PLANCKS 2023 — Milan

Quantum Mechanics.

Find the energy levels of a particle living in a cavity between two coaxial cylinders of height $h$ and radii $a$, $A$ (with $a<A$), as depicted in Fig. 1. Consider the following cases:

i) (1 point) $h\gg A$ (both cylinders extend indefinitely along their axis);

ii) (3 points) The cavity is closed by two lids on the top and bottom ends;

iii) (6 points) A uniform magnetic field $\vec{B}$, directed along the cylinder axis, is present only inside the smallest cylinder, but is zero anywhere else (including in the cavity).

For the radial part, it is enough to obtain the equation(s) whose solutions give the energy levels.

Hints:

i) The gradient, curl and Laplacian in cylindrical coordinates are

$$\vec{\nabla }=\frac{\partial }{\partial z}\hat{z}+\frac{\partial }{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi }\hat{\varphi },$$ $$\vec{\nabla }\times \vec{A}=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r{A}_{\varphi })}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \varphi }\right)\hat{z}+\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi }-\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial z}\right)\hat{r}+\left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\hat{\varphi },$$ $${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}.$$

ii) The Bessel functions are the solutions of the differential equation

$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+(x^2-{\alpha }^2)y=0,\alpha >0.$$

The Bessel functions of the first kind, $y=J_{\alpha }(x)$, are regular at $x\to 0$, while those of the second kind, $y=Y_{\alpha }(x)$, diverge in the same limit. In Fig. 2 some of the Bessel functions are plotted.

Figure 1: A cavity between two coaxial cylinders.

Figure 2: Bessel functions of the first and second kind.

Fonte: Testo (PDF) — p.2 Topic: Modern-Quantum Physics, Electromagnetism Metodi: Differential Equations, Symmetry Argument, Bohr Model & Quantization, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder

Meccanica quantistica.

Trovare i livelli energetici di una particella che vive in una cavità tra due cilindri coassiali di altezza $h$ e raggi $a$, $A$ (con $a<A$), come mostrato in Fig. 1. Considerare i seguenti casi:

i) (1 point) $h\gg A$ (entrambi i cilindri si estendono indefinitamente lungo il loro asse);

ii) (3 points) La cavità è chiusa da due coperchi alle estremità superiore e inferiore;

iii) (6 points) Un campo magnetico uniforme $\vec{B}$, diretto lungo l’asse del cilindro, è presente solo all’interno del cilindro più piccolo, ma è nullo ovunque altrove (inclusa la cavità).

Per la parte radiale, è sufficiente ottenere l’equazione (o le equazioni) le cui soluzioni danno i livelli energetici.

Hints:

i) Il gradiente, il rotore e il laplaciano in coordinate cilindriche sono

$$\vec{\nabla }=\frac{\partial }{\partial z}\hat{z}+\frac{\partial }{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi }\hat{\varphi },$$ $$\vec{\nabla }\times \vec{A}=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r{A}_{\varphi })}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \varphi }\right)\hat{z}+\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi }-\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial z}\right)\hat{r}+\left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\hat{\varphi },$$ $${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}.$$

ii) Le funzioni di Bessel sono le soluzioni dell’equazione differenziale

$$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+(x^2-{\alpha }^2)y=0,\alpha >0.$$

Le funzioni di Bessel di prima specie, $y=J_{\alpha }(x)$, sono regolari per $x\to 0$, mentre quelle di seconda specie, $y=Y_{\alpha }(x)$, divergono nello stesso limite. In Fig. 2 sono rappresentate alcune delle funzioni di Bessel.

Figura 1: Una cavità tra due cilindri coassiali.

Figura 2: Funzioni di Bessel di prima e seconda specie.

Fonte: Testo (PDF) — p.2 Topic: Modern-Quantum Physics, Electromagnetism Metodi: Differential Equations, Symmetry Argument, Bohr Model & Quantization, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder

Thermodynamics.

Let us consider a spherical soap bubble containing $n$ moles of a perfect gas, whose conductive surface has a charge $q$. The bubble is at atmospheric conditions: let $T_0$ be the temperature and $p_0$ the pressure, while ${\gamma }_0$ is the constant of surface tension of the uncharged water and soap layer.

i) (2 points) Show that the constant of surface tension depends on the charge;

ii) (4 points) Determine the equilibrium conditions for the charged bubble. Verify that there is always one and only one value that satisfies these conditions;

iii) (4 points) Study the stability of the equilibrium.

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Thermodynamics, Electrostatics Metodi: Ideal Gas Law, Energy Conservation Method, Coulomb’s Law, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Bubble, Gas

Termodinamica.

Consideriamo una bolla di sapone sferica contenente $n$ molli di un gas perfetto, la cui superficie conduttiva ha una carica $q$. La bolla è in condizioni atmosferiche: $T_0$ è la temperatura e $p_0$ la pressione, mentre ${\gamma }_0$ è la costante della tensione superficiale dello strato di acqua e sapone non caricati.

i) (2 punti) dimostrare che la costante di tensione superficiale dipende dalla carica;

ii) (4 punti) Determinare le condizioni di equilibrio della bolla carica. Verificare che vi sia sempre un solo valore che soddisfi queste condizioni;

iii) (4 punti) Studiare la stabilità dell’equilibrio.

Fonte: Testo (PDF) — p.8 Topic: Thermodynamics, Electrostatics Metodi: Ideal Gas Law, Energy Conservation Method, Coulomb’s Law, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Bubble, Gas

Quantum Optics.

Rabi oscillations — A traveling two-level atom interacts with a classical single-mode oscillating field inside a lossless microwave cavity. The detuning between the atomic transition and the cavity field is $\Delta \omega$ and the Hamiltonian describing the atom-cavity field system in the interaction picture is given by:

$$H_{\text{int}}=\frac{\hslash \Delta \omega }{2}{\sigma }_3-\frac{\hslash {\Omega }_0}{2}{\sigma }_1,$$

where ${\sigma }_3=|e⟩⟨e|-|g⟩⟨g|$ and ${\sigma }_1=|e⟩⟨g|+|g⟩⟨e|$ are Pauli operators, $|e⟩$ and $|g⟩$ refer to the excited and ground state of the atom, respectively, and ${\Omega }_0$ is the Rabi frequency.

Assuming that the atom is initially in the ground state, namely, $|{\psi }_0⟩=|g⟩$:

i) (2 points) find the evolved state:

$$|{\psi }_t⟩=\exp \left(-\frac{i{H}_{\text{int}}t}{\hslash }\right)|{\psi }_0⟩.$$

Then, write the analytic expression of the probability of finding the atom in the excited state $P_e(t)=|⟨e|{\psi }_t⟩{|}^2$ and comment the result in the following cases:

ii) (1 point) when $\Delta \omega =0$ (resonance);

iii) (1 point) when $\Delta \omega \gg {\Omega }_0$ (large detuning).

If the interaction time is set to $t=\pi /{\Omega }_0$ (corresponding to a $\pi$-pulse) and $\Delta \omega \ne 0$:

iv) (1 point) write $P_e(t=\pi /{\Omega }_0)$ as a function of the quantity $x=\Delta \omega /{\Omega }_0$ and find the value $x>0$ at which the first minimum occurs.

Ramsey fringes — Now we consider a setup involving two cavities, as displayed in the figure. The interaction between the atom and the field inside each cavity is still described by the Hamiltonian (41), whereas, during the free evolution between the two cavities, the Hamiltonian reads (in the interaction picture):

$$H_{\text{free}}=\frac{\hslash \Delta \omega }{2}{\sigma }_3.$$

We also assume that the two cavity fields have the same phase that we set equal to zero. The interaction time inside both the cavities is set to $\tau =\pi /(2{\Omega }_0)$, corresponding to a $\frac{\pi }{2}$-pulse, and the free evolution lasts for a time $T=\xi \tau$, with $\xi \in \mathbb{N}$.

If the initial state of the atom is still $|{\psi }_0⟩=|g⟩$ and the evolved state after the whole evolution (cavity 1 — free evolution — cavity 2) is $|{\psi }_{\text{out}}⟩$:

v) (2 points) prove that the probability of finding the atom in the excited state ${\tilde{P}}_e=|⟨e|{\psi }_{\text{out}}⟩{|}^2$ as a function of $x=\Delta \omega /{\Omega }_0$ can be written as:

$${\tilde{P}}_e(x;\xi )=g(x)f_{\xi }(x),$$

where:

$$g(x)=\frac{4}{1+x^2}{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}\sqrt{1+x^2}\right),$$

and

$$f_{\xi }(x)={\left[\cos \left(\frac{\pi }{4}\xi x\right)\cos \left(\frac{\pi }{4}\sqrt{1+x^2}\right)-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\sin \left(\frac{\pi }{4}\xi x\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}\sqrt{1+x^2}\right)\right]}^2,$$

vi) (3 points) show that the smallest value $x_m>0$ such that ${\tilde{P}}_e(x_m;\xi )=0$ scales as $1/\xi$ in the limit $\xi \gg 1$.

Two-cavity Ramsey setup: cavity 1 — free evolution ($T$) — cavity 2.

Fonte: Testo (PDF) — p.11 Topic: Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle, Approximation & Series Expansion, Differential Equations, Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Atom

Ottica quantistica.

Oscillazioni di Rabi — Un atomo a due livelli in transito interagisce con un campo classico oscillante a modo singolo all’interno di una cavità a microonde priva di perdite. Il disaccordo (detuning) tra la transizione atomica e il campo della cavità è $\Delta \omega$ e l’Hamiltoniana che descrive il sistema atomo-campo della cavità nella rappresentazione di interazione è data da:

$$H_{\text{int}}=\frac{\hslash \Delta \omega }{2}{\sigma }_3-\frac{\hslash {\Omega }_0}{2}{\sigma }_1,$$

dove ${\sigma }_3=|e⟩⟨e|-|g⟩⟨g|$ e ${\sigma }_1=|e⟩⟨g|+|g⟩⟨e|$ sono operatori di Pauli, $|e⟩$ e $|g⟩$ si riferiscono rispettivamente allo stato eccitato e fondamentale dell’atomo, e ${\Omega }_0$ è la frequenza di Rabi.

Assumendo che l’atomo sia inizialmente nello stato fondamentale, cioè $|{\psi }_0⟩=|g⟩$:

i) (2 points) trovare lo stato evoluto:

$$|{\psi }_t⟩=\exp \left(-\frac{i{H}_{\text{int}}t}{\hslash }\right)|{\psi }_0⟩.$$

Poi, scrivere l’espressione analitica della probabilità di trovare l’atomo nello stato eccitato $P_e(t)=|⟨e|{\psi }_t⟩{|}^2$ e commentare il risultato nei seguenti casi:

ii) (1 point) quando $\Delta \omega =0$ (risonanza);

iii) (1 point) quando $\Delta \omega \gg {\Omega }_0$ (grande detuning).

Se il tempo di interazione è fissato a $t=\pi /{\Omega }_0$ (corrispondente a un impulso $\pi$) e $\Delta \omega \ne 0$:

iv) (1 point) scrivere $P_e(t=\pi /{\Omega }_0)$ come funzione della quantità $x=\Delta \omega /{\Omega }_0$ e trovare il valore $x>0$ in cui si verifica il primo minimo.

Frange di Ramsey — Consideriamo ora un apparato che coinvolge due cavità, come mostrato in figura. L’interazione tra l’atomo e il campo all’interno di ciascuna cavità è ancora descritta dall’Hamiltoniana (41), mentre, durante l’evoluzione libera tra le due cavità, l’Hamiltoniana è (nella rappresentazione di interazione):

$$H_{\text{free}}=\frac{\hslash \Delta \omega }{2}{\sigma }_3.$$

Assumiamo inoltre che i due campi delle cavità abbiano la stessa fase, che poniamo uguale a zero. Il tempo di interazione all’interno di entrambe le cavità è fissato a $\tau =\pi /(2{\Omega }_0)$, corrispondente a un impulso $\frac{\pi }{2}$, e l’evoluzione libera dura per un tempo $T=\xi \tau$, con $\xi \in \mathbb{N}$.

Se lo stato iniziale dell’atomo è ancora $|{\psi }_0⟩=|g⟩$ e lo stato evoluto dopo l’intera evoluzione (cavità 1 — evoluzione libera — cavità 2) è $|{\psi }_{\text{out}}⟩$:

v) (2 points) dimostrare che la probabilità di trovare l’atomo nello stato eccitato ${\tilde{P}}_e=|⟨e|{\psi }_{\text{out}}⟩{|}^2$ come funzione di $x=\Delta \omega /{\Omega }_0$ può essere scritta come:

$${\tilde{P}}_e(x;\xi )=g(x)f_{\xi }(x),$$

dove:

$$g(x)=\frac{4}{1+x^2}{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}\sqrt{1+x^2}\right),$$

e

$$f_{\xi }(x)={\left[\cos \left(\frac{\pi }{4}\xi x\right)\cos \left(\frac{\pi }{4}\sqrt{1+x^2}\right)-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\sin \left(\frac{\pi }{4}\xi x\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}\sqrt{1+x^2}\right)\right]}^2,$$

vi) (3 points) mostrare che il più piccolo valore $x_m>0$ tale che ${\tilde{P}}_e(x_m;\xi )=0$ scala come $1/\xi$ nel limite $\xi \gg 1$.

Apparato di Ramsey a due cavità: cavità 1 — evoluzione libera ($T$) — cavità 2.

Fonte: Testo (PDF) — p.11 Topic: Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle, Approximation & Series Expansion, Differential Equations, Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Atom

Structure of matter.

Counting Spin-polarized Electrons — Consider an electron gas at temperature $T=0$. Initially neglect the Coulombic electron-electron interaction. Assume that this electron gas is immersed in a static uniform magnetic field $B=8.64\text{T}$ coupled to the electron spins (i.e. neglect the field effect on the orbital motion of the electrons). Let the length quantity $L$ have the following value: $L=41.1\text{nm}$.

i) (0.5 points) Derive an expression for the maximum number density $n=N/V$ such that in the ground state the electron-spin magnetic moments of all $N$ electrons align to the magnetic field, and evaluate the value of this density (in ${\text{m}}^{-3}$).

ii) (1 point) Describe the electrons of a metallic nanoparticle adopting a radically simplified model: a cubic volume $V=L\times L\times L$. Evaluate $N_{\max }=nV$ using the result of the previous question.

iii) (1 point) Apply periodic boundary conditions (PBC) to the free-electron wave functions in the $L\times L\times L$ box. By taking the resulting discrete single-electron energy levels and degeneracies into account, what is the actual maximum number $N_{\max }^{\text{PBC}}$ that are 100% spin-aligned in the same magnetic field?

iv) (2 points) Modify the nanoparticle model to a cubic-shaped $L\times L\times L$ infinitely-deep potential well, thus replacing the PBC of question iii) with null boundary conditions (NBC) to the electron wave functions. By taking the resulting discrete single-electron energy levels and degeneracies into account, what maximum number $N_{\max }^{\text{NBC}}$ of electrons with 100% spin alignment (in the same magnetic field) does this model yield?

v) (2.5 points) Assume that (at a Hartree-Fock mean-field level) the electric repulsion between the electrons is compensated by their attraction to a uniform background of positive charge. In this effective independent-electrons picture, for the residual exchange effect of the electron-electron Coulomb interaction, take the following simplified Hamiltonian: $H_{\text{exch}}=-\frac{1}{2}J(N_{\uparrow }^2+N_{\downarrow }^2{)}^{1/2}$. Verify that, assuming $J>0$, this term favors spin-aligned states relative to spin-antiparallel states. Estimate the value of $J$ by the Coulomb repulsion of two uniformly delocalized electrons in the $L\times L\times L$ box.

vi) (3 points) In the continuum model of question ii), how does the presence of the exchange term $H_{\text{exch}}$ modify the maximum number $N_{\max }$ of electrons that are 100% spin-aligned in the same magnetic field? To what value $N_{\max }^{\text{exch}}$?

Fonte: Testo (PDF) — p.17 Topic: Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Statistical Averaging, Coulomb’s Law, Energy Conservation Method, Bohr Model & Quantization Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Electron

Struttura della materia.

**Contazione di elettroni a rotazione ** Considera un gas elettronico a temperatura $T=0$. Inizialmente trascurare l’interazione elettrone-elettrone Coulombic. Supponiamo che questo gas elettronico sia immerso in un campo magnetico statico uniforme $B=8.64\text{T}$ accoppiato alle spin elettroniche (cioè negligenza dell’effetto del campo sul movimento orbitale degli elettroni). La quantità di lunghezza $L$ deve avere il seguente valore: $L=41.1\text{nm}$.

i) (0,5 punti) Derivare un’espressione per la densità massima del numero $n=N/V$ in modo tale che, nello stato di base, i momenti magnetici di spin elettronica di tutti gli elettroni $N$ si allineino al campo magnetico e valutare il valore di questa densità (in ${\text{m}}^{-3}$).

ii) (1 punto) Descrivere gli elettroni di una nanoparticella metallica che adotta un modello radicalmente semplificato: un volume cubo $V=L\times L\times L$. Valutare $N_{\max }=nV$ utilizzando il risultato della domanda precedente.

iii) (1 punto) Applicare le condizioni di confine periodico (PBC) alle funzioni di onde di elettroni liberi nella casella $L\times L\times L$. Tenendo conto dei livelli di energia singoli elettronici e delle degenerazioni che ne derivano, qual è il numero massimo effettivo $N_{\max }^{\text{PBC}}$ che sono 100% spin-alignati nello stesso campo magnetico?

iv) (2 punti) Modificare il modello di nanoparticelle a un pozzo di potenziale infinitamente profondo a forma di cubo $L\times L\times L$, sostituendo così il PBC della domanda iii) con condizioni di confine nulo (NBC) alle funzioni di onde elettroniche. Tenendo conto dei livelli di energia singoli elettronici e delle degenerazioni discrete risultanti, quale numero massimo $N_{\max }^{\text{NBC}}$ di elettroni con allineamento a spin al 100% (solo nel campo magnetico) produce questo modello?

v) (2,5 punti) Supponiamo che (a livello di campo medio di Hartree-Fock) la repulsione elettrica tra gli elettroni sia compensata dalla loro attrazione ad un fondo uniforme di carica positiva. In questa immagine efficace di elettroni indipendenti, per l’effetto di scambio residuo dell’interazione Coulomb elettrone-elettrone, prendere il seguente Hamiltonian semplificato: $H_{\text{exch}}=-\frac{1}{2}J(N_{\uparrow }^2+N_{\downarrow }^2{)}^{1/2}$. Verificare che, supponendo $J>0$, questo termine favorisca gli stati spin-alignati rispetto agli stati spin-antiparalleli. Calcolare il valore di $J$ con la repulsione di Coulomb di due elettroni uniformemente delocalizzati nella casella $L\times L\times L$.

vi) (3 punti) Nel modello continuum della domanda ii), come la presenza del termine di scambio $H_{\text{exch}}$ modifica il numero massimo $N_{\max }$ di elettroni al 100% allineati a spin nello stesso campo magnetico? A che valore $N_{\max }^{\text{exch}}$?

Fonte: Testo (PDF) — p.17 Topic: Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Statistical Averaging, Coulomb’s Law, Energy Conservation Method, Bohr Model & Quantization Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Electron

Classical Mechanics.

A ball, with spherical symmetry, with external radius $r$, mass $m$, has a moment of inertia with respect to its center-of-mass (CM) equal to $I_{\ast }=\beta m{r}^2$. The ball rolls without slipping (“pure rolling”) inside a spherical cavity of radius $R$. Everything is embedded in the gravitational field $g$ at Earth’s surface. Rolling frictions are negligible. The contact point of the ball on the spherical surface is displaced with respect to the lowest point by an angle $\theta$, measured from the center of the spherical cavity.

Initially, the ball is located in the lowest point of the cavity and moves with a CM speed $v_0$. In general, a pure rolling motion on a spherical surface has 2 degrees of freedom (DoF), that could be parameterized by a polar angle $\theta$ and an azimuthal angle $\varphi$.

i) (2 points) Write down the Lagrangian of the rolling ball as a function of $\theta ,\dot{\theta },\varphi ,\dot{\varphi }$ and prove that in this specific problem only $\theta$ matters, i.e. that the problem has only 1 DoF. (In case you fail proving the previous point, just assume it’s true and continue…)

Write down, as functions of $\theta$ and of the other parameters of the problem, the following formulae:

ii) (0.5 points) the speed of the CM: $v(\theta )=\dots$

iii) (0.5 points) the tangent acceleration of the CM: $a_t(\theta )=\dots$

iv) (0.5 points) the reaction of the constraint, produced by the surface: $F_{\text{constr}}(\theta )=\dots$

v) (0.5 points) the static friction, produced by the surface: $F_{\text{frict}}(\theta )=\dots$

Keeping in mind the spherical symmetry of the rolling object:

vi) (2 points) what is the maximum possible value of $\beta$ (${\beta }_{\max }$)?

Now, let’s assume $\beta ={\beta }_{\max }$, $r=1\text{cm}$, $R=0.5\text{m}$, ${\mu }_s=0.9$:

vii) (4 points) what is the minimum value $v_0^{\min }$ of the initial speed $v_0$, such that the rolling ball keeps the conditions of “pure rolling” during all its motion? [provide both formula and numerical value]

Fonte: Testo (PDF) — p.23 Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Energy, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Sphere

Meccanica classica.

Una sfera, con simmetria sferica, con raggio esterno $r$, massa $m$, ha un momento di inerzia rispetto al suo centro di massa (CM) pari a $I_{\ast }=\beta m{r}^2$. La palla ruota senza scivolare (“rollando pura”) all’interno di una cavità sferica di raggio $R$. Tutto è incorporato nel campo gravitazionale $g$ sulla superficie terrestre. Le frizioni a rotoli sono trascurabili. Il punto di contatto della palla sulla superficie sferica è spostato rispetto al punto più basso con un angolo $\theta$, misurato dal centro della cavità sferica.

Inizialmente, la palla si trova nel punto più basso della cavità e si muove con una velocità CM $v_0$. In generale, un puro movimento di rotolamento su una superficie sferica ha 2 gradi di libertà (DoF), che potrebbero essere parameterizati da un angolo polare $\theta$ e un angolo azimutare $\varphi$.

i) (2 punti) Scrivere il Lagrangian della palla a rotoli come funzione di $\theta ,\dot{\theta },\varphi ,\dot{\varphi }$ e dimostrare che in questo problema specifico solo $\theta$ conta, cioè che il problema ha solo un DoF. (Se non riesci a dimostrare il punto precedente, supponi che sia vero e continua…)

Scrivere, come funzioni di $\theta$ e degli altri parametri del problema, le seguenti formule:

(ii) (0,5 punti) velocità del CM: $v(\theta )=\dots$

iii) (0,5 punti) l’accelerazione tangente del CM: $a_t(\theta )=\dots$

iv) (0,5 punti) la reazione della restrizione, prodotta dalla superficie: $F_{\text{constr}}(\theta )=\dots$

v) (0,5 punti) la frizione statica, prodotta dalla superficie: $F_{\text{frict}}(\theta )=\dots$

Tenendo presente la simmetria sferica dell’oggetto rotolare:

vi) (2 punti) qual è il valore massimo possibile di $\beta$ (${\beta }_{\max }$)?

Ora, supponiamo $\beta ={\beta }_{\max }$, $r=1\text{cm}$, $R=0.5\text{m}$, ${\mu }_s=0.9$:

vii) (4 punti) qual è il valore minimo $v_0^{\min }$ della velocità iniziale $v_0$, in modo tale che la palla di rotolamento mantenga le condizioni di “rollo puro” durante tutto il suo movimento? [indicare sia la formula che il valore numerica]

Fonte: Testo (PDF) — p.23 Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Energy, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Sphere

Electromagnetism.

A coaxial cable (Figure 4a) consists of a central ohmic conductor of radius $a$, length $h$, resistance $R$ surrounded by a coaxial perfectly conducting cylinder of radius $b$; the region between the central conductor and the external cylinder is free space.

The cable is connected from on one side to a circular battery of negligible thickness (Figure 4b); the region $r<a$ is at potential $V$, the potential inside the battery decreasing radially to zero as

$$\varphi (r)=\frac{V}{\ln \frac{a}{b}}\ln \frac{r}{b}.$$

On the other side, the cable is connected to a circular load resistor $R_L$, constructed with ohmic conductor, of negligible thickness, of inner and outer radii $a$ and $b$ respectively (Figure 4c). Consider the four regions

region	radial range	axial range
region 1	$0<r<a$	$0<z<h$
region 2	$a<r<b$	$z=0$
region 3	$a<r<b$	$z=h$
region 4	$a<r<b$	$0<z<h$

i) (4 points) Determine the electric field in each of the four regions and the surface charge densities on the boundaries separating the four regions. Hint: solve the Laplace equation in cylindrical coordinates (see also the first hint of problem 1) using variables separation method with separation constant equal to 0.

ii) (2 points) Determine the Poynting vector in the above regions and discuss the energy fluxes among the various regions.

iii) (4 points) Finally, assume $R=0$ and determine the electromagnetic momentum of the system and compare it with movements of the parts of the system, if any.

Figure 4: geometry of the battery a), coaxial cable b), and resistor c).

Fonte: Testo (PDF) — p.27 Topic: Electromagnetism, Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Differential Equations, Electric Potential Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire, Cylinder, Battery, Resistor

Elettromagnetismo.

Un cavo coassiale (Figura 4a) è costituito da un conduttore ohmico centrale di raggio $a$, lunghezza $h$, resistenza $R$ circondato da un cilindro coassiale perfettamente conduttore di raggio $b$; la regione tra il conduttore centrale e il cilindro esterno è vuoto.

Il cavo è collegato da un lato a una batteria circolare di spessore trascurabile (Figura 4b); la regione $r<a$ è al potenziale $V$, mentre il potenziale all’interno della batteria decresce radialmente fino a zero come

$$\varphi (r)=\frac{V}{\ln \frac{a}{b}}\ln \frac{r}{b}.$$

Dall’altro lato, il cavo è collegato a un resistore di carico circolare $R_L$, costruito con conduttore ohmico, di spessore trascurabile, di raggi interno ed esterno rispettivamente $a$ e $b$ (Figura 4c). Considerare le quattro regioni

regione	intervallo radiale	intervallo assiale
regione 1	$0<r<a$	$0<z<h$
regione 2	$a<r<b$	$z=0$
regione 3	$a<r<b$	$z=h$
regione 4	$a<r<b$	$0<z<h$

i) (4 points) Determinare il campo elettrico in ciascuna delle quattro regioni e le densità superficiali di carica sui confini che separano le quattro regioni. Suggerimento: risolvere l’equazione di Laplace in coordinate cilindriche (vedi anche il primo suggerimento del problema 1) usando il metodo di separazione delle variabili con costante di separazione uguale a 0.

ii) (2 points) Determinare il vettore di Poynting nelle regioni sopra indicate e discutere i flussi di energia tra le varie regioni.

iii) (4 points) Infine, assumere $R=0$ e determinare la quantità di moto elettromagnetica del sistema e confrontarla con i movimenti delle parti del sistema, se presenti.

Figura 4: geometria della batteria a), del cavo coassiale b) e del resistore c).

Fonte: Testo (PDF) — p.27 Topic: Electromagnetism, Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Differential Equations, Electric Potential Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire, Cylinder, Battery, Resistor

Medical Physics.

In conventional external beam radiation therapy, X-rays are used to impart a radiation dose to the tumour, sparing the surrounding healthy tissue as much as possible. Consider a medical linear accelerator (linac) where electrons are accelerated to an energy of $15\text{MeV}$ and then stopped in a metal target. A portion of their kinetic energy is transformed into bremsstrahlung X-rays that form a radiotherapy photon beam. Because of the energies of the produced X-rays and the low atomic number of tissues, the most important interaction of the photon beam with patient tissues is Compton scattering.

Consider a Compton effect interaction where a photon is scattered on a free (i.e. loosely bound) electron with a scattering angle $\theta$ (i.e. angle between the incident photon direction and the scattered photon direction).

i) (1 point) Derive the expression of the kinetic energy of the recoil electron as a function of the incident photon energy and of the scattering angle $\theta$;

ii) (1 point) Show that the energy of photon scattered with angles $\theta$ larger than $\pi /2$ cannot exceed $511\text{keV}$ no matter how high the incident photon energy is.

Consider now the interaction of the X-rays produced by the linac with an absorber, and the related interaction coefficients $\mu /\rho$ (mass attenuation coefficient) and ${\mu }_{en}/\rho$ (mass energy absorption coefficient).

iii) (1 point) Express the ratio $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ in terms of: (a) the mean fraction $f_j$ of the incident photon energy that is transferred to kinetic energy of charged particles in an interaction of type $j$, (b) the component cross section ${\sigma }_j$ relating to the interaction of type $j$, and (c) the fraction $g$ of the kinetic energy transferred by photons to charged particles that is subsequently lost in radiative processes.

The ratio $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ vs. photon beam energy produced by the linac, for a high $Z$ absorber (lead), is plotted in Figure 6.

iv) (1 point) How do you explain the minimum value of the ratio $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ in lead around $100\text{keV}$?

v) (1 point) How do you explain the decrease of the ratio $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ in lead with increasing the photon energy occurring above approximately $10\text{MeV}$?

Accelerated charged particles, with mass $m\gg m_{\text{electron}}$, can also be used for external beam radiotherapy to treat tumours. The advantage of hadrontherapy localised dose deposition with respect to conventional radiotherapy is related to the typical energy release of such particles in matter, which follows the Bethe-Bloch equation. The presence of the Bragg peak, that appears when the heavy charged particle velocity approaches to zero, defines also the concept of range of such particles in matter.

vi) (1 point) Describe the main dependencies of hadrons energy loss in matter, discussing the characteristics of the Bragg peak (why it is a peak and why it has a non-null width).

vii) (1 point) Express the range scaling laws in the case of:

    a) different particles with same velocity, traversing the same medium;

    b) same particle traversing different media.

viii) (1 point) Compute the ratio of protons range with respect to carbon ions range, when protons and carbon ions have the same velocity.

Charged particles undergo also multiple coulomb scattering (MCS) by the nuclei field when traversing a medium, causing small deflections from the primary track path.

ix) (1 point) Describe the expression of the root mean squared deflection angle projected to a plane (${\theta }_0$) due to the MCS in the case of small traversed thickness.

x) (1 point) Considering a $150\text{MeV}$ proton and a $285\text{MeV/u}$ carbon ion, compute the ratio of ${\theta }_0$ of proton over carbon ion after 1 meter of air.

Figure 6: $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ vs. photon energy for lead.

Fonte: Testo (PDF) — p.34 Topic: Nuclear & Particle Physics, Modern-Quantum Physics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Photon Energy Relation, Conservation Laws, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Graph Linearization Objects: Photon, Electron, Nucleus, Particle Beam

Fisica medica.

Nella radioterapia con i raggi esterni convenzionali, i raggi X vengono utilizzati per trasmettere una dose di radiazione al tumore, risparmiando il più possibile il tessuto sano circostante. Considerate un acceleratore lineare medico (linat) in cui gli elettroni vengono accelerati ad un’energia di $15\text{MeV}$ e poi fermati in un bersaglio metallico. Una parte della loro energia cinetica viene trasformata in raggi X che formano un raggio fotonico di radioterapia. A causa delle energie dei raggi X prodotti e del basso numero atomico di tessuti, l’interazione più importante del fascio fotonico con i tessuti del paziente è la dispersione di Compton.

Considerate un’interazione dell’effetto Compton in cui un fotone è sparso su un libero (cioè loosely bound) electron with a scattering angle $\theta$ (i.e. angolo tra la direzione del fotone incidente e la direzione del fotone sparso).

i) (1 punto) Derivare l’espressione dell’energia cinetica dell’elettrone di ritiro in funzione dell’energia fotonica incidente e dell’angolo di dispersione $\theta$;

ii) (1 punto) Indicare che l’energia del fotone sparso con angoli $\theta$ superiori a $\pi /2$ non può superare $511\text{keV}$, indipendentemente dall’elevata energia del fotone incidente.

Si consideri ora l’interazione dei raggi X prodotti dal linac con un assorbente e i relativi coefficienti di interazione $\mu /\rho$ (coefficiente di attenuazione di massa) e ${\mu }_{en}/\rho$ (coefficiente di assorbimento di energia di massa).

iii) (1 punto) Esprimere il rapporto $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ in termini di: a) la frazione media $f_j$ dell’energia fotonica incidentale che viene trasferita all’energia cinetica delle particelle cariche in un’interazione del tipo $j$, b) la sezione trasversale del componente ${\sigma }_j$ relativa all’interazione del tipo $j$ e c) la frazione $g$ dell’energia cinetica trasferita dai fotoni alle particelle cariche che viene successivamente persa nei processi radiativi.

Il rapporto $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ vs. L’energia del fascio fotonico prodotta dal linac, per un alto assorbente $Z$ (piombo), è illustrata alla figura 6.

iv) (1 punto) Come si spiega il valore minimo del rapporto $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ in piombo intorno a $100\text{keV}$?

V) (1 punto) Come si spiega la diminuzione del rapporto $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ nel piombo con l’aumento dell’energia fotonica che si verifica sopra circa $10\text{MeV}$?

Per la radioterapia a raggi esterni possono essere utilizzate anche particelle cariche accelerate, di massa $m\gg m_{\text{electron}}$, per il trattamento dei tumori. Il vantaggio della dose di deposito localizzata dell’adronoterapia rispetto alla radioterapia convenzionale è legato al rilascio tipico di energia di tali particelle nella materia, che segue l’equazione Bethe-Bloch. La presenza del picco di Bragg, che appare quando la velocità di particelle cariche pesante si avvicina a zero, definisce anche il concetto di raggio di tali particelle nella materia.

(vi) (1 punto) Descrivere le principali dipendenze delle perdite energetiche degli adroni nella materia, discutendo le caratteristiche del picco di Bragg (perché è un picco e perché ha una larghezza non zero).

vii) (1 punto) Esprimere le leggi di scalazione della gamma nel caso di:

a) diverse particelle con la stessa velocità, attraversando lo stesso mezzo;

    b) la stessa particella che attraversa diversi media.

viii) (1 punto) Calcolare il rapporto tra ioni di carbonio e ioni di protoni, quando i ioni di carbonio e ioni di protoni hanno la stessa velocità.

Le particelle cariche subiscono anche la dispersione multipla di coulomb (MCS) da parte del campo dei nuclei quando attraversano un mezzo, causando piccole deviazioni dal percorso della traccia primaria.

ix) (1 punto) Descrivere l’espressione dell’angolo di deviazione quadrata medio radicale proiettato su un piano (${\theta }_0$) dovuto al MCS nel caso di spessore di piccola attraversamento.

x) (1 punto) Considerando un protone $150\text{MeV}$ e un ione di carbonio $285\text{MeV/u}$, calcolare il rapporto di ${\theta }_0$ di protone su ione di carbonio dopo 1 metro di aria.

Figura 6: $\frac{{\mu }_{en}/\rho }{\mu /\rho }$ vs. energia fotonica per il piombo.

Fonte: Testo (PDF) — p.34 Topic: Nuclear & Particle Physics, Modern-Quantum Physics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Photon Energy Relation, Conservation Laws, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Graph Linearization Objects: Photon, Electron, Nucleus, Particle Beam

Astrophysics of protoplanetary discs.

Stars form from gas gravitational collapse in molecular clouds. As a result of angular momentum conservation, the collapse also produces discs, namely dense structures concentrated around a specific plane (often called the disc mid-plane), which rotate around the newly formed star. It is in these discs that planets form and for this reason they are often called proto-planetary discs. Given the geometry of these systems, it is convenient to use a cylindrical coordinate system to describe them.

IMPORTANT: pay attention to the difference between cylindrical radius $r$ and spherical radius $R$ (see sketch below).

i) (3 points) Assume for simplicity that the disc is vertically isothermal. In this case the gas pressure $P$ is simply given by $P=c_s^2\rho$, where $c_s$ is the gas sound speed and $\rho$ is the gas density. After further assuming that the gas is in hydrostatic equilibrium and so there is no motion along the vertical direction, derive the vertical density profile $\rho (z)$. To do so you can neglect the disc self-gravity and assume that only the star contributes to the gravitational force.

ii) (1 point) These discs are typically geometrically thin, meaning that their thickness $H$ is much smaller than the radial coordinate $r$: $H\ll r$. Simplify the expression you derived in the previous question under this hypothesis and derive a relation between the gas density in the midplane ${\rho }_0(r)=\rho (r,z=0)$ and the disc surface density, defined as $\Sigma ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\rho (z)dz$, that is, the vertical integral of the disc density.

iii) (3 points) Considering only the disc midplane at $z=0$, derive the rotation curve $v_{\varphi }(r)$ of the disc. As before, you can neglect the disc self-gravity and assume that only the star contributes to the gravitational field. In addition to gravity, you need to take into account gas pressure. For simplicity, you can assume that the gas density in the midplane is a power-law function of the radial coordinate: ${\rho }_0\propto r^{-p}$. In the same way, you can also assume that the sound speed $c_s(r)\propto r^{-q}$ is a power-law.

iv) (1 point) Proto-planetary discs are close to Keplerian rotation. Using the expression you derived in the previous point, quantify the fractional deviation of the rotation curve from Keplerian rotation, and show that this is indeed small provided that the disc is thin.

v) (2 points) Generalise the expression you derived for the rotation curve for $z\ne 0$. As in question 2, use the thin disc approximation and only consider the case of small $z/r$. Does gas at high altitude rotate faster or slower than the gas in the midplane?

Hints: The operator $(\mathbf{A}\cdot \nabla )\mathbf{B}$ in cylindrical coordinates is the following:

$$(\mathbf{A}\cdot \nabla )\mathbf{B}=\left(A_r\frac{\partial B_r}{\partial r}+\frac{A_{\varphi }}{r}\frac{\partial B_r}{\partial \varphi }+A_z\frac{\partial B_r}{\partial z}-\frac{A_{\varphi }{B}_{\varphi }}{r}\right)\hat{r}+\left(A_r\frac{\partial B_{\varphi }}{\partial r}+\frac{A_{\varphi }}{r}\frac{\partial B_{\varphi }}{\partial \varphi }+A_z\frac{\partial B_{\varphi }}{\partial z}+\frac{A_{\varphi }{B}_r}{r}\right)\hat{\varphi }+\left(A_r\frac{\partial B_z}{\partial r}+\frac{A_{\varphi }}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \varphi }+A_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\right)\hat{z}$$

Fonte: Testo (PDF) — p.40 Topic: Astrophysics, Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Newton’s Law of Gravitation, Differential Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Star

Astrofisica dei dischi protoplanetari.

Le stelle si formano dal collasso gravitazionale del gas nelle nubi molecolari. Come conseguenza della conservazione del momento angolare, il collasso produce anche dei dischi, ossia strutture dense concentrate attorno a un piano specifico (spesso chiamato piano mediano del disco), che ruotano attorno alla stella appena formata. È in questi dischi che si formano i pianeti e per questo motivo essi sono spesso chiamati dischi protoplanetari. Data la geometria di questi sistemi, è conveniente usare un sistema di coordinate cilindriche per descriverli.

IMPORTANTE: prestare attenzione alla differenza tra il raggio cilindrico $r$ e il raggio sferico $R$ (vedi lo schizzo sotto).

i) (3 points) Assumere per semplicità che il disco sia verticalmente isotermo. In questo caso la pressione del gas $P$ è semplicemente data da $P=c_s^2\rho$, dove $c_s$ è la velocità del suono nel gas e $\rho$ è la densità del gas. Assumendo inoltre che il gas sia in equilibrio idrostatico e che quindi non vi sia moto lungo la direzione verticale, ricavare il profilo verticale di densità $\rho (z)$. Per farlo si può trascurare l’autogravità del disco e assumere che solo la stella contribuisca alla forza gravitazionale.

ii) (1 point) Questi dischi sono tipicamente geometricamente sottili, il che significa che il loro spessore $H$ è molto minore della coordinata radiale $r$: $H\ll r$. Semplificare l’espressione ricavata nella domanda precedente sotto questa ipotesi e ricavare una relazione tra la densità del gas nel piano mediano ${\rho }_0(r)=\rho (r,z=0)$ e la densità superficiale del disco, definita come $\Sigma ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\rho (z)dz$, cioè l’integrale verticale della densità del disco.

iii) (3 points) Considerando solo il piano mediano del disco a $z=0$, ricavare la curva di rotazione $v_{\varphi }(r)$ del disco. Come prima, si può trascurare l’autogravità del disco e assumere che solo la stella contribuisca al campo gravitazionale. Oltre alla gravità, occorre tenere conto della pressione del gas. Per semplicità, si può assumere che la densità del gas nel piano mediano sia una funzione a legge di potenza della coordinata radiale: ${\rho }_0\propto r^{-p}$. Allo stesso modo, si può anche assumere che la velocità del suono $c_s(r)\propto r^{-q}$ sia una legge di potenza.

iv) (1 point) I dischi protoplanetari sono prossimi alla rotazione kepleriana. Usando l’espressione ricavata nel punto precedente, quantificare la deviazione frazionaria della curva di rotazione dalla rotazione kepleriana, e mostrare che essa è effettivamente piccola a condizione che il disco sia sottile.

v) (2 points) Generalizzare l’espressione ricavata per la curva di rotazione al caso $z\ne 0$. Come nella domanda 2, usare l’approssimazione di disco sottile e considerare solo il caso di piccoli $z/r$. Il gas ad alta quota ruota più velocemente o più lentamente del gas nel piano mediano?

Hints: L’operatore $(\mathbf{A}\cdot \nabla )\mathbf{B}$ in coordinate cilindriche è il seguente:

$$(\mathbf{A}\cdot \nabla )\mathbf{B}=\left(A_r\frac{\partial B_r}{\partial r}+\frac{A_{\varphi }}{r}\frac{\partial B_r}{\partial \varphi }+A_z\frac{\partial B_r}{\partial z}-\frac{A_{\varphi }{B}_{\varphi }}{r}\right)\hat{r}+\left(A_r\frac{\partial B_{\varphi }}{\partial r}+\frac{A_{\varphi }}{r}\frac{\partial B_{\varphi }}{\partial \varphi }+A_z\frac{\partial B_{\varphi }}{\partial z}+\frac{A_{\varphi }{B}_r}{r}\right)\hat{\varphi }+\left(A_r\frac{\partial B_z}{\partial r}+\frac{A_{\varphi }}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \varphi }+A_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\right)\hat{z}$$

Fonte: Testo (PDF) — p.40 Topic: Astrophysics, Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Newton’s Law of Gravitation, Differential Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Star

Particle physics.

Magnetars, namely a type of neutron stars with an extremely high magnetic field, are good candidates to be the sources of ultra-high energy cosmic rays, which are the most energetic particles ever observed. However, it’s likely that they can accelerate up to the highest energies ($\sim 100\text{EeV}$) only in the very early stages of their life. One of the closest known Magnetars is SWIFT J1818.0-1607, which is estimated to be only 240 years old. It is located 4.4 kpc away from the Earth, on the galactic plane. Suppose SWIFT J1818.0-1607 emitted for a very small time at its birth cosmic rays, and that they consist only in three components: protons (P), neutrons (N) and iron nuclei (I), each following its own emission spectrum:

$$N_P=N_{0P}{\left(\frac{E}{E_0}\right)}^{-2.5},N_N=N_{0N}{\left(\frac{E}{E_0}\right)}^{-2.5},N_I=N_{0I}{\left(\frac{E}{E_0}\right)}^{-2.2},$$

where $E_0=10^{17}\text{eV}$, $N_{0P}=10^{40}$, $N_{0N}=10^{38}$, $N_{0I}=10^{39}$ and consider a hard cutoff at $E_C=2\cdot 10^{20}\text{eV}$.

i) (4 points) Consider only particles with $E>E_0$. What would the spectrum of particles observed at Earth in 1783 be? How many events would be observed now by the Pierre Auger Observatory (area $=3000{\text{km}}^2$)? At which energy? Imagine that the Galactic Magnetic Field between us and the magnetar is uniform and constant, with a direction perpendicular to the galactic plane and its intensity is $1\mu \text{G}$. Hint: consider $\arcsin x\approx x+\frac{x^3}{6}$.

ii) (3 points) Cosmic rays reach the Earth and immediately interact with the atmosphere. In the first interactions Kaons are often produced. Imagine that a $K^{+}$ with energy $E=1\text{TeV}$ is produced in the high atmosphere ($h=10\text{km}$). Which particles would it most likely decay into? Compute the energies in the Earth’s reference system of its daughter particles. Are they likely to reach the ground or will they decay again? In which particles? (consider only the most probable decays)

iii) (3 points) A muon produced in the high atmosphere (at an altitude $h=1000\text{m}$) moves towards Earth in a radial direction, on the equatorial plane from the projection of the Greenwich meridian. Suppose that the Earth magnetic field has a value of $0.5\text{G}$, that it is constant and that it is oriented towards the North Pole (ignoring the discrepancy between the magnetic North Pole and the geographical one). What momentum is needed for the muon so that it hits the city of Nairobi (approximately longitude $37°\text{E}$ and latitude $0°$)? Consider the Earth radius to be $6400\text{km}$. If the muon has the momentum you just computed, what is its probability to reach Nairobi, if the average life of a muon is ${\tau }_{\mu }=2\cdot 10^{-6}\text{s}$?

Fonte: Testo (PDF) — p.45 Topic: Nuclear & Particle Physics, Special Relativity Metodi: Lorentz Force Analysis, Relativistic Energy-Momentum, Radioactive Decay Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Star, Nucleus

Fisica delle particelle.

Le magnetar, ovvero un tipo di stelle di neutroni con un campo magnetico estremamente intenso, sono buone candidate a essere le sorgenti dei raggi cosmici di altissima energia, che sono le particelle più energetiche mai osservate. Tuttavia, è probabile che possano accelerare fino alle energie più elevate ($\sim 100\text{EeV}$) solo nelle primissime fasi della loro vita. Una delle magnetar conosciute più vicine è SWIFT J1818.0-1607, che si stima abbia solo 240 anni. Si trova a 4.4 kpc di distanza dalla Terra, sul piano galattico. Supponi che SWIFT J1818.0-1607 abbia emesso per un tempo molto breve alla sua nascita dei raggi cosmici, e che essi siano costituiti solo da tre componenti: protoni (P), neutroni (N) e nuclei di ferro (I), ciascuno seguendo il proprio spettro di emissione:

$$N_P=N_{0P}{\left(\frac{E}{E_0}\right)}^{-2.5},N_N=N_{0N}{\left(\frac{E}{E_0}\right)}^{-2.5},N_I=N_{0I}{\left(\frac{E}{E_0}\right)}^{-2.2},$$

dove $E_0=10^{17}\text{eV}$, $N_{0P}=10^{40}$, $N_{0N}=10^{38}$, $N_{0I}=10^{39}$ e considera un cutoff netto a $E_C=2\cdot 10^{20}\text{eV}$.

i) (4 punti) Considera solo le particelle con $E>E_0$. Quale sarebbe lo spettro delle particelle osservate sulla Terra nel 1783? Quanti eventi verrebbero osservati ora dall’Osservatorio Pierre Auger (area $=3000{\text{km}}^2$)? A quale energia? Immagina che il Campo Magnetico Galattico tra noi e la magnetar sia uniforme e costante, con una direzione perpendicolare al piano galattico e intensità pari a $1\mu \text{G}$. Suggerimento: considera $\arcsin x\approx x+\frac{x^3}{6}$.

ii) (3 punti) I raggi cosmici raggiungono la Terra e interagiscono immediatamente con l’atmosfera. Nelle prime interazioni vengono spesso prodotti dei Kaoni. Immagina che un $K^{+}$ con energia $E=1\text{TeV}$ venga prodotto nell’alta atmosfera ($h=10\text{km}$). In quali particelle decadrebbe più probabilmente? Calcola le energie nel sistema di riferimento della Terra delle sue particelle figlie. È probabile che raggiungano il suolo o decadranno di nuovo? In quali particelle? (considera solo i decadimenti più probabili)

iii) (3 punti) Un muone prodotto nell’alta atmosfera (a un’altitudine $h=1000\text{m}$) si muove verso la Terra in direzione radiale, sul piano equatoriale a partire dalla proiezione del meridiano di Greenwich. Supponi che il campo magnetico terrestre abbia un valore di $0.5\text{G}$, che sia costante e che sia orientato verso il Polo Nord (ignorando la discrepanza tra il Polo Nord magnetico e quello geografico). Quale quantità di moto è necessaria al muone affinché colpisca la città di Nairobi (approssimativamente longitudine $37°\text{E}$ e latitudine $0°$)? Considera il raggio della Terra pari a $6400\text{km}$. Se il muone ha la quantità di moto appena calcolata, qual è la sua probabilità di raggiungere Nairobi, se la vita media di un muone è ${\tau }_{\mu }=2\cdot 10^{-6}\text{s}$?

Fonte: Testo (PDF) — p.45 Topic: Nuclear & Particle Physics, Special Relativity Metodi: Lorentz Force Analysis, Relativistic Energy-Momentum, Radioactive Decay Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Star, Nucleus

General relativity.

Consider a small perturbation of the Minkowski spacetime produced by gravitational waves, $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$.

i) (0.5 points) Show that, if $n^{\mu }$ is a null vector in Minkowski, then the vector $s^{\mu }=n^{\mu }-\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \rho }{h}_{\rho \lambda }{n}^{\lambda }$ is null in the perturbed metric (always work to $O(h)$).

ii) (5 points) Let us imagine $s^{\mu }$ is the trajectory of a photon emitted at initial frequency ${\nu }_0$ by a source located at direction $\hat{n}$ from Earth. Compute, using the geodesic equation in the TT gauge, the change in the frequency of the photon, $(\nu (t)-{\nu }_0)/{\nu }_0$, produced by a monochromatic gravitational wave propagating along the $z$ direction, $h_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }(t-z)$.

iii) (1 point) Generalize the result for an arbitrary direction of propagation of the gravitational wave $\hat{\Omega }$.

iv) (1 point) What happens for $\hat{\Omega }\cdot \hat{n}=1$ (hint: answer this question assuming $\hat{\Omega }=\hat{z}$)?

v) (0.5 points) Is the result linear, i.e. additive, for $N$ gravitational waves propagating all in different directions?

vi) (1 point) Now suppose that gravitational waves have a modified dispersion relation $\omega (k)=c_{s}k$ ($c_s=1$ in General Relativity). How would this new effect manifest in the gravitational redshift derived above?

vii) (1 point) In a real observation, gravitational waves are not perfectly chromatic. For example, in a binary system of two object with the same mass $m$, the frequency $f$ of the gravitational waves evolves with time as

$$\frac{df}{dt}\sim 300\left(\frac{Gm}{c^3}\right)f^{\frac{11}{3}}$$

during the in-spiraling phase. For $m=10^{11}{M}_{\odot }$ and $f\sim 1\text{nHz}$, estimate how close to Earth must the source be in order to ignore the frequency evolution of the gravitational wave.

Fonte: Testo (PDF) — p.50 Topic: Special Relativity, Gravitation Metodi: Lorentz Transformation, Approximation & Series Expansion, Wave Equation, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Photon

Relatività generale.

Considera una piccola perturbazione dello spaziotempo di Minkowski prodotta da onde gravitazionali, $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$.

i) (0.5 punti) Mostra che, se $n^{\mu }$ è un vettore nullo in Minkowski, allora il vettore $s^{\mu }=n^{\mu }-\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \rho }{h}_{\rho \lambda }{n}^{\lambda }$ è nullo nella metrica perturbata (lavora sempre all’ordine $O(h)$).

ii) (5 punti) Immaginiamo che $s^{\mu }$ sia la traiettoria di un fotone emesso alla frequenza iniziale ${\nu }_0$ da una sorgente situata nella direzione $\hat{n}$ rispetto alla Terra. Calcola, usando l’equazione della geodetica nel gauge TT, la variazione della frequenza del fotone, $(\nu (t)-{\nu }_0)/{\nu }_0$, prodotta da un’onda gravitazionale monocromatica che si propaga lungo la direzione $z$, $h_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }(t-z)$.

iii) (1 punto) Generalizza il risultato per una direzione di propagazione arbitraria dell’onda gravitazionale $\hat{\Omega }$.

iv) (1 punto) Cosa succede per $\hat{\Omega }\cdot \hat{n}=1$ (suggerimento: rispondi a questa domanda assumendo $\hat{\Omega }=\hat{z}$)?

v) (0.5 punti) Il risultato è lineare, cioè additivo, per $N$ onde gravitazionali che si propagano tutte in direzioni diverse?

vi) (1 punto) Supponi ora che le onde gravitazionali abbiano una relazione di dispersione modificata $\omega (k)=c_{s}k$ ($c_s=1$ nella Relatività Generale). Come si manifesterebbe questo nuovo effetto nel redshift gravitazionale ricavato sopra?

vii) (1 punto) In un’osservazione reale, le onde gravitazionali non sono perfettamente cromatiche. Per esempio, in un sistema binario di due oggetti con la stessa massa $m$, la frequenza $f$ delle onde gravitazionali evolve nel tempo come

$$\frac{df}{dt}\sim 300\left(\frac{Gm}{c^3}\right)f^{\frac{11}{3}}$$

durante la fase di spiraleggiamento. Per $m=10^{11}{M}_{\odot }$ e $f\sim 1\text{nHz}$, stima quanto vicina alla Terra debba essere la sorgente per poter ignorare l’evoluzione in frequenza dell’onda gravitazionale.

Fonte: Testo (PDF) — p.50 Topic: Special Relativity, Gravitation Metodi: Lorentz Transformation, Approximation & Series Expansion, Wave Equation, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Photon