PLANCKS 2025 — Barcelona

Levitation in an Anti-Helmholtz coil [10 points]

In some quantum magnetomechanical experiments a small magnetic particle is levitated in the magnetic field generated by two coaxial coils of the same radius $R$, separated by a distance $R$ (from centre to centre). The same current $I$ circulates in the coils in opposite directions for each coil. This system is called an anti-Helmholtz coil (AHC). The origin of the coordinates is located at the geometric centre of the AHC system (see figure).

1. [5 points] Evaluate the magnetic induction field ${\mathbf{B}}_a$ (in Cartesian coordinates) created by the AHC at points close to the origin, $|\mathbf{r}|\ll R$, up to the first non-vanishing order in the different coordinates of $\mathbf{r}$.
2. Imagine a small sphere of radius $a$ ($a\ll R$) located at the origin of the coordinates. The sphere is made of linear, homogeneous and isotropic (l.h.i.) magnetic material characterized by magnetic susceptibility $\chi$. The position of the sphere can be perturbed with small displacements $\vec{\epsilon }$ ($|\vec{\epsilon }|\ll R$). The sphere is small enough that the field inside it can be considered uniform with the value at its centre, and its magnetization distribution $\mathbf{M}$ is also uniform. For the sphere, the demagnetizing field is ${\mathbf{H}}_d=-(1/3)\mathbf{M}$. Disregard gravity.
   • a. [2.5 points] Consider $\chi =-1$. Calculate the magnetic force on the sphere, $\mathbf{F}$, at the origin and study the stability of the system after small displacements, in terms of the stiffness coefficients ${\kappa }_{\alpha \beta }$, defined as ${\kappa }_{\alpha \beta }\equiv -{\frac{\partial F_{\alpha }}{\partial \beta }|}_{\mathbf{r}=0}$, where $\alpha ,\beta =(x,y,z)$.
   • b. [2.5 points] Consider $\chi =+1$. Calculate the magnetic force on the sphere, $\mathbf{F}$, at the origin and study the stability of the system after small displacements, in terms of the stiffness coefficients defined as before.

Risposta: 1. ${\mathbf{B}}_a=B_0\left(-\frac{x}{R}\hat{x}-\frac{y}{R}\hat{y}+\frac{2z}{R}\hat{z}\right)$ with $B_0=\frac{24{\mu }_{0}I}{25\sqrt{5}R}$; 2. $\mathbf{F}=\frac{4\pi a^3}{3{\mu }_0}\frac{3\chi }{3+\chi }\frac{B_0^2}{R}\left(\frac{x}{R}\hat{x}+\frac{y}{R}\hat{y}+\frac{4z}{R}\hat{z}\right)$, zero at the origin; $\kappa =-\frac{4\pi a^3}{3{\mu }_0}\frac{B_0^2}{R^2}\frac{3\chi }{3+\chi }\mathrm{diag}(1,1,4)$: (a) $\chi =-1$: all $\kappa >0$, stable levitation (stiffer along $z$); (b) $\chi =+1$: all $\kappa <0$, unstable in every direction

Soluzione:

Official solution (PLANCKS 2025, Barcelona), from the official PDF — p. 4, 5, 6.

Topic: Magnetism Metodi: Biot-Savart Law, Approximation & Series Expansion, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling Objects: Coil, Sphere, Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

Levitazione in una bobina anti-Helmholtz [10 punti]

In alcuni esperimenti di magnetomeccanica quantistica una piccola particella magnetica viene fatta levitare nel campo magnetico generato da due bobine coassiali di uguale raggio $R$, poste a distanza $R$ (da centro a centro). Nelle due bobine circola la stessa corrente $I$, in versi opposti. Questo sistema si chiama bobina anti-Helmholtz (AHC). L’origine delle coordinate è nel centro geometrico del sistema AHC (vedi figura).

1. [5 punti] Calcola il campo di induzione magnetica ${\mathbf{B}}_a$ (in coordinate cartesiane) generato dalla AHC in punti vicini all’origine, $|\mathbf{r}|\ll R$, fino al primo ordine non nullo nelle diverse coordinate di $\mathbf{r}$.
2. Immagina una piccola sfera di raggio $a$ ($a\ll R$) posta nell’origine. La sfera è di materiale magnetico lineare, omogeneo e isotropo (l.o.i.) con suscettività magnetica $\chi$. La posizione della sfera può essere perturbata con piccoli spostamenti $\vec{\epsilon }$ ($|\vec{\epsilon }|\ll R$). La sfera è abbastanza piccola da poter considerare uniforme il campo al suo interno, pari al valore nel suo centro, e anche la sua magnetizzazione $\mathbf{M}$ è uniforme. Per la sfera il campo smagnetizzante è ${\mathbf{H}}_d=-(1/3)\mathbf{M}$. Trascura la gravità.
   • a. [2,5 punti] Considera $\chi =-1$. Calcola la forza magnetica $\mathbf{F}$ sulla sfera nell’origine e studia la stabilità del sistema per piccoli spostamenti in termini dei coefficienti di rigidezza ${\kappa }_{\alpha \beta }$, definiti come ${\kappa }_{\alpha \beta }\equiv -{\frac{\partial F_{\alpha }}{\partial \beta }|}_{\mathbf{r}=0}$, con $\alpha ,\beta =(x,y,z)$.
   • b. [2,5 punti] Considera $\chi =+1$. Calcola la forza magnetica $\mathbf{F}$ sulla sfera nell’origine e studia la stabilità del sistema per piccoli spostamenti in termini dei coefficienti di rigidezza definiti come sopra.

Risposta: 1. ${\mathbf{B}}_a=B_0\left(-\frac{x}{R}\hat{x}-\frac{y}{R}\hat{y}+\frac{2z}{R}\hat{z}\right)$ con $B_0=\frac{24{\mu }_{0}I}{25\sqrt{5}R}$; 2. $\mathbf{F}=\frac{4\pi a^3}{3{\mu }_0}\frac{3\chi }{3+\chi }\frac{B_0^2}{R}\left(\frac{x}{R}\hat{x}+\frac{y}{R}\hat{y}+\frac{4z}{R}\hat{z}\right)$, nulla nell’origine; $\kappa =-\frac{4\pi a^3}{3{\mu }_0}\frac{B_0^2}{R^2}\frac{3\chi }{3+\chi }\mathrm{diag}(1,1,4)$: (a) $\chi =-1$: tutti i $\kappa >0$, levitazione stabile (più rigida lungo $z$); (b) $\chi =+1$: tutti i $\kappa <0$, instabile in ogni direzione

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Magnetism Metodi: Biot-Savart Law, Approximation & Series Expansion, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling Objects: Coil, Sphere, Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

Surface Adsorption [10 points]

Gas adsorption on solid surfaces has a significant impact on the design of advanced materials for many applications. For instance, materials such as MOFs (Metal-Organic Frameworks) are actively studied to capture CO${}_2$ or hydrogen, of great interest in environmental science and energy storage. In this problem we explore a simple model of gas adsorption on a surface.

Consider a gas confined in a container and study the adsorption of particles at the walls. We study the process neglecting the kinetic energy of the particles and using a discrete model for the locations of the particles in the bulk and on the surface (see figure). Let $N_B$ be the number of possible spatial cells the particles may occupy in the bulk and $N_S$ the number of spatial cells on the surface. The gas consists of $N$ particles and $N_B\ge N\ge N_S$. Let $n$ be the number of particles actually on the surface: $0<n\le N_S$. A particle has energy $-ϵ$ (binding energy) while it is on the surface and $0$ while it is in the bulk. $N_B$, $N_S$ and $N$ are all constants and very large; $n$ is a variable and also large. The volume of a gas cell is $V_0$.

1. [2 points] Using the microcanonical ensemble, find the entropy as a function of $n$. Make use of the Stirling approximation.
2. [2 points] Derive an expression relating $n$ to the temperature of the system. Find the limit of $n/N$ when $T\to \infty$ and $T=0$, reasoning your results.
3. [2 points] Derive the expression for $n=n(T)$ but now using the canonical ensemble. Compare your result with that derived in question 2 and reason your results.
4. [2 points] Assume $N_B\gg N\gg N_S$. Find the explicit relation $n=n(T)$. For which temperature is a surface cell equally likely to be occupied or unoccupied?
5. [2 points] In the limit $N_B\gg N\gg N_S$, find the fraction of adsorbed particles $\theta \equiv n/N_S$ in terms of the gas pressure and plot $\theta$ vs $p$ for a fixed temperature (this is called the Langmuir isotherm). Find the pressure for which half of the particles are adsorbed. Give a physical interpretation of the dependence of $\theta$ on $p$.

Risposta: 1. $S=k_B\ln ({\Omega }_B{\Omega }_S)$ with ${\Omega }_B=\frac{N_B!}{(N-n)!(N_B-N+n)!}$, ${\Omega }_S=\frac{N_S!}{n!(N_S-n)!}$ (Stirling form in the solution); 2. $\frac{(N-n)(N_S-n)}{n(N_B-N+n)}=e^{-ϵ/k_{B}T}$; $T\to \infty$: $n/N=N_S/(N_S+N_B)$; $T\to 0$: $n=N_S$; 3. same equation, by equating the chemical potentials of bulk and surface; 4. $\frac{n}{N_S}\simeq \frac{1}{\frac{N_B}{N}{e}^{-ϵ/k_{B}T}+1}$, half occupation at $T\simeq \frac{ϵ}{k_B\ln (N_B/N)}$; 5. $\theta =\frac{p}{p+p_0}$ with $p_0=\frac{k_{B}T}{V_0}{e}^{-ϵ/k_{B}T}$ (half coverage at $p=p_0$)

Soluzione:

Official solution (PLANCKS 2025, Barcelona), from the official PDF — p. 8, 9.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Statistical Averaging, Approximation & Series Expansion, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

Adsorbimento superficiale [10 punti]

L’adsorbimento di gas su superfici solide ha un impatto notevole sulla progettazione di materiali avanzati per molte applicazioni. Per esempio, materiali come i MOF (Metal-Organic Frameworks) sono studiati per catturare CO${}_2$ o idrogeno, di grande interesse per le scienze ambientali e l’accumulo di energia. In questo problema esploriamo un modello semplice di adsorbimento di un gas su una superficie.

Considera un gas racchiuso in un contenitore e studia l’adsorbimento delle particelle sulle pareti. Si trascura l’energia cinetica delle particelle e si usa un modello discreto per le posizioni delle particelle nel volume e sulla superficie (vedi figura). Sia $N_B$ il numero di celle spaziali che le particelle possono occupare nel volume (bulk) e $N_S$ il numero di celle sulla superficie. Il gas è formato da $N$ particelle e $N_B\ge N\ge N_S$. Sia $n$ il numero di particelle effettivamente sulla superficie: $0<n\le N_S$. Una particella ha energia $-ϵ$ (energia di legame) quando è sulla superficie e $0$ quando è nel volume. $N_B$, $N_S$ e $N$ sono costanti e molto grandi; $n$ è una variabile, anch’essa grande. Il volume di una cella di gas è $V_0$.

1. [2 punti] Usando l’insieme microcanonico, trova l’entropia in funzione di $n$. Usa l’approssimazione di Stirling.
2. [2 punti] Ricava un’espressione che lega $n$ alla temperatura del sistema. Trova il limite di $n/N$ per $T\to \infty$ e per $T=0$, motivando i risultati.
3. [2 punti] Ricava l’espressione di $n=n(T)$ usando invece l’insieme canonico. Confronta il risultato con quello del punto 2 e motivalo.
4. [2 punti] Supponi $N_B\gg N\gg N_S$. Trova la relazione esplicita $n=n(T)$. A quale temperatura una cella della superficie ha la stessa probabilità di essere occupata o libera?
5. [2 punti] Nel limite $N_B\gg N\gg N_S$, trova la frazione di particelle adsorbite $\theta \equiv n/N_S$ in funzione della pressione del gas e traccia il grafico di $\theta$ in funzione di $p$ a temperatura fissata (isoterma di Langmuir). Trova la pressione per cui metà delle particelle è adsorbita. Dai un’interpretazione fisica della dipendenza di $\theta$ da $p$.

Risposta: 1. $S=k_B\ln ({\Omega }_B{\Omega }_S)$ con ${\Omega }_B=\frac{N_B!}{(N-n)!(N_B-N+n)!}$, ${\Omega }_S=\frac{N_S!}{n!(N_S-n)!}$ (forma di Stirling nella soluzione); 2. $\frac{(N-n)(N_S-n)}{n(N_B-N+n)}=e^{-ϵ/k_{B}T}$; $T\to \infty$: $n/N=N_S/(N_S+N_B)$; $T\to 0$: $n=N_S$; 3. stessa equazione, uguagliando i potenziali chimici di volume e superficie; 4. $\frac{n}{N_S}\simeq \frac{1}{\frac{N_B}{N}{e}^{-ϵ/k_{B}T}+1}$, occupazione a metà per $T\simeq \frac{ϵ}{k_B\ln (N_B/N)}$; 5. $\theta =\frac{p}{p+p_0}$ con $p_0=\frac{k_{B}T}{V_0}{e}^{-ϵ/k_{B}T}$ (copertura a metà per $p=p_0$)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Statistical Averaging, Approximation & Series Expansion, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

Second sound [10 points]

Heat transport in semiconductors is essential in many areas of nanotechnology. For instance, the rate at which heat is evacuated in nanocircuits determines the actual limits for the speed of computation, in what is called the “thermal wall”. In bulk materials heat transport is usually described by Fourier’s law, and it is said to be diffusive. Things work differently when the system length or time scales are comparable to the mean free path or mean free times of heat carriers. Here we study the possibility of heat waves, what is known as second sound. It was first observed in the 1970s at cryogenic temperatures for just a few materials, and recently in graphite and in germanium at larger temperatures. To this end, we consider the so-called Maxwell–Cattaneo equation for the heat flux $\mathbf{q}$:

$\tau \frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t}+\mathbf{q}=-\kappa \nabla T(1)$

with $T$ the temperature, $\kappa$ the thermal conductivity and $\tau$ the heat-flux relaxation time, which in semiconductors is an average mean free time for phonon resistive scattering. In what follows, assume the Maxwell–Cattaneo equation and that the volume does not change.

1. [1 point] Show that in some limit one recovers Fourier’s law.
2. [2 points] Show that in some limit the temperature propagates as a wave, and that the speed of this wave is smaller than the (first) sound speed. Hint: the thermal conductivity is $\kappa =\frac{1}{3}{C}_V{c}^2\tau$, with $C_V$ the heat capacity per unit volume and $c$ the speed of sound; this expression can be obtained at low enough temperatures for three-dimensional materials assuming the Debye model with identical branches.

One type of experiment to detect the wave-like behaviour of temperature consists in instantaneously heating the surface of the dielectric with a laser with a spatially periodic pulse of period $L$, giving an initial perturbation $\Delta T(x,0)=A\cos (2\pi x/L)$ (see figure), and measuring how the system relaxes to equilibrium (thermal grating experiments). Assume that heat flows only along the $x$ axis.

3. [3 points] Find the evolution of the induced temperature difference $\Delta T(x,t)$ and the range of $L$ for which one could observe at least one temperature oscillation before reaching equilibrium.
4. [1 point] Discuss the possibility of finding that heat flows from cold to hot.
5. [3 points] Now analyse the compatibility of the Maxwell–Cattaneo equation (1) with the second law of thermodynamics. Find the entropy production assuming local equilibrium and discuss its sign. Do the same if one assumes a non-equilibrium entropy density of the type $s(u,\mathbf{q})=s_{eq}(u)-\frac{\tau }{2\kappa T^2}{\mathbf{q}}^2$, where $u$ is the energy density and $s_{eq}$ the local-equilibrium entropy density. Note: neglect terms higher than quadratic in the entropy production.

Risposta: 1. for experimental times $t_p\gg \tau$: $\mathbf{q}=-\kappa \nabla T$; 2. $\tau {\partial }_t^{2}T+{\partial }_{t}T=\frac{\kappa }{C_V}{\nabla }^{2}T$, wave equation for $\omega \gg 1/\tau$, $v_{SS}=c/\sqrt{3}<c$; 3. $\Delta T=A{e}^{-t/2\tau }\cos ({\omega }_{r}t)\cos (2\pi x/L)$ with ${\omega }_r=\sqrt{\frac{4\kappa \tau }{C_V}{k}^2-1}/2\tau$; oscillation visible for $L<\frac{2\pi }{\sqrt{1+4{\pi }^2}}\sqrt{\frac{\kappa \tau }{C_V}}\simeq v_{SS}\tau$; 4. yes: e.g. in the standing wave, after half a period a cold region becomes hotter; 5. local equilibrium: ${\sigma }_s=\frac{q^2+\tau \mathbf{q}\cdot \dot{\mathbf{q}}}{\kappa T^2}$, no definite sign; with the non-equilibrium entropy ${\sigma }_s=\frac{q^2}{\kappa T^2}>0$

Soluzione:

Official solution (PLANCKS 2025, Barcelona), from the official PDF — p. 11, 12, 13.

Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves Metodi: Differential Equations, Wave Equation, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

Secondo suono [10 punti]

Il trasporto di calore nei semiconduttori è essenziale in molti settori delle nanotecnologie. Per esempio, la rapidità con cui il calore viene smaltito nei nanocircuiti determina i limiti effettivi della velocità di calcolo, il cosiddetto «muro termico». Nei materiali massivi il trasporto di calore è descritto di solito dalla legge di Fourier e si dice diffusivo. Le cose cambiano quando le scale di lunghezza o di tempo del sistema sono confrontabili con il cammino libero medio o con il tempo libero medio dei portatori di calore. Qui studiamo la possibilità di onde di calore, il cosiddetto secondo suono. Fu osservato per la prima volta negli anni ‘70 a temperature criogeniche in pochi materiali e, di recente, nella grafite e nel germanio a temperature più alte. A questo scopo consideriamo l’equazione di Maxwell–Cattaneo per il flusso di calore $\mathbf{q}$:

$\tau \frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t}+\mathbf{q}=-\kappa \nabla T(1)$

dove $T$ è la temperatura, $\kappa$ la conducibilità termica e $\tau$ il tempo di rilassamento del flusso di calore, che nei semiconduttori è un tempo libero medio per lo scattering resistivo dei fononi. Nel seguito assumi l’equazione di Maxwell–Cattaneo e volume costante.

1. [1 punto] Mostra che in un certo limite si ritrova la legge di Fourier.
2. [2 punti] Mostra che in un certo limite la temperatura si propaga come un’onda e che la velocità di quest’onda è minore della velocità del (primo) suono. Suggerimento: la conducibilità termica è $\kappa =\frac{1}{3}{C}_V{c}^2\tau$, con $C_V$ la capacità termica per unità di volume e $c$ la velocità del suono; questa espressione si ottiene a temperature abbastanza basse per materiali tridimensionali nel modello di Debye con rami identici.

Un tipo di esperimento per rivelare il comportamento ondulatorio della temperatura consiste nel riscaldare istantaneamente la superficie del dielettrico con un laser con impulso spazialmente periodico di periodo $L$, che produce una perturbazione iniziale $\Delta T(x,0)=A\cos (2\pi x/L)$ (vedi figura), e nel misurare come il sistema torna all’equilibrio (esperimenti di reticolo termico). Supponi che il calore fluisca solo lungo l’asse $x$.

3. [3 punti] Trova l’evoluzione della differenza di temperatura indotta $\Delta T(x,t)$ e l’intervallo di $L$ per cui si può osservare almeno un’oscillazione della temperatura prima di raggiungere l’equilibrio.
4. [1 punto] Discuti la possibilità che il calore fluisca dal freddo al caldo.
5. [3 punti] Analizza ora la compatibilità dell’equazione di Maxwell–Cattaneo (1) con il secondo principio della termodinamica. Trova la produzione di entropia nell’ipotesi di equilibrio locale e discutine il segno. Fai lo stesso assumendo una densità di entropia di non equilibrio del tipo $s(u,\mathbf{q})=s_{eq}(u)-\frac{\tau }{2\kappa T^2}{\mathbf{q}}^2$, dove $u$ è la densità di energia e $s_{eq}$ la densità di entropia di equilibrio locale. Nota: trascura i termini di ordine superiore al secondo nella produzione di entropia.

Risposta: 1. per tempi sperimentali $t_p\gg \tau$: $\mathbf{q}=-\kappa \nabla T$; 2. $\tau {\partial }_t^{2}T+{\partial }_{t}T=\frac{\kappa }{C_V}{\nabla }^{2}T$, equazione delle onde per $\omega \gg 1/\tau$, $v_{SS}=c/\sqrt{3}<c$; 3. $\Delta T=A{e}^{-t/2\tau }\cos ({\omega }_{r}t)\cos (2\pi x/L)$ con ${\omega }_r=\sqrt{\frac{4\kappa \tau }{C_V}{k}^2-1}/2\tau$; oscillazione osservabile per $L<\frac{2\pi }{\sqrt{1+4{\pi }^2}}\sqrt{\frac{\kappa \tau }{C_V}}\simeq v_{SS}\tau$; 4. sì: per esempio nell’onda stazionaria, dopo mezzo periodo una zona fredda diventa più calda; 5. equilibrio locale: ${\sigma }_s=\frac{q^2+\tau \mathbf{q}\cdot \dot{\mathbf{q}}}{\kappa T^2}$, segno non definito; con l’entropia di non equilibrio ${\sigma }_s=\frac{q^2}{\kappa T^2}>0$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves Metodi: Differential Equations, Wave Equation, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

Some questions about our Universe [10 points]

• Answer the questions in a clear, structured and concise manner, underlining the final result.
• Before starting, read the Formulae section below, where you will find some useful equations and definitions.

Formulae. We denote by $a=a(t)$ the scale factor of the universe (normalized as $a(t_0)=1$) and by $H=H(t)=\dot{a}/a$ the Hubble parameter (a function of time $t$); the Hubble constant is $H_0=H(t_0)$. The time $t_0$ is today’s time. As usual $\dot{a}=da/dt$ and $\ddot{a}=d^{2}a/d{t}^2$. The total energy density of the universe is the sum of all contributions, $\rho ={\sum }_A{\rho }_A$, and similarly for the total pressure, $P={\sum }_A{P}_A$. The first and second Friedmann equations are

$H^2={\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k}{a^2},\frac{d{\rho }_A}{dt}=-3H({\rho }_A+P_A)$

($G$ = Newton’s constant, $k$ = curvature of the universe). The second equation holds for each $A$; summing over $A$ gives $d\rho /dt=-3H(\rho +P)$. The critical density and the quantities ${\Omega }_A$ are defined as ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$, ${\Omega }_A\equiv \frac{{\rho }_A(t_0)}{{\rho }_c}$. We consider 3 (ideal) fluid components of the universe: matter ($M$, non-relativistic), radiation ($R$, photons or similar) and cosmological constant ($\Lambda$). For these the equation of state is linear, $P_A=w_A{\rho }_A$, with $w_M=0$, $w_R=1/3$, $w_{\Lambda }=-1$; ${\Omega }_M={\rho }_M(t_0)/{\rho }_c$, and similarly for $R$ and $\Lambda$.

1.a [1 point] Assume a component $A$ of the universe with equation of state $P_A=w_A{\rho }_A$, with constant $w_A$. Use the Friedmann equations to show that ${\rho }_A\propto a^{{\pi }_A}$ and calculate ${\pi }_A$ as a function of $w_A$.

1.b [1 point] The dependence of the energy density on $a$ can be deduced from physical arguments for $A=M,R,\Lambda$: (i) for matter ${\rho }_M\propto a^{-3}$ because of dilution due to the expansion; (ii) for radiation ${\rho }_R\propto a^{-4}$ because in addition to dilution there is energy redshift; (iii) for the cosmological constant ${\rho }_{\Lambda }$ is constant. Use (i), (ii), (iii) and the result of (a) to deduce $w_M$, $w_R$, $w_{\Lambda }$.

2.a [2 points] From the Friedmann equations one can find an equation $\ddot{a}=aG(\alpha \rho +\beta P)$ ($\rho$ = total energy density, $P$ = total pressure). Calculate the constants $\alpha$ and $\beta$.

2.b [2 points] Define the deceleration parameter $q_0=-{\frac{a\ddot{a}}{{\dot{a}}^2}|}_0$, with $a$, $\dot{a}$, $\ddot{a}$ taken at $t=t_0$. Calculate $q_0$ as a function of ${\Omega }_M$, ${\Omega }_R$ and ${\Omega }_{\Lambda }$ only. (FYI: in our universe ${\Omega }_{\Lambda }$ dominates, so $q_0<0$: the expansion is accelerating.)

3. Consider a flat universe ($k=0$) with matter and cosmological constant (${\rho }_R=0$). The objective is to calculate the age $t_0$ of such a universe.

• a. [2 points] Show that $t_0$ is given by an integral $t_0={\int }_{{\alpha }_1}^{{\alpha }_2}daf(a,H_0,{\Omega }_M,{\Omega }_{\Lambda })$. Find the integration limits ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ and the function $f$.
• b. [2 points] Solve the integral and find $t_0$ as an analytical function of $H_0$ and ${\Omega }_{\Lambda }$ only (you will need several substitutions; you might start with $x=a^{3/2}$). (FYI: with the observed values of $H_0$ and ${\Omega }_{\Lambda }$ this gives the age of our universe to a very good approximation.)

Risposta: 1.a ${\pi }_A=-3(1+w_A)$; 1.b $w_M=0$, $w_R=1/3$, $w_{\Lambda }=-1$; 2.a $\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3P)$, so $\alpha =-4\pi /3$, $\beta =-4\pi$; 2.b $q_0=\frac{1}{2}{\Omega }_M+{\Omega }_R-{\Omega }_{\Lambda }$; 3.a $t_0=\frac{1}{H_0}{\int }_0^1\frac{da/a}{\sqrt{{\Omega }_M/a^3+{\Omega }_{\Lambda }}}$; 3.b $t_0=\frac{2}{3H_0\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}}{\sinh }^{-1}\sqrt{\frac{{\Omega }_{\Lambda }}{1-{\Omega }_{\Lambda }}}=\frac{2}{3H_0\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}}\ln \frac{\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}+1}{\sqrt{1-{\Omega }_{\Lambda }}}$

Soluzione:

Official solution (PLANCKS 2025, Barcelona), from the official PDF — p. 16.

Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Differential Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.14 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.16

Alcune domande sul nostro Universo [10 punti]

• Rispondi alle domande in modo chiaro, ordinato e conciso, sottolineando il risultato finale.
• Prima di iniziare leggi la sezione Formule qui sotto, con equazioni e definizioni utili.

Formule. Indichiamo con $a=a(t)$ il fattore di scala dell’universo (normalizzato con $a(t_0)=1$) e con $H=H(t)=\dot{a}/a$ il parametro di Hubble (funzione del tempo $t$); la costante di Hubble è $H_0=H(t_0)$. Il tempo $t_0$ è l’istante attuale. Come al solito $\dot{a}=da/dt$ e $\ddot{a}=d^{2}a/d{t}^2$. La densità di energia totale dell’universo è la somma di tutti i contributi, $\rho ={\sum }_A{\rho }_A$, e analogamente per la pressione totale, $P={\sum }_A{P}_A$. La prima e la seconda equazione di Friedmann sono

$H^2={\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k}{a^2},\frac{d{\rho }_A}{dt}=-3H({\rho }_A+P_A)$

($G$ = costante di Newton, $k$ = curvatura dell’universo). La seconda equazione vale per ogni $A$; sommando su $A$ si ha $d\rho /dt=-3H(\rho +P)$. La densità critica e le grandezze ${\Omega }_A$ sono definite come ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$, ${\Omega }_A\equiv \frac{{\rho }_A(t_0)}{{\rho }_c}$. Consideriamo 3 componenti fluide (ideali) dell’universo: materia ($M$, non relativistica), radiazione ($R$, fotoni o simili) e costante cosmologica ($\Lambda$). Per esse l’equazione di stato è lineare, $P_A=w_A{\rho }_A$, con $w_M=0$, $w_R=1/3$, $w_{\Lambda }=-1$; ${\Omega }_M={\rho }_M(t_0)/{\rho }_c$, e analogamente per $R$ e $\Lambda$.

1.a [1 punto] Considera una componente $A$ dell’universo con equazione di stato $P_A=w_A{\rho }_A$, con $w_A$ costante. Usa le equazioni di Friedmann per mostrare che ${\rho }_A\propto a^{{\pi }_A}$ e calcola ${\pi }_A$ in funzione di $w_A$.

1.b [1 punto] La dipendenza della densità di energia da $a$ si può dedurre da argomenti fisici per $A=M,R,\Lambda$: (i) per la materia ${\rho }_M\propto a^{-3}$ per la diluizione dovuta all’espansione; (ii) per la radiazione ${\rho }_R\propto a^{-4}$ perché oltre alla diluizione c’è lo spostamento verso il rosso dell’energia; (iii) per la costante cosmologica ${\rho }_{\Lambda }$ è costante. Usa (i), (ii), (iii) e il risultato di (a) per dedurre $w_M$, $w_R$, $w_{\Lambda }$.

2.a [2 punti] Dalle equazioni di Friedmann si ricava un’equazione $\ddot{a}=aG(\alpha \rho +\beta P)$ ($\rho$ = densità di energia totale, $P$ = pressione totale). Calcola le costanti $\alpha$ e $\beta$.

2.b [2 punti] Definisci il parametro di decelerazione $q_0=-{\frac{a\ddot{a}}{{\dot{a}}^2}|}_0$, con $a$, $\dot{a}$, $\ddot{a}$ calcolati in $t=t_0$. Calcola $q_0$ in funzione solo di ${\Omega }_M$, ${\Omega }_R$ e ${\Omega }_{\Lambda }$. (Per informazione: nel nostro universo domina ${\Omega }_{\Lambda }$, quindi $q_0<0$: l’espansione accelera.)

3. Considera un universo piatto ($k=0$) con materia e costante cosmologica (${\rho }_R=0$). Lo scopo è calcolare l’età $t_0$ di tale universo.

• a. [2 punti] Mostra che $t_0$ è dato da un integrale $t_0={\int }_{{\alpha }_1}^{{\alpha }_2}daf(a,H_0,{\Omega }_M,{\Omega }_{\Lambda })$. Trova gli estremi di integrazione ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ e la funzione $f$.
• b. [2 punti] Risolvi l’integrale e trova $t_0$ come funzione analitica solo di $H_0$ e ${\Omega }_{\Lambda }$ (serviranno varie sostituzioni; puoi iniziare con $x=a^{3/2}$). (Per informazione: con i valori osservati di $H_0$ e ${\Omega }_{\Lambda }$ si ottiene con ottima approssimazione l’età del nostro universo.)

Risposta: 1.a ${\pi }_A=-3(1+w_A)$; 1.b $w_M=0$, $w_R=1/3$, $w_{\Lambda }=-1$; 2.a $\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3P)$, quindi $\alpha =-4\pi /3$, $\beta =-4\pi$; 2.b $q_0=\frac{1}{2}{\Omega }_M+{\Omega }_R-{\Omega }_{\Lambda }$; 3.a $t_0=\frac{1}{H_0}{\int }_0^1\frac{da/a}{\sqrt{{\Omega }_M/a^3+{\Omega }_{\Lambda }}}$; 3.b $t_0=\frac{2}{3H_0\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}}{\sinh }^{-1}\sqrt{\frac{{\Omega }_{\Lambda }}{1-{\Omega }_{\Lambda }}}=\frac{2}{3H_0\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}}\ln \frac{\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}+1}{\sqrt{1-{\Omega }_{\Lambda }}}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Differential Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.14 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.16

Black Hole Shadow [10 points]

We would like to observe the “shadow” of a black hole with an earth-based telescope system. To do so, we consider a Schwarzschild black hole around which matter orbits at radii ranging from the innermost stable circular orbit (ISCO) until larger distances. That matter will emit light, which we want to picture with our telescopes. Note: in this exercise we do not consider bending of light rays in the vicinity of the black hole.

1. In order to calculate the radius of the ISCO, we consider the effective potential energy given by General Relativity (GR) for a test mass $m$, located at distance $r$ from the black hole centre and angular momentum $L$: $V_{\mathrm{eff}}(r)=-\frac{GmM}{r}+\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{R_s}{2}\cdot \frac{L^2}{m{r}^3},(1)$ where $G$ is the gravitational constant, $M$ the mass of the black hole, $R_s=2GM/c^2$ the Schwarzschild radius and $c$ the light speed.

   • a. [1.5 points] Find the effective potential energy for Newton’s law of gravitation in terms of the angular momentum and compare with the GR one. In which situations will the GR effects be relevant and in which not?

   From now on consider Eq. (1) and that $L$ is a constant of motion.

   • b. [1 point] Find the orbits $r=r(L)$ and show that there exists a minimum value of $L$.
   • c. [4 points] Find the range of possible orbits $r$, the range of $r$ for stable solutions and the ISCO radius. Hint: you may find it helpful to plot $L^2$ vs $r$, but it is not mandatory to reach the maximum mark.

2. A relatively close and active supermassive black hole in the vicinity of our Galaxy has a mass of approximately $5\times 10^9{M}_{\odot }$ (where the solar mass $M_{\odot }=2\times 10^{30}$ kg), and a distance of 16.7 Mpc (1 pc = $3.1\times 10^{16}$ m).

   • a. [0.5 points] Calculate the angular extension of the ISCO radius of that supermassive black hole, if observed from Earth.
   • b. [3 points] To picture that black hole, we need to design a system that reaches an angular resolution better than the angular extension of the object derived in the previous section, in the best case at least twice as good. The best angular resolutions can be achieved through interferometric observations, where the same incident wave is detected by pairs of distant telescopes, and their signals get multiplied by each other to generate an interference pattern (in the so-called correlator). The angular resolution is then approximately $\lambda /D$, where $\lambda$ denotes the wavelength of the observed light wave and $D$ the distance between a telescope pair. At large distances, both telescopes can only register the signals, digitize them and correlate them later offline. Technically, delay precisions between different stations of the order of $\sim 1$ ps are feasible. The following picture shows the transparency of the terrestrial atmosphere to light at different wavelengths. Can you choose a suitable observation wavelength for the interferometer and the required minimum distance between two telescope pairs to achieve the angular resolutions found in question 2a?

Figure 1: Transparency of the Earth’s atmosphere. Note the inverted vertical scale. Credit: ESA/Hubble (F. Granato).

Constants: $G=6.7\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}$; $c=3\times 10^8$ m/s; Earth radius = 6378 km.

Risposta: 1.a Newton: $-\frac{GmM}{r}+\frac{L^2}{2m{r}^2}$; the GR term matters only when $r$ is comparable to $R_s$; 1.b $r=\frac{L^2\pm \sqrt{L^4-12L^2{G}^2{M}^2{m}^2/c^2}}{2GM{m}^2}$, so $L\ge L_{min}=\sqrt{12}GMm/c=\sqrt{3}m{R}_{s}c$; 1.c orbits for $r>\frac{3}{2}{R}_s$; stable for $r>3R_s$, unstable for $\frac{3}{2}{R}_s<r<3R_s$; $r_{\mathrm{ISCO}}=3R_s$; 2.a $r_{\mathrm{ISCO}}=4.5\times 10^{13}$ m, $\theta \approx 8.6\times 10^{-11}$ rad; 2.b $\lambda \approx 0.9$ mm (1–1.3 mm also accepted) with baseline $D=\lambda /\theta \approx 1\times 10^7$ m (about 80% of the Earth’s diameter)

Soluzione:

Official solution (PLANCKS 2025, Barcelona), from the official PDF — p. 19, 20.

Topic: Gravitation, Astrophysics, Wave Optics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Interference & Diffraction Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.17 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

L’ombra di un buco nero [10 punti]

Vogliamo osservare l’«ombra» di un buco nero con un sistema di telescopi a terra. Consideriamo un buco nero di Schwarzschild attorno al quale la materia orbita a raggi che vanno dall’orbita circolare stabile più interna (ISCO) fino a distanze maggiori. Quella materia emette luce, che vogliamo fotografare con i nostri telescopi. Nota: in questo esercizio non consideriamo la deflessione dei raggi di luce vicino al buco nero.

1. Per calcolare il raggio dell’ISCO consideriamo l’energia potenziale efficace data dalla Relatività Generale (RG) per una massa di prova $m$, a distanza $r$ dal centro del buco nero e con momento angolare $L$: $V_{\mathrm{eff}}(r)=-\frac{GmM}{r}+\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{R_s}{2}\cdot \frac{L^2}{m{r}^3},(1)$ dove $G$ è la costante gravitazionale, $M$ la massa del buco nero, $R_s=2GM/c^2$ il raggio di Schwarzschild e $c$ la velocità della luce.

   • a. [1,5 punti] Trova l’energia potenziale efficace per la legge di gravitazione di Newton in funzione del momento angolare e confrontala con quella della RG. In quali situazioni gli effetti della RG sono rilevanti e in quali no?

   D’ora in poi considera l’Eq. (1) e $L$ costante del moto.

   • b. [1 punto] Trova le orbite $r=r(L)$ e mostra che esiste un valore minimo di $L$.
   • c. [4 punti] Trova l’intervallo delle orbite possibili $r$, l’intervallo di $r$ per le soluzioni stabili e il raggio dell’ISCO. Suggerimento: può essere utile tracciare $L^2$ in funzione di $r$, ma non è necessario per ottenere il punteggio pieno.

2. Un buco nero supermassiccio attivo, relativamente vicino alla nostra Galassia, ha massa di circa $5\times 10^9{M}_{\odot }$ (con massa solare $M_{\odot }=2\times 10^{30}$ kg) e si trova a 16,7 Mpc (1 pc = $3,1\times 10^{16}$ m).

   • a. [0,5 punti] Calcola l’estensione angolare del raggio dell’ISCO di quel buco nero supermassiccio, osservato dalla Terra.
   • b. [3 punti] Per fotografare il buco nero occorre progettare un sistema con risoluzione angolare migliore dell’estensione angolare trovata al punto precedente, nel caso migliore almeno doppia. Le migliori risoluzioni angolari si ottengono con osservazioni interferometriche, in cui la stessa onda incidente è rivelata da coppie di telescopi lontani e i loro segnali vengono moltiplicati tra loro per generare una figura di interferenza (nel cosiddetto correlatore). La risoluzione angolare è allora circa $\lambda /D$, dove $\lambda$ è la lunghezza d’onda della luce osservata e $D$ la distanza tra una coppia di telescopi. A grandi distanze i due telescopi possono solo registrare i segnali, digitalizzarli e correlarli in seguito offline. Tecnicamente sono realizzabili precisioni di ritardo tra stazioni diverse dell’ordine di $\sim 1$ ps. La figura seguente mostra la trasparenza dell’atmosfera terrestre alla luce di diverse lunghezze d’onda. Sai scegliere una lunghezza d’onda di osservazione adatta per l’interferometro e la distanza minima necessaria tra due telescopi per ottenere le risoluzioni angolari trovate al punto 2a?

Figura 1: Trasparenza dell’atmosfera terrestre. Nota la scala verticale invertita. Credit: ESA/Hubble (F. Granato).

Costanti: $G=6,7\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}$; $c=3\times 10^8$ m/s; raggio terrestre = 6378 km.

Risposta: 1.a Newton: $-\frac{GmM}{r}+\frac{L^2}{2m{r}^2}$; il termine di RG conta solo quando $r$ è confrontabile con $R_s$; 1.b $r=\frac{L^2\pm \sqrt{L^4-12L^2{G}^2{M}^2{m}^2/c^2}}{2GM{m}^2}$, quindi $L\ge L_{min}=\sqrt{12}GMm/c=\sqrt{3}m{R}_{s}c$; 1.c orbite per $r>\frac{3}{2}{R}_s$; stabili per $r>3R_s$, instabili per $\frac{3}{2}{R}_s<r<3R_s$; $r_{\mathrm{ISCO}}=3R_s$; 2.a $r_{\mathrm{ISCO}}=4,5\times 10^{13}$ m, $\theta \approx 8,6\times 10^{-11}$ rad; 2.b $\lambda \approx 0,9$ mm (accettati anche 1–1,3 mm) con base $D=\lambda /\theta \approx 1\times 10^7$ m (circa l’80% del diametro terrestre)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation, Astrophysics, Wave Optics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Interference & Diffraction Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.17 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

Pulling a chain upwards with constant force [10 points]

Consider pulling one end of a very long chain initially piled up on a table with a constant force $F$, as illustrated in the figure. At the start, a very short segment of length $x_0$ is held vertically at rest. The chain is subject to Earth’s gravitational attraction, with a constant acceleration $g$. The chain consists of links that are infinitesimally small in both length and mass, allowing it to be treated as a continuous system with a uniform linear mass density $\lambda$. Neglect the height and horizontal spread of the pile on the table.

1. [3 points] Derive the ordinary differential equation for the velocity $v$ of the rising segment of a chain as a function of its height $x$ (1 point), and solve it to obtain the expression (2 points) $v=\sqrt{\frac{F}{\lambda }\left(1-\frac{x_0^2}{x^2}\right)-\frac{2}{3}g{x}_0\left(\frac{x}{x_0}-\frac{x_0^2}{x^2}\right)}$ Hint: you may need an integrating factor $\mu (x)$ to solve the equation.
2. [1 point] Determine the maximum height $x_{\max }$ of the chain that can be reached with the applied force.
3. [1 point] Explain why $x_{\max }$ exceeds the equilibrium height $x_{\mathrm{eq}}=F/(\lambda g)$, where the force $F$ balances the chain’s weight.

In the remaining sections, assume that the initial height $x_0$, where pulling begins, is much smaller than the equilibrium height, i.e., $x_0\ll x_{\mathrm{eq}}$.

4. [1 point] Determine $x(t)$ for timescales much larger than $x_0\sqrt{\lambda /F}$ and up to the moment when the end of the chain reaches its maximum height.
5. [2 points] Obtain the velocity of the descending segment of the chain as a function of $x$ after the chain has reached its maximum height $x_{\max }$.
6. [1 point] Calculate the minimum height, $x_{\min }$, that the vertical segment of the chain will reach during its descent. Hint: the equation $\frac{3}{2}-\xi +\log \left(\frac{2\xi }{3}\right)=0$ has two solutions, ${\xi }_0=3/2$ and ${\xi }_1\approx 0.625$.
7. [1 point] Sketch an approximate graph of $x(t)$ for a time interval that includes several cycles as described in the previous questions.

Risposta: 1. $F-\lambda gx=\lambda {\dot{x}}^2+\lambda x\ddot{x}$, i.e. $2\frac{F}{\lambda }-2gx=2v^2+x\frac{d{v}^2}{dx}$; integrating factor $x$ gives the stated $v$; 2. $x_{\max }=\frac{\sqrt{3(3F-2g{x}_0\lambda )(F+2g{x}_0\lambda )}+3F-2g{x}_0\lambda }{4g\lambda }$; 3. below $x_{\mathrm{eq}}$ the force exceeds the weight, so the chain still moves upwards when it reaches $x_{\mathrm{eq}}$; 4. $x=t\left(\sqrt{F/\lambda }-\frac{1}{6}gt\right)$ for $t\gg x_0\sqrt{\lambda /F}$; 5. $v=\sqrt{2g(x_{\max }-x)-\frac{2F}{\lambda }\log \frac{x_{\max }}{x}}$ (with $x_{\max }=\frac{3F}{2\lambda g}$); 6. $x_{\min }=\frac{F}{\lambda g}{\xi }_1=0.625\frac{F}{\lambda g}$; 7. damped oscillations of $x(t)$ around $F/(\lambda g)$: first maximum $3F/(2\lambda g)$, first minimum about $0.625F/(\lambda g)$ (plot in the official solution)

Soluzione:

Official solution (PLANCKS 2025, Barcelona), from the official PDF — p. 22, 23.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Differential Equations, Impulse-Momentum Theorem, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.21 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.22

Tirare verso l’alto una catena con forza costante [10 punti]

Si tira un estremo di una catena molto lunga, inizialmente ammucchiata su un tavolo, con una forza costante $F$, come in figura. All’inizio un tratto molto corto di lunghezza $x_0$ è tenuto verticale e fermo. La catena è soggetta all’attrazione gravitazionale terrestre, con accelerazione costante $g$. La catena è formata da anelli infinitesimi sia in lunghezza sia in massa, così da poterla trattare come un sistema continuo con densità lineare di massa uniforme $\lambda$. Trascura l’altezza e l’estensione orizzontale del mucchio sul tavolo.

1. [3 punti] Ricava l’equazione differenziale ordinaria per la velocità $v$ del tratto di catena che sale in funzione della sua altezza $x$ (1 punto) e risolvila ottenendo l’espressione (2 punti) $v=\sqrt{\frac{F}{\lambda }\left(1-\frac{x_0^2}{x^2}\right)-\frac{2}{3}g{x}_0\left(\frac{x}{x_0}-\frac{x_0^2}{x^2}\right)}$ Suggerimento: può servire un fattore integrante $\mu (x)$ per risolvere l’equazione.
2. [1 punto] Determina l’altezza massima $x_{\max }$ che la catena può raggiungere con la forza applicata.
3. [1 punto] Spiega perché $x_{\max }$ supera l’altezza di equilibrio $x_{\mathrm{eq}}=F/(\lambda g)$, alla quale la forza $F$ bilancia il peso della catena.

Nei punti seguenti supponi che l’altezza iniziale $x_0$ sia molto minore dell’altezza di equilibrio, cioè $x_0\ll x_{\mathrm{eq}}$.

4. [1 punto] Determina $x(t)$ per tempi molto maggiori di $x_0\sqrt{\lambda /F}$ e fino all’istante in cui l’estremo della catena raggiunge l’altezza massima.
5. [2 punti] Ricava la velocità del tratto di catena che scende in funzione di $x$, dopo che la catena ha raggiunto l’altezza massima $x_{\max }$.
6. [1 punto] Calcola l’altezza minima $x_{\min }$ raggiunta dal tratto verticale della catena durante la discesa. Suggerimento: l’equazione $\frac{3}{2}-\xi +\log \left(\frac{2\xi }{3}\right)=0$ ha due soluzioni, ${\xi }_0=3/2$ e ${\xi }_1\approx 0,625$.
7. [1 punto] Traccia un grafico approssimato di $x(t)$ in un intervallo di tempo che comprenda diversi cicli come descritto nei punti precedenti.

Risposta: 1. $F-\lambda gx=\lambda {\dot{x}}^2+\lambda x\ddot{x}$, cioè $2\frac{F}{\lambda }-2gx=2v^2+x\frac{d{v}^2}{dx}$; il fattore integrante $x$ dà la $v$ indicata; 2. $x_{\max }=\frac{\sqrt{3(3F-2g{x}_0\lambda )(F+2g{x}_0\lambda )}+3F-2g{x}_0\lambda }{4g\lambda }$; 3. sotto $x_{\mathrm{eq}}$ la forza supera il peso, quindi la catena sale ancora quando arriva a $x_{\mathrm{eq}}$; 4. $x=t\left(\sqrt{F/\lambda }-\frac{1}{6}gt\right)$ per $t\gg x_0\sqrt{\lambda /F}$; 5. $v=\sqrt{2g(x_{\max }-x)-\frac{2F}{\lambda }\log \frac{x_{\max }}{x}}$ (con $x_{\max }=\frac{3F}{2\lambda g}$); 6. $x_{\min }=\frac{F}{\lambda g}{\xi }_1=0,625\frac{F}{\lambda g}$; 7. oscillazioni smorzate di $x(t)$ attorno a $F/(\lambda g)$: primo massimo $3F/(2\lambda g)$, primo minimo circa $0,625F/(\lambda g)$ (grafico nella soluzione ufficiale)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Differential Equations, Impulse-Momentum Theorem, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.21 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.22

Stellar observation: from diffraction to interferometry [10 points]

In 1818, Augustin-Jean Fresnel presented his work on the wave theory of light in front of the French Academy of Sciences. The panel included eminent scientists of the time, such as Siméon Denis Poisson and François Arago. Fresnel argued that light behaved as a wave, contrary to Newton’s corpuscular theory, which still had many followers.

During the presentation, Poisson, a staunch supporter of the corpuscular theory, argued that if Fresnel’s wave theory were correct, a bright spot should be observed at the centre of the shadow cast by an opaque circular object, which seemed absurd. However, Arago decided to test this prediction. To the surprise of many, the experiment confirmed the existence of this bright spot, now known as Poisson’s spot or Arago’s spot. This result provided strong evidence in favour of the wave theory of light, marking a milestone in the history of optics.

Many years have passed since Arago conducted his famous experiment, and in that time humanity has achieved incredible feats, such as sending telescopes into space that bring us closer to the deepest mysteries of the universe. However, what Fresnel and his colleagues discovered remains vitally important today. Their work not only revolutionized our understanding of light but also laid the foundation for the development of advanced optical technologies. Today, the diffraction phenomenon they studied is fundamental to understanding the resolving power of optical instruments like the James Webb Space Telescope, allowing us to explore the cosmos with unprecedented clarity.

Questions. Suppose Arago conducts a second experiment where he illuminates an opaque square object, with side length $l$, using coherent light (both spatially and temporally) emitted by an oil lamp with a central wavelength ${\lambda }_c$. The light source is placed at a sufficiently large distance from the object to consider that it is illuminated with plane waves.

1. [3 points] Applying the Fraunhofer approximation, calculate the intensity distribution (diffraction pattern) as a function of the position $x$ and $y$ on the screen if it is located at a distance $D\gg l$, and the angular position of the first diffraction minimum in direction $x$ and direction $y$. Is there a bright spot?
2. Let us now assume an astronomical telescope with a square aperture of side length $L$:
   • a. [1 point] Write the equation for the angular resolving power of this telescope using Rayleigh’s criterion. Justify your answer.
   • b. [1 point] Determine if this telescope can resolve as separate objects the binary star system of Sirius, composed of Sirius A and Sirius B, with an angular distance of approximately $\theta$ = 10 arc seconds. Note: assume that Sirius A and B present the same energy flux at the telescope plane, that we are observing in the visible range with an average wavelength of $\lambda$ = 550 nm. The telescope’s square aperture has a side length of $L$ = 2.4 metres. (Note: $1^{\circ }$ = 3600 arc seconds.)
3. [3 points] Now we move the telescope to observe the Orion constellation. We set up a double slit (Young’s double slit) attached to the telescope objective to implement a Michelson stellar interferometer (see the figure below for reference). Let us consider the one-dimensional model depicted in the figure, where $b$ is the size of a star, $d$ the distance between slits, $a$ is the distance of the star to the telescope, and $D$ the distance of the slits to the screen ($a,D\gg d$). Assuming that the intensity emitted by the star is uniform, calculate the visibility function, $V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$. (Note: $\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}$.) Neglect the diffraction effects of the aperture.

4. [2 points] When Michelson used the stellar interferometer to study the star Betelgeuse, a red giant star located in the Orion constellation, he found that the first minimum of visibility of the interference fringes occurred at a distance between the slits of $d$ = 308 cm. Using an average wavelength of 570 nm, what is the angular diameter of the star? If the distance to Orion is estimated to be $1.6\times 10^{15}$ km, what is the diameter of the star?

Risposta: 1. $I(x,y)\propto I_0{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\pi xL}{\lambda D}\right){\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\pi yL}{\lambda D}\right)$ (same pattern as a square aperture of side $L=l$, by Babinet’s principle, except at the origin); first minima at ${\theta }_{\min ,x}\approx x/D=\lambda /L$ and ${\theta }_{\min ,y}\approx y/D=\lambda /L$; yes, there is a bright spot at $x=y=0$; 2.a ${\theta }_{\mathrm{RP}}=\lambda /L$; 2.b $\Delta \theta =4.8\times 10^{-5}$ rad $>{\theta }_{\mathrm{RP}}=2.3\times 10^{-7}$ rad: resolved; 3. $V=\frac{\sin (\pi bd/a\lambda )}{\pi bd/a\lambda }$; 4. $\theta =\lambda /d=1.85\times 10^{-7}$ rad, $b=a\theta =2.96\times 10^{11}$ m

Soluzione:

Official solution (PLANCKS 2025, Barcelona), from the official PDF — p. 25, 26, 27.

Topic: Wave Optics, Astrophysics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Slit, Screen, Star Fonte: Testo (PDF) — p.24 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.25

Osservazione stellare: dalla diffrazione all’interferometria [10 punti]

Nel 1818 Augustin-Jean Fresnel presentò il suo lavoro sulla teoria ondulatoria della luce all’Accademia delle Scienze francese. La commissione comprendeva scienziati eminenti dell’epoca, come Siméon Denis Poisson e François Arago. Fresnel sosteneva che la luce si comporta come un’onda, contro la teoria corpuscolare di Newton, che aveva ancora molti seguaci.

Durante la presentazione Poisson, convinto sostenitore della teoria corpuscolare, obiettò che, se la teoria ondulatoria di Fresnel fosse stata corretta, si sarebbe dovuta osservare una macchia luminosa al centro dell’ombra di un oggetto circolare opaco, cosa che sembrava assurda. Arago decise però di verificare questa previsione. Con sorpresa di molti, l’esperimento confermò l’esistenza della macchia luminosa, oggi nota come macchia di Poisson o di Arago. Il risultato fu una prova forte a favore della teoria ondulatoria della luce, una pietra miliare nella storia dell’ottica.

Da allora sono passati molti anni e l’umanità ha compiuto imprese incredibili, come mandare nello spazio telescopi che ci avvicinano ai misteri più profondi dell’universo. Ciò che Fresnel e i suoi colleghi scoprirono resta però di importanza vitale. Il loro lavoro non solo ha rivoluzionato la nostra comprensione della luce, ma ha posto le basi per lo sviluppo di tecnologie ottiche avanzate. Oggi il fenomeno della diffrazione che studiarono è fondamentale per capire il potere risolutivo di strumenti ottici come il James Webb Space Telescope, che ci permette di esplorare il cosmo con una nitidezza senza precedenti.

Domande. Supponi che Arago esegua un secondo esperimento illuminando un oggetto quadrato opaco di lato $l$ con luce coerente (sia spazialmente sia temporalmente) emessa da una lampada a olio con lunghezza d’onda centrale ${\lambda }_c$. La sorgente è abbastanza lontana dall’oggetto da poter considerare che sia illuminato da onde piane.

1. [3 punti] Applicando l’approssimazione di Fraunhofer, calcola la distribuzione di intensità (figura di diffrazione) in funzione della posizione $x$ e $y$ su uno schermo posto a distanza $D\gg l$, e la posizione angolare del primo minimo di diffrazione nelle direzioni $x$ e $y$. C’è una macchia luminosa?
2. Considera ora un telescopio astronomico con apertura quadrata di lato $L$:
   • a. [1 punto] Scrivi l’equazione del potere risolutivo angolare del telescopio secondo il criterio di Rayleigh. Motiva la risposta.
   • b. [1 punto] Stabilisci se il telescopio può risolvere come oggetti separati il sistema binario di Sirio, formato da Sirio A e Sirio B, con distanza angolare di circa $\theta$ = 10 secondi d’arco. Nota: supponi che Sirio A e B diano lo stesso flusso di energia sul piano del telescopio e di osservare nel visibile con lunghezza d’onda media $\lambda$ = 550 nm. L’apertura quadrata del telescopio ha lato $L$ = 2,4 m. (Nota: $1^{\circ }$ = 3600 secondi d’arco.)
3. [3 punti] Spostiamo ora il telescopio per osservare la costellazione di Orione. Montiamo una doppia fenditura (di Young) sull’obiettivo del telescopio per realizzare un interferometro stellare di Michelson (vedi la figura sotto). Considera il modello unidimensionale della figura, dove $b$ è la dimensione della stella, $d$ la distanza tra le fenditure, $a$ la distanza della stella dal telescopio e $D$ la distanza delle fenditure dallo schermo ($a,D\gg d$). Supponendo uniforme l’intensità emessa dalla stella, calcola la funzione di visibilità $V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$. (Nota: $\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}$.) Trascura gli effetti di diffrazione dell’apertura.

4. [2 punti] Quando Michelson usò l’interferometro stellare per studiare Betelgeuse, una gigante rossa nella costellazione di Orione, trovò che il primo minimo di visibilità delle frange di interferenza si aveva per una distanza tra le fenditure $d$ = 308 cm. Usando una lunghezza d’onda media di 570 nm, qual è il diametro angolare della stella? Se la distanza di Orione è stimata in $1,6\times 10^{15}$ km, qual è il diametro della stella?

Risposta: 1. $I(x,y)\propto I_0{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\pi xL}{\lambda D}\right){\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\pi yL}{\lambda D}\right)$ (stessa figura di un’apertura quadrata di lato $L=l$, per il principio di Babinet, tranne che nell’origine); primi minimi a ${\theta }_{\min ,x}\approx x/D=\lambda /L$ e ${\theta }_{\min ,y}\approx y/D=\lambda /L$; sì, c’è una macchia luminosa in $x=y=0$; 2.a ${\theta }_{\mathrm{RP}}=\lambda /L$; 2.b $\Delta \theta =4,8\times 10^{-5}$ rad $>{\theta }_{\mathrm{RP}}=2,3\times 10^{-7}$ rad: risolte; 3. $V=\frac{\sin (\pi bd/a\lambda )}{\pi bd/a\lambda }$; 4. $\theta =\lambda /d=1,85\times 10^{-7}$ rad, $b=a\theta =2,96\times 10^{11}$ m

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Wave Optics, Astrophysics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Slit, Screen, Star Fonte: Testo (PDF) — p.24 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.25

Graphene nanoribbons [10 points]

Introduction. Graphene lacks an electronic band gap, limiting its application in electronic devices. However, graphene nanoribbons (Figure 2 (left)) exhibit different behaviour. Let’s estimate the band gap opening in graphene nanoribbons using an approximate energy dispersion evaluation as a function of the wave vector $k$. A suitable method to calculate the energy bands is the tight-binding approximation (TBA), which approximates the electronic wave function as a linear combination of atomic orbitals. The lattice periodicity is introduced via Bloch’s theorem ${\psi }_k(x+na)=e^{ikna}{\psi }_k(x)$, where $a$ is the translation vector in 1D and $n$ is an integer. In this exercise we restrict to interactions between nearest neighbours. As an example of TBA in a one-dimensional chain, consider an infinite polyacetylene carbon chain with single and double bonds (Figure 1 (left)).

Figure 1: (left) polyacetylene chain; (right) schematic representation.

The unit cell in this case is composed of two atoms, labelled atom 1 and atom 2 (Fig. 1 (right)). Within TBA the wavefunction can be expressed as a linear combination of the wavefunctions in the unit cell, ${\psi }^i(x)$, which can be written in terms of the atomic orbital wavefunctions ${\varphi }_i(x)$, each weighted by a phase factor (Bloch’s theorem): ${\psi }_k(x)={\zeta }_1{\psi }_k^1(x)+{\zeta }_2{\psi }_k^2(x)\text{with}{\psi }_k^{1,2}(x)=\frac{1}{\sqrt{N_c}}{\sum }_{n=1}^{N_c}{e}^{ik(x+na)}{\varphi }_{1,2}(x+na)(1)$ where $n$ runs over the $N_c$ unit cells. To solve the Schrödinger equation, we project it onto $⟨{\psi }_k^1|$ and $⟨{\psi }_k^2|$, resulting in a system of two equations. We assume that only nearest-neighbour interactions are non-zero. The hopping integral $⟨{\varphi }_i|H|{\varphi }_j⟩$ for the interaction between $1\to 2$ is ${\gamma }_1$ and for the interaction between $2\to 1$ is ${\gamma }_2$ (Fig. 1b). The on-site energy is $⟨{\varphi }_i|H|{\varphi }_i⟩={\epsilon }_0$ and the orbital overlap term $⟨{\varphi }_i|{\varphi }_j⟩={\delta }_{ij}$. This yields the eigenvalue equation (Eq. 2) that needs to be solved for the energy, ${\epsilon }_k$. In summary, each term of the matrix accounts for interactions between $i$ and $j$, as shown by the row and column labels, weighted by phase factors such as $e^{\pm ika}$ when interacting with nearest neighbours in different cells: $\left(\begin{array}{cc}{\epsilon }_0& {\gamma }_1+{\gamma }_2{e}^{-ika}\\ {\gamma }_1+{\gamma }_2{e}^{+ika}& {\epsilon }_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\zeta }_1\\ {\zeta }_2\end{array}\right)={\epsilon }_k\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\zeta }_1\\ {\zeta }_2\end{array}\right)(2)$

Questions. Armchair graphene nanoribbons are one-dimensional, infinitely long linear chains with a width W, as illustrated in Figure 2 (left).

Figure 2: (left) armchair graphene nanoribbon; (right) schematic representation used for the TBA in this exercise.

Our goal is to use the tight-binding approximation, as explained in the introduction, to calculate the energy dispersion relation. As a simplification take the simplest infinite nanoribbon along direction $x$, as shown in Fig. 2 (right). Assume the on-site energy, ${\epsilon }_0$, is zero, and the hopping integrals between nearest neighbours are $\gamma$ and ${\gamma }_e$ (Fig. 2 (right)), with values $\gamma =-2.70$ eV and ${\gamma }_e=-3.02$ eV.

1. [1 point] Construct the unit cell.
2. [1 point] Write the wave function of an electronic orbital in the unit cell.
3. [2.5 points] Build the matrix of the eigenvalue equation, either by applying TBA or by similarity with Eq. (2).
4. [2 points] Calculate the energy gap at the $\Gamma$ point ($k=0$).
5. [1 point] What would happen with the energy gap if the interaction between atoms in the nanoribbon is the same for all atoms, i.e. $\gamma ={\gamma }_e=-2.70$ eV?
6. [2.5 points] Make a schematic representation of: i) energy $E$ versus wave vector $k$ between $0$ and $\pi /a$ for all the bands; ii) $E$ versus the density of states (DOS) for the valence band. Note: recall that the DOS in 3D can be evaluated according to $g(E)=\frac{2}{(2\pi {)}^3}{\int }_S\frac{dS}{|{\nabla }_{k}E|}$, where the integral is performed on a constant energy surface, and the factor 2 accounts for spin degeneration.

Risposta: 1. unit cell of 4 atoms (1, 2, 3, 4) of length $a$; 2. ${\psi }_k={\sum }_{j=1}^4{\zeta }_j{\psi }_k^j$ with ${\psi }_k^j=\frac{1}{\sqrt{N_c}}{\sum }_n{e}^{ik(x+na)}{\varphi }_j(x+na)$; 3. 4×4 matrix with zero diagonal, $H_{12}=H_{34}=\gamma$, $H_{23}={\gamma }_e$, $H_{14}={\gamma }_e{e}^{-ika}$, $H_{41}={\gamma }_e{e}^{ika}$, $H_{13}=H_{24}=0$ (Hermitian); 4. ${\epsilon }_k=\pm \sqrt{{\gamma }^2+{\gamma }_e^2\pm \sqrt{2}\gamma {\gamma }_e\sqrt{1+\cos ka}}$; at $k=0$: $\pm 5.724$ eV, $\pm 0.324$ eV, so $E_{gap}=0.648$ eV; 5. $E_{gap}=0$ (as in graphene); 6. four bands as in the official plot; the 1D DOS $g(\epsilon )=\frac{8}{\pi aB}\frac{{\epsilon }_k({\epsilon }_k^2-A)/B}{\sin ka}$ diverges at $k\to 0$ (band edges)

Soluzione:

Official solution (PLANCKS 2025, Barcelona), from the official PDF — p. 30, 31, 32, 33.

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Approximation & Series Expansion, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Electron, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.28 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.30

Nanonastri di grafene [10 punti]

Introduzione. Il grafene non ha una banda proibita (gap) elettronica, e questo ne limita l’uso nei dispositivi elettronici. I nanonastri di grafene (Figura 2 (sinistra)) si comportano invece diversamente. Stimiamo l’apertura del gap nei nanonastri di grafene con una valutazione approssimata della dispersione dell’energia in funzione del vettore d’onda $k$. Un metodo adatto per calcolare le bande di energia è l’approssimazione tight-binding (TBA), che approssima la funzione d’onda elettronica come combinazione lineare di orbitali atomici. La periodicità del reticolo si introduce con il teorema di Bloch ${\psi }_k(x+na)=e^{ikna}{\psi }_k(x)$, dove $a$ è il vettore di traslazione in 1D e $n$ un intero. In questo esercizio ci limitiamo alle interazioni tra primi vicini. Come esempio di TBA in una catena unidimensionale, considera una catena infinita di poliacetilene con legami singoli e doppi (Figura 1 (sinistra)).

Figura 1: (sinistra) catena di poliacetilene; (destra) rappresentazione schematica.

In questo caso la cella unitaria è formata da due atomi, indicati come atomo 1 e atomo 2 (Fig. 1 (destra)). Nella TBA la funzione d’onda si può scrivere come combinazione lineare delle funzioni d’onda della cella unitaria, ${\psi }^i(x)$, che a loro volta si esprimono tramite le funzioni d’onda degli orbitali atomici ${\varphi }_i(x)$, ciascuna con un fattore di fase (teorema di Bloch): ${\psi }_k(x)={\zeta }_1{\psi }_k^1(x)+{\zeta }_2{\psi }_k^2(x)\text{con}{\psi }_k^{1,2}(x)=\frac{1}{\sqrt{N_c}}{\sum }_{n=1}^{N_c}{e}^{ik(x+na)}{\varphi }_{1,2}(x+na)(1)$ dove $n$ scorre sulle $N_c$ celle unitarie. Per risolvere l’equazione di Schrödinger la si proietta su $⟨{\psi }_k^1|$ e $⟨{\psi }_k^2|$, ottenendo un sistema di due equazioni. Supponiamo non nulle solo le interazioni tra primi vicini. L’integrale di hopping $⟨{\varphi }_i|H|{\varphi }_j⟩$ per l’interazione $1\to 2$ è ${\gamma }_1$ e per l’interazione $2\to 1$ è ${\gamma }_2$ (Fig. 1b). L’energia di sito è $⟨{\varphi }_i|H|{\varphi }_i⟩={\epsilon }_0$ e il termine di sovrapposizione degli orbitali è $⟨{\varphi }_i|{\varphi }_j⟩={\delta }_{ij}$. Si ottiene così l’equazione agli autovalori (Eq. 2) da risolvere per l’energia ${\epsilon }_k$. In sintesi, ogni elemento della matrice descrive le interazioni tra $i$ e $j$, come indicato dalle etichette di righe e colonne, con fattori di fase come $e^{\pm ika}$ per le interazioni con primi vicini in celle diverse: $\left(\begin{array}{cc}{\epsilon }_0& {\gamma }_1+{\gamma }_2{e}^{-ika}\\ {\gamma }_1+{\gamma }_2{e}^{+ika}& {\epsilon }_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\zeta }_1\\ {\zeta }_2\end{array}\right)={\epsilon }_k\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\zeta }_1\\ {\zeta }_2\end{array}\right)(2)$

Domande. I nanonastri di grafene armchair sono catene lineari unidimensionali, infinitamente lunghe, di larghezza W, come in Figura 2 (sinistra).

Figura 2: (sinistra) nanonastro di grafene armchair; (destra) rappresentazione schematica usata per la TBA in questo esercizio.

Lo scopo è usare l’approssimazione tight-binding, come spiegato nell’introduzione, per calcolare la relazione di dispersione dell’energia. Per semplicità considera il nanonastro infinito più semplice lungo la direzione $x$, come in Fig. 2 (destra). Supponi nulla l’energia di sito ${\epsilon }_0$ e che gli integrali di hopping tra primi vicini siano $\gamma$ e ${\gamma }_e$ (Fig. 2 (destra)), con valori $\gamma =-2,70$ eV e ${\gamma }_e=-3,02$ eV.

1. [1 punto] Costruisci la cella unitaria.
2. [1 punto] Scrivi la funzione d’onda di un orbitale elettronico nella cella unitaria.
3. [2,5 punti] Costruisci la matrice dell’equazione agli autovalori, applicando la TBA oppure per analogia con l’Eq. (2).
4. [2 punti] Calcola il gap di energia nel punto $\Gamma$ ($k=0$).
5. [1 punto] Che cosa succederebbe al gap se l’interazione tra gli atomi del nanonastro fosse la stessa per tutti, cioè $\gamma ={\gamma }_e=-2,70$ eV?
6. [2,5 punti] Rappresenta schematicamente: i) l’energia $E$ in funzione del vettore d’onda $k$ tra $0$ e $\pi /a$ per tutte le bande; ii) $E$ in funzione della densità degli stati (DOS) per la banda di valenza. Nota: ricorda che in 3D la DOS si calcola come $g(E)=\frac{2}{(2\pi {)}^3}{\int }_S\frac{dS}{|{\nabla }_{k}E|}$, dove l’integrale è esteso a una superficie a energia costante e il fattore 2 tiene conto della degenerazione di spin.

Risposta: 1. cella unitaria di 4 atomi (1, 2, 3, 4) di lunghezza $a$; 2. ${\psi }_k={\sum }_{j=1}^4{\zeta }_j{\psi }_k^j$ con ${\psi }_k^j=\frac{1}{\sqrt{N_c}}{\sum }_n{e}^{ik(x+na)}{\varphi }_j(x+na)$; 3. matrice 4×4 con diagonale nulla, $H_{12}=H_{34}=\gamma$, $H_{23}={\gamma }_e$, $H_{14}={\gamma }_e{e}^{-ika}$, $H_{41}={\gamma }_e{e}^{ika}$, $H_{13}=H_{24}=0$ (hermitiana); 4. ${\epsilon }_k=\pm \sqrt{{\gamma }^2+{\gamma }_e^2\pm \sqrt{2}\gamma {\gamma }_e\sqrt{1+\cos ka}}$; in $k=0$: $\pm 5,724$ eV, $\pm 0,324$ eV, quindi $E_{gap}=0,648$ eV; 5. $E_{gap}=0$ (come nel grafene); 6. quattro bande come nel grafico ufficiale; la DOS 1D $g(\epsilon )=\frac{8}{\pi aB}\frac{{\epsilon }_k({\epsilon }_k^2-A)/B}{\sin ka}$ diverge per $k\to 0$ (bordi di banda)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Approximation & Series Expansion, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Electron, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.28 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.30

Quantum Grover algorithm and classical collisions [15 points]

The quantum Grover algorithm is an oracle algorithm that can find a register in an unstructured list of $N$ registers (imagine finding a name in a telephone book if we are given the telephone number). The idea is to start with an equally weighted state of all registers: $|{\psi }_0⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_{x=0}^{N-1}|x⟩,$ and do some operations that enhance the amplitude of the marked register denoted by $|w⟩$. One first writes $|{\psi }_0⟩$ in a two-dimensional basis $|{\psi }_0⟩=\sqrt{\frac{N-1}{N}}|\alpha ⟩+\sqrt{\frac{1}{N}}|w⟩,$ where $|\alpha ⟩$ is the state of all unmarked registers (of course, $⟨\alpha |w⟩=0$). In the $\{|\alpha ⟩,|w⟩\}$ basis, the oracle is given by the unitary matrix $U=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ that adds a phase, $-1$, to the amplitude of the marked state $|w⟩$. The Grover algorithm is the following:

• (I) Apply the oracle $U$.
• (II) Do a unitary operation that can be seen as a reflection over $|{\psi }_0⟩$: $K=2|{\psi }_0⟩⟨{\psi }_0|-1$.
• (III) Repeat operations (I) and (II) until the amplitude of $|w⟩$ is maximal, i.e. when measuring the state after these iterations one obtains $|w⟩$ with maximum probability.

1. [2 points] Show that $KU$ can be written as a rotation matrix $G(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$, and find $\theta$ as a function of $N$.
2. [2 points] Show that if $N=4$, one iteration of the Grover algorithm is sufficient to find the marked state. [Recall that $\cos \theta /2=\sqrt{(1+\cos \theta )/2}$ and $\sin \theta /2=\sqrt{(1-\cos \theta )/2}$.]
3. [2 points] Find the general expression of $N$ (although in general it will not be a natural number) in terms of the number of times, $n$, the oracle must be called for the Grover algorithm to find the exact marked state. For solutions of large $N$, use the Taylor expansion to find the asymptotic expression of $n$ as a function of $N$.

It is interesting to realize that the quantum Grover algorithm is formally equivalent to the following classical scattering problem. Imagine a dystopian classical world where energy has become very scarce. In this scenario, we aim to design a mountain train that operates without consuming energy, relying solely on the physics of elastic collisions.

The train consists of two parts: a locomotive without an engine of mass $m_1$ and a coach of mass $m_2$, with $m_1>m_2$. The locomotive is positioned at the rear, while the coach leads at the front. Starting from rest at an initial height on a mountain, the train descends toward a bottom station, reaching a final velocity $v=1$ (in arbitrary units).

Although the train’s components descend simultaneously, they are not physically connected. Upon reaching the bottom station, the coach collides with a wall, reversing its velocity, and subsequently collides with the locomotive. These collisions may be repeated multiple times. All collisions are assumed to be perfectly elastic and to occur sequentially.

4. [2 points] Demonstrate that this classical scattering problem is formally equivalent to the operations of the Grover algorithm, where the oracle $U$ corresponds to the collision of $m_2$ with the bottom wall and $K$ represents the locomotive–coach collisions. Derive the expressions relating $m_1$ and $m_2$ to $N$. Hint: the following rescaling of the velocities is very useful: ${\xi }_i=\sqrt{m_i/M}{v}_i$ where $M=m_1+m_2$. To ease the notation, it is also convenient to define the ratio $\eta =m_1/m_2$.
5. [2 points] What is the minimum mass ratio, $\eta =m_1/m_2$ (with $\eta >1$), required for the coach to remain stopped at the bottom station after the train descends?
6. [1 point] If the train took a time $T$ to descend, how much time do passengers have to do their shopping before the locomotive returns to the bottom station after reaching its maximum height? (Assume the mountain is a sloped plane.)
7. [2 points] In the above scenario, when the locomotive reaches the bottom station it collides with the stopped coach and a second round of collisions occurs. When this round ends, what are the final velocities of the coach and the locomotive?
8. [2 points] Derive the general expression for the mass ratio $\eta$ under which this “park-and-pick-up” phenomenon occurs.

Risposta: 1. $KU=G(\theta )$ with $\cos \theta =\frac{N-2}{N}$, $\sin \theta =\frac{2\sqrt{N-1}}{N}$; 2. $|{\psi }_0⟩=(\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2})$ and $KU|{\psi }_0⟩=|w⟩$ requires $\frac{3}{2}\theta =\frac{\pi }{2}$, $\theta =\pi /3$, i.e. $N=1/{\sin }^2(\pi /6)=4$; 3. $\theta =\frac{\pi }{2n+1}$, $N={\left[{\sin }^2\frac{\pi }{2(2n+1)}\right]}^{-1}$ (i.e. $N-1={\cot }^2\frac{\pi }{2(2n+1)}$); for large $N$: $n\simeq \frac{\pi }{4}\sqrt{N}$; 4. elastic collision matrix in rescaled velocities $S$, $SU=G(\theta )$ with $\cos \theta =\frac{\eta -1}{\eta +1}$, $\sin \theta =\frac{2\sqrt{\eta }}{\eta +1}$, $\eta ={\cot }^2(\theta /2)$; 5. ${\eta }_{\min }={\cot }^2(\pi /5)=1+2/\sqrt{5}$ (two collision rounds, $\theta =2\pi /5$); 6. $T^{\prime }=2\frac{v_1^{\prime }}{v_1}T=2\sqrt{\frac{1+\eta }{\eta }}T=2(\sqrt{5}-1)T\approx 2.47T$; 7. the final velocities are the initial ones reversed ($\xi =-(\cos \frac{\pi }{5},\sin \frac{\pi }{5})$): identical to the initial ones ($v=1$) but reversed; 8. ${\theta }_n=\frac{2\pi }{2n+1}$, ${\eta }_n={\cot }^2\frac{\pi }{2n+1}$ ($n$ = number of locomotive–coach collisions; $n=1$ gives ${\eta }_1=1/3$, i.e. $m_1<m_2$)

Soluzione:

Official solution (PLANCKS 2025, Barcelona), from the official PDF — p. 36, 37, 38.

Topic: Modern-Quantum Physics, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.34 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.36

Algoritmo quantistico di Grover e urti classici [15 punti]

L’algoritmo quantistico di Grover è un algoritmo a oracolo che trova un registro in una lista non strutturata di $N$ registri (immagina di cercare un nome in un elenco telefonico conoscendo il numero di telefono). L’idea è partire da uno stato con lo stesso peso su tutti i registri: $|{\psi }_0⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_{x=0}^{N-1}|x⟩,$ e applicare operazioni che amplificano l’ampiezza del registro marcato, indicato con $|w⟩$. Prima si scrive $|{\psi }_0⟩$ in una base bidimensionale $|{\psi }_0⟩=\sqrt{\frac{N-1}{N}}|\alpha ⟩+\sqrt{\frac{1}{N}}|w⟩,$ dove $|\alpha ⟩$ è lo stato di tutti i registri non marcati (ovviamente $⟨\alpha |w⟩=0$). Nella base $\{|\alpha ⟩,|w⟩\}$ l’oracolo è dato dalla matrice unitaria $U=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$, che aggiunge una fase $-1$ all’ampiezza dello stato marcato $|w⟩$. L’algoritmo di Grover è il seguente:

• (I) Applica l’oracolo $U$.
• (II) Esegui un’operazione unitaria che si può vedere come una riflessione rispetto a $|{\psi }_0⟩$: $K=2|{\psi }_0⟩⟨{\psi }_0|-1$.
• (III) Ripeti le operazioni (I) e (II) finché l’ampiezza di $|w⟩$ è massima, cioè finché, misurando lo stato dopo queste iterazioni, si ottiene $|w⟩$ con probabilità massima.

1. [2 punti] Mostra che $KU$ si può scrivere come matrice di rotazione $G(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ e trova $\theta$ in funzione di $N$.
2. [2 punti] Mostra che se $N=4$ basta una iterazione dell’algoritmo di Grover per trovare lo stato marcato. [Ricorda che $\cos \theta /2=\sqrt{(1+\cos \theta )/2}$ e $\sin \theta /2=\sqrt{(1-\cos \theta )/2}$.]
3. [2 punti] Trova l’espressione generale di $N$ (che in generale non sarà un numero naturale) in funzione del numero $n$ di chiamate all’oracolo necessarie perché l’algoritmo di Grover trovi esattamente lo stato marcato. Per $N$ grande usa lo sviluppo di Taylor per trovare l’espressione asintotica di $n$ in funzione di $N$.

È interessante notare che l’algoritmo quantistico di Grover è formalmente equivalente al seguente problema classico di urti. Immagina un mondo classico distopico in cui l’energia è diventata scarsissima. Vogliamo progettare un treno di montagna che funzioni senza consumare energia, sfruttando solo la fisica degli urti elastici.

Il treno è formato da due parti: una locomotiva senza motore di massa $m_1$ e una carrozza di massa $m_2$, con $m_1>m_2$. La locomotiva sta dietro e la carrozza davanti. Partendo da ferme da una certa altezza sulla montagna, scendono verso una stazione a valle, raggiungendo una velocità finale $v=1$ (in unità arbitrarie).

Anche se le due parti scendono insieme, non sono collegate fisicamente. Arrivata alla stazione a valle, la carrozza urta un muro, inverte la velocità e poi urta la locomotiva. Questi urti possono ripetersi più volte. Tutti gli urti sono perfettamente elastici e avvengono uno dopo l’altro.

4. [2 punti] Dimostra che questo problema classico di urti è formalmente equivalente alle operazioni dell’algoritmo di Grover, dove l’oracolo $U$ corrisponde all’urto di $m_2$ con il muro della stazione e $K$ rappresenta gli urti locomotiva–carrozza. Ricava le espressioni che legano $m_1$ e $m_2$ a $N$. Suggerimento: è molto utile riscalare le velocità come ${\xi }_i=\sqrt{m_i/M}{v}_i$ con $M=m_1+m_2$. Per semplificare la notazione conviene anche definire il rapporto $\eta =m_1/m_2$.
5. [2 punti] Qual è il rapporto minimo tra le masse $\eta =m_1/m_2$ (con $\eta >1$) perché la carrozza resti ferma alla stazione a valle dopo la discesa del treno?
6. [1 punto] Se il treno ha impiegato un tempo $T$ a scendere, quanto tempo hanno i passeggeri per fare la spesa prima che la locomotiva, dopo aver raggiunto la quota massima, torni alla stazione a valle? (Supponi che la montagna sia un piano inclinato.)
7. [2 punti] Nella situazione precedente, quando la locomotiva torna alla stazione urta la carrozza ferma e avviene un secondo ciclo di urti. Alla fine di questo ciclo, quali sono le velocità finali della carrozza e della locomotiva?
8. [2 punti] Ricava l’espressione generale del rapporto tra le masse $\eta$ per cui si verifica questo fenomeno di «parcheggio e ripresa» (park-and-pick-up).

Risposta: 1. $KU=G(\theta )$ con $\cos \theta =\frac{N-2}{N}$, $\sin \theta =\frac{2\sqrt{N-1}}{N}$; 2. $|{\psi }_0⟩=(\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2})$ e $KU|{\psi }_0⟩=|w⟩$ richiede $\frac{3}{2}\theta =\frac{\pi }{2}$, $\theta =\pi /3$, cioè $N=1/{\sin }^2(\pi /6)=4$; 3. $\theta =\frac{\pi }{2n+1}$, $N={\left[{\sin }^2\frac{\pi }{2(2n+1)}\right]}^{-1}$ (cioè $N-1={\cot }^2\frac{\pi }{2(2n+1)}$); per $N$ grande: $n\simeq \frac{\pi }{4}\sqrt{N}$; 4. matrice d’urto elastico $S$ nelle velocità riscalate, $SU=G(\theta )$ con $\cos \theta =\frac{\eta -1}{\eta +1}$, $\sin \theta =\frac{2\sqrt{\eta }}{\eta +1}$, $\eta ={\cot }^2(\theta /2)$; 5. ${\eta }_{\min }={\cot }^2(\pi /5)=1+2/\sqrt{5}$ (due cicli di urti, $\theta =2\pi /5$); 6. $T^{\prime }=2\frac{v_1^{\prime }}{v_1}T=2\sqrt{\frac{1+\eta }{\eta }}T=2(\sqrt{5}-1)T\approx 2,47T$; 7. le velocità finali sono quelle iniziali invertite ($\xi =-(\cos \frac{\pi }{5},\sin \frac{\pi }{5})$): uguali a quelle iniziali ($v=1$) ma invertite; 8. ${\theta }_n=\frac{2\pi }{2n+1}$, ${\eta }_n={\cot }^2\frac{\pi }{2n+1}$ ($n$ = numero di urti locomotiva–carrozza; $n=1$ dà ${\eta }_1=1/3$, cioè $m_1<m_2$)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Modern-Quantum Physics, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.34 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.36

Answers from the official PLANCKS 2025 solutions (RSEF / UAB).

Problem	Title	Risposta
1	Levitation in an Anti-Helmholtz coil [10 points]	1. ${\mathbf{B}}_a=B_0\left(-\frac{x}{R}\hat{x}-\frac{y}{R}\hat{y}+\frac{2z}{R}\hat{z}\right)$ with $B_0=\frac{24{\mu }_{0}I}{25\sqrt{5}R}$; 2. $\mathbf{F}=\frac{4\pi a^3}{3{\mu }_0}\frac{3\chi }{3+\chi }\frac{B_0^2}{R}\left(\frac{x}{R}\hat{x}+\frac{y}{R}\hat{y}+\frac{4z}{R}\hat{z}\right)$, zero at the origin; $\kappa =-\frac{4\pi a^3}{3{\mu }_0}\frac{B_0^2}{R^2}\frac{3\chi }{3+\chi }\mathrm{diag}(1,1,4)$: (a) $\chi =-1$: all $\kappa >0$, stable levitation (stiffer along $z$); (b) $\chi =+1$: all $\kappa <0$, unstable in every direction
2	Surface Adsorption [10 points]	1. $S=k_B\ln ({\Omega }_B{\Omega }_S)$ with ${\Omega }_B=\frac{N_B!}{(N-n)!(N_B-N+n)!}$, ${\Omega }_S=\frac{N_S!}{n!(N_S-n)!}$ (Stirling form in the solution); 2. $\frac{(N-n)(N_S-n)}{n(N_B-N+n)}=e^{-ϵ/k_{B}T}$; $T\to \infty$: $n/N=N_S/(N_S+N_B)$; $T\to 0$: $n=N_S$; 3. same equation, by equating the chemical potentials of bulk and surface; 4. $\frac{n}{N_S}\simeq \frac{1}{\frac{N_B}{N}{e}^{-ϵ/k_{B}T}+1}$, half occupation at $T\simeq \frac{ϵ}{k_B\ln (N_B/N)}$; 5. $\theta =\frac{p}{p+p_0}$ with $p_0=\frac{k_{B}T}{V_0}{e}^{-ϵ/k_{B}T}$ (half coverage at $p=p_0$)
3	Second sound [10 points]	1. for experimental times $t_p\gg \tau$: $\mathbf{q}=-\kappa \nabla T$; 2. $\tau {\partial }_t^{2}T+{\partial }_{t}T=\frac{\kappa }{C_V}{\nabla }^{2}T$, wave equation for $\omega \gg 1/\tau$, $v_{SS}=c/\sqrt{3}<c$; 3. $\Delta T=A{e}^{-t/2\tau }\cos ({\omega }_{r}t)\cos (2\pi x/L)$ with ${\omega }_r=\sqrt{\frac{4\kappa \tau }{C_V}{k}^2-1}/2\tau$; oscillation visible for $L<\frac{2\pi }{\sqrt{1+4{\pi }^2}}\sqrt{\frac{\kappa \tau }{C_V}}\simeq v_{SS}\tau$; 4. yes: e.g. in the standing wave, after half a period a cold region becomes hotter; 5. local equilibrium: ${\sigma }_s=\frac{q^2+\tau \mathbf{q}\cdot \dot{\mathbf{q}}}{\kappa T^2}$, no definite sign; with the non-equilibrium entropy ${\sigma }_s=\frac{q^2}{\kappa T^2}>0$
4	Some questions about our Universe [10 points]	1.a ${\pi }_A=-3(1+w_A)$; 1.b $w_M=0$, $w_R=1/3$, $w_{\Lambda }=-1$; 2.a $\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3P)$, so $\alpha =-4\pi /3$, $\beta =-4\pi$; 2.b $q_0=\frac{1}{2}{\Omega }_M+{\Omega }_R-{\Omega }_{\Lambda }$; 3.a $t_0=\frac{1}{H_0}{\int }_0^1\frac{da/a}{\sqrt{{\Omega }_M/a^3+{\Omega }_{\Lambda }}}$; 3.b $t_0=\frac{2}{3H_0\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}}{\sinh }^{-1}\sqrt{\frac{{\Omega }_{\Lambda }}{1-{\Omega }_{\Lambda }}}=\frac{2}{3H_0\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}}\ln \frac{\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}+1}{\sqrt{1-{\Omega }_{\Lambda }}}$
5	Black Hole Shadow [10 points]	1.a Newton: $-\frac{GmM}{r}+\frac{L^2}{2m{r}^2}$; the GR term matters only when $r$ is comparable to $R_s$; 1.b $r=\frac{L^2\pm \sqrt{L^4-12L^2{G}^2{M}^2{m}^2/c^2}}{2GM{m}^2}$, so $L\ge L_{min}=\sqrt{12}GMm/c=\sqrt{3}m{R}_{s}c$; 1.c orbits for $r>\frac{3}{2}{R}_s$; stable for $r>3R_s$, unstable for $\frac{3}{2}{R}_s<r<3R_s$; $r_{\mathrm{ISCO}}=3R_s$; 2.a $r_{\mathrm{ISCO}}=4.5\times 10^{13}$ m, $\theta \approx 8.6\times 10^{-11}$ rad; 2.b $\lambda \approx 0.9$ mm (1–1.3 mm also accepted) with baseline $D=\lambda /\theta \approx 1\times 10^7$ m (about 80% of the Earth’s diameter)
6	Pulling a chain upwards with constant force [10 points]	1. $F-\lambda gx=\lambda {\dot{x}}^2+\lambda x\ddot{x}$, i.e. $2\frac{F}{\lambda }-2gx=2v^2+x\frac{d{v}^2}{dx}$; integrating factor $x$ gives the stated $v$; 2. $x_{\max }=\frac{\sqrt{3(3F-2g{x}_0\lambda )(F+2g{x}_0\lambda )}+3F-2g{x}_0\lambda }{4g\lambda }$; 3. below $x_{\mathrm{eq}}$ the force exceeds the weight, so the chain still moves upwards when it reaches $x_{\mathrm{eq}}$; 4. $x=t\left(\sqrt{F/\lambda }-\frac{1}{6}gt\right)$ for $t\gg x_0\sqrt{\lambda /F}$; 5. $v=\sqrt{2g(x_{\max }-x)-\frac{2F}{\lambda }\log \frac{x_{\max }}{x}}$ (with $x_{\max }=\frac{3F}{2\lambda g}$); 6. $x_{\min }=\frac{F}{\lambda g}{\xi }_1=0.625\frac{F}{\lambda g}$; 7. damped oscillations of $x(t)$ around $F/(\lambda g)$: first maximum $3F/(2\lambda g)$, first minimum about $0.625F/(\lambda g)$ (plot in the official solution)
7	Stellar observation: from diffraction to interferometry [10 points]	1. $I(x,y)\propto I_0{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\pi xL}{\lambda D}\right){\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\pi yL}{\lambda D}\right)$ (same pattern as a square aperture of side $L=l$, by Babinet’s principle, except at the origin); first minima at ${\theta }_{\min ,x}\approx x/D=\lambda /L$ and ${\theta }_{\min ,y}\approx y/D=\lambda /L$; yes, there is a bright spot at $x=y=0$; 2.a ${\theta }_{\mathrm{RP}}=\lambda /L$; 2.b $\Delta \theta =4.8\times 10^{-5}$ rad $>{\theta }_{\mathrm{RP}}=2.3\times 10^{-7}$ rad: resolved; 3. $V=\frac{\sin (\pi bd/a\lambda )}{\pi bd/a\lambda }$; 4. $\theta =\lambda /d=1.85\times 10^{-7}$ rad, $b=a\theta =2.96\times 10^{11}$ m
8	Graphene nanoribbons [10 points]	1. unit cell of 4 atoms (1, 2, 3, 4) of length $a$; 2. ${\psi }_k={\sum }_{j=1}^4{\zeta }_j{\psi }_k^j$ with ${\psi }_k^j=\frac{1}{\sqrt{N_c}}{\sum }_n{e}^{ik(x+na)}{\varphi }_j(x+na)$; 3. 4×4 matrix with zero diagonal, $H_{12}=H_{34}=\gamma$, $H_{23}={\gamma }_e$, $H_{14}={\gamma }_e{e}^{-ika}$, $H_{41}={\gamma }_e{e}^{ika}$, $H_{13}=H_{24}=0$ (Hermitian); 4. ${\epsilon }_k=\pm \sqrt{{\gamma }^2+{\gamma }_e^2\pm \sqrt{2}\gamma {\gamma }_e\sqrt{1+\cos ka}}$; at $k=0$: $\pm 5.724$ eV, $\pm 0.324$ eV, so $E_{gap}=0.648$ eV; 5. $E_{gap}=0$ (as in graphene); 6. four bands as in the official plot; the 1D DOS $g(\epsilon )=\frac{8}{\pi aB}\frac{{\epsilon }_k({\epsilon }_k^2-A)/B}{\sin ka}$ diverges at $k\to 0$ (band edges)
9	Quantum Grover algorithm and classical collisions [15 points]	1. $KU=G(\theta )$ with $\cos \theta =\frac{N-2}{N}$, $\sin \theta =\frac{2\sqrt{N-1}}{N}$; 2. $|{\psi }_0⟩=(\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2})$ and $KU|{\psi }_0⟩=|w⟩$ requires $\frac{3}{2}\theta =\frac{\pi }{2}$, $\theta =\pi /3$, i.e. $N=1/{\sin }^2(\pi /6)=4$; 3. $\theta =\frac{\pi }{2n+1}$, $N={\left[{\sin }^2\frac{\pi }{2(2n+1)}\right]}^{-1}$ (i.e. $N-1={\cot }^2\frac{\pi }{2(2n+1)}$); for large $N$: $n\simeq \frac{\pi }{4}\sqrt{N}$; 4. elastic collision matrix in rescaled velocities $S$, $SU=G(\theta )$ with $\cos \theta =\frac{\eta -1}{\eta +1}$, $\sin \theta =\frac{2\sqrt{\eta }}{\eta +1}$, $\eta ={\cot }^2(\theta /2)$; 5. ${\eta }_{\min }={\cot }^2(\pi /5)=1+2/\sqrt{5}$ (two collision rounds, $\theta =2\pi /5$); 6. $T^{\prime }=2\frac{v_1^{\prime }}{v_1}T=2\sqrt{\frac{1+\eta }{\eta }}T=2(\sqrt{5}-1)T\approx 2.47T$; 7. the final velocities are the initial ones reversed ($\xi =-(\cos \frac{\pi }{5},\sin \frac{\pi }{5})$): identical to the initial ones ($v=1$) but reversed; 8. ${\theta }_n=\frac{2\pi }{2n+1}$, ${\eta }_n={\cot }^2\frac{\pi }{2n+1}$ ($n$ = number of locomotive–coach collisions; $n=1$ gives ${\eta }_1=1/3$, i.e. $m_1<m_2$)

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dalle soluzioni ufficiali PLANCKS 2025 (RSEF / UAB).

Problema	Titolo	Risposta
1	Levitazione in una bobina anti-Helmholtz [10 punti]	1. ${\mathbf{B}}_a=B_0\left(-\frac{x}{R}\hat{x}-\frac{y}{R}\hat{y}+\frac{2z}{R}\hat{z}\right)$ con $B_0=\frac{24{\mu }_{0}I}{25\sqrt{5}R}$; 2. $\mathbf{F}=\frac{4\pi a^3}{3{\mu }_0}\frac{3\chi }{3+\chi }\frac{B_0^2}{R}\left(\frac{x}{R}\hat{x}+\frac{y}{R}\hat{y}+\frac{4z}{R}\hat{z}\right)$, nulla nell’origine; $\kappa =-\frac{4\pi a^3}{3{\mu }_0}\frac{B_0^2}{R^2}\frac{3\chi }{3+\chi }\mathrm{diag}(1,1,4)$: (a) $\chi =-1$: tutti i $\kappa >0$, levitazione stabile (più rigida lungo $z$); (b) $\chi =+1$: tutti i $\kappa <0$, instabile in ogni direzione
2	Adsorbimento superficiale [10 punti]	1. $S=k_B\ln ({\Omega }_B{\Omega }_S)$ con ${\Omega }_B=\frac{N_B!}{(N-n)!(N_B-N+n)!}$, ${\Omega }_S=\frac{N_S!}{n!(N_S-n)!}$ (forma di Stirling nella soluzione); 2. $\frac{(N-n)(N_S-n)}{n(N_B-N+n)}=e^{-ϵ/k_{B}T}$; $T\to \infty$: $n/N=N_S/(N_S+N_B)$; $T\to 0$: $n=N_S$; 3. stessa equazione, uguagliando i potenziali chimici di volume e superficie; 4. $\frac{n}{N_S}\simeq \frac{1}{\frac{N_B}{N}{e}^{-ϵ/k_{B}T}+1}$, occupazione a metà per $T\simeq \frac{ϵ}{k_B\ln (N_B/N)}$; 5. $\theta =\frac{p}{p+p_0}$ con $p_0=\frac{k_{B}T}{V_0}{e}^{-ϵ/k_{B}T}$ (copertura a metà per $p=p_0$)
3	Secondo suono [10 punti]	1. per tempi sperimentali $t_p\gg \tau$: $\mathbf{q}=-\kappa \nabla T$; 2. $\tau {\partial }_t^{2}T+{\partial }_{t}T=\frac{\kappa }{C_V}{\nabla }^{2}T$, equazione delle onde per $\omega \gg 1/\tau$, $v_{SS}=c/\sqrt{3}<c$; 3. $\Delta T=A{e}^{-t/2\tau }\cos ({\omega }_{r}t)\cos (2\pi x/L)$ con ${\omega }_r=\sqrt{\frac{4\kappa \tau }{C_V}{k}^2-1}/2\tau$; oscillazione osservabile per $L<\frac{2\pi }{\sqrt{1+4{\pi }^2}}\sqrt{\frac{\kappa \tau }{C_V}}\simeq v_{SS}\tau$; 4. sì: per esempio nell’onda stazionaria, dopo mezzo periodo una zona fredda diventa più calda; 5. equilibrio locale: ${\sigma }_s=\frac{q^2+\tau \mathbf{q}\cdot \dot{\mathbf{q}}}{\kappa T^2}$, segno non definito; con l’entropia di non equilibrio ${\sigma }_s=\frac{q^2}{\kappa T^2}>0$
4	Alcune domande sul nostro Universo [10 punti]	1.a ${\pi }_A=-3(1+w_A)$; 1.b $w_M=0$, $w_R=1/3$, $w_{\Lambda }=-1$; 2.a $\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3P)$, quindi $\alpha =-4\pi /3$, $\beta =-4\pi$; 2.b $q_0=\frac{1}{2}{\Omega }_M+{\Omega }_R-{\Omega }_{\Lambda }$; 3.a $t_0=\frac{1}{H_0}{\int }_0^1\frac{da/a}{\sqrt{{\Omega }_M/a^3+{\Omega }_{\Lambda }}}$; 3.b $t_0=\frac{2}{3H_0\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}}{\sinh }^{-1}\sqrt{\frac{{\Omega }_{\Lambda }}{1-{\Omega }_{\Lambda }}}=\frac{2}{3H_0\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}}\ln \frac{\sqrt{{\Omega }_{\Lambda }}+1}{\sqrt{1-{\Omega }_{\Lambda }}}$
5	L’ombra di un buco nero [10 punti]	1.a Newton: $-\frac{GmM}{r}+\frac{L^2}{2m{r}^2}$; il termine di RG conta solo quando $r$ è confrontabile con $R_s$; 1.b $r=\frac{L^2\pm \sqrt{L^4-12L^2{G}^2{M}^2{m}^2/c^2}}{2GM{m}^2}$, quindi $L\ge L_{min}=\sqrt{12}GMm/c=\sqrt{3}m{R}_{s}c$; 1.c orbite per $r>\frac{3}{2}{R}_s$; stabili per $r>3R_s$, instabili per $\frac{3}{2}{R}_s<r<3R_s$; $r_{\mathrm{ISCO}}=3R_s$; 2.a $r_{\mathrm{ISCO}}=4,5\times 10^{13}$ m, $\theta \approx 8,6\times 10^{-11}$ rad; 2.b $\lambda \approx 0,9$ mm (accettati anche 1–1,3 mm) con base $D=\lambda /\theta \approx 1\times 10^7$ m (circa l’80% del diametro terrestre)
6	Tirare verso l’alto una catena con forza costante [10 punti]	1. $F-\lambda gx=\lambda {\dot{x}}^2+\lambda x\ddot{x}$, cioè $2\frac{F}{\lambda }-2gx=2v^2+x\frac{d{v}^2}{dx}$; il fattore integrante $x$ dà la $v$ indicata; 2. $x_{\max }=\frac{\sqrt{3(3F-2g{x}_0\lambda )(F+2g{x}_0\lambda )}+3F-2g{x}_0\lambda }{4g\lambda }$; 3. sotto $x_{\mathrm{eq}}$ la forza supera il peso, quindi la catena sale ancora quando arriva a $x_{\mathrm{eq}}$; 4. $x=t\left(\sqrt{F/\lambda }-\frac{1}{6}gt\right)$ per $t\gg x_0\sqrt{\lambda /F}$; 5. $v=\sqrt{2g(x_{\max }-x)-\frac{2F}{\lambda }\log \frac{x_{\max }}{x}}$ (con $x_{\max }=\frac{3F}{2\lambda g}$); 6. $x_{\min }=\frac{F}{\lambda g}{\xi }_1=0,625\frac{F}{\lambda g}$; 7. oscillazioni smorzate di $x(t)$ attorno a $F/(\lambda g)$: primo massimo $3F/(2\lambda g)$, primo minimo circa $0,625F/(\lambda g)$ (grafico nella soluzione ufficiale)
7	Osservazione stellare: dalla diffrazione all’interferometria [10 punti]	1. $I(x,y)\propto I_0{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\pi xL}{\lambda D}\right){\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\pi yL}{\lambda D}\right)$ (stessa figura di un’apertura quadrata di lato $L=l$, per il principio di Babinet, tranne che nell’origine); primi minimi a ${\theta }_{\min ,x}\approx x/D=\lambda /L$ e ${\theta }_{\min ,y}\approx y/D=\lambda /L$; sì, c’è una macchia luminosa in $x=y=0$; 2.a ${\theta }_{\mathrm{RP}}=\lambda /L$; 2.b $\Delta \theta =4,8\times 10^{-5}$ rad $>{\theta }_{\mathrm{RP}}=2,3\times 10^{-7}$ rad: risolte; 3. $V=\frac{\sin (\pi bd/a\lambda )}{\pi bd/a\lambda }$; 4. $\theta =\lambda /d=1,85\times 10^{-7}$ rad, $b=a\theta =2,96\times 10^{11}$ m
8	Nanonastri di grafene [10 punti]	1. cella unitaria di 4 atomi (1, 2, 3, 4) di lunghezza $a$; 2. ${\psi }_k={\sum }_{j=1}^4{\zeta }_j{\psi }_k^j$ con ${\psi }_k^j=\frac{1}{\sqrt{N_c}}{\sum }_n{e}^{ik(x+na)}{\varphi }_j(x+na)$; 3. matrice 4×4 con diagonale nulla, $H_{12}=H_{34}=\gamma$, $H_{23}={\gamma }_e$, $H_{14}={\gamma }_e{e}^{-ika}$, $H_{41}={\gamma }_e{e}^{ika}$, $H_{13}=H_{24}=0$ (hermitiana); 4. ${\epsilon }_k=\pm \sqrt{{\gamma }^2+{\gamma }_e^2\pm \sqrt{2}\gamma {\gamma }_e\sqrt{1+\cos ka}}$; in $k=0$: $\pm 5,724$ eV, $\pm 0,324$ eV, quindi $E_{gap}=0,648$ eV; 5. $E_{gap}=0$ (come nel grafene); 6. quattro bande come nel grafico ufficiale; la DOS 1D $g(\epsilon )=\frac{8}{\pi aB}\frac{{\epsilon }_k({\epsilon }_k^2-A)/B}{\sin ka}$ diverge per $k\to 0$ (bordi di banda)
9	Algoritmo quantistico di Grover e urti classici [15 punti]	1. $KU=G(\theta )$ con $\cos \theta =\frac{N-2}{N}$, $\sin \theta =\frac{2\sqrt{N-1}}{N}$; 2. $|{\psi }_0⟩=(\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2})$ e $KU|{\psi }_0⟩=|w⟩$ richiede $\frac{3}{2}\theta =\frac{\pi }{2}$, $\theta =\pi /3$, cioè $N=1/{\sin }^2(\pi /6)=4$; 3. $\theta =\frac{\pi }{2n+1}$, $N={\left[{\sin }^2\frac{\pi }{2(2n+1)}\right]}^{-1}$ (cioè $N-1={\cot }^2\frac{\pi }{2(2n+1)}$); per $N$ grande: $n\simeq \frac{\pi }{4}\sqrt{N}$; 4. matrice d’urto elastico $S$ nelle velocità riscalate, $SU=G(\theta )$ con $\cos \theta =\frac{\eta -1}{\eta +1}$, $\sin \theta =\frac{2\sqrt{\eta }}{\eta +1}$, $\eta ={\cot }^2(\theta /2)$; 5. ${\eta }_{\min }={\cot }^2(\pi /5)=1+2/\sqrt{5}$ (due cicli di urti, $\theta =2\pi /5$); 6. $T^{\prime }=2\frac{v_1^{\prime }}{v_1}T=2\sqrt{\frac{1+\eta }{\eta }}T=2(\sqrt{5}-1)T\approx 2,47T$; 7. le velocità finali sono quelle iniziali invertite ($\xi =-(\cos \frac{\pi }{5},\sin \frac{\pi }{5})$): uguali a quelle iniziali ($v=1$) ma invertite; 8. ${\theta }_n=\frac{2\pi }{2n+1}$, ${\eta }_n={\cot }^2\frac{\pi }{2n+1}$ ($n$ = numero di urti locomotiva–carrozza; $n=1$ dà ${\eta }_1=1/3$, cioè $m_1<m_2$)

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)