PLANCKS 2021 — Porto

Quantum Mechanics

Consider a charged particle of mass $m$ and charge $q$ placed in a 3-dimensional isotropic harmonic potential of frequency ${\omega }_0$.

Question 1 [30 points]

Assume the particle is placed in a time dependent and spatially uniform magnetic field $\mathbf{B}={\mathbf{B}}_0\sin (\omega t)$. Using first order perturbation theory indicate the allowed transitions from the ground state, and calculate the correspondent amplitude for transition probability and show how you could calculate the transition probability (you don’t have to carry out this final calculation).

Question 2 [70 points]

Now consider a system of twenty non-interacting identical particles of mass $m$ and spin $1/2$, placed in such an harmonic potential.

• a. [25 points] Determine the ground state energy of the system.
• b. [45 points] Assume that a constant magnetic field $\mathbf{B}$ is applied. Show that the diamagnetic susceptibility is constant.

Useful information

Remember:

• minimal coupling procedure $\mathbf{p}\to \mathbf{p}-q\mathbf{A}$
• the vector potential for a uniform magnetic field may be written as: $\mathbf{A}=\frac{1}{2}\mathbf{B}\times \mathbf{R}$

You may use the following information for the eigenfunctions of the 3-dimensional isotropic harmonic potential, in the $\{|n_x,n_y,n_z⟩\}$ basis:

$|n_x=0,n_y=0,n_z=0⟩=|k=0,l=0,m=0⟩$

$|n_x=0,n_y=0,n_z=1⟩=|k=0,l=1,m=0⟩$

$|n_x=1,n_y=0,n_z=0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}[|k=0,l=1,m=-1⟩-|k=0,l=1,m=1⟩]$

$|n_x=0,n_y=1,n_z=0⟩=\frac{i}{\sqrt{2}}[|k=0,l=1,m=-1⟩+|k=0,l=1,m=1⟩]$

$|n_x=1,n_y=1,n_z=0⟩=\frac{-i}{\sqrt{2}}[|k=0,l=2,m=2⟩+|k=0,l=2,m=-2⟩]$

$|n_x=1,n_y=0,n_z=1⟩=\frac{-1}{\sqrt{2}}[|k=0,l=2,m=1⟩-|k=0,l=2,m=-1⟩]$

$|n_x=0,n_y=1,n_z=1⟩=\frac{i}{\sqrt{2}}[|k=0,l=2,m=1⟩+|k=0,l=2,m=-1⟩]$

$|n_x=2,n_y=0,n_z=0⟩=-\frac{1}{\sqrt{3}}|k=2,l=0,m=0⟩-\frac{1}{\sqrt{6}}|k=0,l=2,m=0⟩+\frac{1}{2}|k=0,l=2,m=2⟩+\frac{1}{2}|k=0,l=2,m=-2⟩$

$|n_x=0,n_y=2,n_z=0⟩=-\frac{1}{\sqrt{3}}|k=2,l=0,m=0⟩-\frac{1}{\sqrt{6}}|k=0,l=2,m=0⟩-\frac{1}{2}|k=0,l=2,m=2⟩-\frac{1}{2}|k=0,l=2,m=-2⟩$

$|n_x=0,n_y=0,n_z=2⟩=-\frac{2}{\sqrt{3}}|k=2,l=0,m=0⟩+\sqrt{\frac{2}{3}}|k=2,l=2,m=0⟩$

Fonte: Testo (PDF) — p.3 Topic: Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Approximation & Series Expansion, Bohr Model & Quantization, Lorentz Force Analysis, Statistical Averaging Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Meccanica quantistica

Considera una particella carica di massa $m$ e carica $q$ collocata in un potenziale armonico isotropo tridimensionale di frequenza ${\omega }_0$.

Questa 1 [30 punti]

Supponiamo che la particella sia collocata in un campo magnetico $\mathbf{B}={\mathbf{B}}_0\sin (\omega t)$ indipendente dal tempo e spazialmente uniforme. Utilizzando la teoria della perturbazione di primo ordine indicare le transizioni consentite dallo stato di base, e calcolare l’ampiezza corrispondente per la probabilità di transizione e mostrare come si potrebbe calcolare la probabilità di transizione (non è necessario eseguire questo calcolo finale).

**Domanda 2 [70 punti] **

Ora consideriamo un sistema di venti particelle identiche non interagiscono di massa $m$ e spin $1/2$, posizionate in tale potenziale armonico.

• a. [25 punti] Determina l’energia di stato di base del sistema.
• b. [45 punti] Supponiamo che sia applicato un campo magnetico costante $\mathbf{B}$. Mostrare che la sensibilità diamagnetico è costante.

Informazioni utili

Ricordate:

• procedura minima di accoppiamento $\mathbf{p}\to \mathbf{p}-q\mathbf{A}$
• il potenziale vettoriale di un campo magnetico uniforme può essere scritto come: $\mathbf{A}=\frac{1}{2}\mathbf{B}\times \mathbf{R}$

Per le funzioni proprie del potenziale armonico isotropo tridimensionale, si possono utilizzare le seguenti informazioni, nella base $\{|n_x,n_y,n_z⟩\}$:

$|n_x=0,n_y=0,n_z=0⟩=|k=0,l=0,m=0⟩$

$|n_x=0,n_y=0,n_z=1⟩=|k=0,l=1,m=0⟩$

$|n_x=1,n_y=0,n_z=0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}[|k=0,l=1,m=-1⟩-|k=0,l=1,m=1⟩]$

$|n_x=0,n_y=1,n_z=0⟩=\frac{i}{\sqrt{2}}[|k=0,l=1,m=-1⟩+|k=0,l=1,m=1⟩]$

$|n_x=1,n_y=1,n_z=0⟩=\frac{-i}{\sqrt{2}}[|k=0,l=2,m=2⟩+|k=0,l=2,m=-2⟩]$

$|n_x=1,n_y=0,n_z=1⟩=\frac{-1}{\sqrt{2}}[|k=0,l=2,m=1⟩-|k=0,l=2,m=-1⟩]$

$|n_x=0,n_y=1,n_z=1⟩=\frac{i}{\sqrt{2}}[|k=0,l=2,m=1⟩+|k=0,l=2,m=-1⟩]$

$|n_x=2,n_y=0,n_z=0⟩=-\frac{1}{\sqrt{3}}|k=2,l=0,m=0⟩-\frac{1}{\sqrt{6}}|k=0,l=2,m=0⟩+\frac{1}{2}|k=0,l=2,m=2⟩+\frac{1}{2}|k=0,l=2,m=-2⟩$

$|n_x=0,n_y=2,n_z=0⟩=-\frac{1}{\sqrt{3}}|k=2,l=0,m=0⟩-\frac{1}{\sqrt{6}}|k=0,l=2,m=0⟩-\frac{1}{2}|k=0,l=2,m=2⟩-\frac{1}{2}|k=0,l=2,m=-2⟩$

$|n_x=0,n_y=0,n_z=2⟩=-\frac{2}{\sqrt{3}}|k=2,l=0,m=0⟩+\sqrt{\frac{2}{3}}|k=2,l=2,m=0⟩$

Fonte: Testo (PDF) — p.3 Topic: Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Approximation & Series Expansion, Bohr Model & Quantization, Lorentz Force Analysis, Statistical Averaging Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Tight-Binding

Introduction

The problem of the spectrum of an electron gas in a magnetic field is addressed by the minimal coupling prescription

\frac{\nabla_i}{i} \to \frac{\nabla_i}{i} - \frac{q}{\hbar}\mathbf{A}(\mathbf{r}) \tag{1}

where $\mathbf{A}$ is the vector potential and the magnetic field is $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$. It is not difficult to show that in two dimensions, for uniform $\mathbf{B}$ normal to the electron gas, one has a discrete spectrum of Landau Levels,

\epsilon_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega_c, \qquad \omega_c = \frac{eB}{m} \tag{2}

where ${\omega }_c$ is the classical angular frequency of electron orbits. Furthermore, each level has a degeneracy (not counting spin) equal to the number of flux quanta in the sample, i.e. equal to $BA/{\varphi }_0$ where $A$ is the area and ${\varphi }_0=h/e$ the flux quantum.

In the presence of a lattice potential this problem becomes considerably more complicated.

A tight binding (TB) model assumes a local basis, with one or more states $|{\varphi }_i⟩$ in each lattice unit cell and is defined by two sets of parameters:

• local orbital energies: $|{\varphi }_i⟩{ϵ}_i⟨{\varphi }_i|$;
• hopping amplitudes between local orbitals: $|{\varphi }_i⟩t_{ij}⟨{\varphi }_j|$.

The general state is defined by its amplitudes in this basis

|\psi\rangle = \sum_i c_i\,|\phi_i\rangle \tag{3}

and for a crystalline lattice, Bloch’s theorem can be used to solve for the Hamiltonian eigenstates.

The magnetic field is introduced by adding complex phases to the hopping amplitudes (Peierls substitution)

t_{ij} \to e^{i\phi_{ij}}\,t_{ij} \tag{4}

with the only requirement that the sum of phases along a loop is proportional to the magnetic flux in the area enclosed by the loop. The choice in Fig. 1 corresponds to a flux in the square of $B{a}^2=\varphi$.

Figure 1 — With $t$ real this choice of phases describes motion in a magnetic field perpendicular to the plane with flux in the square of $B{a}^2=\varphi$.

1. The square lattice

Assume a square lattice with sites ${\mathbf{R}}_{m,n}:=a(m{\hat{\mathbf{e}}}_x+n{\hat{\mathbf{e}}}_y)$ with non-zero hopping amplitudes $-t$ ($t>0$) only between nearest neighbors. Take $0\le m\le N_L-1$ and $0\le n\le N_W-1$ ($N_W{N}_L$ unit cells). You may take the site energy to be zero (band center).

• 1.1. [20 points] You can make a choice of phases to represent a uniform magnetic field affecting only bonds along $x$, $⟨{\psi }_{m,n}|\mathcal{H}|{\psi }_{m\pm 1,n}⟩$. Go ahead and do so. Notice that you break translational invariance only along $y$ direction. Use Bloch’s theorem along $x$ to reduce the Hamiltonian eigenvalue problem, for a given $k_x$, to a 1D tight-binding chain with an on-site energy $V_n(k_x)$ that varies along the chain and is periodic. Determine $V_n(k_x)$.

• 1.2. [15 points] In a realistic situation, the flux per unit cell, $B{a}^2$, is much smaller than the flux quantum. Confirm this by estimating for $a\sim 1\text{A˚}$ the value of $B$ such that $B{a}^2={\varphi }_0$. Show that the potential $V_n(k)$, for sensible values of $B$, has a wavelength much greater than the lattice spacing $a$. Obtain a continuum limit for your TB equation by assuming that the tight binding amplitudes vary slowly with the index $n$ and can be represented by a continuous function of $y$ computed at the site coordinate $y_n=na$, which can be expanded in a power series. For a given $k_x$, you obtain a Schrödinger equation in 1D (along $y$) for a particle in a potential $V(y,k_x)$.

• 1.3. [15 points] Look for a solution close to the minimum of the potential. Reduce the problem to that of an harmonic oscillator and try to prove the following:

  • The low energy spectrum takes the form \epsilon_r = -4t + \left(r + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega, \qquad r = 0, 1, 2, \dots \tag{5}
  • if the potential period $Ma$ is larger than the width $N_{W}a$ of the sample, each level has a degeneracy $p=N_W{N}_L/M;$
  • The form of the spectrum of Eq. 5 only holds for $r\ll M$.

2. The Graphene Lattice

The case of the graphene lattice brings further complications. The honeycomb lattice is not a Bravais lattice and has two carbon atoms per unit cell (see Fig. 2). The general state is

$|\psi ⟩={\sum }_{{\mathbf{R}}_{m,n}}{a}_{m,n}|{\varphi }_{m,n}^A⟩+b_{m,n}|{\varphi }_{m,n}^B⟩$

where ${\mathbf{R}}_{m,n}=m{\mathbf{a}}_1+n{\mathbf{a}}_2$ is a Bravais lattice site, and $|{\varphi }_{m,n}^A⟩$ and $|{\varphi }_{m,n}^B⟩$ are the two local orbitals in the unit cell ${\mathbf{R}}_{m,n}$. In a minimal model the site energies of all local orbitals is taken to be zero and a non-zero hopping amplitude, $-t$, ($t\approx 3\text{eV}$) exists only between nearest neighbors. The magnetic field can be introduced with phases affecting only the bonds connecting orbitals with the same $n$.

Figure 2 — Graphene lattice with basic lattice translations.

• 2.1. [20 points] Use Bloch’s Theorem to reduce the eigenvalue problem to a 1D chain with two types of atoms with a space dependent hopping $t_n(k_1)$. In graphene, the interesting energies are close to zero. To obtain these states consider the following suggestions.

• 2.2. [20 points] Use a phase change of the local orbitals to reduce the TB equation of the $AB$ chain to the form $ϵ{\tilde{a}}_n(k_1)=-t\left[2\cos \left(\frac{k_{1}a}{2}-n\pi \frac{\phi }{{\varphi }_0}\right){\tilde{b}}_n(k_1)-{\tilde{b}}_{n-1}(k_1)\right]$ $ϵ{\tilde{b}}_n(k_1)=-t\left[2\cos \left(\frac{k_{1}a}{2}-n\pi \frac{\phi }{{\varphi }_0}\right){\tilde{a}}_n(k_1)-{\tilde{a}}_{n+1}(k_1)\right]$

• 2.3. [10 points] You can obtain low energy states $|ϵ|\ll t$, with slowly varying wavefunctions in an atomic scale, near values of $n$ such that $2\cos \left(\frac{k_{1}a}{2}-n\pi \frac{\phi }{{\varphi }_0}\right)=1.$ Expand the cosine term about $\bar{n}$, use a continuum approximation for the amplitudes as you did for the square lattice, and obtain equations in the form $\left[\begin{array}{cc}0& {\hat{A}}^{†}({\partial }_y,y)\\ \hat{A}({\partial }_y,y)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\psi }_a(y)\\ {\psi }_b(y)\end{array}\right]=ϵ\left[\begin{array}{c}{\psi }_a(y)\\ {\psi }_b(y)\end{array}\right]$ where the commutator $[\hat{A}({\partial }_y,y),{\hat{A}}^{†}({\partial }_y,y)]$ is a c-number. Recall the commutation relation of harmonic oscillator operators, $[a,a^{†}]=1$, and try to figure out the low energy spectrum from this.

Fonte: Testo (PDF) — p.9 Topic: Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Approximation & Series Expansion, Bohr Model & Quantization, Differential Equations, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron

**Strice legame **

Introduzione

Il problema dello spettro di un gas elettronico in un campo magnetico è risolto con la prescrizione minima di accoppiamento

\frac{\nabla_i}{i} \to \frac{\nabla_i}{i} - \frac{q}{\hbar}\mathbf{A}(\mathbf{r}) \tag{1}

dove $\mathbf{A}$ è il potenziale vettoriale e il campo magnetico è $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$. Non è difficile dimostrare che in due dimensioni, per un $\mathbf{B}$ uniforme normale al gas elettronico, si dispone di uno spettro discreto di livelli di Landau,

\epsilon_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega_c, \qquad \omega_c = \frac{eB}{m} \tag{2}

dove ${\omega }_c$ è la frequenza angolare classica delle orbite di elettroni. Inoltre, ogni livello ha una degenerazione (senza contazione dello spin) pari al numero di quantitati di flusso nel campione, ovvero: pari a $BA/{\varphi }_0$, dove $A$ è l’area e ${\varphi }_0=h/e$ il quantum di flusso.

In presenza di un potenziale di rete questo problema diventa considerevolmente più complicato.

Un modello di legame stretto (TB) assume una base locale, con uno o più stati $|{\varphi }_i⟩$ in ogni cella di unità di rete e è definito da due set di parametri:

• energie orbitali locali: $|{\varphi }_i⟩{ϵ}_i⟨{\varphi }_i|$;
• amplitudini di salto tra orbitali locali: $|{\varphi }_i⟩t_{ij}⟨{\varphi }_j|$.

Lo stato generale è definito dalle sue amplitudini in questa base

|\psi\rangle = \sum_i c_i\,|\phi_i\rangle \tag{3}

e per una griglia cristallina, il teorema di Bloch può essere usato per risolvere gli stati propri di Hamilton.

Il campo magnetico viene introdotto aggiungendo fasi complesse alle amplitudini di salto (sostituzione di Beierls)

t_{ij} \to e^{i\phi_{ij}}\,t_{ij} \tag{4}

con l’unico requisito che la somma delle fasi lungo un ciclo sia proporzionale al flusso magnetico nell’area chiusa dal ciclo. La scelta in Fig. 1 corrisponde a un flusso nel quadrato di $B{a}^2=\varphi$.

Figura 1 Con $t$ reale questa scelta di fasi descrive il movimento in un campo magnetico perpendicolare al piano con flusso nel quadrato di $B{a}^2=\varphi$.

1. La rete quadrata

Supponiamo una rete quadrata con siti ${\mathbf{R}}_{m,n}:=a(m{\hat{\mathbf{e}}}_x+n{\hat{\mathbf{e}}}_y)$ con amplitudini di salto non zero $-t$ ($t>0$) solo tra i vicini più vicini. Prendete $0\le m\le N_L-1$ e $0\le n\le N_W-1$ ($N_W{N}_L$ cellule unità). Si può prendere l’energia del sito a zero (centro di banda).

• 1.1. [20 punti] È possibile scegliere tra le fasi per rappresentare un campo magnetico uniforme che colpisce solo i legami lungo $x$, $⟨{\psi }_{m,n}|\mathcal{H}|{\psi }_{m\pm 1,n}⟩$. - Fa’ così. Si noti che si rompe l’invarianza traslazionale solo lungo la direzione $y$. Utilizzare il teorema di Bloch lungo $x$ per ridurre il problema del valore proprio di Hamiltonian, per un dato $k_x$, a una catena di stretta legame 1D con un’energia in loco $V_n(k_x)$ che varia lungo la catena ed è periodica. Determina $V_n(k_x)$.

• 1.2. [15 punti] In una situazione realistica, il flusso per unità cellulare, $B{a}^2$, è molto inferiore al quantum di flusso. Confirmare questo calcolo calcolando per $a\sim 1\text{A˚}$ il valore di $B$ tale che $B{a}^2={\varphi }_0$. Mostrare che il potenziale $V_n(k)$, per i valori sensibili di $B$, ha una lunghezza d’onda molto maggiore rispetto all’intervallo della rete $a$. Ottieni un limite continuum per la tua equazione TB supponendo che le amplitudini di legame stretto variano lentamente con l’indice $n$ e possa essere rappresentata da una funzione continua di $y$ calcolata al coordinato del sito $y_n=na$, che può essere ampliata in una serie di potenze. Per un dato $k_x$, si ottiene un’equazione di Schrödinger in 1D (insieme $y$) per una particella in un potenziale $V(y,k_x)$.

• 1.3. [15 punti] Cercare una soluzione vicina al minimo potenziale. Riduci il problema a quello di un oscillatore armonico e prova a dimostrare quanto segue:

• Lo spettro di bassa energia assume la forma \epsilon_r = -4t + \left(r + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega, \qquad r = 0, 1, 2, \dots \tag{5}

• se il periodo potenziale $Ma$ è maggiore della larghezza $N_{W}a$ del campione, ogni livello presenta una degenerazione $p=N_W{N}_L/M;$

• La forma dello spettro di Eq. 5 si applica solo a $r\ll M$.

2. Il graphene lattice

Il caso della rete di grafene porta ulteriori complicazioni. La rete di pelliccia non è una rete di Bravais e ha due atomi di carbonio per unità di cellula (vedi figura 1). 2). Lo stato generale è

$|\psi ⟩={\sum }_{{\mathbf{R}}_{m,n}}{a}_{m,n}|{\varphi }_{m,n}^A⟩+b_{m,n}|{\varphi }_{m,n}^B⟩$

dove ${\mathbf{R}}_{m,n}=m{\mathbf{a}}_1+n{\mathbf{a}}_2$ è un sito della rete Bravais e $|{\varphi }_{m,n}^A⟩$ e $|{\varphi }_{m,n}^B⟩$ sono le due orbitali locali nella cella unità ${\mathbf{R}}_{m,n}$. In un modello minimo le energie del sito di tutti gli orbitali locali sono prese come zero e un’ampiezza di salto non zero, $-t$, ($t\approx 3\text{eV}$) esiste solo tra i vicini più vicini. Il campo magnetico può essere introdotto con fasi che riguardano solo i legami che collegano gli orbitali con lo stesso $n$.

Figura 2 Rete di graphene con traduzioni di base di rete.

• 2.1. [20 punti] Utilizzare il teorema di Bloch per ridurre il problema del valore proprio a una catena 1D con due tipi di atomi con un salto spaziale dipendente $t_n(k_1)$. Nel grafene, le energie interessanti sono vicine allo zero. Per ottenere questi stati si considerano i seguenti suggerimenti.

• 2.2. [20 punti] Utilizzare un cambiamento di fase degli orbitali locali per ridurre l’equazione TB della catena $AB$ alla forma $ϵ{\tilde{a}}_n(k_1)=-t\left[2\cos \left(\frac{k_{1}a}{2}-n\pi \frac{\phi }{{\varphi }_0}\right){\tilde{b}}_n(k_1)-{\tilde{b}}_{n-1}(k_1)\right]$ $ϵ{\tilde{b}}_n(k_1)=-t\left[2\cos \left(\frac{k_{1}a}{2}-n\pi \frac{\phi }{{\varphi }_0}\right){\tilde{a}}_n(k_1)-{\tilde{a}}_{n+1}(k_1)\right]$

• 2.3. [10 punti] Si possono ottenere stati a bassa energia $|ϵ|\ll t$, con funzioni d’onda che variano lentamente su scala atomica, vicini a valori di $n$ in modo tale che $2\cos \left(\frac{k_{1}a}{2}-n\pi \frac{\phi }{{\varphi }_0}\right)=1.$ Espandi il termine cosino circa $\bar{n}$, usa un’approssimazione continuum per le amplitudini come hai fatto per la rete quadrata, e ottieni le equazioni nella forma $\left[\begin{array}{cc}0& {\hat{A}}^{†}({\partial }_y,y)\\ \hat{A}({\partial }_y,y)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\psi }_a(y)\\ {\psi }_b(y)\end{array}\right]=ϵ\left[\begin{array}{c}{\psi }_a(y)\\ {\psi }_b(y)\end{array}\right]$ in cui il commutatore $[\hat{A}({\partial }_y,y),{\hat{A}}^{†}({\partial }_y,y)]$ è un numero c. Ricordate il rapporto di commutazione degli operatori di oscillatori armonici, $[a,a^{†}]=1$, e provate a calcolare da questo lo spettro di bassa energia.

Fonte: Testo (PDF) — p.9 Topic: Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Approximation & Series Expansion, Bohr Model & Quantization, Differential Equations, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron

The evolution of accretion disks

Introduction

The stars form through the gravitational collapse of dense molecular clouds. The specific angular momentum of gas in the molecular cloud typically matches the specific angular momentum of the gas in a circumstellar disk. In many cases the disk is confined so closely to the disk mid-plane that to a first approximation, one can assume the disk as a two-dimensional gas flow, the so-called thin disk approximation, where the thickness of the disk, $H(r)\ll r$.

Question 1 [20 points]

Assume for simplicity that the disk is optically thick and vertically isothermal, with a constant sound speed, $c_s$, and pressure given by $P(r,z)=\rho (r,z)c_s^2(r)$. If the gas is in hydrostatic equilibrium in the vertical $z$-direction (no mass motion in this direction), show that the vertical density profile, $\rho (z)$, is a gaussian profile. In this exercise one can consider the mass of the disk negligible when compared with the mass of the star, so the gravitational force is mainly due to the star.

Question 2 [30 points]

The evolution of a flat and geometrically thin disk follows from the equations of mass and angular momentum conservation. Consider a thin disk characterized by a surface density $\Sigma (r,t)$ (the mass per unit surface area of the disk, $\Sigma (r,t)\approx \rho (r,t)\times H(r)$), radial velocity $V_r(r,t)$ and angular velocity $\Omega (r)$. The angular momentum conservation is given by the equation

r\frac{\partial}{\partial t}(r^2\Omega\Sigma) + \frac{\partial}{\partial r}(r^2\Omega \cdot r\Sigma V_r) = \frac{1}{2\pi}\frac{\partial G}{\partial r} \tag{1}

$\nu$ is the kinematic viscosity, $G$ is the viscous torque exerted by the outer ring on the inner ring and has the form $G=2\pi r\cdot \nu \Sigma r\frac{d\Omega }{dr}\cdot r$.

Get the mass conservation equation in cylindrical co-ordinates and together with equation 1 obtain the equation that represents the disk evolution (assume the angular velocity is keplerian),

\frac{\partial\Sigma}{\partial t} = \frac{3}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^{1/2}\frac{\partial}{\partial r}\left(\nu\Sigma r^{1/2}\right)\right] \tag{2}

Question 3 [30 points]

In general, equation 2 is a nonlinear diffusion equation, because the kinematic viscosity $\nu$ may be a function of $\Sigma$, $r$ and time. If we assume a constant viscosity $\nu$ in the full disk, the equation is linear.

Show that for a constant viscosity disk, the equation is a pure diffusion equation,

$\frac{\partial f}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}f}{\partial R^2}$

and determine the typical timescale of the disk evolution (also called the viscous timescale). [Hint: Consider $R=2r^{1/2}$ and $f=(3/2)\Sigma R$].

In your opinion, how could the disk evolution timescale be obtained from observations?

Question 4 [20 points]

In the previous questions we have assumed that the mass of the disk is negligible when compared with the mass of the star. Here, we want to discuss the validity of this assumption. As the disk is very large, for simplicity we approximate the disk by an infinite sheet with constant surface density $\Sigma$ and thickness $H$. Show that the mass of the disk is not negligible when

$\frac{M_{disk}}{M_{\ast }}>0.5\left(\frac{H}{R_{disk}}\right)$

[Hint: Determine the gravitational acceleration above the sheet due to the mass of the disk and compare this acceleration with the vertical component of the stellar gravity at $z=H$]

Fonte: Testo (PDF) — p.20 Topic: Astrophysics, Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Conservation Laws, Differential Equations, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star

L’evoluzione dei dischi di accrescimento

Introduzione

Le stelle si formano attraverso il crollo gravitazionale di dense nuvole molecolari. La specifica dinamica angolare del gas nella nube molecolare corrisponde tipicamente alla specifica dinamica angolare del gas in un disco circonstellare. In molti casi il disco è confinato così vicino al disco a metà piano che ad una prima approssimazione, si può assumere il disco come un flusso di gas bidimensionale, la cosiddetta approssimazione del disco sottile, dove lo spessore del disco, $H(r)\ll r$.

**Domanda 1 [20 punti] **

Per semplicità, supponiamo che il disco sia otticamente spessore e verticalmente isotermico, con una velocità sonora costante, $c_s$, e una pressione data da $P(r,z)=\rho (r,z)c_s^2(r)$. Se il gas è in equilibrio idrostatico nella direzione verticale $z$ (nessun movimento di massa in questa direzione), mostrare che il profilo di densità verticale, $\rho (z)$, è un profilo gaussiano. In questo esercizio si può considerare la massa del disco trascurabile quando si confronta con la massa della stella, quindi la forza gravitazionale è principalmente dovuta alla stella.

**Domanda 2 [30 punti] **

L’evoluzione di un disco piatto e geometricamente sottile deriva dalle equazioni di conservazione della massa e del momento angolare. Considera un disco sottile caratterizzato da una densità superficiale $\Sigma (r,t)$ (la massa per unità di superficie del disco, $\Sigma (r,t)\approx \rho (r,t)\times H(r)$), velocità radiale $V_r(r,t)$ e velocità angolare $\Omega (r)$. La conservazione del momento angolare è data dall’equazione

r\frac{\partial}{\partial t}(r^2\Omega\Sigma) + \frac{\partial}{\partial r}(r^2\Omega \cdot r\Sigma V_r) = \frac{1}{2\pi}\frac{\partial G}{\partial r} \tag{1}

$\nu$ è la viscosità cinematica, $G$ è la coppia viscosa esercitata dall’anello esterno sull’anello interno e ha la forma $G=2\pi r\cdot \nu \Sigma r\frac{d\Omega }{dr}\cdot r$.

Ottieni l’equazione di conservazione della massa in coordinate cilindriche e insieme all’equazione 1 ottieni l’equazione che rappresenta l’evoluzione del disco (assumiamo che la velocità angolare sia kepleriana),

\frac{\partial\Sigma}{\partial t} = \frac{3}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^{1/2}\frac{\partial}{\partial r}\left(\nu\Sigma r^{1/2}\right)\right] \tag{2}

**Domanda 3 [30 punti] **

In generale, l’equazione 2 è un’equazione di diffusione non lineare, poiché la viscosità cinematica $\nu$ può essere una funzione di $\Sigma$, $r$ e tempo. Se supponiamo una viscosità costante $\nu$ nel disco completo, l’equazione è lineare.

Mostrare che per un disco di viscosità costante, l’equazione è un’equazione di diffusione pura,

$\frac{\partial f}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}f}{\partial R^2}$

e determinare la scala temporale tipica dell’evoluzione del disco (chiamata anche scala temporale viscosa). [Suggestone: considera $R=2r^{1/2}$ e $f=(3/2)\Sigma R$].

Secondo lei, come si può ottenere la scala temporale dell’evoluzione del disco dalle osservazioni?

**Domanda 4 [20 punti] **

Nelle domande precedenti abbiamo supposto che la massa del disco sia trascurabile rispetto alla massa della stella. Qui, vogliamo discutere la validità di questa ipotesi. Poiché il disco è molto grande, per semplicità si approssima il disco con un foglio infinito con densità di superficie costante $\Sigma$ e spessore $H$. Mostrare che la massa del disco non è trascurabile quando

$\frac{M_{disk}}{M_{\ast }}>0.5\left(\frac{H}{R_{disk}}\right)$

[Suggestone: Determina l’accelerazione gravitazionale sopra la foglia a causa della massa del disco e confronta questa accelerazione con la componente verticale della gravità stellare a $z=H$]

Fonte: Testo (PDF) — p.20 Topic: Astrophysics, Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Conservation Laws, Differential Equations, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star

Fluids and Fourier

1. An empty sphere inside a fluid

A spherical hole of radius $R_0$ (see Fig. 1) suddenly forms in a perfect incompressible fluid (specific mass $\rho$; weight negligible). The radius of the hole is small compared to the dimension of surrounding fluid.

Figure 1 — Spherical hole forming in a perfect incompressible fluid.

• 1.1. [32.5 points] Prove that the time it takes for the fluid to completely fill the hole is T = \sqrt{\frac{3\rho}{2p_0}}\int_0^{R_0}\frac{dr}{\sqrt{(R_0/r)^3 - 1}} \tag{1} with $p_0$ corresponding to the pressure at “infinity”.

• 1.2. [17.5 points] In order to calculate this time, we need to evaluate the integral: \int_0^{R_0}\frac{dr}{\sqrt{(R_0/r)^3 - 1}} \tag{2} Your task is to find the value of this integral in terms of beta or gamma functions. After that, choose your favorite numerical integration method and find the numerical value for this same integral and compare both. Hint: use the normalization $x=r/R_0$. You can do the numerical iterations by hand or you can put your computer to do them for you, using a programming language like Python or a similar one.

2. Polarization field

Polarization is the vector field that expresses the density ($C/m^2$) of permanent or induced electric dipole moments in a dielectric material. When we apply an external electric field, the molecules of the material will acquire an additional electric dipole moment which is taken to be polarized. Consider that this polarization follows the differential equation that relates the polarization of a material to the applied electric field can be written, in the time domain:

\frac{d^2 P}{dt^2} + \gamma\frac{dP}{dt} + \omega_0^2 P - \nu\omega_p^2 P = \epsilon_0\omega_p^2 E(t) \tag{3}

where ${\omega }_0^2=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}m{R}_0^3}$, $\gamma =\frac{1}{\tau }$, ${\omega }_p^2=\frac{N{e}^2}{{ϵ}_{0}m}$ and $N$ the number of charges per unit volume. In metals $\nu =0$ and for an isotropic non-polar dielectric $\nu$ is theoretically $1/3$.

As we know, Fourier transforms, direct and inverse, and convolution integrals are one of the most valuable theoretical tools of physicists and engineers. They give us a clear correspondence between time and frequency domains. One can choose a domain to solve a problem (time or frequency domain) allowing us to do the math in the easier one. The equation 3 can be written in the frequency domain as:

$\tilde{P}(\omega )=\tilde{R}(\omega )\tilde{E}(\omega )$

where $\tilde{R}(\omega )$ is the transfer function (susceptibility) of the medium. In the general case, susceptibility is a tensor but in this exercise we consider it a scalar quantity.

• 2.1. [20 points] In the limit of $\gamma \to 0$, find expressions for the real and imaginary parts of $\tilde{R}(\omega )=\tilde{\chi }(\omega )={\chi }_r(\omega )+i{\chi }_i(\omega )$.

• 2.2. [7.5 points] In this limit, find the response of the system to an applied electric field equal to zero for $t<0$ and $E_0$ for $t>0$ (Heaviside function). Plot $P(t)$ and comment physically the result.

• 2.3. [22.5 points] If $\gamma \ne 0$, with $\frac{\gamma }{{\omega }_0}\ll 1$, comment on the amplitude of the resultant oscillation, its energy and the corresponding dissipation through $\gamma$ (always obeying the condition $\gamma \ll {\omega }_0$). What is the value of $P$ when $t\to \infty$? Neglect irradiated electromagnetic energy and all other decay modes due to interactions with other particles.

Fonte: Testo (PDF) — p.25 Topic: Fluid Mechanics, Electromagnetism Metodi: Bernoulli’s Equation, Differential Equations, Calculus-Integration, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Fluidi e Fourier

1. Una sfera vuota all’interno di un fluido

Un buco sferico di raggio $R_0$ (vedi figura. 1) si forma improvvisamente in un fluido perfettamente incompressibile (massa specifica $\rho$; peso trascurabile). Il raggio del buco è piccolo rispetto alla dimensione del fluido circostante.

Figura 1 Buco sferico che si forma in un fluido perfettamente incompressibile.

• 1.1. [32,5 punti] Prove che il tempo necessario per riempire completamente il buco è T = \sqrt{\frac{3\rho}{2p_0}}\int_0^{R_0}\frac{dr}{\sqrt{(R_0/r)^3 - 1}} \tag{1} con $p_0$ corrispondente alla pressione a “infinity”.

• 1.2. [17.5 punti] Per calcolare questo tempo, è necessario valutare l’integrale: \int_0^{R_0}\frac{dr}{\sqrt{(R_0/r)^3 - 1}} \tag{2} Il tuo compito è trovare il valore di questa integrale in termini di funzioni beta o gamma. Dopo di che, scegliere il tuo metodo di integrazione numerica preferito e trovare il valore numerica per questa stessa integrale e confrontare entrambi. Suggerimento: utilizzare la normalizzazione $x=r/R_0$. Puoi fare le iterazioni numeriche a mano o puoi mettere il tuo computer a farlo per te, usando un linguaggio di programmazione come Python o uno simile.

2. Campo di polarizzazione

La polarizzazione è il campo vettoriale che esprime la densità ($C/m^2$) dei momenti di dipole elettrici permanenti o indotti in un materiale dielettrico. Quando si applica un campo elettrico esterno, le molecole del materiale acquisiscono un ulteriore momento di dipolo elettrico che viene preso per essere polarizzato. Considera che questa polarizzazione segue l’equazione differenziale che relaziona la polarizzazione di un materiale al campo elettrico applicato può essere scritto, nel dominio temporale:

\frac{d^2 P}{dt^2} + \gamma\frac{dP}{dt} + \omega_0^2 P - \nu\omega_p^2 P = \epsilon_0\omega_p^2 E(t) \tag{3}

dove ${\omega }_0^2=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}m{R}_0^3}$, $\gamma =\frac{1}{\tau }$, ${\omega }_p^2=\frac{N{e}^2}{{ϵ}_{0}m}$ e $N$ il numero di cariche per unità di volume. In metalli $\nu =0$ e per un dielettrico non polare isotropo $\nu$ è teoricamente $1/3$.

Come sappiamo, le trasformazioni di Fourier, dirette e inverse, e gli integrali di convoluzione sono uno degli strumenti teorici più preziosi dei fisici e degli ingegneri. Ci danno una chiara corrispondenza tra i domini temporali e frequenti. Si può scegliere un dominio per risolvere un problema (tempo o dominio di frequenza) che ci permette di fare le matematica in quello più facile. L’equazione 3 può essere scritta nel dominio di frequenza come:

$\tilde{P}(\omega )=\tilde{R}(\omega )\tilde{E}(\omega )$

in cui $\tilde{R}(\omega )$ è la funzione di trasferimento (sospensibilità) del mezzo. Nel caso generale, la sensibilità è un tensore, ma in questo esercizio la consideriamo una quantità scalare.

• 2.1. [20 punti] Nel limite di $\gamma \to 0$, trovare espressioni per le parti reali e immaginarie di $\tilde{R}(\omega )=\tilde{\chi }(\omega )={\chi }_r(\omega )+i{\chi }_i(\omega )$.

• 2.2. [7,5 punti] In questo limite, trovare la risposta del sistema ad un campo elettrico applicato pari a zero per $t<0$ e $E_0$ per $t>0$ (funzione di gravità). Scarica $P(t)$ e commenta fisicamente il risultato.

• 2.3. [22,5 punti] Se $\gamma \ne 0$, con $\frac{\gamma }{{\omega }_0}\ll 1$, commenta l’ampiezza dell’oscillazione risultante, la sua energia e la corrispondente dissipazione attraverso $\gamma$ (sempre rispettando la condizione $\gamma \ll {\omega }_0$). Qual è il valore di $P$ quando $t\to \infty$? Negliodare l’energia elettromagnetica irradiata e tutte le altre modalità di decadimento dovute alle interazioni con altre particelle.

Fonte: Testo (PDF) — p.25 Topic: Fluid Mechanics, Electromagnetism Metodi: Bernoulli’s Equation, Differential Equations, Calculus-Integration, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Exoplanets

Introduction

The 2019 Nobel Prize discovery of the planet orbiting a solar-like star marked, in 1995, the onset of a whole new area of modern astrophysics. Today, more than 4000 exoplanets have been detected orbiting other “suns”. The results show that planets are ubiquitous in our Galaxy, but also that rocky planets are likely the most common among these. Complementary studies are allowing to characterize the planets in great detail. The measurement of accurate masses and radii (and thus mean densities) is setting strong constraints about their internal structure and composition. The detection of exoplanet atmospheres provides important clues about their nature and formation processes. The prospects of detecting and characterizing another Earth are now one of the main drivers for the development of new instruments and space missions by the main international agencies (ESO, ESA, NASA).

The following questions focus on some aspects of planet detection and characterization, but also on some interesting problems and challenges raised by planet formation models. All questions are independent and can be solved in any order.

Question 1 [25 points]

One of the main exoplanet detection and characterization methods (the so called Radial-Velocity method) is based on the measurement of the Doppler velocity of the star as it wobbles around the center of mass of the star-planet system.

Assume that you have a planet similar to Jupiter, with $\sim 10^{-3}$ solar masses, orbiting a Sun-mass star in a circular orbit. Assume that the orbital period is 12 years, and the orbital radius of the planet is 5.2 AU (Astronomical Units; 1 AU = $150\times 10^6$ km). Using simple principles, derive an expression that relates the Mass ratio ($M_{star}/M_{planet}$) with the orbital velocity ratio ($V_{star}/V_{planet}$) of the two bodies around the common center-of-mass.

Compute the expected orbital velocity of the star (in units of km/s).

Question 2 [25 points]

Assuming that the planet is in thermal equilibrium with the star, and that the energy received by the planet is rapidly distributed on its surface (i.e., that the planet has uniform temperature), show that the temperature of the planet is proportional to $T_{\star }\sqrt{R_{\star }/D}$, where $T_{\star }$, $R_{\star }$, and $D$ are the temperature of the star, its radius, and the distance between the star and the planet, respectively.

Comment on the physical nature of the proportionality factor.

Question 3 [25 points]

A significant fraction of the known exoplanets are giants, similar to Jupiter, but orbiting their host stars at very short distances. This raises several questions about planet formation and evolution, but also about the very existence of these worlds. Assume that the giant planet mentioned above is actually at 0.05 AU from a star similar to the Sun, such that its temperature is 1250 K.

Using simple principles, discuss if the atmosphere of this planet can survive against evaporation. For simplicity, assume that: 1) the atmosphere of a Jupiter-like planet is composed of hydrogen, 2) the planet has half the mass of Jupiter but the same average density (Data for Jupiter: M = $1.898\times 10^{27}$ kg, R = 70 000 km).

Question 4 [25 points]

Planets are formed in disks of gas and dust that are formed as the outcome of the star formation process. In these disks, solids are expected to grow through collisions over timescales of several million years, eventually leading to planet size objects.

One of the biggest challenges of the planet formation process is related with the fact that, in a disk, the gas (that composes 99% of the mass of the disk) and the solids do not rotate at the same velocity. This leads to a gas drag that will make small, meter-sized pebbles to fall into the star in timescales of a few thousands of years.

Assume you have a disk of gas and dust whose density and temperature decrease with distance to the star. Show that, in such circumstances, you expect the velocity of the gas to be given by

$v_{dust}\times {\left(1-\frac{c^2}{r^2{\Omega }^2}\right)}^{1/2},$

where $\Omega =\sqrt{GM/r^3}$ and $c$ is the speed of sound.

Fonte: Testo (PDF) — p.32 Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Conservation of Momentum, Kinetic Theory of Gases Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Planet, Star

Esoplaneti

Introduzione

La scoperta del premio Nobel del 2019 del pianeta che orbita intorno a una stella simile al sole ha segnato, nel 1995, l’inizio di un nuovo settore della moderna astrofisica. Oggi sono stati rilevati più di 4000 esopianeti che orbitano intorno ad altri “sole”. I risultati mostrano che i pianeti sono onnipresenti nella nostra galassia, ma anche che i pianeti rocciosi sono probabilmente i più comuni tra questi. Gli studi complementari permettono di caratterizzare i pianeti in modo molto dettagliato. La misurazione di masse e di raggi precisi (e quindi di densità media) sta impostando forti vincoli sulla loro struttura interna e sulla loro composizione. Il rilevamento delle atmosfere degli esopianeti fornisce importanti indizi sulla loro natura e sui processi di formazione. Le prospettive di rilevare e caratterizzare un’altra Terra sono ora uno dei principali fattori di sviluppo di nuovi strumenti e missioni spaziali da parte delle principali agenzie internazionali (ESO, ESA, NASA).

Le seguenti domande si concentrano su alcuni aspetti della rilevazione e della caratterizzazione dei pianeti, ma anche su alcuni problemi e sfide interessanti sollevati dai modelli di formazione dei pianeti. Tutte le domande sono indipendenti e possono essere risolte in qualsiasi ordine.

**Domanda 1 [25 punti] **

Uno dei principali metodi di rilevamento ed caratterizzazione degli esopianeti (il cosiddetto metodo Radial-Velocity) si basa sulla misurazione della velocità di Doppler della stella mentre oscilla intorno al centro di massa del sistema stellare-planetario.

Supponiamo che si abbia un pianeta simile a Giove, con masse solari $\sim 10^{-3}$, che orbita intorno a una stella di massa solare in orbita circolare. Supponiamo che il periodo orbitale sia di 12 anni e che il raggio orbitale del pianeta sia di 5.2 AU (Unità astronomiche; 1 AU = $150\times 10^6$ km). Usando principi semplici, derivare un’espressione che relaziona il rapporto di massa ($M_{star}/M_{planet}$) con il rapporto di velocità orbitale ($V_{star}/V_{planet}$) dei due corpi intorno al centro di massa comune.

Calcolare la velocità orbitale attesa della stella (in unità di km/s).

**Domanda 2 [25 punti] **

Supponendo che il pianeta sia in equilibrio termico con la stella e che l’energia ricevuta dal pianeta sia rapidamente distribuita sulla sua superficie (cioè che il pianeta abbia una temperatura uniforme), mostrare che la temperatura del pianeta è proporzionale a $T_{\star }\sqrt{R_{\star }/D}$, dove $T_{\star }$, $R_{\star }$ e $D$ sono la temperatura della stella, il suo raggio e la distanza tra la stella e il pianeta, rispettivamente.

Commento sulla natura fisica del fattore di proporzionalità.

**Domanda 3 [25 punti] **

Una frazione significativa degli esopianeti conosciuti sono giganti, simili a Giove, ma che orbitano intorno alle loro stelle ospite a distanze molto brevi. Questo solleva diverse domande sulla formazione e l’evoluzione dei pianeti, ma anche sull’esistenza stessa di questi mondi. Supponiamo che il pianeta gigante sopra menzionato sia in realtà a 0,05 UA da una stella simile al Sole, in modo tale che la sua temperatura sia di 1250 K.

Usando semplici principi, discutete se l’atmosfera di questo pianeta può sopravvivere contro l’evaporazione. Per semplicità, supponiamo che: 1) l’atmosfera di un pianeta simile a Giove sia composta da idrogeno, 2) il pianeta abbia la metà della massa di Giove ma la stessa densità media (Dati per Giove: M = $1.898\times 10^{27}$ kg, R = 70 000 km).

Questa 4 [25 punti]

I pianeti si formano in dischi di gas e polvere che si formano come risultato del processo di formazione stellare. In questi dischi, si prevede che i solidi crescano attraverso collisioni su scala temporale di diversi milioni di anni, portando alla fine a oggetti di dimensioni planetarie.

Una delle più grandi sfide del processo di formazione dei pianeti è legata al fatto che, in un disco, il gas (che compone il 99% della massa del disco) e i solidi non ruotano alla stessa velocità. Questo porta ad una trazione di gas che farà cadere nella stella piccoli cavimenti di dimensioni di un metro in scala temporale di poche migliaia di anni.

Supponiamo di avere un disco di gas e polvere la cui densità e temperatura diminuiscono con la distanza dalla stella. Mostrare che, in tali circostanze, si prevede che la velocità del gas sarà data da

$v_{dust}\times {\left(1-\frac{c^2}{r^2{\Omega }^2}\right)}^{1/2},$

dove $\Omega =\sqrt{GM/r^3}$ e $c$ è la velocità del suono.

Fonte: Testo (PDF) — p.32 Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Conservation of Momentum, Kinetic Theory of Gases Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Planet, Star

Cosmology

Introduction

The simplest cosmological model scientifically non-trivial can be obtained by Newtonian considerations assuming that a mass, $M$, is isotropically distributed in a volume, $V_3$, around an arbitrary origin. Suppose that, at a given time, a generic galaxy with mass $m$ is at a distance $a(t)$ from the origin.

Question 1 [16 points]

Use Newton’s Second law and the law of Universal Gravitation to obtain an equation of motion for $a(t)$.

Question 2 [16 points]

Show that this equation of motion admits the integral:

$\frac{1}{2}{\dot{a}}^2=\frac{GM}{a}-\frac{k}{2},$

where $k$ is an integration constant.

Question 3 [16 points]

Assume that the mass $M$ is made up of homogeneously distributed pressureless dust with density, $\rho (t)$, within the radius, $a(t)$, of a sphere. Insert this mass into the previous equation to obtain an expression for the square of the expansion rate, $H=\dot{a}/a$, in terms of the density. This equation is known as Friedmann’s equation and was obtained by the Russian polymath Alexander Friedmann (1888–1925) in 1922 in the context of the Theory of General Relativity, which means that this equation is more general than the Newtonian considerations assumed for the above derivation (small velocities, $v/c\ll 1$, and weak gravitational fields, $V/c^2\ll 1$, where $V$ is the gravitational potential).

Question 4 [16 points]

Assume that the mass $M$ is constant to obtain a relationship between $\rho (t)$ and $a(t)$.

Question 5 [36 points]

In the Theory of General Relativity the integration constant, $k$, is associated to the spatial curvature of the Universe. There are three possible geometries to consider:

• a. Closed Universe for $k>0$, which corresponds to a Universe with a spatial geometry of a three-dimensional sphere, $S^3$, with radius of curvature, $R(t)$, related with the above model by $\frac{k}{a(t{)}^2}=\frac{1}{R(t{)}^2},$ associated to the volume $V_3(t)=2{\pi }^{2}R(t{)}^3$;
• b. Flat Universe for $k=0$, which corresponds to a Universe with spatial geometry of a three-dimensional Euclidean space, $E^3$, for which $R\to \infty$;
• c. Open Universe for $k<0$, which corresponds to a Universe with spatial geometry of a three-dimensional hyperboloid, $H^3$.

Show that the evolution of the Universe can be understood for these three different cases rewriting Friedmann’s equation as

$\frac{1}{2}{\dot{a}}^2=-V_{eff}(a)-\frac{k}{2},$

where $V_{eff}(a)=-4\pi G\rho a^2/3$, drawing the diagram of $V_{eff}(a)$ as a function of $a$ and discussing how $a(t)$ evolves as a function of the cosmic time, $t$.

Relevant constants: Newton’s gravitational constant: $G=6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ Speed of light: $c=3\times 10^8\text{m/s}$

Fonte: Testo (PDF) — p.38 Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Differential Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Cosmologia

Introduzione

Il modello cosmologico più semplice scientificamente non triviale può essere ottenuto con le considerazioni newtoniane, supponendo che una massa, $M$, sia isotropicamente distribuita in un volume, $V_3$, attorno ad un’origine arbitraria. Supponiamo che, in un dato momento, una galassia generica con massa $m$ sia a distanza $a(t)$ dall’origine.

Domanda 1 [16 punti]

Utilizzare la seconda legge di Newton e la legge della Gravitazione Universale per ottenere un’equazione di movimento per $a(t)$.

Domanda 2 [16 punti]

Mostrare che questa equazione di movimento ammette l’integrale:

$\frac{1}{2}{\dot{a}}^2=\frac{GM}{a}-\frac{k}{2},$

in cui $k$ è una costante di integrazione.

**Domanda 3 [16 punti] **

Supponiamo che la massa $M$ sia costituita da polvere senza pressione distribuita omogenea con densità $\rho (t)$, all’interno del raggio $a(t)$ di una sfera. Inserire questa massa nell’equazione precedente per ottenere un’espressione per il quadrato del tasso di espansione, $H=\dot{a}/a$, in termini di densità. Questa equazione è conosciuta come equazione di Friedmann ed è stata ottenuta dal polimatico russo Alexander Friedmann (18881925) nel 1922 nel contesto della Teoria della Relatività Generale, il che significa che questa equazione è più generale delle considerazioni newtoniane presunte per la derivazione di cui sopra (piccole velocità, $v/c\ll 1$, e campi gravitazionali deboli, $V/c^2\ll 1$, dove $V$ è il potenziale gravitazionale).

Questa 4 [16 punti]

Supponiamo che la massa $M$ sia costante per ottenere una relazione tra $\rho (t)$ e $a(t)$.

Domanda 5 [36 punti]

Nella teoria della relatività generale la costante di integrazione, $k$, è associata alla curvatura spaziale dell’universo. Ci sono tre possibili geometrie da considerare:

• a. Universo chiuso per $k>0$, corrispondente a un Universo con geometria spaziale di una sfera tridimensionale, $S^3$, con raggio di curvatura, $R(t)$, correlato al modello di cui sopra per $\frac{k}{a(t{)}^2}=\frac{1}{R(t{)}^2},$ associato al volume $V_3(t)=2{\pi }^{2}R(t{)}^3$;
• b. Universo piatto per $k=0$, corrispondente a un Universo con geometria spaziale di uno spazio euclidico tridimensionale, $E^3$, per il quale $R\to \infty$;
• c. Universo aperto per $k<0$, che corrisponde a un Universo con geometria spaziale di un iperboloide tridimensionale, $H^3$.

Mostrare che l’evoluzione dell’universo può essere compresa per questi tre diversi casi riscrivendo l’equazione di Friedmann come

$\frac{1}{2}{\dot{a}}^2=-V_{eff}(a)-\frac{k}{2},$

dove $V_{eff}(a)=-4\pi G\rho a^2/3$, disegnando il diagramma di $V_{eff}(a)$ come funzione di $a$ e discutendo come $a(t)$ evolve come funzione del tempo cosmico, $t$.

**Constanti rilevanti: ** Costante gravitazionale di Newton: $G=6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ Velocità della luce: $c=3\times 10^8\text{m/s}$

Fonte: Testo (PDF) — p.38 Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Energy, Differential Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Nanotechnology

Introduction

Nanotechnology is an emerging area that revolutionized the end and beginning of the XX and XXI Century, respectively. This field has already proved many advantages to improve the level of our society. In particular, Spintronics has a preponderant role in the growth and fast processors applied to several devices such as laptops, desktops, workstations, and servers.

One breakthrough was the invention of magnetic junctions constituted by two electrodes that are ferromagnetic materials sandwiching a non-magnetic material, all at the nanometer thickness (Fig. 1). These devices can detect the binary unit (bit) in computing and digital communications, namely for information storage systems such as hard disk drive (HDD). The electric current in these devices consists of two partial currents in a ferromagnetic material, and either with spin-up or spin-down electrons. Moreover, they can present two different configurations related to the relative direction of the FM layers (these layers are usually metals).

Figure 3 — Two FM materials sandwiching a non-magnetic material.

Question 1 [15 points]

Explain the working principle of these nanodevices and how they can measure a bit.

Question 2 [20 points]

Consider that the magnetic junction is a spin valve, e.g. the non-magnetic layer is a metal. What is the expression of the spin valve system’s maximum sensitivity (magnetoresistance’s maximum) using the simplest model? [Suggestion: consider the variation of resistance]

Question 3 [40 points]

Consider now a magnetic tunnel junction barrier (MTJ) in which the non-magnetic layer is an insulator. Disregarding the magnetic contribution considering the metal layers, determine the tunnel current’s general expression through the MTJ.

Question 4 [25 points]

Quantum sensors are another technology gaining extreme relevance. An example is the quantum dots nanoparticles that can be used as sensors for biomedical applications.

• 4.1 Determine the general expression between the bandgap ($E_g$) of quantum dots and its bulk counterpart.
• 4.2 What is expected for the quantum dot’s $E_g$ if the simple parabolic band’s curvature presents a strongly curved parabola?

Fonte: Testo (PDF) — p.43 Topic: Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Bohr Model & Quantization, Equivalent Circuit Reduction, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron

Nanotecnologia

Introduzione

La nanotecnologia è un settore emergente che ha rivoluzionato la fine e l’inizio del XX e XXI secolo, rispettivamente. Questo campo ha già dimostrato numerosi vantaggi per migliorare il livello della nostra società. In particolare, Spintronics ha un ruolo preponderante nella crescita e processi veloci applicati a diversi dispositivi come laptop, desktop, workstation e server.

Una svolta fu l’invenzione di un’incontro magnetico costituito da due elettrodi che sono materiali ferromagnetici che coniugano un materiale non magnetico, tutto a spessore di nanometro (Fig. 1). Questi dispositivi possono rilevare l’unità binaria (bit) nelle comunicazioni informatiche e digitali, in particolare per sistemi di archiviazione delle informazioni come il disco rigido (HDD). La corrente elettrica in questi dispositivi è costituita da due correnti parziali in un materiale ferromagnetico, e sia con elettroni spin-up che spin-down. Inoltre, possono presentare due configurazioni diverse relative alla direzione relativa dei strati FM (questi strati sono solitamente metalli).

Figura 3 Due materiali FM che si uniscono a un materiale non magnetico.

**Domanda 1 [15 punti] **

Spiegate il principio di funzionamento di questi nanodivisi e come possono misurare un po’.

**Domanda 2 [20 punti] **

Considera che la giunzione magnetica è una valvola a spin, ad esempio. lo strato non magnetico è un metallo. Qual è l’espressione della sensibilità massima (massimo di magnetoresistenza) del sistema di valvole a spin utilizzando il modello più semplice? [Suggerimento: considera la variazione della resistenza]

**Domanda 3 [40 punti] **

Considerate ora una barriera di giunzione del tunnel magnetico (MTJ) in cui lo strato non magnetico è un isolante. Non tenendo conto del contributo magnetico, considerando gli strati metallici, determinare l’espressione generale della corrente del tunnel attraverso il MTJ.

Questa 4 [25 punti]

I sensori quantistici sono un’altra tecnologia che sta diventando estremamente rilevante. Un esempio è il nanoparticelle quantiche che possono essere utilizzate come sensori per applicazioni biomediche.

• 4.1 Determinare l’espressione generale tra il bandgap ($E_g$) dei punti quantistici e la sua controparte a granel.
• 4.2 Cosa si aspetta per $E_g$ del punto quantistico se la curvatura della banda parabolica semplice presenta una parabola fortemente curva?

Fonte: Testo (PDF) — p.43 Topic: Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Bohr Model & Quantization, Equivalent Circuit Reduction, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron

Cosmological Consequences of Scalar Fields

Introduction

Since the 2012 discovery of a Higgs-like particle at the LHC, we know that fundamental scalar fields are among Nature’s building blocks. We will explore some cosmological consequences of such scalar fields. We will assume homogeneous and isotropic universes, for which the Friedmann equation is

H^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3}\rho, \tag{1}

where $a$ is the scale factor, $H=\dot{a}/a$ is the Hubble parameter (the dot denotes a time derivative), $k$ is the curvature parameter, and $\rho$ is the total density (a sum of those of the constituents of the universe). We will work in units where $c=1$. It is also useful to know the continuity equation

\dot{\rho} = -3H(\rho + p) = -3H(1 + w)\rho, \tag{2}

where $p$ is the total pressure and for convenience we also introduced $w=p/\rho$, the equation of state parameter.

Question 1 [20 points]

Consider a scalar field with

\rho_1 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + V_1(\phi), \quad p_1 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - V_1(\phi), \tag{3}

where $V_1$ is a generic potential. Calculate the cosmological evolution equation for this scalar field. Then repeat the calculation for a scalar field with

\rho_2 = \frac{V_2(\phi)}{\sqrt{1 - \dot{\phi}^2}}, \quad p_2 = -V_2(\phi)\sqrt{1 - \dot{\phi}^2}, \tag{4}

where again $V_2$ is a generic potential.

Under what conditions can each field dominate the universe and cause its recent acceleration?

Question 2 [20 points]

Consider the first of the scalar fields in Question 1. Show that if the field speed is small one can write, to first order,

w(z) = -1 + (1 + w_0)\frac{H_0^2}{H^2(z)}, \tag{5}

where $w_0$ and $H_0$ denote present-day values.

Further assuming a flat universe containing only matter and the scalar field (with present-day fractional contributions to the energy density ${\Omega }_m$ and ${\Omega }_{\varphi }$), show that the Friedmann equation has the form

\frac{H^2(z)}{H_0^2} = \Omega_m(1 + z)^3 + \Omega_\phi\left[\frac{(1 + z)^3}{\Omega_m(1 + z)^3 + \Omega_\phi}\right]^{\frac{1+w_0}{\Omega_\phi}}. \tag{6}

Question 3 [30 points]

Consider a flat universe containing matter and a cosmological constant, but also a scalar field which obeys the cosmological evolution equation

\ddot{\phi} + 3H\dot{\phi} = -3H_0^2\left[\eta_m\Omega_m\left(\frac{a_0}{a}\right)^3 + \eta_\Lambda\Omega_\Lambda\right], \tag{7}

where ${\eta }_m$ and ${\eta }_{\Lambda }$ are constant coupling parameters describing how the scalar field couples to the matter and cosmological constant sectors and $a_0$ is the present-day value of the scale factor (you may assume ${\varphi }_0=0$).

Assuming that you can neglect the scalar field’s contribution to the Friedmann equation, calculate the cosmological evolution of the scalar field.

Question 4 [30 points]

In some models the scalar field is responsible for a variation of the fine-structure constant $\alpha$ (a measure of the strength of the electromagnetic interaction), and the variation of $\alpha$ has the redshift dependence

\frac{\Delta\alpha}{\alpha}(z) \equiv \frac{\alpha(z) - \alpha_0}{\alpha_0} = \zeta\int_0^z\sqrt{3 f_\phi(y)[1 + w_\phi(y)]}\,\frac{dy}{1 + y}, \tag{8}

where $w_{\varphi }$ is the scalar field equation of state parameter,

f_\phi = \frac{\rho_\phi}{\rho_m + \rho_\phi} \tag{9}

is the fractional contribution of the scalar field to the energy density, and $\zeta$ is another constant coupling parameter.

Calculate the generic explicit form (and redshift dependence) of the variation of $\alpha$, showing that for a slowly varying field

\frac{\Delta\alpha}{\alpha}(z) \propto \ln(1 + z). \tag{10}

You may again assume a flat universe.

Fonte: Testo (PDF) — p.52 Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics Metodi: Conservation Laws, Differential Equations, Calculus-Integration, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Consequenze cosmologiche dei campi scalari

Introduzione

Dal 2012 alla scoperta di una particella simile a Higgs al LHC, sappiamo che i campi scalari fondamentali sono tra i blocchi di costruzione della Natura. Esploreremo alcune conseguenze cosmologiche di tali campi scalari. Supponiamo universi omogenei e isotropi, per i quali l’equazione di Friedmann è

H^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3}\rho, \tag{1}

dove $a$ è il fattore di scala, $H=\dot{a}/a$ è il parametro Hubble (il punto indica una derivata temporale), $k$ è il parametro di curvatura e $\rho$ è la densità totale (una somma di quelle dei componenti dell’universo). Lavoreremo in unità dove $c=1$. È utile anche conoscere l’equazione di continuità

\dot{\rho} = -3H(\rho + p) = -3H(1 + w)\rho, \tag{2}

dove $p$ è la pressione totale e per comodità abbiamo anche introdotto $w=p/\rho$, l’equazione di parametro di stato.

**Domanda 1 [20 punti] **

Considerate un campo scalare con

\rho_1 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + V_1(\phi), \quad p_1 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - V_1(\phi), \tag{3}

in cui $V_1$ è un potenziale generico. Calcolare l’equazione di evoluzione cosmologica per questo campo scalare. Quindi ripeti il calcolo per un campo scalare con

\rho_2 = \frac{V_2(\phi)}{\sqrt{1 - \dot{\phi}^2}}, \quad p_2 = -V_2(\phi)\sqrt{1 - \dot{\phi}^2}, \tag{4}

in cui $V_2$ è un potenziale generico.

In quali condizioni ogni campo può dominare l’universo e causare la sua recente accelerazione?

**Domanda 2 [20 punti] **

Considerate il primo dei campi scalari della domanda 1. Mostrare che se la velocità del campo è piccola si può scrivere, al primo ordine,

w(z) = -1 + (1 + w_0)\frac{H_0^2}{H^2(z)}, \tag{5}

dove $w_0$ e $H_0$ indicano valori attuali.

Supponendo inoltre un universo piatto contenente solo materia e il campo scalare (con contributi frazionari attuali alla densità energetica ${\Omega }_m$ e ${\Omega }_{\varphi }$), dimostri che l’equazione di Friedmann ha la forma

\frac{H^2(z)}{H_0^2} = \Omega_m(1 + z)^3 + \Omega_\phi\left[\frac{(1 + z)^3}{\Omega_m(1 + z)^3 + \Omega_\phi}\right]^{\frac{1+w_0}{\Omega_\phi}}. \tag{6}

**Domanda 3 [30 punti] **

Considera un universo piatto contenente materia e una costante cosmologica, ma anche un campo scalare che obbedisce all’equazione di evoluzione cosmologica

\ddot{\phi} + 3H\dot{\phi} = -3H_0^2\left[\eta_m\Omega_m\left(\frac{a_0}{a}\right)^3 + \eta_\Lambda\Omega_\Lambda\right], \tag{7}

dove ${\eta }_m$ e ${\eta }_{\Lambda }$ sono parametri di accoppiamento costanti che descrivono come il campo scalare si accoppia con i settori della materia e della costante cosmologica e $a_0$ è il valore attuale del fattore di scala (si può supporre ${\varphi }_0=0$).

Supponendo che si possa trascurare il contributo del campo scalare all’equazione di Friedmann, calcolare l’evoluzione cosmologica del campo scalare.

Questione 4 [30 punti]

In alcuni modelli il campo scalare è responsabile di una variazione della costante di struttura fine $\alpha$ (una misura della forza dell’interazione elettromagnetica), e la variazione di $\alpha$ ha la dipendenza dal spostamento rosso

\frac{\Delta\alpha}{\alpha}(z) \equiv \frac{\alpha(z) - \alpha_0}{\alpha_0} = \zeta\int_0^z\sqrt{3 f_\phi(y)[1 + w_\phi(y)]}\,\frac{dy}{1 + y}, \tag{8}

dove $w_{\varphi }$ è l’equazione di campo scalare del parametro di stato,

f_\phi = \frac{\rho_\phi}{\rho_m + \rho_\phi} \tag{9}

è il contributo frazionario del campo scalare alla densità energetica e $\zeta$ è un altro parametro di accoppiamento costante.

Calcolare la forma esplicita generica (e la dipendenza dal spostamento rosso) della variazione di $\alpha$, mostrando che per un campo che varia lentamente

\frac{\Delta\alpha}{\alpha}(z) \propto \ln(1 + z). \tag{10}

Potresti assumere di nuovo un universo piatto.

Fonte: Testo (PDF) — p.52 Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics Metodi: Conservation Laws, Differential Equations, Calculus-Integration, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: —

Electromagnetism

Introduction

A proton moves in a vacuum chamber, entering a region with a uniform magnetic field $\vec{B}$ that points into the page, as shown in the figure. The proton passes through point P, at a distance $l$ from the region, with velocity $\vec{v}$, on the plane of the page and making an angle $\theta$ with the perpendicular to the border of the region. After entering the region, it exits at a point which is at a distance $d$ from the point where it entered, and with velocity that makes an angle $\varphi$ with the perpendicular to the border. Assume that $v$ is large enough so the effect of gravity can be neglected during the trajectory, but much smaller than the speed of light making relativistic effects irrelevant.

Figure 4 — Schematic representation of a proton entering a region with a magnetic field.

Question 1 [10 points]

Find the exit angle $\varphi$.

Question 2 [20 points]

Find the distance $d$.

Question 3 [35 points]

If the direction of the uniform magnetic field is reversed, making it point out of the page, find the angle $\theta$ that would make the proton return to point P after exiting the region.

Question 4 [35 points]

With the initial magnetic field, pointing into the page, if the region is kept at a constant electrostatic potential $V$ different from the potential equal to zero outside the region, find the distance $d$.

Fonte: Testo (PDF) — p.58 Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Vector Decomposition, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Point Charge

Elettro-magnetismo

Introduzione

Un protone si muove in una camera a vuoto, entrando in una regione con un campo magnetico uniforme $\vec{B}$ che punta nella pagina, come mostrato nella figura. Il protone passa attraverso il punto P, a una distanza $l$ dalla regione, con velocità $\vec{v}$, sul piano della pagina e fa un angolo $\theta$ perpendicolare al confine della regione. Dopo aver entrato nella regione, esce in un punto a una distanza $d$ dal punto in cui è entrato, e con una velocità che fa un angolo $\varphi$ perpendicolare al confine. Supponiamo che $v$ sia abbastanza grande da poter trascurare l’effetto della gravità durante la traiettoria, ma molto più piccolo della velocità della luce rendendo irrilevanti gli effetti relativistici.

Figura 4 Rappresentazione schematica di un protone che entra in una regione con un campo magnetico.

Domanda 1 [10 punti]

Trova l’angolo di uscita $\varphi$.

**Domanda 2 [20 punti] **

Trova la distanza $d$.

**Domanda 3 [35 punti] **

Se la direzione del campo magnetico uniforme è invertita, facendola puntare fuori dalla pagina, trovare l’angolo $\theta$ che farà tornare il protone al punto P dopo aver lasciato la regione.

Domanda 4 [35 punti]

Con il campo magnetico iniziale, puntando verso la pagina, se la regione è mantenuta ad un potenziale elettrostatico costante $V$ diverso dal potenziale uguale a zero al di fuori della regione, trovare la distanza $d$.

Fonte: Testo (PDF) — p.58 Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Vector Decomposition, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Point Charge

What Can Pressure Tell Us About Buoyancy?

Introduction

Albeit being a central quantity in the physics of fluids, hydrostatic pressure dresses itself in rather diverse definitions depending on the physical context. In thermodynamics, the pressure of a gas confined inside a container is defined in terms of the work done when the confining volume is changed. In contrast, in the kinetic theory of gases, pressure is seen as the rate at which free particles transfer momentum to the wall due to elastic collisions. In both cases, the very definition of pressure is a non-local one, that seemingly requires the introduction of a macroscopic hard-wall.

Meanwhile, in statistical physics thermodynamic state variables (e.g. internal energy, temperature, chemical potential, electric polarization, magnetization, etc…) can be described in terms of averages of microscopic observables with respect to an equilibrium probability distribution for the micro-state of the many-particle system. In order to define pressure in this language, one must find a way which does not depend on the existence of a container’s wall, onto which the gas can exert force. Instead, we will consider a system of $N$ independent particles in free space, in equilibrium at a temperature $T$ and subjected to a general confinement potential — $V(\mathbf{r})$. Our aim is to provide a local definition of pressure in this setup using purely statistical arguments.

Figure 5 — Sketch of the physical situation.

1. Particle Density in Different Confining Geometries

The Hamiltonian for each particle of a non-interacting gas is simply

$H=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\mathbf{r})$

for a general external confining potential $V(\mathbf{r})$.

• 1.1. [8 points] Using the canonical ensemble, show that the particle density is $\rho (\mathbf{r})=C{e}^{-\beta V(\mathbf{r})}$ and determine the constant $C$.

• 1.2. Sketch and characterize the particle density profiles for the following confinement potentials $V(\mathbf{r})$:

  • c. [4 points] A cubic box (of side $L$) with hard walls
  • d. [4 points] A semi-infinite cylinder with hard walls defined by $x^2+y^2\le R^2$ and $z>0$, with a gravitational potential $mgz$.
  • e. [4 points] A three-dimensional harmonic well $V(\mathbf{r})=\frac{1}{2}k|\mathbf{r}{|}^2$.

2. Local Pressure as a Statistical Quantity

To define a local pressure, let us introduce a small perturbation to (probe) the gaseous system — a small (radius $R$) and immovable sphere centered in position $\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0$. With no loss of generality, we can use a coordinate system centered in the probing sphere ${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0$ to make the calculations easier. The independent particles will repeatedly bounce off this sphere, as shown in Fig. 1, transferring momentum in each collision. This is the physical origin of gas pressure. Actually, only the momentum component normal to the surface will contribute to this pressure. To calculate it from such a microscopic description, we take the sphere’s surface, not as a rigid wall, but rather as a steep potential which allows the particles to penetrate, whilst repelling them strongly in the outwards radial direction. Formally, this spherically symmetric potential is modeled as

$U_{\text{sph}}({\mathbf{r}}^{\prime })=U_{0}f\left(\frac{r^{\prime }-R}{R}\right)\Theta (R-r^{\prime })$

being included into the Hamiltonian for each gas particle. Here, $U_0>0$, $\Theta (x)$ is the Heaviside function and $f(x)\approx -x$ for $x\approx 0$. This way, when $U_0\to +\infty$, we re-obtain the rigid wall scenario and, in that limit the interior details of the potential do not matter. Within this framework, answer the following questions:

• 2.1. [5 points] As the walls of the central sphere are not perfectly rigid, the particles are allowed to penetrate it. When doing so, each will feel a force $\mathbf{F}({\mathbf{r}}_i^{\prime })$ propelling it outwards (${\mathbf{r}}_i^{\prime }$ being the position of the particle $i$ in the coordinate system centered in the sphere). Find an expression for this force, in terms of the $U_{\text{sph}}({\mathbf{r}}^{\prime })$ potential.

• 2.2. [5 points] Using the canonical ensemble, show that the statistical distribution of $\mathbf{F}(r^{\prime })$ is $\mathbf{F}(r^{\prime })=N\frac{r^{\prime 2}\left[-\frac{d{U}_{\text{sph}}}{d{r}^{\prime }}\hat{\mathbf{r}}\right]\exp \left(-\beta U_{\text{sph}}(r^{\prime })\right)\mathcal{I}(r^{\prime })}{\int d^{(3)}{\mathbf{r}}^{\prime }\exp \left(-\beta [U_{\text{sph}}(r^{\prime })+V({\mathbf{r}}_0+{\mathbf{r}}^{\prime })]\right)}$ where $\mathcal{I}(r^{\prime })$ is a radial function. Determine the form of $\mathcal{I}(r^{\prime })$ and interpret it.

• 2.3. [5 points] Assuming the gas to be in thermodynamic equilibrium, what is the physical meaning of $⟨\mathbf{F}\cdot {\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }⟩$? How does it relate to the pressure felt by the central sphere?

• 2.4. [5 points] The integrals above can be done in the limit of rigid walls ($U_0\to +\infty$). In this limit, prove that ${\int }_0^{\infty }d{r}^{\prime }{r}^{\prime 2}\left[-\frac{d{U}_{\text{sph}}}{d{r}^{\prime }}\right]\exp \left(-\beta U_{\text{sph}}(r^{\prime })\right)\mathcal{I}(r^{\prime })=\frac{1}{\beta }{R}^2\mathcal{I}(R).$

• 2.5. [5 points] Assuming that $V(\mathbf{r})$ is a slowly-varying function at the scale of the central sphere, show that $P({\mathbf{r}}_0)=k_{B}T\rho ({\mathbf{r}}_0).$ Retrieve the ideal gas law. Which confining potential will you use?

• 2.6. [5 points] Consider the case in which the sphere is centered on a harmonic well potential — $V(r)=\frac{1}{2}k|r{|}^2$. Obtain the exact expression of the pressure exerted on the sphere as a function of $k$. Derive the ideal gas law in the limit $k\to 0^{+}$ and the first correction due to a finite $k$. Physically justify the sign of this first correction. [Hint: Despite there being no container, the confining potential allows one to define an effective volume, where the gas gets concentrated in equilibrium.]

3. A Statistical Derivation of Archimedes’ Principle

Since the classical antiquity, it is known that a solid body immersed in a fluid is acted upon by a vertical Buoyancy force which precisely equals the weight of the displaced volume of fluid (Archimedes’ Principle). Using the framework devised above, one can re-obtain this result using a microscopic theory.

• 3.1 [10 points] Derive the average force in the $\hat{\mathbf{u}}$ direction $⟨\mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{u}}⟩={\overline{F}}_u$ caused by the gas on the sphere, i.e. ${\overline{F}}_u=-N\frac{{\int }_0^{\infty }d{r}^{\prime }{r}^{\prime 2}\left[-\frac{d{U}_{\text{sph}}}{d{r}^{\prime }}\right]\exp \left(-\beta U_{\text{sph}}(r^{\prime })\right)\mathcal{J}(r^{\prime })}{\int d^{(3)}\mathbf{r}\exp (-\beta V(\mathbf{r}))},$ where $\mathcal{J}(r^{\prime }=|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0|)={\int }_0^{2\pi }d{\varphi }^{\prime }{\int }_0^{\pi }d{\theta }^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }\exp \left(-\beta V(r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime })\right)$ by aligning the $z^{\prime }$ axis of the spherical coordinates along $\hat{\mathbf{u}}$.

• 3.2. [10 points] If $V(\mathbf{r})$ is considered constant across the sphere, the Buoyancy force is zero. Based on this fact, justify the interpretation of the Buoyancy force.

• 3.3. [10 points] In the rigid wall limit $U_0\to +\infty$, obtain the following expression for the Buoyancy force: $\mathbf{F}=-\frac{4}{3}\pi R^3\rho ({\mathbf{r}}_0)\left(-\nabla V({\mathbf{r}}_0)\right).$ If $V(\mathbf{r})$ is a uniform gravitational potential, show that the previous expression reduces to Archimedes’ Principle, $F_A=V_b\rho (z)mg$ where $V_b$ is the volume of the sphere. [Hint: Approximate $\exp (-\beta V(\mathbf{r}))$ by a multivariable Taylor series around ${\mathbf{r}}_0$ (up to first order) and choose $\hat{\mathbf{u}}$ as the direction of the gradient of $V$.]

4. How can a Soap Bubble be used as a Barometer?

Consider a small soap bubble of radius $R$ suspended in the gas. This bubble is stable thanks to the mutual equilibrium of forces, so its radius $R$ can be used as an indirect measure of the local pressure of the gas. The surface energy obeys $dE=\gamma dA$, where $\gamma >0$, so the system tends to smaller areas. Assuming the gas inside is an ideal gas:

• 4.1. [10 points] Obtain Laplace’s equation, $P_{out}-P_{in}=\frac{-2\gamma }{R}$ for the equilibrium of forces acting on the soap bubble.

• 4.2. [10 points] Show that the external pressure is related to the bubble’s radius ($R$) through $P_{out}=\frac{N{k}_{B}T}{\frac{4}{3}\pi R^3}+\frac{-2\gamma }{R}$ where $N$ is the number of gas particles inside the bubble and $T$ is the temperature. Verify that this expression allows for a one-to-one correspondence between $R$ and $P_{out}$, across any physical regime.

Fonte: Testo (PDF) — p.62 Topic: Kinetic Theory, Fluid Mechanics Metodi: Statistical Averaging, Kinetic Theory of Gases, Ideal Gas Law, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Bubble, Sphere

**Che cosa ci può dire la pressione sulla flottabilità? **

Introduzione

Sebbene sia una quantità centrale nella fisica dei fluidi, la pressione idrostatica si veste in definizioni piuttosto diverse a seconda del contesto fisico. In termodinamica, la pressione di un gas confinato all’interno di un contenitore è definita in termini di lavoro svolto quando il volume di confinamento viene cambiato. Al contrario, nella teoria cinetica dei gas, la pressione è vista come la velocità con cui le particelle libere trasferiscono il momento al muro a causa di collisioni elastiche. In entrambi i casi, la stessa definizione di pressione non è locale, che sembra richiedere l’introduzione di un muro rigido macroscopico.

Nel frattempo, nella fisica statistica le variabili di stato termodinamiche (ad esempio: La temperatura, il potenziale chimico, la polarizzazione elettrica, la magnetizzazione, ecc.) possono essere descritti in termini di medie di osservabili microscopici rispetto a una distribuzione di probabilità di equilibrio per il micro-stato del sistema multicolore. Per definire la pressione in questo linguaggio, bisogna trovare un modo che non dipenda dall’esistenza di un muro di contenitore, su cui il gas può esercitare forza. Invece, considereremo un sistema di particelle indipendenti $N$ nello spazio libero, in equilibrio a una temperatura $T$ e soggette a un potenziale di confinamento generale $V(\mathbf{r})$. Il nostro obiettivo è quello di fornire una definizione locale della pressione in questa configurazione utilizzando argomenti puramente statistici.

Figura 5 Sketto della situazione fisica.

1. Densità delle particelle in diverse geometrie di confinamento

Il Hamiltonian per ogni particella di un gas non interagisce è semplicemente

$H=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\mathbf{r})$

per un potenziale di confinamento esterno generale $V(\mathbf{r})$.

• 1.1. [8 punti] Usando l’insieme canonico, mostrare che la densità di particelle è $\rho (\mathbf{r})=C{e}^{-\beta V(\mathbf{r})}$ e determinare la costante $C$.

• ** 1.2.** Sketta e caratterizza i profili di densità delle particelle per i seguenti potenziali di confinamento $V(\mathbf{r})$:

  • c. [4 punti] Cassa cubica (di lato $L$) con pareti dure
  • d. [4 punti] Un cilindro semiprefinito con pareti dure definite da $x^2+y^2\le R^2$ e $z>0$, con potenziale gravitazionale $mgz$.
  • e. [4 punti] Un pozzo armonico tridimensionale $V(\mathbf{r})=\frac{1}{2}k|\mathbf{r}{|}^2$.

2. Pressione locale come quantitativo statistico

Per definire una pressione locale, introdurremo una piccola perturbazione (sonda) al sistema gassoso una piccola (radius $R$) e sfera immobile centrata nella posizione $\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0$. Senza perdita di generalità, possiamo utilizzare un sistema di coordinate centrato nella sfera di sondaggio ${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0$ per semplificare i calcoli. Le particelle indipendenti rimbalzeranno ripetutamente da questa sfera, come mostrato nella figura. 1, trasferendo impulso in ogni collisione. Questa è l’origine fisica della pressione del gas. In realtà, solo la componente di impulso normale alla superficie contribuirà a questa pressione. Per calcolarlo da una descrizione così microscopica, prendiamo la superficie della sfera non come una parete rigida, ma piuttosto come un potenziale ripido che permette alle particelle di penetrare, respingendole fortemente nella direzione radiale esterna. Formalmente, questo potenziale sfericamente simmetrico è modellato come

$U_{\text{sph}}({\mathbf{r}}^{\prime })=U_{0}f\left(\frac{r^{\prime }-R}{R}\right)\Theta (R-r^{\prime })$

che viene incluso nel Hamiltonian per ogni particella di gas. Qui, $U_0>0$, $\Theta (x)$ è la funzione Heaviside e $f(x)\approx -x$ per $x\approx 0$. In questo modo, quando $U_0\to +\infty$, otteniamo di nuovo lo scenario di parete rigide e, in quel limite, i dettagli interni del potenziale non contano. In questo contesto, rispondete alle seguenti domande:

• 2.1. [5 punti] Poiché le pareti della sfera centrale non sono perfettamente rigide, le particelle possono penetrare. In tal modo, ciascuno sentirà una forza $\mathbf{F}({\mathbf{r}}_i^{\prime })$ che la spinge verso l’esterno (${\mathbf{r}}_i^{\prime }$ è la posizione della particella $i$ nel sistema di coordinate centrato nella sfera). Trovare un’espressione per questa forza, in termini di $U_{\text{sph}}({\mathbf{r}}^{\prime })$ potenziale.

• 2.2. [5 punti] Usando l’insieme canonico, dimostrare che la distribuzione statistica di $\mathbf{F}(r^{\prime })$ è $\mathbf{F}(r^{\prime })=N\frac{r^{\prime 2}\left[-\frac{d{U}_{\text{sph}}}{d{r}^{\prime }}\hat{\mathbf{r}}\right]\exp \left(-\beta U_{\text{sph}}(r^{\prime })\right)\mathcal{I}(r^{\prime })}{\int d^{(3)}{\mathbf{r}}^{\prime }\exp \left(-\beta [U_{\text{sph}}(r^{\prime })+V({\mathbf{r}}_0+{\mathbf{r}}^{\prime })]\right)}$ dove $\mathcal{I}(r^{\prime })$ è una funzione radial. Determinare la forma di $\mathcal{I}(r^{\prime })$ e interpretarla.

• 2.3. [5 punti] Supponendo che il gas sia in equilibrio termodinamico, qual è il significato fisico di $⟨\mathbf{F}\cdot {\hat{\mathbf{r}}}^{\prime }⟩$? Come si relaziona con la pressione che la sfera centrale prova?

• 2.4. [5 punti] Le integrali di cui sopra possono essere effettuate nel limite delle pareti rigide ($U_0\to +\infty$). In questo limite, dimostrare che ${\int }_0^{\infty }d{r}^{\prime }{r}^{\prime 2}\left[-\frac{d{U}_{\text{sph}}}{d{r}^{\prime }}\right]\exp \left(-\beta U_{\text{sph}}(r^{\prime })\right)\mathcal{I}(r^{\prime })=\frac{1}{\beta }{R}^2\mathcal{I}(R).$

• 2.5. [5 punti] Supponendo che $V(\mathbf{r})$ sia una funzione che varia lentamente sulla scala della sfera centrale, dimostri che $P({\mathbf{r}}_0)=k_{B}T\rho ({\mathbf{r}}_0).$ Ritorna la legge del gas ideale. Quale potenziale di confinamento userete?

• 2.6. [5 punti] Si consideri il caso in cui la sfera è incentrata su un pozzo armonico potenziale $V(r)=\frac{1}{2}k|r{|}^2$. Ottenere l’espressione esatta della pressione esercitata sulla sfera come funzione di $k$. Derivare la legge del gas ideale nel limite $k\to 0^{+}$ e la prima correzione a causa di un $k$ finito. Giustificare fisicamente il segno di questa prima correzione. [Suggestone: nonostante non ci sia contenitore, il potenziale di confinamento consente di definire un volume efficace, dove il gas si concentra in equilibrio.]

3. Una derivazione statistica del principio di Archimede

Fin dall’antichità classica, è noto che un corpo solido immerso in un fluido è agito da una forza di fluttuanza verticale che equivale precisamente al peso del volume spostato del fluido (Principio di Archimede*). Usando il quadro ideato sopra, si può ottenere di nuovo questo risultato utilizzando una teoria microscopica.

• **3.1 [10 punti] ** Derivare la forza media nella direzione $\hat{\mathbf{u}}$ $⟨\mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{u}}⟩={\overline{F}}_u$ causata dal gas sulla sfera, ovvero ${\overline{F}}_u=-N\frac{{\int }_0^{\infty }d{r}^{\prime }{r}^{\prime 2}\left[-\frac{d{U}_{\text{sph}}}{d{r}^{\prime }}\right]\exp \left(-\beta U_{\text{sph}}(r^{\prime })\right)\mathcal{J}(r^{\prime })}{\int d^{(3)}\mathbf{r}\exp (-\beta V(\mathbf{r}))},$ dove $\mathcal{J}(r^{\prime }=|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0|)={\int }_0^{2\pi }d{\varphi }^{\prime }{\int }_0^{\pi }d{\theta }^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }\exp \left(-\beta V(r^{\prime },{\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime })\right)$ allineando l’asse $z^{\prime }$ delle coordinate sferiche lungo $\hat{\mathbf{u}}$.

• 3.2. [10 punti] Se $V(\mathbf{r})$ è considerato costante su tutta la sfera, la forza di buoyancy è zero. Sulla base di questo fatto, giustificare l’interpretazione della forza di flotta.

• 3.3. [10 punti] Nel limite rigido della parete $U_0\to +\infty$, ottenere la seguente espressione per la forza di galleggiamento: $\mathbf{F}=-\frac{4}{3}\pi R^3\rho ({\mathbf{r}}_0)\left(-\nabla V({\mathbf{r}}_0)\right).$ Se $V(\mathbf{r})$ è un potenziale gravitazionale uniforme, mostrare che l’espressione precedente si riduce al principio di Archimede, $F_A=V_b\rho (z)mg$ dove $V_b$ è il volume della sfera. [Suggestone: approssimare $\exp (-\beta V(\mathbf{r}))$ con una serie multivariabile Taylor intorno a ${\mathbf{r}}_0$ (fino al primo ordine) e scegliere $\hat{\mathbf{u}}$ come direzione del gradiente di $V$.]

4. Come si può usare una bolla di sapone come barometro?

Considera una piccola bolla di sapone di raggio $R$ sospesa nel gas. Questa bolla è stabile grazie all’equilibrio reciproco di forze, quindi il suo raggio $R$ può essere utilizzato come misura indiretta della pressione locale del gas. L’energia superficiale obbedisce a $dE=\gamma dA$, dove $\gamma >0$, quindi il sistema tende a superfici più piccole. Supponendo che il gas all’interno sia un gas ideale:

• 4.1. [10 punti] Ottieni l’equazione di Laplace, $P_{out}-P_{in}=\frac{-2\gamma }{R}$ per l’equilibrio delle forze che agiscono sulla bolla di sapone.

• 4.2. [10 punti] Mostra che la pressione esterna è correlata al raggio della bolla ($R$) attraverso $P_{out}=\frac{N{k}_{B}T}{\frac{4}{3}\pi R^3}+\frac{-2\gamma }{R}$ dove $N$ è il numero di particelle di gas all’interno della bolla e $T$ è la temperatura. Verificare che questa espressione consente una corrispondenza uno a uno tra $R$ e $P_{out}$, su qualsiasi regime fisico.

Fonte: Testo (PDF) — p.62 Topic: Kinetic Theory, Fluid Mechanics Metodi: Statistical Averaging, Kinetic Theory of Gases, Ideal Gas Law, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Bubble, Sphere

Medical Physics

Introduction

The Magnetic Resonance phenomenon is the basis of a medical tool used to obtain anatomic and functional images of the human body, widely spread around the world.

To do so, powerful superconducting solenoids or Helmholtz coils produce strong magnetic fields that create a macroscopic magnetization arising from the nuclear magnetic momenta alignment. To obtain suitable signals to build the image, the magnetization must be perturbed from its equilibrium direction, which can be done using radiofrequency pulses. When this perturbation is removed, the magnetization relaxes towards the equilibrium value. During this process, the signal for imaging is recorded.

Consider a proton under the influence of a uniform magnetic field ${\vec{B}}_o=B_o\hat{z}$. The magnetic moment $\vec{\mu }$ of proton is related with the total angular momentum $\vec{J}$ following the equation $\vec{\mu }=\gamma \vec{J}$, where $\gamma$ is the gyromagnetic ratio. Assume that no dissipative mechanism is considered and consider a fixed reference frame $(x,y,z)$.

Question 1 [30 points]

Write the equation of motion of the magnetic moment under the influence of the magnetic field, assuming that the angle between these two vectors is ${\theta }_0$, and show that each magnetic momentum precesses around the direction of the external magnetic field ${\vec{B}}_o$.

Question 2 [5 points]

Determine the precession frequency ${\omega }_o$ of the magnetic moment.

Question 3 [25 points]

A second reference frame $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ is now considered which rotates with angular velocity $\vec{\Omega }=-{\omega }_0\hat{z}$, in such a way that $z=z^{\prime }$. Write the equation of motion of the magnetic moment referring to the rotating reference frame.

Question 4 [30 points]

Assume now that a known radiofrequency magnetic field described by ${\vec{B}}_1(t)=B_1(t)\cos (\omega t)\hat{x}-B_1(t)\sin (\omega t)\hat{y}$, with $B_1(t)$ a rectangular function, applied during a time interval $\tau$. Show that the magnetic moment precesses around the $x^{\prime }$ axis with angular frequency ${\omega }_1=\gamma B_1$ if the condition $\omega ={\omega }_o$ holds. This is the case of resonance conditions.

Question 5 [10 points]

Calculate $\tau$ to flip the magnetic moment onto the $y^{\prime }$-axis.

Fonte: Testo (PDF) — p.77 Topic: Magnetism, Modern-Quantum Physics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Differential Equations, Vector Decomposition, Lorentz Force Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Solenoid, Coil

Fisica medica

Introduzione

Il fenomeno della risonanza magnetica è la base di uno strumento medico utilizzato per ottenere immagini anatomiche e funzionali del corpo umano, ampiamente diffusi in tutto il mondo.

Per farlo, i potenti solenoidi superconduttori o le bobine Helmholtz producono forti campi magnetici che creano una magnetizzazione macroscopica derivante dall’allineamento dei momenti magnetici nucleari. Per ottenere segnali adeguati per costruire l’immagine, la magnetizzazione deve essere perturbata dalla sua direzione di equilibrio, che può essere fatta utilizzando impulsi a radiofrequenza. Quando questa perturbazione viene rimossa, la magnetizzazione si rilassa verso il valore di equilibrio. Durante questo processo, viene registrato il segnale per l’imaging.

Considera un protone sotto l’influenza di un campo magnetico uniforme ${\vec{B}}_o=B_o\hat{z}$. Il momento magnetico $\vec{\mu }$ del protone è correlato al momento angolare totale $\vec{J}$ seguendo l’equazione $\vec{\mu }=\gamma \vec{J}$, dove $\gamma$ è il rapporto giromagneto. Supponiamo che non sia considerato alcun meccanismo di dissipazione e consideriamo un quadro di riferimento fisso $(x,y,z)$.

Domanda 1 [30 punti]

Scrivere l’equazione di movimento del momento magnetico sotto l’influenza del campo magnetico, supponendo che l’angolo tra questi due vettori sia ${\theta }_0$, e mostrare che ogni momento magnetico precede intorno alla direzione del campo magnetico esterno ${\vec{B}}_o$.

Domanda 2 [5 punti]

Determinare la frequenza di precisione ${\omega }_o$ del momento magnetico.

**Domanda 3 [25 punti] **

Si considera ora un secondo quadro di riferimento $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ che ruota con velocità angolare $\vec{\Omega }=-{\omega }_0\hat{z}$, in modo tale che $z=z^{\prime }$. Scrivere l’equazione di movimento del momento magnetico che si riferisce al quadro di riferimento rotante.

Questione 4 [30 punti]

Supponiamo ora che un campo magnetico di radiofrequenza conosciuto descritto da ${\vec{B}}_1(t)=B_1(t)\cos (\omega t)\hat{x}-B_1(t)\sin (\omega t)\hat{y}$, con $B_1(t)$ una funzione rettangolare, sia applicato durante un intervallo di tempo $\tau$. Indicare che il momento magnetico si accende intorno all’asse $x^{\prime }$ con frequenza angolare ${\omega }_1=\gamma B_1$ se la condizione $\omega ={\omega }_o$ è valida. Questo è il caso delle condizioni di risonanza.

Questa 5 [10 punti]

Calcolare $\tau$ per far girare il momento magnetico sull’asse $y^{\prime }$.

Fonte: Testo (PDF) — p.77 Topic: Magnetism, Modern-Quantum Physics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Differential Equations, Vector Decomposition, Lorentz Force Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Solenoid, Coil

Optics

Question 1 [20 points]

A short light pulse (${\lambda }_0=590\text{nm}$) is split in two by a prism mirror. One of the beams travels in the air (refractive index 1.000) and the other beam travels through one meter of glass (silica) with a refractive index of 1.458.

Compute the time difference of the two pulses arriving at the target.

Note: For simplicity, assume $c=3.000\times 10^8$ m/s in all questions of this problem.

Question 2 [20 points]

Let’s assume that the two beams in the previous system interfere constructively at the target (mirrors are used to superpose them). What would be the minimum temperature variation of the one-meter silica bar to change the interference from constructive to destructive interference?

The temperature coefficient of the refractive index of silica is $8.7\times 10^{-6}{\text{K}}^{-1}$.

Question 3 [20 points]

A short pulse of light cannot be considered monochromatic. The limitation in the time will truncate the sinusoidal oscillation of the electromagnetic wave. The resulting spectrum depends on the temporal shape of the pulse (the shape that makes the envelope of the ideal electromagnetic sinusoidal wave). For the particular mathematical Gaussian shape envelope, the resulting envelope of the frequencies shape is also a gaussian, and the product of the two Gaussian envelopes is equal to one ($\Delta t\times \Delta f=1$). This means that a gaussian very short pulse with 10 fs (1 fs = $10^{-15}$ s) will have a gaussian spectrum with $10^{14}$ Hz width (corresponding to 83 nm for a pulse centered at 500 nm).

Consider a 300 km fiber optic link with gaussian digital pulses carrying the information. The fiber optic link is operated at the 1550 nm window (${\lambda }_0=1550$ nm), where the refractive index is 1.468 and has a linear variation with wavelength $5.4\times 10^{-6}{\text{nm}}^{-1}$.

To allow some simplification of the problem, we will assume a gaussian pulse with width $\tau$ in a time slot of $2\tau$ (meaning that for a transmission frequency of 1 MHz, $\tau$ is equal to half a period of the data frequency, $\tau =1\mu s/2$), and that the pulse can spread in time by 25% ($\tau$ can increase 1.25 times during the propagation).

What would be the maximum frequency of transmission for this simplified system, due to the different speeds of the pulse spectral components?

Note: with these simplifications, the maximum data frequency computed will be smaller than what an optical fiber can carry. (The refractive index variation with wavelength crosses zero at the second transmission window, around 1310 nm).

Question 4 [20 points]

For simplification, consider now a triangular-shaped pulse centered at 1550 nm wavelength, and with a temporal duration of 200 ps.

The pulse carries an energy of 200 nanojoules and has a diameter of 10 micrometers in the optical fiber (for simplification assume a uniform distribution of power).

One of the effects that limit the performance of fiber optical systems is the nonlinear refractive index. The speed of light inside a material can be changed by the irradiance of light (power per unit area), in an optical fiber, this effect has a value of $3.0\times 10^{-20}{\text{m}}^2/\text{W}$. In the leading part of the pulse, as the power rises in time, the refractive index increases, decreasing the speed of light (this is similar to the distance to the entrance of the fiber increasing with time). The effect reverses at the back of the pulse. This variation of the velocity shifts the frequencies of the pulse in an analogous way to the Doppler shift.

Compute the new spectral width of this pulse after 1 m propagation, considering this nonlinear effect.

Note: assume for the initial spectrum the one obtained with a Gaussian pulse with the 200 ps width.

Question 5 [20 points]

The dispersion of the fiber at around 1550 nm is anomalous, i.e., the longer wavelengths travel slower than the shorter ones. Since the nonlinear refractive index shifts the wavelengths in the leading edge of the pulse to longer wavelengths, and the ones in the trailing edge to shorter wavelengths, the shifting of wavelengths can be compensated by the different propagation velocities. This is indeed used for the soliton propagation of pulses (a hyperbolic secant shape is one solution for these pulses).

Compute the pulse energy, for a triangular pulse with 200 ps duration (like the one considered in Question 4) that keeps the same pulse duration after 50 km, using the simplifications below.

Notes: As said, this is only possible for a special shape of the pulse, so we will consider a simplified problem. First, we will consider, like in Question 3, that the original pulse spectrum is equal to the one of a Gaussian pulse of 200 ps. Second, we consider that the nonlinear effect is only present at the first meters of the fiber (no nonlinear behavior on the rest of the propagation to separate the two effects). We will consider only the points at half height (separated by 100 ps). We will consider only the maximum shifted frequencies (the slower at the leading edge, and the faster at the trailing edge) for calculation. The equal pulse duration to be computed shall be simplified to be that the slower wavelength generated at the leading edge is 100 ps slower than the faster wavelength generated at the trailing edge.

Note: At 1550 nm the refractive index is 1.468 and has a linear variation with wavelength of $5.4\times 10^{-6}{\text{nm}}^{-1}$. The nonlinear refractive index is $3.0\times 10^{-20}{\text{m}}^2/\text{W}$. Assume a uniform spot with 10 micrometer diameter.

Fonte: Testo (PDF) — p.81 Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Wave Equation, Approximation & Series Expansion, Snell’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Prism, Mirror

Optica

**Domanda 1 [20 punti] **

Un breve impulso luminoso (${\lambda }_0=590\text{nm}$) è diviso in due da uno specchio prisma. Uno dei fasci viaggia nell’aria (indice di rifrazione 1.000) e l’altro fascio viaggia attraverso un metro di vetro (silica) con un indice di rifrazione di 1.458.

Calcola la differenza di tempo tra i due impulsi che arrivano al bersaglio.

Nota: per semplicità, supponi $c=3.000\times 10^8$ m/s in tutte le domande di questo problema.

**Domanda 2 [20 punti] **

Supponiamo che i due fasci del sistema precedente interferiscano costruttivamente con l’obiettivo (si usano specchi per sovrapporreli). Qual è la variazione minima di temperatura della barra di silicio di un metro per cambiare l’interferenza da interferenza costruttiva a distruttiva?

Il coefficiente di temperatura dell’indice di rifrazione della silice è $8.7\times 10^{-6}{\text{K}}^{-1}$.

**Domanda 3 [20 punti] **

Un breve impulso di luce non può essere considerato monocromatico. La limitazione nel tempo truncerà l’oscillazione sinusoidale dell’onda elettromagnetica. Lo spettro risultante dipende dalla forma temporale dell’impulso (la forma che rende l’envelope dell’onda sinusoida elettromagnetica ideale). Per la particolare enveloppa di forma di Gaussian matematica, la forma di frequenza risultante è anche gaussian, e il prodotto delle due enveloppe di Gaussian è uguale a uno ($\Delta t\times \Delta f=1$). Ciò significa che un impulso di Gaussian molto breve con 10 fs (1 fs = $10^{-15}$ s) avrà uno spettro di Gaussian con $10^{14}$ larghezza Hz (corrispondente a 83 nm per un impulso centrato a 500 nm).

Considerate un collegamento a 300 km di fibra ottica con impulsi digitali gaussiani che trasportano le informazioni. Il collegamento a fibra ottica è operato alla finestra 1550 nm (${\lambda }_0=1550$ nm), dove l’indice di rifrazione è di 1.468 e presenta una variazione lineare con lunghezza d’onda $5.4\times 10^{-6}{\text{nm}}^{-1}$.

Per semplificare il problema, presumpiamo un impulso gaussiano con larghezza $\tau$ in un intervallo temporale di $2\tau$ (il che significa che per una frequenza di trasmissione di 1 MHz, $\tau$ è uguale a metà del periodo della frequenza dei dati, $\tau =1\mu s/2$), e che l’impulso può diffondersi nel tempo del 25% ($\tau$ può aumentare 1,25 volte durante la propagazione).

Qual è la frequenza massima di trasmissione per questo sistema semplificato, a causa delle diverse velocità dei componenti dello spettro del polso?

Nota: con queste semplificazioni, la frequenza massima di dati calcolata sarà inferiore a quella che una fibra ottica può trasportare. (La variazione dell’indice di rifrazione con la lunghezza d’onda incrocia lo zero nella seconda finestra di trasmissione, intorno ai 1310 nm).

Domanda 4 [20 punti]

Per semplificazione, consideriamo ora un impulso a forma triangolare centrato a una lunghezza d’onda di 1550 nm, e con una durata temporale di 200 ps.

L’impulso ha un’energia di 200 nanovoole e ha un diametro di 10 micrometri nella fibra ottica (per semplificazione, presumi una distribuzione uniforme della potenza).

Uno degli effetti che limitano le prestazioni dei sistemi a fibra ottica è l’indice di rifrazione non lineare. La velocità della luce all’interno di un materiale può essere modificata dalla irradiazione della luce (potenza per unità di superficie), in una fibra ottica, questo effetto ha un valore di $3.0\times 10^{-20}{\text{m}}^2/\text{W}$. Nella parte anteriore del pulso, con l’aumento della potenza nel tempo, l’indice di rifrazione aumenta, diminuendo la velocità della luce (questo è simile alla distanza all’ingresso della fibra che aumenta con il tempo). L’effetto si inverte sul retro del polso. Questa variazione della velocità sposta le frequenze del polso in modo analogo al spostamento di Doppler.

Calcolare la nuova larghezza spettrale di questo impulso dopo una propagazione di 1 m, tenendo conto di questo effetto non lineare.

Nota: supponiamo per lo spettro iniziale quello ottenuto con un impulso di Gaussian con la larghezza di 200 ps.

**Domanda 5 [20 punti] **

La dispersione della fibra a circa 1550 nm è anomala, cioè le lunghezze d’onda più lunghe viaggiano più lentamente rispetto a quelle più brevi. Poiché l’indice di rifrazione non lineare spostano le lunghezze d’onda del bordo anteriore dell’impulso a lunghezze d’onda più lunghe e quelle del bordo trasversale a lunghezze d’onda più corte, il spostamento delle lunghezze d’onda può essere compensato dalle diverse velocità di propagazione. Questo è infatti usato per la propagazione solitonica di impulsi (una forma di secante iperbolica è una soluzione per questi impulsi).

Calcolare l’energia del polso per un polso triangolare con durata di 200 psi (come quello di cui alla domanda 4) che mantiene la stessa durata del polso dopo 50 km, utilizzando le semplificazioni di seguito.

Nota: Come detto, questo è possibile solo per una forma speciale del polso, quindi considereremo un problema semplificato. In primo luogo, consideriamo, come nella domanda 3, che lo spettro di impulsi originale è uguale a quello di un impulso gaussiano di 200 ps. In secondo luogo, consideriamo che l’effetto non lineare è presente solo nei primi metri della fibra (nessun comportamento non lineare sul resto della propagazione per separare i due effetti). Considereremo solo i punti a metà altezza (divisi da 100 psi). Per il calcolo considereremo solo le frequenze massime spostate (la più lenta al bordo anteriore e la più veloce al bordo posteriore). La durata di impulso uguale da calcolare deve essere semplificata in modo che la lunghezza d’onda più lenta generata al bordo anteriore sia 100 ps più lenta della lunghezza d’onda più veloce generata al bordo posteriore.

Nota: a 1550 nm l’indice di rifrazione è di 1.468 e presenta una variazione lineare con lunghezza d’onda $5.4\times 10^{-6}{\text{nm}}^{-1}$. L’indice di rifrazione non lineare è $3.0\times 10^{-20}{\text{m}}^2/\text{W}$. Supponiamo un punto uniforme di 10 micrometri di diametro.

Fonte: Testo (PDF) — p.81 Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Wave Equation, Approximation & Series Expansion, Snell’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Prism, Mirror