoppage points

Period measurement setup oscillating cylinder

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis, Statistical Averaging Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Cylinder, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.3

**Esperimento 2: attrito di rotolamento **

In realtà, anche in assenza di scivolamento tra i corpi, ci sono forze di attrito chiamate forze di attrito in rotazione. In questo esperimento, la seguente configurazione viene utilizzata per studiare l’attrito di rotolamento. Una piccola canna è rigidamente attaccata alla superficie laterale di un massiccio cilindro solido, la cui prolungatura immaginaria attraversa l’asse del cilindro. Il cilindro è posizionato sulle due lastre orizzontali in modo da poterli rotolare senza scivolare. In questo caso, la canna si trova sempre nel divario tra le piastre.

Utilizziamo la seguente notazione: il raggio del cilindro $R$ , la massa del cilindro $M$ , la massa della canna allegata $m$ , che può essere considerata significativamente inferiore alla massa del cilindro, la distanza dal centro di massa della canna all’asse del cilindro $l$ .

Di solito, la formula per la forza di attrito di rotolamento è scritta come

$F_{R} = \frac{δ}{R} N,$

se $N$ è la forza di reazione normale, $R$ rappresenta il raggio del corpo di rotolamento e $δ$ si riferisce al coefficiente di attrito di rotolamento. In questa parte del problema è necessario determinare il valore senza dimensioni $μ_{r} = δ / R$ , che per brevità è chiamato il coefficiente di attrito di rotolamento. In genere, il coefficiente di attrito di rotolamento è molto inferiore in magnitudo rispetto al coefficiente di attrito di scorrere studiato sopra.

Durante l’esperimento, il cilindro viene posizionato nella sua posizione iniziale in modo tale che la canna sia diretta verticalmente verso l’alto, dopo di che il cilindro viene rilasciato senza spinta significativa. Il cilindro inizia a rotolare sulle lastre, eseguendo oscillazioni umedezzate a causa dell’azione della forza di attrito di rotolamento. In questo caso, le coordinate delle posizioni estreme successive del cilindro (punti di arresto) sono scritte: $x_{0}$ posizione iniziale, $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ coordinate dei punti di arresto successivi. L’origine delle coordinate $x = 0$ corrisponde al punto in cui la canna è diretta verticalmente verso il basso. La tabella 2 mostra i valori sperimentali delle coordinate dei punti di arresto, il cui errore di misura è riscontrato come $Δ x = 0.2$ cm.

Tabella 2. Coordinate dei punti di fermo.

$k$	$x_{k}$ (cm)
0	15.8
1	−11.6
2	10.1
3	−9.0
4	7.7
5	−7.0
6	5.7
7	−5.3
8	4.7
9	−3.9
10	2.8

Per determinare i parametri di impostazione, si misura il periodo di piccole oscillazioni del cilindro vicino alla posizione di equilibrio (punto $x = 0$ ). Per questo, i tempi di cinque oscillazioni del cilindro con la canna vengono misurati diverse volte. I risultati di queste misurazioni sono riportati nella tabella 3. L’errore strumentale della misurazione del tempo è $Δ t = 0.02$ s.

Tabella 3. I tempi di cinque oscillazioni.

$k$	$t_{5}$ (s)
1	7.39
2	7.21
3	7.26
4	7.47
5	7.44

Parte teorica

2.1 Derivare la formula per il periodo delle piccole fluttuazioni descritte sopra. Esprimere il periodo di oscillazione in termini di parametri di impostazione $M, m, R, l$ e l’accelerazione di caduta libera $g$ .

2.2 Derivare un’equazione relativa alle coordinate di due punti di arresto successivi del cilindro $x_{k}$ , $x_{k - 1}$ nell’esperimento descritto di rotolamento del cilindro. Questa equazione, oltre alle coordinate, può includere i parametri di impostazione $M, m, R, l$ , l’accelerazione di caduta libera $g$ e il coefficiente di attrito di rotolamento $μ_{r}$ .

2.3 Esprimere la coordinata del punto di arresto del cilindro $k$ in termini di coordinata iniziale $x_{0}$ e delle coordinate di tutti i punti di arresto precedenti $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k - 1}$ . Questa equazione, oltre alle coordinate dei punti di arresto, dovrebbe includere solo l’accelerazione di caduta libera $g$ e il periodo di piccole oscillazioni $T$ .

Processamento dei dati di misura

2.4 Con i risultati di misurazione riportati nella tabella 3, calcolare il periodo $T$ di piccole oscillazioni del cilindro. Valutare l’errore di misura $Δ T$ di questa quantità.

2.5 Proporre tali valori $Y (x_{k})$ e $X (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{k})$ in modo tale che la dipendenza $Y (X)$ diventi lineare e ti permetta di calcolare il coefficiente di attrito di rotolamento $μ_{r}$ . Disegnare un grafico della relazione linearizzata $Y (X)$ .

2.6 Usando la relazione linearizzata $Y (X)$ , calcolare il coefficiente di attrito di rotolamento $μ_{r}$ . Calcolare l’errore $Δ μ_{r}$ del valore ottenuto.

Cilindro con bastone su piastre orizzontali

Punti di arresto del diagramma di coordinate di oscillazione

Configurazione della misurazione del periodo cilindro oscillante

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