Giappo na

Problem 1.1. The SI and the cgs systems

Express the following physical quantities in SI units (rationalized MKSA units).

(1) The unit of force in the cgs system is dyn (dyne). Express $1\text{dyn}$ in SI units (N).

(2) The unit of pressure in the cgs system is ${\text{dyn/cm}}^2$. Express $1{\text{dyn/cm}}^2$ in SI units (Pa).

(3) The unit of energy in the cgs system is erg. Express $1\text{erg}$ in SI units (J).

(4) The unit of viscosity in the cgs system is P (poise). Express $1\text{P}$ in SI units ($\text{Pa}\cdot \text{s}$).

(5) The unit of electric charge in the Gaussian CGS system is statcoulomb (statC). The Coulomb force between two point charges each with $1\text{statC}$ placed $1\text{cm}$ apart is $1\text{dyn}$. Express $1\text{statC}$ in SI units (C). Here, the proportional constant in Coulomb’s law in SI units is $k_0=9.0\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$.

(the 1st Challenge)

Topic: Mathematics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.20

Il problema 1.1. I sistemi SI e cgs**

Esprimere le seguenti quantità fisiche in unità SI (unità MKSA razionalizzate).

(1) L’unità di forza del sistema di cgs è la din (dyne). Espresso $1\text{dyn}$ in unità SI (N).

(2) L’unità di pressione del sistema cgs è ${\text{dyn/cm}}^2$. Espresso $1{\text{dyn/cm}}^2$ in unità SI (Pa).

(3) L’unità di energia del sistema cgs è erg. Espresso $1\text{erg}$ in unità SI (J).

(4) L’unità di viscosità nel sistema di cgs è P (poise). Espresso $1\text{P}$ in unità SI ($\text{Pa}\cdot \text{s}$).

(5) L’unità di carica elettrica del sistema CGS di Gauss è statcoulomb (statC). La forza di Coulomb tra due cariche a punti ognuna con $1\text{statC}$ separata da $1\text{cm}$ è $1\text{dyn}$. Espresso $1\text{statC}$ in unità SI (C). Qui, la costante proporzionale della legge di Coulomb in unità SI è $k_0=9.0\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$.

(Prima sfida)

Topic: Mathematics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.20

Problem 1.2. The pressure due to high heels and elephants

(1) A woman of weight $W=55\text{kg}$ is wearing shoes with high heels (stiletto heels). Each heel has a circular bottom with a diameter of $d=1\text{cm}$. Find the pressure $P_{\text{heel}}$ at the tip of the heel when the woman puts her full weight on one heel.

(2) An elephant of weight $W=3\text{t}$ is standing on four legs. Each foot has a circular bottom with a diameter of $d=45\text{cm}$. Find the pressure $P_{\text{elephant}}$ at the bottom of one foot when the elephant puts $1/4$ of its weight on each foot.

(3) Compare the pressures $P_{\text{heel}}$ and $P_{\text{elephant}}$.

(the 1st Challenge)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.21

Il problema 1.2. La pressione dovuta ai tacchi alti e agli elefanti

(1) Una donna di peso $W=55\text{kg}$ indossa scarpe a tacchi alti (tacchi a stiletto). Ogni tallone ha un fondo circolare di $d=1\text{cm}$ di diametro. Trova la pressione $P_{\text{heel}}$ alla punta del tallone quando la donna mette il suo peso completo su un tallone.

(2) Un elefante di peso $W=3\text{t}$ sta in piedi su quattro gambe. Ogni piede ha un fondo circolare di $d=45\text{cm}$ di diametro. Trova la pressione $P_{\text{elephant}}$ al fondo di un piede quando l’elefante mette $1/4$ del suo peso su ogni piede.

(3) Confronta le pressioni $P_{\text{heel}}$ e $P_{\text{elephant}}$.

(Prima sfida)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.21

Problem 1.3. The part of the iceberg above the sea

Density of seawater: ${\rho }_{\text{sea}}=1.03\times 10^3{\text{kg/m}}^3$. Density of ice: ${\rho }_{\text{ice}}=0.917\times 10^3{\text{kg/m}}^3$.

(1) What fraction of the volume of an iceberg is above the sea surface? Show that the answer is independent of the shape of the iceberg.

(2) Using the result of (1), calculate the ratio of the height of the part above the sea to the total height, assuming the iceberg is a rectangular box.

(the 1st Challenge)

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.22

Il problema 1.3. La parte dell’iceberg sopra il mare

Densità dell’acqua di mare: ${\rho }_{\text{sea}}=1.03\times 10^3{\text{kg/m}}^3$. Densità del ghiaccio: ${\rho }_{\text{ice}}=0.917\times 10^3{\text{kg/m}}^3$.

(1) Quante frazioni del volume di un iceberg sono sopra la superficie del mare? Mostrate che la risposta è indipendente dalla forma dell’iceberg.

(2) Con il risultato di (1), calcolare il rapporto tra l’altezza della parte sopra il mare e l’altezza totale, supponendo che l’iceberg sia una scatola rettangolare.

(Prima sfida)

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.22

Problem 1.4. The altitude angle of the Sun

At noon on the summer solstice, the altitude angle of the Sun (angle above the horizon) at a city located at latitude $35°\text{N}$ is found to be $\theta$. The axial tilt of the Earth is $\epsilon =23.4°$.

(1) Find $\theta$.

(2) At noon on the winter solstice, find the altitude angle $\varphi$ of the Sun at the same city.

(3) Compare the length of daytime on the summer solstice and the winter solstice at this city.

(the 1st Challenge)

Topic: Geometric Optics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.24

Il problema è il 1.4. L’angolo di altitudine del Sole**

Al mezzogiorno del solstizio estivo, l’angolo di altitudine del Sole (angolo sopra l’orizzonte) in una città situata a latitudine $35°\text{N}$ si trova a essere $\theta$. L’inclinazione assiale della Terra è $\epsilon =23.4°$.

(1) Trova $\theta$.

(2) Al mezzogiorno del solstizio invernale, si trova l’angolo di altitudine $\varphi$ del Sole nella stessa città.

(3) Confronta la durata del giorno del solstizio estivo con il solstizio invernale di questa città.

(Prima sfida)

Topic: Geometric Optics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.24

Problem 1.5. Dimensional analysis and scale transformation

I In mechanics, there are three fundamental units: length $[L]$, mass $[M]$, and time $[T]$.

(1) Express the dimensions of the following quantities in terms of $[L]$, $[M]$, $[T]$: (a) velocity, (b) acceleration, (c) force, (d) energy, (e) pressure, (f) viscosity coefficient $\eta$ (the relationship between shear stress and velocity gradient is $\sigma =\eta dv/dx$).

(2) The viscous force on a sphere of radius $r$ moving at velocity $v$ through a fluid of viscosity $\eta$ is $F=6\pi \eta rv$ (Stokes’ law). Confirm this formula is dimensionally consistent.

II Consider geometrically similar animals — same shape but different sizes. Let $l$ be a characteristic length.

(3) How does the body mass $M$ scale with $l$?

(4) The cross-sectional area of a leg bone determines the maximum load it can support (proportional to cross-section area). How does the ratio of body mass to bone cross-section area scale with $l$? What does this imply for large animals?

(5) The jumping height of an animal is independent of its size. Explain why.

(6) A metabolic rate (energy per unit time) is proportional to body surface area. How does the metabolic rate per unit body mass scale with $l$?

(the 2nd Challenge)

Topic: Mathematics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.25

Il problema 1.5. Analisi dimensionale e trasformazione della scala

I In mechanics, there are three fundamental units: length $[L]$, mass $[M]$, and time $[T]$.

(1) Esprimere le dimensioni delle seguenti quantità in termini di $[L]$, $[M]$, $[T]$: (a) velocità, (b) accelerazione, (c) forza, (d) energia, (e) pressione, (f) coefficiente di viscosità $\eta$ (la relazione tra tensione di taglio e gradiente di velocità è $\sigma =\eta dv/dx$).

(2) La forza viscosa su una sfera di raggio $r$ che si muove a velocità $v$ attraverso un fluido di viscosità $\eta$ è $F=6\pi \eta rv$ (legge di Stokes). Confirma che questa formula sia coerente in termini di dimensioni.

II Considera gli animali geometricamente simili la stessa forma ma dimensioni diverse. La $l$ deve essere una lunghezza caratteristica.

(3) Come si fa a bilanciare la massa corporea $M$ con $l$?

(4) La superficie trasversale di un osso della gamba determina il carico massimo che può supportare (proporzionale alla superficie trasversale). Come si fa a valutare il rapporto tra massa corporea e superficie di sezione ossea con $l$? Cosa significa questo per gli animali grandi?

(5) L’altezza di salto di un animale è indipendente dalla sua dimensione. Spiegate il motivo.

(6) Il tasso metabolico (energia per unità di tempo) è proporzionale alla superficie del corpo. Come si fa a valutare il tasso di metabolismo per unità di massa corporea con $l$?

(la seconda sfida)

Topic: Mathematics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.25

Problem 1.6. Why don’t clouds fall?

Cloud droplets are very small water droplets suspended in the atmosphere. For a droplet of radius $r$ falling at terminal velocity $v$ in air, Stokes’ law gives the viscous drag force $F=6\pi \eta rv$, where $\eta$ is the viscosity of air.

(1) Find the terminal velocity $v$ of a cloud droplet of radius $r=10\mu \text{m}$, density $\rho =1.0\times 10^3{\text{kg/m}}^3$, in air with $\eta =1.8\times 10^{-5}\text{Pa}\cdot \text{s}$, $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

(2) Explain in terms of your result why clouds appear to float.

(3) On the other hand, raindrops are much larger (radius $\sim 1\text{mm}$). Estimate the terminal velocity of a raindrop assuming the drag force equals the weight (i.e., large drop regime). What happens when Stokes’ law does not apply?

(the 2nd Challenge)

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.28

Il problema 1.6. Perché le nuvole non cadono?

Le gocce di nuvole sono piccole gocce d’acqua sospese nell’atmosfera. Per una goccia di raggio $r$ che cade a velocità terminale $v$ nell’aria, la legge di Stokes dà la forza di trazione viscosa $F=6\pi \eta rv$, dove $\eta$ è la viscosità dell’aria.

(1) Trova la velocità terminale $v$ di una goccia di nuvola di raggio $r=10\mu \text{m}$, densità $\rho =1.0\times 10^3{\text{kg/m}}^3$, nell’aria con $\eta =1.8\times 10^{-5}\text{Pa}\cdot \text{s}$, $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

(2) Spiegate in termini di risultato il motivo per cui le nuvole sembrano galleggiare.

(3) D’altra parte, le gocce di pioggia sono molto più grandi (radio $\sim 1\text{mm}$). Estimare la velocità terminale di una goccia di pioggia, supponendo che la forza di trazione sia uguale al peso (cioè regime di grande goccia). Cosa succede quando la legge di Stokes non si applica?

(la seconda sfida)

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.28

Problem 2.1. Ball falling from a bicycle

A person on a bicycle moving at constant horizontal velocity $v_0$ drops a ball from height $h$ above the ground.

(1) Describe the trajectory of the ball as seen by a stationary observer on the ground.

(2) At what horizontal distance from the point of release does the ball hit the ground?

(3) Describe the trajectory of the ball as seen by the person on the bicycle.

(the 1st Challenge)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.48

Il problema 2.1. Palla cadente da una bicicletta**

Una persona in bicicletta che si muove a velocità orizzontale costante $v_0$ lancia una palla da un’altezza $h$ al di sopra del terreno.

(1) Descrivi la traiettoria della palla osservata da un osservatore fermo a terra.

(2) A che distanza orizzontale dal punto di rilascio la palla colpisce il terreno?

(3) Descrivi la traiettoria della palla vista dalla persona in bicicletta.

(Prima sfida)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.48

Problem 2.2. Ball thrown off a cliff

A ball is thrown horizontally from the top of a cliff of height $H$ with initial speed $v_0$.

(1) Find the time $t$ it takes to hit the ground.

(2) Find the horizontal distance $x$ traveled.

(3) Find the speed of the ball just before it hits the ground.

(4) Find the angle $\alpha$ that the velocity vector makes with the horizontal just before impact.

(the 1st Challenge)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.49

Il problema 2.2. Ball thrown off a cliff

Una palla viene lanciata orizzontalmente dalla parte superiore di una scogliera di altezza $H$ con velocità iniziale $v_0$.

(1) Find the time $t$ it takes to hit the ground.

(2) Trova la distanza orizzontale $x$ percorsa.

(3) Calcolare la velocità della palla poco prima che colpisca il terreno.

(4) Trova l’angolo $\alpha$ che il vettore di velocità fa con l’orizzontale poco prima dell’impatto.

(Prima sfida)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.49

Problem 2.3. Trajectory of a ball

A ball is thrown with initial speed $v_0$ at angle $\theta$ above the horizontal from the origin.

(1) Write the equations for $x(t)$ and $y(t)$.

(2) Eliminate $t$ to find the trajectory equation $y=y(x)$.

(3) Find the maximum height $H$ reached by the ball.

(4) Find the range $R$ (horizontal distance when the ball returns to the same height).

(5) What angle $\theta$ maximizes the range?

(the 1st Challenge)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.51

Il problema 2.3. Traettoria di una palla**

Una palla viene lanciata con velocità iniziale $v_0$ all’angolo $\theta$ sopra l’orizzontale dall’origine.

(1) Scrivere le equazioni per $x(t)$ e $y(t)$.

(2) Elimina $t$ per trovare l’equazione di traiettoria $y=y(x)$.

(3) Trova l’altezza massima raggiunta dalla palla $H$.

(4) Trova la gamma $R$ (distanza orizzontale quando la palla ritorna alla stessa altezza).

(5) Quale angolo $\theta$ massimizza l’intervallo?

(Prima sfida)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.51

Problem 2.4. Motion of a train

A train starts from rest and accelerates uniformly for time $t_1$, then travels at constant speed $v$ for time $t_2$, and finally decelerates uniformly to rest in time $t_3$.

(1) Find the total distance traveled.

(2) Find the average speed over the whole journey.

(3) Sketch the velocity–time and position–time graphs.

A second train of length $L$ passes by a station platform of length $d$ at speed $v$.

(4) Find the time the train takes to completely pass the platform.

(the 1st Challenge)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.53

Il problema 2.4. Movimento di un treno**

Un treno parte dal riposo e accelera uniformemente per il tempo $t_1$, quindi viaggia a velocità costante $v$ per il tempo $t_2$, e infine decelera uniformemente per riposare nel tempo $t_3$.

(1) Trova la distanza totale percorsa.

(2) Trova la velocità media durante l’intero viaggio.

(3) Segnare i grafici della velocità e del tempo di posizione.

Un secondo treno di lunghezza $L$ passa attraverso una piattaforma di stazione di lunghezza $d$ a velocità $v$.

(4) Trova il tempo necessario per passare completamente la piattaforma.

(Prima sfida)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.53

Problem 2.5. Skydiving

A skydiver of mass $m$ falls through air with a drag force proportional to the square of velocity: $F_{\text{drag}}=b{v}^2$.

(1) Write the equation of motion and find the terminal velocity $v_T$.

(2) Show that the velocity approaches $v_T$ exponentially (qualitatively).

(3) A skydiver of mass $m=70\text{kg}$ has terminal velocity $v_T=50\text{m/s}$. Find the drag coefficient $b$.

(4) The skydiver opens a parachute that increases the drag coefficient by a factor of 100. Find the new terminal velocity.

(the 2nd Challenge)

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.56

Il problema 2.5. Scavo in cielo**

Un paracadutista di massa $m$ cade attraverso l’aria con una forza di trazione proporzionale al quadrato della velocità: $F_{\text{drag}}=b{v}^2$.

(1) Scrivere l’equazione del movimento e trovare la velocità terminale $v_T$.

(2) Indicare che la velocità si avvicina a $v_T$ esponenzialmente (qualitativamente).

(3) Un paracadutista di massa $m=70\text{kg}$ ha una velocità terminale $v_T=50\text{m/s}$. Trova il coefficiente di resistenza $b$.

(4) Il paracadutista apre un paracadut che aumenta il coefficiente di resistenza di 100 volte. Trova la nuova velocità terminale.

(la seconda sfida)

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.56

Problem 2.6. Small objects sliding on different descendent paths

Two smooth inclined planes have the same height $h$. Plane A has inclination angle $\alpha$ and plane B is a quarter-circle arc of radius $R$ (where $R=h/\sin \alpha$ for equivalent height).

(1) Find the speed at the bottom of each path using energy conservation.

(2) Find the time to slide down inclined plane A.

(3) Find the time to slide down the curved path B. [Hint: the time is shorter for the brachistochrone curve, but here compute for the quarter-circle.]

(4) Which path has the shorter descent time?

(the 1st Challenge)

Topic: Newtonian Mechanics Conservation of Energy Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.60

Il problema 2.6. I piccoli oggetti che scivolano su percorsi discendenti diversi**

Due piani a inclinazione liscia hanno la stessa altezza $h$. Il piano A ha un angolo di inclinazione $\alpha$ e il piano B è un arco di quartiere di radio $R$ (dove $R=h/\sin \alpha$ per altezza equivalente).

(1) Trova la velocità in fondo a ciascun percorso utilizzando la risparmio di energia.

(2) Trova il tempo per scendere in piano A inclinato.

(3) Trova il tempo per scivolare lungo il percorso curvo B. [Suggerimento: il tempo è più breve per la curva brachistocrona, ma qui calcolare per il quarto cerchio.]

(4) Quale percorso ha il tempo di discesa più breve?

(Prima sfida)

Topic: Newtonian Mechanics Conservation of Energy Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.60

Problem 2.7. An inclined plane

A block of mass $m$ is on an inclined plane of angle $\theta$. The coefficient of static friction is ${\mu }_s$ and the coefficient of kinetic friction is ${\mu }_k$.

(1) Find the minimum angle ${\theta }_0$ at which the block starts to slide.

(2) If the plane is tilted at angle $\theta >{\theta }_0$, find the acceleration of the block down the plane.

(3) A force $F$ is applied horizontally to push the block up the incline. Find the minimum $F$ required to move the block up at constant velocity.

(the 1st Challenge)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.61

Il problema 2.7. Piano inclinato**

Un blocco di massa $m$ è situato su un piano inclinato di angolo $\theta$. Il coefficiente di attrito statico è ${\mu }_s$ e il coefficiente di attrito cinetico è ${\mu }_k$.

(1) Trova l’angolo minimo ${\theta }_0$ in cui il blocco inizia a scivolare.

(2) Se il piano è inclinato all’angolo $\theta >{\theta }_0$, si trova l’accelerazione del blocco lungo il piano.

(3) Per spingere il blocco verso l’alto, viene applicata una forza $F$ orizzontale. Trova il minimo $F$ necessario per spostare il blocco verso l’alto a velocità costante.

(Prima sfida)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.61

Problem 2.8. Space probe to Pluto

A space probe is launched from Earth to fly to Pluto using the gravitational slingshot effect around Jupiter.

Given: Earth–Sun distance $r_E=1.50\times 10^{11}\text{m}$; Jupiter–Sun distance $r_J=7.78\times 10^{11}\text{m}$; Pluto–Sun distance $r_P=5.91\times 10^{12}\text{m}$; mass of Sun $M_S=1.99\times 10^{30}\text{kg}$; $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$.

(1) Using Kepler’s third law, find the orbital period of Jupiter and Pluto.

(2) Find the minimum launch speed from Earth to reach Jupiter (Hohmann transfer orbit). Assume circular orbits.

(3) In the Hohmann transfer orbit from Earth to Jupiter, find the speed of the probe when it arrives at Jupiter’s orbit.

(4) The gravitational slingshot increases the probe’s speed by $\Delta v$ relative to the Sun. After the encounter with Jupiter, if the probe’s speed in the Jupiter frame is reflected (elastic encounter), find the speed gained.

(the 2nd Challenge)

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.63

Il problema 2.8. Sonda spaziale a Plutone**

Una sonda spaziale viene lanciata dalla Terra per volare verso Plutone utilizzando l’effetto di gravità attorno a Giove.

Date: Distanza Terra Sole $r_E=1.50\times 10^{11}\text{m}$; Distanza Giove Sole $r_J=7.78\times 10^{11}\text{m}$; Distanza Plutone Sole $r_P=5.91\times 10^{12}\text{m}$; Massa del Sole $M_S=1.99\times 10^{30}\text{kg}$; $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$.

(1) Usando la terza legge di Kepler, trovi il periodo orbitale di Giove e Plutone.

(2) Trovare la velocità minima di lancio dalla Terra per raggiungere Giove (orbita di trasferimento di Hohmann). Supponiamo orbite circolari.

(3) Nell’orbita di trasferimento Hohmann dalla Terra a Giove, trova la velocità della sonda quando arriva nell’orbita di Giove.

(4) Il slingshot gravitazionale aumenta la velocità della sonda di $\Delta v$ rispetto al Sole. Dopo l’incontro con Giove, se la velocità della sonda nel quadro di Giove è riflessa (incontro elastico), trova la velocità guadagnata.

(la seconda sfida)

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.63

Problem 2.9. Atwood machine with friction

An Atwood machine consists of two masses $m_1$ and $m_2$ ($m_1>m_2$) connected by a rope over a pulley. The pulley has mass $M$ and radius $R$, and can be modeled as a uniform disk. The axle of the pulley has a frictional torque ${\tau }_f$.

(1) Find the acceleration of the masses when there is no friction (${\tau }_f=0$), taking the pulley’s moment of inertia into account.

(2) With friction torque ${\tau }_f$, find the acceleration of the system.

(3) Find the condition on $m_1-m_2$ for the masses to move at all.

(the 2nd Challenge)

Topic: Rotational Dynamics Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Pulley, String, Disk Fonte: Testo (PDF) — p.88

Il problema 2.9. Macchine a legno a friczione**

Una macchina Atwood è composta da due masse $m_1$ e $m_2$ ($m_1>m_2$) collegate da una corda su una pollice. La pollice ha massa $M$ e raggio $R$ e può essere modellata come un disco uniforme. L’asse della pollice ha una coppia di attrito ${\tau }_f$.

(1) Trovare l’accelerazione delle masse quando non vi è attrito (${\tau }_f=0$), tenendo conto del momento di inerzia della polla.

(2) Con la coppia di attrito ${\tau }_f$, si trova l’accelerazione del sistema.

(3) Trova la condizione su $m_1-m_2$ per il movimento totale delle masse.

(la seconda sfida)

Topic: Rotational Dynamics Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Pulley, String, Disk Fonte: Testo (PDF) — p.88

Problem 2.10. Rotation of rods

A uniform thin rod of mass $m$ and length $L$ is pivoted at one end. It is held horizontal and released from rest.

(1) Find the moment of inertia of the rod about the pivot.

(2) Find the angular acceleration just after release.

(3) Find the angular velocity when the rod is vertical.

(4) Find the force on the pivot when the rod is vertical.

Now consider two identical rods connected end-to-end at a frictionless hinge, with the top rod pivoted at its other end from the ceiling.

(5) Describe qualitatively the motion when the system is released from a horizontal configuration.

(the 2nd Challenge)

Topic: Rotational Dynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.95

Il problema 2.10. Rotare le barre**

Una barra sottile uniforme di massa $m$ e lunghezza $L$ è rotata ad una estremità. Si tiene orizzontale e viene rilasciata dal riposo.

(1) Trova il momento di inerzia della canna intorno al pivot.

(2) Trova l’accelerazione angolare subito dopo il rilascio.

(3) Trova la velocità angolare quando la canna è verticale.

(4) Trova la forza sul pivot quando la canna è verticale.

Ora consideriamo due bastone identiche collegate da un punto all’altro in una cerniera senza attrito, con la bastone superiore girata dall’altra estremità del soffitto.

(5) Descrivere qualitativamente il movimento quando il sistema viene rilasciato da una configurazione orizzontale.

(la seconda sfida)

Topic: Rotational Dynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.95

Problem 2.11. Expanding Universe

The Hubble law states that distant galaxies recede from us with velocity $v=H_{0}d$, where $d$ is the distance and $H_0=72\text{km/s/Mpc}$ is the Hubble constant ($1\text{Mpc}=3.09\times 10^{22}\text{m}$).

(1) Estimate the age of the Universe $T=1/H_0$ in years.

(2) Estimate the size (Hubble radius) of the observable Universe $R=c/H_0$.

(3) A galaxy is observed to have a redshift $z=\Delta \lambda /\lambda =0.1$. Assuming non-relativistic recession, find its recession velocity and distance.

(4) For the distant galaxy in (3), by how much has the Universe expanded since the light was emitted? [Use the scale factor relation $1+z=a(t_{\text{now}})/a(t_{\text{emit}})$.]

(the 2nd Challenge)

Topic: Astrophysics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.102

Il problema 2.11. Universo in espansione**

La legge di Hubble afferma che le galassie lontane si allontanano da noi con velocità $v=H_{0}d$, dove $d$ è la distanza e $H_0=72\text{km/s/Mpc}$ è la costante di Hubble ($1\text{Mpc}=3.09\times 10^{22}\text{m}$).

(1) Estimare l’età dell’Universo $T=1/H_0$ in anni.

(2) Estimare la dimensione (radius di Hubble) dell’Universo osservabile $R=c/H_0$.

(3) Si osserva che una galassia abbia un spostamento rosso $z=\Delta \lambda /\lambda =0.1$. Supponendo una recessione non relativistica, trovi la sua velocità e la sua distanza.

(4) Per la galassia lontana del (3), quanto si è espanso l’Universo da quando la luce è stata emessa? [Utilizzare la relazione dei fattori di scala $1+z=a(t_{\text{now}})/a(t_{\text{emit}})$.]

(la seconda sfida)

Topic: Astrophysics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.102

Problem 3.1. Graph of sinusoidal wave

A transverse sinusoidal wave on a string is described by $y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\varphi )$, where $A=2.0\text{cm}$, wavelength $\lambda =40\text{cm}$, period $T=0.20\text{s}$, and $\varphi =0$.

(1) Find the wave number $k$, angular frequency $\omega$, and wave speed $v$.

(2) Sketch $y$ vs. $x$ at $t=0$.

(3) Sketch $y$ vs. $t$ at $x=0$.

(4) Find the transverse velocity of a point at $x=10\text{cm}$ at $t=0.05\text{s}$.

(5) In what direction does the wave travel?

(the 1st Challenge)

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.113

Il problema 3.1. Grafico di onde sinusoidali**

Un’onda sinusoidale trasversale su una stringa è descritta da $y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\varphi )$, dove $A=2.0\text{cm}$, lunghezza d’onda $\lambda =40\text{cm}$, periodo $T=0.20\text{s}$ e $\varphi =0$.

(1) Trova il numero di onde $k$, la frequenza angolare $\omega$ e la velocità delle onde $v$.

(2) Sketch $y$ vs. $x$ at $t=0$.

(3) Sketch $y$ vs. $t$ at $x=0$.

(4) Trova la velocità trasversale di un punto a $x=10\text{cm}$ a $t=0.05\text{s}$.

(5) In che direzione si muove l’onda?

(Prima sfida)

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.113

Problem 3.2. Observation of sound using microphones

Two microphones are placed at distance $d=1.0\text{m}$ apart along a line. A loudspeaker emitting a pure tone of frequency $f$ is placed far away along the same line.

(1) If the speed of sound is $v_s=340\text{m/s}$, find the wavelength $\lambda$ for $f=1000\text{Hz}$.

(2) When the speaker emits $f=1000\text{Hz}$, what is the phase difference between the signals at the two microphones?

(3) The speaker moves parallel to the line joining the microphones at speed $v_s^{\prime }=10\text{m/s}$. Using the Doppler effect, find the frequencies detected by each microphone when the speaker is directly in front of one microphone.

(4) When the speaker is moving toward one microphone and away from the other, determine whether the two microphones ever detect the same frequency.

(the 1st Challenge)

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.115

Problema 3.2. Osservazione del suono con microfoni

Due microfoni sono posizionati a distanza $d=1.0\text{m}$ a distanza lungo una linea. Un altoparlante che emette un tono di frequenza pura $f$ è posizionato lontano lungo la stessa linea.

(1) Se la velocità del suono è $v_s=340\text{m/s}$, si trova la lunghezza d’onda $\lambda$ per $f=1000\text{Hz}$.

(2) Quando il altoparlante emette $f=1000\text{Hz}$, qual è la differenza di fase tra i segnali dei due microfoni?

(3) Il altoparlante si muove parallelo alla linea che collega i microfoni a velocità $v_s^{\prime }=10\text{m/s}$. Usando l’effetto Doppler, trova le frequenze rilevate da ogni microfono quando il altoparlante è direttamente di fronte a un microfono.

(4) Quando il speaker si sta spostando verso un microfono e lontano dall’altro, verificate se i due microfoni rilevano la stessa frequenza.

(Prima sfida)

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.115

Problem 3.3. Propagation velocity of a water wave

Consider surface gravity waves on deep water. The phase velocity depends on wavelength: $v_p=\sqrt{g\lambda /(2\pi )}$.

(1) Show by dimensional analysis that $v_p$ can only depend on $g$ and $\lambda$.

(2) For a wave of wavelength $\lambda =1.0\text{m}$, find $v_p$ ($g=9.8{\text{m/s}}^2$).

(3) The group velocity $v_g=v_p/2$ for deep water waves. Explain the physical meaning of group velocity.

(4) A stone dropped in a pond creates a circular ripple pattern. After time $t$, what is the radius of the outermost visible disturbance? What is the radius of the innermost visible wave crest?

(the 2nd Challenge)

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.127

Il problema 3.3. Velocità di propagazione di un’onda d’acqua**

Considerate le onde gravitazionali superficiali in acque profonde. La velocità di fase dipende dalla lunghezza d’onda: $v_p=\sqrt{g\lambda /(2\pi )}$.

(1) Indicare mediante analisi dimensionale che $v_p$ può dipendere solo da $g$ e $\lambda$.

(2) Per una lunghezza d’onda $\lambda =1.0\text{m}$, trovare $v_p$ ($g=9.8{\text{m/s}}^2$).

(3) La velocità di gruppo $v_g=v_p/2$ per le onde di acqua profonda. Spiegate il significato fisico della velocità di gruppo.

(4) Una pietra gettata in un stagno crea un modello di ondulazione circolare. Dopo il tempo $t$, qual è il raggio della disturbanza visibile più esterna? Qual è il raggio della cresta d’onda più interna visibile?

(la seconda sfida)

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.127

Problem 3.4. Dispersion of light and refractive index

The refractive index $n$ of glass depends on wavelength (dispersion): $n=A+B/{\lambda }^2$, where $A$ and $B$ are positive constants.

(1) For a glass prism, explain why white light is split into colors.

(2) For light incident at angle ${\theta }_i$ on the flat face of a prism with apex angle $\alpha$, find the deviation angle $\delta$ in terms of $n$, $\alpha$, and ${\theta }_i$.

(3) At minimum deviation (when the light passes symmetrically through the prism), show that $n=\sin [(\alpha +{\delta }_{\min })/2]/\sin (\alpha /2)$.

(4) For a prism with $\alpha =60°$, if the minimum deviation for red light (${\lambda }_R=700\text{nm}$) is ${\delta }_{\min ,R}=38°$ and for blue light (${\lambda }_B=430\text{nm}$) is ${\delta }_{\min ,B}=42°$, find $n_R$ and $n_B$, and estimate $A$ and $B$.

(the 2nd Challenge)

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.132

Problema 3.4. Distribuzione della luce e indice di rifrazione

L’indice di rifrazione $n$ del vetro dipende dalla lunghezza d’onda (dispersione): $n=A+B/{\lambda }^2$, dove $A$ e $B$ sono costanti positive.

(1) Per un prisma di vetro, spiegate perché la luce bianca è divisa in colori.

(2) Per l’incidente luminoso ad angolo ${\theta }_i$ sulla superficie piana di un prisma con angolo di punta $\alpha$, trovare l’angolo di deviazione $\delta$ in termini di $n$, $\alpha$ e ${\theta }_i$.

(3) Al minimo di deviazione (quando la luce passa simmetricamente attraverso il prisma), indicare che $n=\sin [(\alpha +{\delta }_{\min })/2]/\sin (\alpha /2)$.

(4) Per un prisma con $\alpha =60°$, se la deviazione minima per la luce rossa (${\lambda }_R=700\text{nm}$) è ${\delta }_{\min ,R}=38°$ e per la luce blu (${\lambda }_B=430\text{nm}$) è ${\delta }_{\min ,B}=42°$, trovare $n_R$ e $n_B$, e stimare $A$ e $B$.

(la seconda sfida)

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.132

Problem 4.1. Circuit with two batteries

A circuit contains two batteries with EMFs ${\epsilon }_1=12\text{V}$ (internal resistance $r_1=2\Omega$) and ${\epsilon }_2=6\text{V}$ (internal resistance $r_2=1\Omega$), connected in series with an external resistance $R=5\Omega$.

(1) Find the current $I$ in the circuit.

(2) Find the terminal voltage of each battery.

(3) Find the power delivered to the external resistance $R$.

(4) Find the power dissipated in each internal resistance.

(5) Verify the energy conservation (power balance).

(the 1st Challenge)

Topic: Electromagnetism Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.146

Il problema 4.1. Circuito con due batterie**

Un circuito contiene due batterie con FEM ${\epsilon }_1=12\text{V}$ (resistenza interna $r_1=2\Omega$) e ${\epsilon }_2=6\text{V}$ (resistenza interna $r_2=1\Omega$), collegate in serie con una resistenza esterna $R=5\Omega$.

(1) Trova la corrente $I$ nel circuito.

(2) Trova la tensione terminale di ciascuna batteria.

(3) Trova la potenza fornita alla resistenza esterna $R$.

(4) Trova la potenza dissipata in ogni resistenza interna.

(5) Verificare il risparmio energetico (equilibrio di potenza).

(Prima sfida)

Topic: Electromagnetism Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.146

Problem 4.2. Three-dimensional connection of resistors

Twelve equal resistors, each of resistance $R$, are connected along the edges of a cube (one resistor per edge).

(1) Find the equivalent resistance between two adjacent corners (connected by one edge).

(2) Find the equivalent resistance between two corners connected by a face diagonal.

(3) Find the equivalent resistance between two corners connected by the space diagonal (opposite corners of the cube).

(the 1st Challenge)

Topic: Electromagnetism Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.148

Problema 4.2. connessione tridimensionale di resistori

Dodici resistitori uguali, ciascuno di resistenza $R$, sono collegati lungo i bordi di un cubo (una resistenza per borda).

(1) Trovare la resistenza equivalente tra due angoli adiacenti (connessi da un bordo).

(2) Trova la resistenza equivalente tra due angoli collegati da una diagonale facciale.

(3) Trova la resistenza equivalente tra due angoli collegati dalla diagonale dello spazio (angoli opposti del cubo).

(Prima sfida)

Topic: Electromagnetism Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.148

Problem 4.3. Hand dynamo

A hand-cranked generator (dynamo) consists of a rectangular coil of $N$ turns, area $A$, rotating at angular velocity $\omega$ in a uniform magnetic field $B$.

(1) Find the EMF $\epsilon (t)$ induced in the coil.

(2) The coil has resistance $r$ and is connected to an external load $R$. Find the current $I(t)$.

(3) Find the average power delivered to the external load.

(4) Find the torque that must be applied to keep the coil rotating at constant $\omega$.

(5) What is the efficiency if $r=0.5R$?

(the 1st Challenge)

Topic: Electromagnetism, Electromagnetic Induction Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.151

Il problema 4.3. Dinamo a mano**

Un generatore a mano (dynamo) è costituito da una bobina rettangolare di giri $N$, superficie $A$, che ruota a velocità angolare $\omega$ in un campo magnetico uniforme $B$.

(1) Trova la FEM $\epsilon (t)$ indotta nella bobina.

(2) La bobina ha una resistenza $r$ ed è collegata ad un carico esterno $R$. Trova la corrente $I(t)$.

(3) Trova la potenza media fornita al carico esterno.

(4) Trova la coppia che deve essere applicata per mantenere la rotazione della bobina a costante $\omega$.

(5) Qual è l’efficienza se $r=0.5R$?

(Prima sfida)

Topic: Electromagnetism, Electromagnetic Induction Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.151

Problem 4.4. Law of Biot and Savart

I A long straight wire carries current $I$.

(1) Using the Biot–Savart law, derive the magnetic field $B$ at perpendicular distance $r$ from the wire.

II A circular loop of radius $R$ carries current $I$.

(2) Find the magnetic field at the center of the loop.

(3) Find the magnetic field at a point on the axis at distance $x$ from the center.

III A solenoid of length $L$, $N$ turns, radius $a$, carries current $I$.

(4) Find the magnetic field inside a long solenoid (approximate $L\gg a$).

(5) Find the field at the end of a semi-infinite solenoid.

(the 2nd Challenge)

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Biot-Savart Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire, Coil, Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.174

Il problema 4.4. Legge di Biot e Savart**

I Un lungo filo retto porta corrente $I$.

(1) Usando la legge di BiotSavart, derivare il campo magnetico $B$ a distanza perpendicolare $r$ dal filo.

II Un ciclo circolare di raggio $R$ porta corrente $I$.

(2) Trova il campo magnetico al centro del ciclo.

(3) Trova il campo magnetico in un punto dell’asse a distanza $x$ dal centro.

III Un solenoide di lunghezza $L$, $N$ giri, raggio $a$, porta corrente $I$.

(4) Trovare il campo magnetico all’interno di un solenoide lungo (circa $L\gg a$).

(5) Trova il campo alla fine di un solenoide semicircondario.

(la seconda sfida)

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Biot-Savart Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire, Coil, Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.174

Problem 4.5. Propagation of electromagnetic waves

Maxwell’s equations in vacuum predict electromagnetic waves.

(1) Starting from Maxwell’s equations (in differential form), derive the wave equation for the electric field $\mathbf{E}$.

(2) Show that plane wave solutions exist of the form $\mathbf{E}=E_0\hat{y}\cos (kx-\omega t)$, and find the relationship between $k$, $\omega$, and the speed of light $c$.

(3) Find the associated magnetic field $\mathbf{B}$ for the wave in (2).

(4) Find the Poynting vector $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{B}/{\mu }_0$ and interpret it physically.

(5) Find the radiation pressure on a perfect mirror illuminated at normal incidence by a plane wave of intensity $I$.

(the 2nd Challenge)

Topic: Electromagnetism Metodi: Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.181

Il problema 4.5. Propagazione delle onde elettromagnetiche**

Le equazioni di Maxwell nel vuoto prevedono onde elettromagnetiche.

(1) Partendo dalle equazioni di Maxwell (in forma differenziale), derivare l’equazione d’onda per il campo elettrico $\mathbf{E}$.

(2) Indicare che esistono soluzioni di onde a piatto della forma $\mathbf{E}=E_0\hat{y}\cos (kx-\omega t)$ e trovare la relazione tra $k$, $\omega$ e la velocità della luce $c$.

(3) Trova il campo magnetico associato $\mathbf{B}$ per l’onda in (2).

(4) Trova il vettore di Poynting $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{B}/{\mu }_0$ e interpretale fisicamente.

(5) Trova la pressione di radiazione su uno specchio perfetto illuminato ad incidenza normale da un’onda piana di intensità $I$.

(la seconda sfida)

Topic: Electromagnetism Metodi: Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.181

Problem 4.6. Motion of charged particles in a magnetic field

A charged particle of mass $m$, charge $q>0$, enters a region of uniform magnetic field $\mathbf{B}=B\hat{z}$ with initial velocity ${\mathbf{v}}_0=v_0\hat{x}$.

(1) Show that the particle moves in a circle. Find the radius $r=m{v}_0/(qB)$ and the cyclotron frequency ${\omega }_c=qB/m$.

(2) If an electric field $\mathbf{E}=E\hat{y}$ is also present, show that the particle drifts in the $x$-direction (E×B drift) with velocity $v_d=E/B$.

(3) A particle accelerator uses a cyclotron. Protons (mass $m_p=1.67\times 10^{-27}\text{kg}$, charge $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$) are accelerated in a magnetic field $B=1.5\text{T}$. Find the cyclotron frequency and the orbital radius when the proton speed is $v=0.1c$.

(the 2nd Challenge)

Topic: Electromagnetism Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.188

Il problema 4.6. Movimento di particelle cariche in un campo magnetico**

Una particella carica di massa $m$, carica $q>0$, entra in una regione di campo magnetico uniforme $\mathbf{B}=B\hat{z}$ con velocità iniziale ${\mathbf{v}}_0=v_0\hat{x}$.

(1) Mostra che la particella si muove in cerchio. Trova il raggio $r=m{v}_0/(qB)$ e la frequenza del ciclotrone ${\omega }_c=qB/m$.

(2) Se è presente anche un campo elettrico $\mathbf{E}=E\hat{y}$, indicare che la particella deriva nella direzione $x$ (E×B drift) con velocità $v_d=E/B$.

(3) Un acceleratore di particelle utilizza un ciclotrone. I protoni (massa $m_p=1.67\times 10^{-27}\text{kg}$, carica $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$) sono accelerati in un campo magnetico $B=1.5\text{T}$. Trova la frequenza del ciclotrone e il raggio orbitale quando la velocità del protone è $v=0.1c$.

(la seconda sfida)

Topic: Electromagnetism Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.188

Problem 5.1. Properties of temperature

(1) Convert $100°\text{C}$ (boiling point of water) to Kelvin and to Fahrenheit. State the defining relationship between the Celsius, Kelvin, and Fahrenheit scales.

(2) The coefficient of linear thermal expansion of steel is $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\text{K}}^{-1}$. A steel rod of length $L_0=10\text{m}$ at $0°\text{C}$ is heated to $100°\text{C}$. Find the change in length.

(3) A bimetallic strip consists of two metals with different expansion coefficients. Explain qualitatively why it bends when heated.

(the 1st Challenge)

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.204

Il problema 5.1. Proprietà della temperatura**

(1) Convertire $100°\text{C}$ (punto di ebollizione dell’acqua) in Kelvin e Fahrenheit. Indicare la relazione che definisce le scale Celsius, Kelvin e Fahrenheit.

(2) Il coefficiente di espansione termica lineare dell’acciaio è $\alpha =1.2\times 10^{-5}{\text{K}}^{-1}$. Una barra di acciaio di lunghezza $L_0=10\text{m}$ a $0°\text{C}$ è riscaldata a $100°\text{C}$. Trova il cambiamento di lunghezza.

(3) Una striscia bimetalica è costituita da due metalli con diversi coefficienti di espansione. Spiegate qualitativamente perché si piega quando viene riscaldato.

(Prima sfida)

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.204

Problem 5.2. Potential energy and heat

When a ball of mass $m$ falls from height $h$ and comes to rest (inelastic collision with the ground), all kinetic energy converts to heat.

(1) Calculate the temperature rise $\Delta T$ of the ball, assuming it has specific heat capacity $c$.

(2) For a lead ball ($c=128\text{J/(kg⋅K)}$) dropped from $h=10\text{m}$, find $\Delta T$.

(3) Joule’s paddle-wheel experiment: a falling mass $m_1=10\text{kg}$ drops a height $h=1.0\text{m}$ and stirs water of mass $m_2=1.0\text{kg}$ (specific heat $c_w=4186\text{J/(kg⋅K)}$). Find the temperature rise of the water.

(4) How many times must the experiment be repeated to raise the water temperature by $1°\text{C}$?

(the 1st Challenge)

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.206

Il problema 5.2. Energia e calore potenziali

Quando una palla di massa $m$ cade da un’altezza $h$ e si riposa (collissione inelastica con il terreno), tutta l’energia cinetica si converte in calore.

(1) Calcolare l’aumento di temperatura $\Delta T$ della palla, supponendo che abbia una capacità termico specifica $c$.

(2) Per una palla di piombo ($c=128\text{J/(kg⋅K)}$) caduta da $h=10\text{m}$, trovare $\Delta T$.

(3) L’esperimento di Joule sulla ruota di padella: una massa cadente $m_1=10\text{kg}$ fa cadere un’altezza $h=1.0\text{m}$ e scende acqua di massa $m_2=1.0\text{kg}$ (calore specifico $c_w=4186\text{J/(kg⋅K)}$). Trova l’aumento della temperatura dell’acqua.

(4) Quante volte deve essere ripetuto l’esperimento per aumentare la temperatura dell’acqua di $1°\text{C}$?

(Prima sfida)

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.206

Problem 5.3. Change of state of an ideal gas

One mole of an ideal monatomic gas undergoes the following cycle: (A→B) isothermal expansion at $T_1=300\text{K}$ from $V_A$ to $V_B=2V_A$; (B→C) isochoric (constant volume) cooling to $T_2=200\text{K}$; (C→A) isobaric (constant pressure) compression back to state A.

(1) Find the pressure at each state.

(2) Find the heat absorbed or released in each process.

(3) Find the net work done by the gas per cycle.

(4) Find the efficiency of the cycle as a heat engine.

(the 1st Challenge)

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.207

Il problema 5.3. Cambio di stato di un gas ideale

Un mole di un gas monatomo ideale subisce il seguente ciclo: (A→B) espansione isotermica a $T_1=300\text{K}$ da $V_A$ a $V_B=2V_A$; (B→C) raffreddamento isochorico (volume costante) a $T_2=200\text{K}$; (C→A) compressione isobarica (pressione costante) di nuovo allo stato A.

(1) Trova la pressione in ogni stato.

(2) Trovare il calore assorbito o rilasciato in ciascun processo.

(3) Trova il lavoro netto svolto dal gas per ciclo.

(4) Trova l’efficienza del ciclo come motore termico.

(Prima sfida)

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.207

Problem 5.4. Making water hotter than tea

A thermos contains $m_1=200\text{g}$ of tea at $T_1=80°\text{C}$. You add $m_2=50\text{g}$ of milk at $T_2=5°\text{C}$.

(1) Assuming both liquids have the specific heat of water ($c=4186\text{J/(kg⋅K)}$) and no heat loss, find the final temperature $T_f$.

(2) Is it better to add cold milk immediately or just before drinking (after waiting 10 minutes) if you want the tea to be as hot as possible when you drink it? Justify your answer using Newton’s law of cooling.

(3) Newton’s law of cooling: $dT/dt=-k(T-T_{\text{env}})$ with $T_{\text{env}}=20°\text{C}$. If the tea cools from $80°\text{C}$ to $70°\text{C}$ in 5 minutes, find $k$.

(the 1st Challenge)

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.209

Il problema 5.4. Rendere l’acqua più calda del tè

Un termo contiene $m_1=200\text{g}$ di tè a $T_1=80°\text{C}$. Aggiungi $m_2=50\text{g}$ di latte a $T_2=5°\text{C}$.

(1) Supponendo che entrambi i liquidi abbiano il calore specifico dell’acqua ($c=4186\text{J/(kg⋅K)}$) e non abbiano perdite di calore, si trova la temperatura finale $T_f$.

(2) È meglio aggiungere latte freddo immediatamente o poco prima di bere (dopo aver aspettato 10 minuti) se si vuole che il tè sia il più caldo possibile quando lo si beve? Giustifica la tua risposta usando la legge di Newton del raffreddamento.

(3) Legge di Newton del raffreddamento: $dT/dt=-k(T-T_{\text{env}})$ con $T_{\text{env}}=20°\text{C}$. Se il tè si raffredda da $80°\text{C}$ a $70°\text{C}$ in 5 minuti, trova $k$.

(Prima sfida)

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.209

Problem 5.5. Brownian motion

Small particles suspended in a liquid undergo random (Brownian) motion due to collisions with molecules.

I Diffusion and the random walk.

In one dimension, a particle takes steps of length $\Delta x$ in random directions at time intervals $\Delta t$.

(1) Show that after $N$ steps the mean-square displacement is $⟨x^2⟩=N(\Delta x{)}^2$.

(2) Define the diffusion coefficient $D=(\Delta x{)}^2/(2\Delta t)$. Express $⟨x^2⟩$ in terms of $D$ and total time $t$.

II Einstein–Smoluchowski relation.

(3) Using the equipartition theorem, find the mean kinetic energy of a Brownian particle of mass $m$ at temperature $T$.

(4) The diffusion coefficient of a spherical particle of radius $r$ in a fluid of viscosity $\eta$ is given by the Einstein relation $D=k_{B}T/(6\pi \eta r)$. For a particle of radius $r=1\mu \text{m}$ in water ($\eta =10^{-3}\text{Pa}\cdot \text{s}$) at $T=300\text{K}$, find $D$.

III Sedimentation equilibrium.

(5) In a suspension in a gravitational field, the number density of particles at height $h$ follows the barometric formula $n(h)=n(0)\exp (-mgh/k_{B}T)$. Derive this using the condition that upward diffusion flux equals downward sedimentation flux.

IV Collision with water molecules.

(6) Using kinetic theory, estimate the mean speed of water molecules at $T=300\text{K}$ (mass of water molecule $m_w=3.0\times 10^{-26}\text{kg}$).

(7) Estimate the momentum transferred to the Brownian particle per collision with a water molecule. Hence estimate the root-mean-square displacement after time $t$.

V Mean free path for Brownian particle.

(8) The mean free path of the Brownian particle between collisions with molecules is $l=⟨v⟩t_m$, where $t_m$ is the mean time between collisions. Using $6D=⟨v⟩l$ and the result for $D$ above, show that $⟨x^2⟩=2Dt$.

(9) For a Brownian particle with $D=2.0\times 10^{-13}{\text{m}}^2/\text{s}$, estimate the time for $\sqrt{⟨x^2⟩}$ to reach $10\text{cm}$.

(10) Comment on whether Brownian particles ever spread uniformly through a vessel without stirring.

(the 2nd Challenge)

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Atom Fonte: Testo (PDF) — p.219

Il problema 5.5. Movimento di brownian

Le piccole particelle sospese in un liquido subiscono un movimento casuale (Browniano) a causa di collisioni con molecole.

Diffusione e camminata casuale.

In una dimensione, una particella fa passi di lunghezza $\Delta x$ in direzioni casuali a intervalli temporali $\Delta t$.

(1) Indicare che dopo i passaggi $N$ il spostamento medio quadrato è $⟨x^2⟩=N(\Delta x{)}^2$.

(2) Definire il coefficiente di diffusione $D=(\Delta x{)}^2/(2\Delta t)$. Esprimere $⟨x^2⟩$ in termini di $D$ e tempo totale $t$.

Relazione Einstein Smoluchowski.

(3) Usando il teorema dell’equapartizione, trovare l’energia cinetica media di una particella browniana di massa $m$ a temperatura $T$.

(4) Il coefficiente di diffusione di una particella sferica di raggio $r$ in un fluido di viscosità $\eta$ è dato dalla relazione di Einstein $D=k_{B}T/(6\pi \eta r)$. Per una particella di raggio $r=1\mu \text{m}$ in acqua ($\eta =10^{-3}\text{Pa}\cdot \text{s}$) a $T=300\text{K}$, trovare $D$.

**III ** Equilibrio di sedimentazione.

(5) In una sospensione in un campo gravitazionale, la densità di numero delle particelle ad altezza $h$ segue la formula barometrica $n(h)=n(0)\exp (-mgh/k_{B}T)$. Derivare questa condizione utilizzando che il flusso di diffusione verso l’alto è uguale al flusso di sedimentazione verso il basso.

**IV ** Collisione con molecole di acqua.

(6) Sfruttando la teoria cinetica, si stima la velocità media delle molecole d’acqua a $T=300\text{K}$ (massa della molecola d’acqua $m_w=3.0\times 10^{-26}\text{kg}$).

(7) Estimare il momento trasferito alla particella di Brownian per ogni collisione con una molecola d’acqua. Si stima quindi il spostamento di radice-media quadrata dopo il tempo $t$.

**V ** Via libera media per le particelle di Brownian.

(8) Il percorso libero medio della particella di Brownian tra collisioni con molecole è $l=⟨v⟩t_m$, dove $t_m$ è il tempo medio tra collisioni. Se si utilizza $6D=⟨v⟩l$ e il risultato di $D$ sopra, indicare che $⟨x^2⟩=2Dt$.

(9) Per una particella di Brownian con $D=2.0\times 10^{-13}{\text{m}}^2/\text{s}$, calcolare il tempo per $\sqrt{⟨x^2⟩}$ di raggiungere $10\text{cm}$.

(10) Commento sul fatto che le particelle di Brownian si diffondano mai uniformemente attraverso un recipiente senza stirare.

(la seconda sfida)

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Atom Fonte: Testo (PDF) — p.219

Problem 5.6. Thermal conduction

This problem explores the kinetic theory of gases and thermal conduction, motivated by understanding how a thermos bottle works.

I Ideal gas laws.

(1) Find the volume allotted to one molecule of gas at standard conditions (0°C, 1 atm), given that 1 mole occupies $2.24\times 10^{-2}{\text{m}}^3$.

(2) If a gas molecule is a rigid sphere of radius $r=1.0\times 10^{-10}\text{m}$, find the ratio of the volume per molecule to the molecule’s own volume.

II Kinetic theory derivation of gas pressure.

Suppose $N$ gas molecules of mass $m$ are in a box of volume $V=LS$ (length $L$, cross-section $S$). The molecules move along the $x$-axis.

(3) Find the time-averaged force $f_i$ exerted on the wall by molecule $i$ with speed $v_i$. Find the total force $F$.

(4) Show that pressure $p$ is proportional to $N/V$.

(5) Derive the Boyle–Charles law $pV/T=\text{const}$, using the fact that the average kinetic energy is proportional to $T$.

III Mean free path and thermal conduction.

(6) Using $⟨v_x^2⟩=⟨v_y^2⟩=⟨v_z^2⟩$ and the ideal gas equation, express the average kinetic energy per molecule in terms of $T$ and $k_B$.

(7) Estimate the mean free path $l$ of molecules modeled as spheres of radius $r$ in terms of $r$ and $N/V$.

(8) Calculate the mean free path of helium gas at $T=273\text{K}$, $1\text{atm}$, given: molar mass $4.0\times 10^{-3}\text{kg/mol}$, $r=1.0\times 10^{-10}\text{m}$, $k_B=1.4\times 10^{-23}\text{J/K}$.

(9) Derive the thermal conductivity $k$ of a gas using the molecular energy transport model shown in Fig. 5.13. Then calculate $k$ for helium at $T=273\text{K}$ (use $\alpha =1$).

(10) To reduce heat outflow in a thermos bottle by a factor of 100 (walls separated by $d=1.0\text{cm}$, currently filled with helium at 1 atm), to what pressure must the helium be reduced? (Hint: when $l>d$, use $d$ instead of $l$ in the conductivity formula.)

(the 2nd Challenge)

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Kinetic Theory of Gases Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Container Fonte: Testo (PDF) — p.228

Il problema 5.6. Conduzione termica**

Questo problema esplora la teoria cinetica dei gas e della conduzione termica, motivata dalla comprensione del funzionamento di una bottiglia termosa.

Le leggi dei gas ideali.

(1) Trovare il volume assegnato a una molecola di gas in condizioni standard (0°C, 1 atm), dato che 1 mole occupa $2.24\times 10^{-2}{\text{m}}^3$.

(2) Se una molecola di gas è una sfera rigida di raggio $r=1.0\times 10^{-10}\text{m}$, si trova il rapporto tra il volume per molecola e il volume della molecola.

II Teoria cinetica derivazione della pressione del gas.

Supponiamo che le molecole di gas $N$ di massa $m$ siano in una scatola di volume $V=LS$ (lunghezza $L$, sezione trasversale $S$). Le molecole si muovono lungo l’asse $x$.

(3) Trova la forza media temporale $f_i$ esercitata sul muro dalla molecola $i$ con velocità $v_i$. Trova la forza totale $F$.

(4) Indicare che la pressione $p$ è proporzionale a $N/V$.

(5) Derivare la legge di Boyle Charles $pV/T=\text{const}$, utilizzando il fatto che l’energia cinetica media è proporzionale a $T$.

III Via libera media e conduzione termica.

(6) Usando $⟨v_x^2⟩=⟨v_y^2⟩=⟨v_z^2⟩$ e l’equazione del gas ideale, esprimere l’energia cinetica media per molecola in termini di $T$ e $k_B$.

(7) Estimare il percorso libero medio $l$ delle molecole modellate come sfere di raggio $r$ in termini di $r$ e $N/V$.

(8) Calcolare il percorso libero medio del gas elio a $T=273\text{K}$, $1\text{atm}$, dato: massa molare $4.0\times 10^{-3}\text{kg/mol}$, $r=1.0\times 10^{-10}\text{m}$, $k_B=1.4\times 10^{-23}\text{J/K}$.

(9) Derivare la conducibilità termica $k$ di un gas utilizzando il modello di trasporto dell’energia molecolare mostrato nella figura. 5.13. Calcolare poi $k$ per l’elio a $T=273\text{K}$ (utilizza $\alpha =1$).

(10) Per ridurre il flusso di calore in una bottiglia termico di un fattore di 100 (pareti separate da $d=1.0\text{cm}$, attualmente riempite di elio a 1 atm), a quale pressione deve essere ridotto l’elio? (Suggerimento: quando $l>d$, utilizzare $d$ invece di $l$ nella formula di conduttività.)

(la seconda sfida)

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Kinetic Theory of Gases Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Container Fonte: Testo (PDF) — p.228

Problem 6.1. Tests of general relativity

Gamma rays emitted by atomic nuclei exhibit quantum and particle-like properties. The energy of a photon of frequency $\nu$ is $h\nu$, and its momentum is $h\nu /c$.

(1) When a free nucleus of mass $M$ at rest emits a gamma ray of frequency $\nu$, find the recoil speed $v$ of the nucleus.

(2) Find the recoil kinetic energy $K$ of the nucleus.

(3) The emitted photon energy is $E=h{\nu }_0-K$, where $h{\nu }_0=E_H-E_L$ is the nuclear energy difference. Calculate the ratio $K/E$, given $h\nu /(M{c}^2)=1/(4\times 10^6)$.

(4) Gravitational frequency shift (tests of GR): Suppose you are in free fall and detect a photon emitted from height $H$ above the ground. The photon takes time $t=H/c$ to reach you. During this time you gain speed $v=gH/c$. Using the Doppler formula for $v/c\ll 1$, find $\Delta \nu /{\nu }_0$ (the fractional frequency shift due to gravity).

Note: In 1960, Pound and Rebka measured this gravitational redshift using a height difference of 22 m, confirming general relativity.

(the 1st Challenge)

Topic: Special Relativity Metodi: Conservation of Momentum Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Nucleus, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.240

Il problema 6.1 Test di relatività generale**

I raggi gamma emessi dai nuclei atomici mostrano proprietà quantiche e simili a particelle. L’energia di un fotone di frequenza $\nu$ è $h\nu$ e la sua dinamica è $h\nu /c$.

(1) Quando un nucleo libero di massa $M$ in riposo emette un raggio gamma di frequenza $\nu$, si trova la velocità di ritiro $v$ del nucleo.

(2) Trova l’energia cinetica del retrocesso $K$ del nucleo.

(3) L’energia dei fotoni emessa è $E=h{\nu }_0-K$, mentre $h{\nu }_0=E_H-E_L$ è la differenza di energia nucleare. Calcolare il rapporto $K/E$, dato $h\nu /(M{c}^2)=1/(4\times 10^6)$.

(4) **Schiamo di frequenza gravitazionale (teste di GR) **: Supponiamo di essere in caduta libera e di rilevare un fotone emesso da un’altezza $H$ sopra il terreno. Il fotone richiede tempo $t=H/c$ per raggiungerti. Durante questo periodo si ottiene velocità $v=gH/c$. Usando la formula di Doppler per $v/c\ll 1$, trovare $\Delta \nu /{\nu }_0$ (il cambiamento frazionario di frequenza dovuto alla gravità).

Nota: nel 1960, Pound e Rebka misurarono questo spostamento gravitazionale al rosso utilizzando una differenza di altezza di 22 m, confermando la relatività generale.

(Prima sfida)

Topic: Special Relativity Metodi: Conservation of Momentum Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Nucleus, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.240

Problem 6.2. Theory of special relativity and its application to GPS

This problem develops the Lorentz transformation from scratch using thought experiments with sound and light.

I Sound on a moving vehicle (classical Galilean case).

A vehicle with two carts separated by distance $L$ moves at velocity $v$ rightward. At $t=0$ the left cart emits a sound pulse. Sound travels at speed $V$ relative to the ground (air at rest on ground).

(1) When does the right cart detect the sound? Find $t_1$ in terms of $L$, $V$, $v$.

(2) When does the left cart detect the return echo? Find $t_2$ in terms of $L$, $V$, $v$.

II Sound enclosed in a moving box (air at rest relative to box).

(3) Find $t_1^{\prime }$ (time for sound to go from left to right loudspeaker, as measured in box frame).

(4) Find $t_2^{\prime }-t_1^{\prime }$.

(5) Show $t_1=t_1^{\prime }$ (both clocks keep same time for this sound experiment).

III Light on the moving vehicle — derivation of time dilation.

Now use light instead of sound. Speed of light is $c$ in all frames.

(6) Find $t_1$ (time for light to reach mirror at far end), measured on the ground.

(7) Find $t_2$ (time for reflected light to return to lamp), measured on the ground.

IV Lorentz transformation.

Einstein assumed $t^{\prime }=at+b(x-vt)$ and $x^{\prime }=\beta (x-vt)$.

(8) Using $t_2^{\prime }/t_1^{\prime }=2$ and results from (6)–(7), find $b$ in terms of $a$, $c$, $v$.

(9) Using that a light pulse satisfies $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$ and $x=ct$, find $\beta$ in terms of $a$, $c$, $v$.

(10) Consider a second vehicle moving at $-v$ relative to the first. Write $t^{\prime \prime }$ and $x^{\prime \prime }$ in terms of $t$, $x$, $a$, $c$, $v$.

(11) Since the second vehicle is at rest relative to the ground, $t^{\prime \prime }=t$ and $x^{\prime \prime }=x$. Find $a$ and hence derive the Lorentz transformation: $t^{\prime }=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}},x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}.$

(12) For $(v/c{)}^2\ll 1$, approximate $t^{\prime }$ and $x^{\prime }$ to first order in $c^{-2}$.

V GPS application.

Two satellites move at velocity $v=3.8\times 10^3\text{m/s}$ in the same orbit as the car. A pulse from satellite 1 at position $x_1$, time $t_1$ and from satellite 2 at $x_2$, $t_2$ arrive simultaneously at the car at $(x,t)$: $|x-x_1|=c(t-t_1)$, $|x-x_2|=c(t-t_2)$.

(13) How accurately must the car’s clock measure time $t_n$ to keep position error below 1 m?

(14) Given atomic clocks achieve accuracy $\sim 1\text{ns}$, solve for the car position $x$ and estimate uncertainty.

(15) Satellites tag pulses with their proper times $t_1^{\prime },t_2^{\prime }$ and positions $x_1^{\prime }=0$, $x_2^{\prime }=L$. Two pulses tagged $(t_1^{\prime },0)$ and $(t_2^{\prime },L)$ arrive simultaneously. Find $x$ in terms of $t_1^{\prime }$, $t_2^{\prime }$, $L$, $c$, $v$ (to first order in $v/c$).

(16) If $t_1^{\prime }=t_2^{\prime }=0$ and $L=2.4\times 10^4\text{km}$, compute the position error when the relativistic correction is neglected.

(the 2nd Challenge)

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart, Mirror, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.245

Il problema 6.2. Teoria della relatività speciale e sua applicazione al GPS**

Questo problema sviluppa la trasformazione di Lorentz da zero utilizzando esperimenti di pensiero con il suono e la luce.

**I ** Suoni su un veicolo in movimento (casso galileano classico).

Un veicolo con due carri separati da una distanza $L$ si muove a velocità $v$ verso destra. A $t=0$ il carrello sinistro emette un impulso sonoro. Il suono viaggia a velocità $V$ rispetto al suolo (aria in riposo a terra).

(1) Quando il carrello giusto rileva il suono? Trova $t_1$ in termini di $L$, $V$, $v$.

(2) Quando il carrello sinistro rileva l’eco di ritorno? Trova $t_2$ in termini di $L$, $V$, $v$.

II Suono chiuso in una scatola in movimento (aria in riposo rispetto alla scatola).

(3) Trova $t_1^{\prime }$ (tempo per il passaggio del suono da sinistra a destra dello altoparlante, misurato in cornice).

(4) Trova $t_2^{\prime }-t_1^{\prime }$.

(5) Mostra $t_1=t_1^{\prime }$ (entrambi gli orologi conservano lo stesso tempo per questo esperimento sonoro).

III Luce sul veicolo in movimento derivazione di dilatazione temporale.

Ora usi luce invece di suono. La velocità della luce è $c$ in tutti i fotogrammi.

(6) Trovare $t_1$ (tempo per la luce di raggiungere lo specchio alla fine lontana), misurato a terra.

(7) Trova $t_2$ (tempo per il ritorno della luce riflessa alla lampada), misurato a terra.

La trasformazione di Lorentz.

Einstein ha supposto $t^{\prime }=at+b(x-vt)$ e $x^{\prime }=\beta (x-vt)$.

(8) Usando $t_2^{\prime }/t_1^{\prime }=2$ e i risultati di (6)(7), si trova $b$ in termini di $a$, $c$, $v$.

(9) Usando il valore di $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$ e $x=ct$ di un impulso luminoso, si trova $\beta$ in termini di $a$, $c$, $v$.

(10) Considerare un secondo veicolo che si muove a $-v$ rispetto al primo. Scrivere $t^{\prime \prime }$ e $x^{\prime \prime }$ in termini di $t$, $x$, $a$, $c$, $v$.

(11) Poiché il secondo veicolo è a riposo rispetto al suolo, $t^{\prime \prime }=t$ e $x^{\prime \prime }=x$. Trova $a$ e derivi quindi la trasformazione di Lorentz: $t^{\prime }=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}},x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}.$

(12) Per $(v/c{)}^2\ll 1$, approssimare $t^{\prime }$ e $x^{\prime }$ al primo ordine in $c^{-2}$.

Applicazione GPS **V **

Due satelliti si muovono a velocità $v=3.8\times 10^3\text{m/s}$ nella stessa orbita della vettura. Un impulso proveniente dal satellite 1 alla posizione $x_1$, tempo $t_1$ e dal satellite 2 alla posizione $x_2$, $t_2$ arriva contemporaneamente all’auto a $(x,t)$: $|x-x_1|=c(t-t_1)$, $|x-x_2|=c(t-t_2)$.

(13) Quanto deve misurare con precisione l’orologio dell’auto il tempo $t_n$ per mantenere l’errore di posizione al di sotto di 1 m?

(14) Se gli orologi atomici raggiungono la precisione $\sim 1\text{ns}$, risolvere la posizione della vettura $x$ e stimare l’incertezza.

(15) I satelliti taggano gli impulsi con i loro tempi $t_1^{\prime },t_2^{\prime }$ e le posizioni $x_1^{\prime }=0$, $x_2^{\prime }=L$. Due pulsi con le tag $(t_1^{\prime },0)$ e $(t_2^{\prime },L)$ arrivano contemporaneamente. Trova $x$ in termini di $t_1^{\prime }$, $t_2^{\prime }$, $L$, $c$, $v$ (a prima ordine in $v/c$).

(16) Se $t_1^{\prime }=t_2^{\prime }=0$ e $L=2.4\times 10^4\text{km}$, calcolare l’errore di posizione quando la correzione relativistica è trascurata.

(la seconda sfida)

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart, Mirror, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.245

Problem 6.3. The Bohr model and super-shell

This problem applies semi-classical quantum theory to atomic and cluster systems.

I Hydrogen atom — Bohr model.

(1) Write the Bohr quantization condition relating the de Broglie wavelength $\lambda$ and orbital radius $r_n$.

(2) Using the Coulomb centripetal force condition, find $r_n$ (denote Coulomb constant $k_0$).

(3) Find the energy $E_n$ of the electron in the $n$-th stationary state.

II Electron between two walls.

(4) For an electron bouncing between walls at $x=0$ and $x=L$, with $n\lambda =2L$, find the speed $v_n$.

(5) Find the energy $E_n$ (kinetic only).

(6) The wall at $x=L$ is movable. Using $F_n=-\Delta E_n/\Delta L$, express $F_n$ in terms of $v_n$, $m$, $L$.

III Phase space and Bohr–Sommerfeld quantization.

(7) Draw the closed trajectory of the electron in phase space $(x,p)$.

(8) Calculate the area enclosed by the trajectory.

(9) Show that the area equals $nh$ (Planck constant times quantum number).

(10) For a harmonic oscillator with potential $\frac{1}{2}k{x}^2$ and energy $E$, find the amplitude.

(11) Write $x(t)$ and $p(t)$ for the harmonic oscillator, with $x$ maximal at $t=0$.

(12) Draw the phase-space trajectory.

(13) Apply the Bohr–Sommerfeld condition to find $E_n$.

IV Thomson model of hydrogen.

(14) Write the energy of an electron at $(x,y,z)$ with potential energy $K(x^2+y^2+z^2)$.

(15) Apply Bohr–Sommerfeld quantization to each axis to find $E(n_x,n_y,n_z)$. Explain why this disagrees with experiment.

V Metallic cluster (super-shell).

In a sodium cluster of $N$ atoms, electrons are confined in a sphere of radius $R$. Periodic orbits are equilateral triangles and squares inscribed in the sphere.

(16) Find the perimeter $l_3$ (equilateral triangle) and $l_4$ (square) in terms of $R$.

(17) Apply the Bohr quantization condition $l=n\lambda$ to find the speeds $u_n$ (triangle orbit) and $w_n$ (square orbit).

(the 2nd Challenge)

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Bohr Model & Quantization de Broglie Relation Simple Harmonic Motion Analysis Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Physical Reasoning Objects: Atom Electron Fonte: Testo (PDF) — p.258

Il problema 6.3. Modello Bohr e super-capo**

Questo problema si applica alla teoria quantistica semi-classica ai sistemi atomici e a quelli di ammassi.

**I ** Atomo di idrogeno Modello Bohr.

(1) Scrivere la condizione di quantizzazione di Bohr relativa alla lunghezza d’onda de Broglie $\lambda$ e al raggio orbitale $r_n$.

(2) Usando la condizione di forza centripetale di Coulomb, trovare $r_n$ (indicare costante di Coulomb $k_0$).

(3) Trova l’energia $E_n$ dell’elettrone nello stato stazionario $n$-th.

**II ** Electrone tra due pareti.

(4) Per un rimbalzo di elettroni tra le pareti a $x=0$ e $x=L$, con $n\lambda =2L$, si trova la velocità $v_n$.

(5) Trova l’energia $E_n$ (solo cinetica).

(6) Il muro a $x=L$ è mobile. Con $F_n=-\Delta E_n/\Delta L$ si esprime $F_n$ in termini di $v_n$, $m$, $L$.

III Spazio di fase e quantizzazione di BohrSommerfeld.

(7) Disegnare la traiettoria chiusa dell’elettrone nello spazio di fase $(x,p)$.

(8) Calcolare l’area di percorso.

(9) Indicare che l’area è uguale a $nh$ (constante di Planck volte numero quantistico).

(10) Per un oscillatore armonico con potenziale $\frac{1}{2}k{x}^2$ ed energia $E$, trovare l’ampiezza.

(11) Scrivere $x(t)$ e $p(t)$ per l’oscillatore armonico, con $x$ massimo a $t=0$.

(12) Disegnare la traiettoria tra spazio-fase.

(13) Applicare la condizione di BohrSommerfeld per trovare $E_n$.

IV Modello di idrogeno Thomson.

(14) Scrivere l’energia di un elettrone a $(x,y,z)$ con energia potenziale $K(x^2+y^2+z^2)$.

(15) Applicare la quantizzazione di BohrSommerfeld a ciascun asse per trovare $E(n_x,n_y,n_z)$. Spiegate perché questo non è conforme all’esperimento.

V Cluster metallico (super-capa).

In un ammasso di sodio di atomi $N$, gli elettroni sono confinati in una sfera di raggio $R$. Le orbite periodiche sono triangoli e quadrati equilaterali inscritti nella sfera.

(16) Trova il perimetro $l_3$ (triangolo equilaterale) e $l_4$ (quadrato) in termini di $R$.

(17) Applicare la condizione di quantizzazione di Bohr $l=n\lambda$ per trovare le velocità $u_n$ (orbita triangolare) e $w_n$ (orbita quadrata).

(la seconda sfida)

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Bohr Model & Quantization de Broglie Relation Simple Harmonic Motion Analysis Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Physical Reasoning Objects: Atom Electron Fonte: Testo (PDF) — p.258

Problem 6.4. Fate of the Sun

This problem introduces the Heisenberg uncertainty principle, phase space, degenerate electron pressure, and the physics of white dwarfs.

Background: White dwarfs (like Sirius B) have densities $\sim 10^6{\text{g/cm}}^3$, far beyond ordinary matter. Their stability is provided by electron degeneracy pressure.

Degenerate electrons in 1D (electrons in range $-R\le x\le R$):

(1) Show that the Fermi momentum is $p_F=hN/(8R)$.

(2) Find the kinetic energy $\Delta U_d$ for electrons with momenta between $p$ and $p+\Delta p$.

(3) Integrate to find the total kinetic energy $U_d$ as a function of $N$ and $R$.

(4) Compare the degenerate pressures of electrons and protons (same $N$, same $R$). Which is larger and by how much?

Relativistic kinetic energy:

(5) Show that in the non-relativistic limit the kinetic energy $\approx p^2/(2m)$, and in the ultra-relativistic limit $\approx pc$.

Degenerate pressure in 3D (electrons in a sphere of radius $R$):

Define $k$ by $k^3=2\times (4\pi /3)\times 2$, $k\approx 3.274$.

(6) Find the Fermi momentum $p_F$ for $N$ electrons in a sphere of radius $R$.

(7) Find $\Delta U_d$ for electrons with momenta between $p$ and $p+\Delta p$ in both non-relativistic and ultra-relativistic cases.

(8) Integrate to find $U_d(N,R)$ in the form: $\text{non-rel: }{U}_d=\frac{3}{10}\frac{h^2}{k^2{m}_e}{N}^a{R}^b,\text{ultra-rel: }{U}_d=\frac{3}{4k}hc{N}^a{R}^b.$ Find the exponents $a$ and $b$ in each case.

(the 2nd Challenge)

Topic: Astrophysics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.270

Il problema 6.4. Il destino del sole

Questo problema introduce il principio di incertezza di Heisenberg, lo spazio di fase, la pressione degli elettroni degenerati e la fisica delle nane bianche.

**Staggio **: Le nane bianche (come Sirio B) hanno densità $\sim 10^6{\text{g/cm}}^3$, ben oltre la materia ordinaria. La loro stabilità è fornita dalla pressione di degenerazione degli elettroni.

Elettroni degenerati in 1D (elettroni nell’intervallo $-R\le x\le R$):

(1) Indicare che il momento di Fermi è $p_F=hN/(8R)$.

(2) Trova l’energia cinetica $\Delta U_d$ per gli elettroni con un momento tra $p$ e $p+\Delta p$.

(3) Integrare per trovare l’energia cinetica totale $U_d$ come funzione di $N$ e $R$.

(4) Confronta le pressioni degenerate di elettroni e protoni (seme $N$, identiche $R$). Qual è più grande e di quanto?

Energia cinetica relativa:

(5) Mostra che nel limite non relativistico l’energia cinetica $\approx p^2/(2m)$ e nel limite ultra-relativistico $\approx pc$.

Pressione degenerata in 3D (elettroni in una sfera di raggio $R$):

Definire $k$ con $k^3=2\times (4\pi /3)\times 2$, $k\approx 3.274$.

(6) Trova il momento di Fermi $p_F$ per gli elettroni $N$ in una sfera di raggio $R$.

(7) Trova $\Delta U_d$ per gli elettroni con i momenti tra $p$ e $p+\Delta p$ sia nei casi non relativistici che nell’ultra-relativistico.

(8) Integrare per trovare $U_d(N,R)$ nella forma: $\text{non-rel: }{U}_d=\frac{3}{10}\frac{h^2}{k^2{m}_e}{N}^a{R}^b,\text{ultra-rel: }{U}_d=\frac{3}{4k}hc{N}^a{R}^b.$ Trova gli esponenti $a$ e $b$ in ciascun caso.

(la seconda sfida)

Topic: Astrophysics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.270

Problem 8.1. Confirming Boyle’s law (Practical Exercise)

50 ml of air is confined in a cylinder connected to a pressure gauge. Boyle’s law states $P\cdot V=c$ (constant) at constant temperature.

Task: By pushing or pulling the piston to change pressure and volume, confirm Boyle’s law and determine the constant $c$ with its uncertainty.

• Minimum division of cylinder scale: 2 ml (so $\Delta V=1\text{ml}$)
• Minimum division of pressure gauge: 5 kPa (so $\Delta P=3\text{kPa}$)

Data (Table 8.1):

$P$ (kPa)	150	140	130	120	102	90	80	70	65
$V$ (ml)	34	36	39	42	51	59	68	79	85

Uncertainty of product: $\Delta c=\sqrt{(P\cdot \Delta V{)}^2+(V\cdot \Delta P{)}^2}$.

(1) Calculate $c=P\cdot V$ for each data point with its uncertainty.

(2) Plot $c$ vs. $P$ and determine the average and error: $c=?$

(3) Alternatively, plot $V$ vs. $1/P$ and fit a straight line to obtain $c$.

(4) Compare your result with the theoretical value from the ideal gas law $c=nRT$, using $T=290\text{K}$.

(the 1st Challenge — experimental)

Topic: Thermodynamics Metodi: Error Propagation Competenze: Physical Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas, Manometer Fonte: Testo (PDF) — p.316

Problem 8.1. Confirmare la legge di Boyle (esercizio pratico)

50 ml di aria sono contenuti in un cilindro collegato a un calcolatore di pressione. La legge di Boyle afferma $P\cdot V=c$ (constante) a temperatura costante.

Tasco: Spingendo o tirando il pistone per cambiare pressione e volume, confermare la legge di Boyle e determinare la costante $c$ con la sua incertezza.

• Divisione minima della scala cilindrica: 2 ml (così $\Delta V=1\text{ml}$)
• Divisione minima del calcolo di pressione: 5 kPa (così $\Delta P=3\text{kPa}$)

Dati (tabella 8.1):

$P$ (kPa)	150	140	130	120	102	90	80	70	65
$V$ (ml)	34	36	39	42	51	59	68	79	85

Incertezza del prodotto: $\Delta c=\sqrt{(P\cdot \Delta V{)}^2+(V\cdot \Delta P{)}^2}$.

(1) Calcolare $c=P\cdot V$ per ogni punto di dati con la sua incertezza.

(2) Plot $c$ vs. $P$ e determinare la media e l’errore: $c=?$

(3) In alternativa, il grafico $V$ vs. $1/P$ e inserire in linea retta per ottenere $c$.

(4) Confronta il risultato con il valore teorico della legge del gas ideale $c=nRT$, utilizzando $T=290\text{K}$.

(la 1a sfida sperimentale)

Topic: Thermodynamics Metodi: Error Propagation Competenze: Physical Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas, Manometer Fonte: Testo (PDF) — p.316

Problem 8.2. Confirming Charles’ law (Practical Exercise)

A fixed amount of air is confined in a cylinder closed by a rubber plug. The cylinder is immersed in water heated on a gas stove. Charles’ law states $V=k\cdot T$ (proportional to absolute temperature $T$).

Task: Confirm Charles’ law and determine the proportionality constant $k$ with its uncertainty.

• Minimum division of cylinder scale: 2 ml ($\Delta V=1\text{ml}$)
• Minimum division of thermometer: 1°C ($\Delta T=0.5\text{K}$)

Data (Table 8.2):

$T$ (°C)	6	13	33	42	56	70
$T$ (K)	279	286	306	315	329	343
$V$ (ml)	49	50	54	56	58	60

(1) Plot $V$ vs. $T$ (in Kelvin) and fit a straight line through the origin.

(2) From the fit, determine $k$ and its uncertainty.

(3) Compare with the theoretical value $k=nR/P$ using the ideal gas law.

(the 1st Challenge — experimental)

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Cylinder, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.319

**Il problema 8.2. Confirmare la legge di Carlo (esercizio pratico)

Una quantità fissa di aria è contenuta in un cilindro chiuso da un tappo di gomma. Il cilindro è immerso in acqua riscaldata su una stufa a gas. La legge di Charles afferma $V=k\cdot T$ (proporzionale alla temperatura assoluta $T$).

Tasco: Confirmare la legge di Charles e determinare la costante di proporzionalità $k$ con la sua incertezza.

• Divisione minima della scala cilindrica: 2 ml ($\Delta V=1\text{ml}$)
• Divisione minima del termometro: 1°C ($\Delta T=0.5\text{K}$)

Dati (tabella 8.2):

$T$ (°C)	6	13	33	42	56	70
$T$ (K)	279	286	306	315	329	343
$V$ (ml)	49	50	54	56	58	60

(1) Struttura $V$ vs. $T$ (in Kelvin) e si inserisce in linea retta attraverso l’origine.

(2) Dalla montatura, determinare $k$ e la sua incertezza.

(3) Confronta con il valore teorico $k=nR/P$ utilizzando la legge dei gas ideali.

(la 1a sfida sperimentale)

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Cylinder, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.319

Problem 8.3. Measuring the atmospheric pressure (Practical Exercise)

By measuring the volume $V$ of air confined in a cylinder and the force $f$ pushing the piston (measured by a platform scale), determine the atmospheric pressure $P_0$.

Initially: 100 ml of air at atmospheric pressure is confined.

The force balance gives: $f+P_{0}S=PS$, where $S$ is the piston cross-section area.

Using Boyle’s law $P\cdot V=c$: $f=cS/V-P_{0}S$.

Data (Table 8.3):

$V$ (ml)	100	90	80	70	60	50	44
$f$ (kgf)	0	1.1	2.5	4.0	6.3	9.3	12
$f$ (N)	0	11	25	39	62	91	118
$1/V$ (ml${}^{-1}$)	0.010	0.011	0.013	0.014	0.017	0.020	0.023

(1) Plot $f$ vs. $1/V$. Fit a straight line constrained to pass through $(1/V,f)=(0.010,0)$ (the initial state at atmospheric pressure).

(2) Read off the $y$-intercept to find $P_{0}S$.

(3) Measure the cross-section $S$ of the cylinder. Calculate $P_0$ and its uncertainty.

(4) Compare with the standard value $P_0=101.3\text{kPa}$.

(the 1st Challenge — experimental)

Topic: Thermodynamics Metodi: Error Propagation Competenze: Physical Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.321

Il problema 8.3. Misura della pressione atmosferica (esercizio pratico)

Misurando il volume $V$ di aria contenuta in un cilindro e la forza $f$ che spinge il pistone (misurata con una scala di piattaforma), si determina la pressione atmosferica $P_0$.

Inizialmente: 100 ml di aria a pressione atmosferica sono limitati.

L’equilibrio di forza dà: $f+P_{0}S=PS$, dove $S$ è la superficie di sezione trasversale del pistone.

Usando la legge di Boyle $P\cdot V=c$: $f=cS/V-P_{0}S$.

Dati (tabella 8.3):

$V$ (ml)	100	90	80	70	60	50	44
$f$ (kgf)	0	1.1	2.5	4.0	6.3	9.3	12
$f$ (N)	0	11	25	39	62	91	118
$1/V$ (ml${}^{-1}$)	0.010	0.011	0.013	0.014	0.017	0.020	0.023

(1) Struttura $f$ vs. $1/V$. Fatti una linea retta con il passaggio limitato a $(1/V,f)=(0.010,0)$ (lo stato iniziale a pressione atmosferica).

(2) Leggi l’intersezione $y$ per trovare $P_{0}S$.

(3) Misurare la sezione trasversale $S$ del cilindro. Calcolare $P_0$ e la sua incertezza.

(4) Confronta con il valore standard $P_0=101.3\text{kPa}$.

(la 1a sfida sperimentale)

Topic: Thermodynamics Metodi: Error Propagation Competenze: Physical Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.321

Practical Exercise 2. Measuring Planck’s constant

Purpose: Measure the wavelength $\lambda$ of light from LEDs using a diffraction grating, then measure the photon energy $E$ from the LED turn-on voltage, and use $E=h\nu =hc/\lambda$ to determine Planck’s constant $h$.

Experiment 1: Wavelength measurement

Using a simple spectroscope with diffraction grating (groove spacing $d=2.00\times 10^{-6}\text{m}$), the constructive interference condition is: $\frac{xd}{\sqrt{l^2+x^2}}=m\lambda (m=0,1,2,\dots )$ where $l$ is the grating-to-screen distance and $x$ is the displacement of the $m$-th order spot.

(1) Using the spectroscope, measure $x$ for the $m=1$ diffraction spot of each LED color (red, green, blue). Record $l$ (distance from grating to slit). Calculate $\lambda$ for each.

(2) Estimate the uncertainty in $\lambda$ due to measurement uncertainties in $x$ and $l$.

Experiment 2: Photon energy measurement

An LED emits light when the applied voltage $V$ satisfies $eV\ge h\nu$, where $e$ is the elementary charge. At threshold, $e{V}_{\text{threshold}}=h\nu =hc/\lambda$.

(3) Slowly increase the voltage across each LED until it just begins to emit light. Record the threshold voltage $V_{\text{threshold}}$.

(4) Calculate $h=e{V}_{\text{threshold}}\lambda /c$ for each LED color. Average the results to obtain the best estimate of $h$.

(5) Compare your value of $h$ with the standard value $h=6.626\times 10^{-34}\text{J⋅s}$. Discuss sources of error.

(the 2nd Challenge — experimental)

Topic: Modern-Quantum Physics Wave Optics Metodi: Photon Energy Relation Interference & Diffraction Analysis Experimental Data Analysis Error Propagation Competenze: Physical Reasoning Experimental Data Analysis Error Propagation Objects: Diffraction Grating Photon Screen Fonte: Testo (PDF) — p.324

Esercizio pratico 2. Misurazione della costante di Planck**

Sopporto: Misurare la lunghezza d’onda $\lambda$ della luce dei LED utilizzando una griglia di diffrazione, quindi misurare l’energia fotonica $E$ della tensione di attivazione del LED e utilizzare $E=h\nu =hc/\lambda$ per determinare la costante di Planck $h$.

Esperimento 1: misurazione della lunghezza d’onda

Utilizzando uno spettroscopio semplice con griglia di diffrazione (intervallo di scarico $d=2.00\times 10^{-6}\text{m}$), la condizione di interferenza costruttiva è: $\frac{xd}{\sqrt{l^2+x^2}}=m\lambda (m=0,1,2,\dots )$ dove $l$ è la distanza tra la griglia e lo schermo e $x$ è il spostamento del punto di ordine $m$.

(1) Usando lo spettroscopio, misurare $x$ per il punto di diffrazione $m=1$ di ogni colore LED (rosso, verde, blu). Registrazione $l$ (distanza da griglia a fessura). Calcolare $\lambda$ per ciascuna.

(2) Estimare l’incertezza in $\lambda$ a causa delle incertezze di misura in $x$ e $l$.

Esperimento 2: misurazione dell’energia fotonica

Un LED emette luce quando la tensione applicata $V$ soddisfa $eV\ge h\nu$, dove $e$ è la carica elementare. Al soglio $e{V}_{\text{threshold}}=h\nu =hc/\lambda$.

(3) Aumentare lentamente la tensione di ogni LED fino a quando non comincia a emettere luce. Registra la tensione soglia $V_{\text{threshold}}$.

(4) Calcolare $h=e{V}_{\text{threshold}}\lambda /c$ per ogni colore LED. Metaglia dei risultati per ottenere la migliore stima di $h$.

(5) Confronta il valore di $h$ con il valore standard $h=6.626\times 10^{-34}\text{J⋅s}$. Discutete delle fonti di errore.

(la seconda sfida sperimentale)

Topic: Modern-Quantum Physics Wave Optics Metodi: Photon Energy Relation Interference & Diffraction Analysis Experimental Data Analysis Error Propagation Competenze: Physical Reasoning Experimental Data Analysis Error Propagation Objects: Diffraction Grating Photon Screen Fonte: Testo (PDF) — p.324