IPhO 2009 — Teorica — Problema 1

1. Conservazione del momento angolare. Sia $L_1$ il momento angolare del sistema Terra-Luna adesso, cioè in questo momento di tempo. Si facciano, ora, le seguenti assunzioni: i) $L_1$ si ottiene dalla soma del momento angolare del moto rotatorio della terra su se stessa e quello del moto rotatorio della Luna attorno alla Terra; ii) l’orbita della Luna è circolare e la Luna stessa può essere considerata puntiforme; iii) l’asse di rotazione della Terra e quello di rivoluzione della Luna attorno alla Terra sono paralleli e perpendicolari al piano dell’orbita lunare; iv) per semplificare i calcoli, il moto circolare della Luna avviene attorno al centro della Terra e non attorno al centro di massa. In tutto il problema, tutti i momenti d’inerzia, i momenti delle forze e i momenti angolari sono definiti rispetto all’asse della Terra; v) l’influenza del sole viene trascurata. 1a Ricava la formula che esprime adesso, cioè in questo momento di tempo, il momento angolare totale del sistema Terra-Luna. Esprimi il risultato in funzione: a) del momento d’inerzia, $I_E$, della Terra; b) della velocità angolare, ${\omega }_{E1}$, della Terra in questo momento di tempo; c) il momento d’inerzia della Luna, $I_{M1}$, in questo momento di tempo, rispetto all’asse di rotazione terrestre; d) la velocità angolare della Luna, ${\omega }_{M1}$, in questo momento di tempo. 0.2 Figura 2. L’attrazione gravitazionale della Luna produce due massimi di marea che si presentano come due rigonfiamenti sulla superficie terrestre. A causa della rotazione terrestre, la linea che congiunge i due massimi di marea passando per il centro della Terra non passa anche per il centro della Luna. Il fatto che la linea congiungente i massimi di marea e quella che passa per i centri di Terra e Luna non siano coincidenti produce il momento di una forza che è causa del trasferimento del momento angolare dal moto rotatorio della Terra su se stessa al moto della Luna attorno alla Terra. Il disegno non è in scala Il processo di trasferimento di momento angolare terminerà quando il periodo di rotazione della Terra e il periodo di rivoluzione della Luna attorno alla Terra saranno uguali. In quel momento i due massimi di marea saranno allineati con i centri della Terra e della Luna e il momento delle forze sarà nullo. 1b Ricava la formula che esprime il momento angolare totale finale del sistema Terra-Luna, $L_2$, quando viene a cessare, cioè, il traferimento del momento angolare. Le assunzioni da fare per sviluppare il calcolo sono le stesse indicate prima della domanda 1a. Esprimi il risultato in funzione: a) del momento d’inerzia della Terra, $I_E$; b) della velocità angolare, ${\omega }_2$, della Terra nella rotazione su se stessa e della Luna nella rotazione attorno alla Terra; c) il momento d’inerzia finale della Luna, $I_{M2}$. 0.2 1c Trascurando il contributo della rotazione della Terra al momento angolare finale totale, ricava la formula che esprime, in questa situazione, la conservazione del momento angolare. 0.3

p.1 — Raggio laser puntato verso osservatorio

p.2 — Attrazione gravitazionale e rigonfiamenti di marea

Topic: Rotational Dynamics, Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Momentum, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

1. Preserving the moment of angular momentum. Sia $L_1$ il momento angolare del sistema Terra-Luna adesso, cioè in questo momento di Time is running out. Si facciano, ora, le seguenti assunzioni: i) $L_1$ si ottiene dalla soma del momento angle of rotation of the earth on itself and that of the moon’s rotation (ii) the Moon’s orbit is circular and the Moon itself may be (iii) the axis of rotation of the Earth and that of the Earth’s revolution The moons around the Earth are parallel and perpendicular to the plane of the lunar orbit; To simplify the calculations, the moon’s circular motion is around the center of the Earth. And not around the mass center. In the whole problem, in all the moments of inertia, force moments and angular moments are defined relative to the Earth’s axis; The influence of the sun is neglected. 1a It takes the formula that it expresses now, that is, at this moment in time, the total angular moment of the Earth-Moon system. Express the result in Function: (a) the moment of inertia, $I_E$, of the Earth; (b) the velocity angular, ${\omega }_{E1}$, of the Earth at this time; The Moon’s motion, $I_{M1}$, at this time, relative to the axis (d) the angular velocity of the Moon, ${\omega }_{M1}$, in this I’m going to take a moment. 0.2 Figure two. The gravitational pull of the Moon produces two tidal highs that They appear as two swellings on the Earth’s surface. The Earth rotation, the line connecting the two tidal peaks passing through the The center of the Earth doesn’t even pass through the center of the Moon. The fact that the line The first is the tidal peak and the one that passes through the centers of Earth and Moon. The momentum of a force that is caused by the transfer of the angular momentum from the rotational motion of the Earth on itself to the motion of the Moon around the Earth. The drawing is not in scale. The angular momentum transfer process will end when the period of The rotation of the Earth and the period of revolution of the Moon around the Earth will be They’re the same. At that point the two tidal peaks will be aligned with the centres of the Earth and the Moon and the moment of the forces will be null. 1b It takes the formula that expresses the final total angular moment of the The Earth-Moon system, $L_2$, when it comes to ceasing, that is, the transfer of the Earth’s magnetic field to the Earth. It’s the corner time. The assumptions to be made in developing the calculation are the following: the same as those indicated before Question 1a. Express the result in a function: del momento d’inerzia della Terra, $I_E$; b) della velocità angolare, ${\omega }_2$, of the Earth in its rotation and of the Moon in its rotation around it. (c) the final moment of inertia of the Moon, $I_{M2}$. 0.2 1c By ignoring the contribution of the Earth’s rotation to the angular momentum The final total is the formula which, in this situation, expresses the The time of the angle is preserved. 0.3

p.1 — Raggio laser puntato verso osservatorio

p.2 — Attrazione gravitazionale e rigonfiamenti di marea

Topic: Rotational Dynamics, Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Momentum, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

2. Distanza finale e velocità angolare finale del sistema Terra-Luna. Si assuma che valgano sempre le equazioni della gravitazione universale e della meccanica newtoniana per un’orbita circolare, in particolare per l’orbita della Luna attorno alla Terra. Si trascuri il contributo della rotazione della Terra al momento angolare finale totale. 2a Ricava, nello stato finale, la formula del moto circolare della Luna attorno alla Terra dovuto alla forza di gravità. Esprimi il risultato in funzione di $M_E$, ${\omega }_2$, $G$ e della distanza finale Terra-Luna $D_2$. $M_E$ è la massa della Terra e $G$ la costante gravitazionale. 0.2 2b Ricava l’espressione della distanza, $D_2$, tra la Terra e la Luna alla fine del processo. Esprimi il risultato in funzione dei parametri noti $L_1$ (momento angolare totale), $M_E$ and $M_M$ (rispettivamente le masse della Terra e della Luna) e della costante di gravitazione $G$. 0.5 2c Ricava l’espressione della velocità angolare finale, ${\omega }_2$, della Terra e della Luna al termine del processo. Esprimi il risultato in funzione dei parametri noti $L_1$, $M_E$, $M_M$ e $G$. 0.5 Di seguito si domanda di calcolare i valori numerici di $D_2$ e ${\omega }_2$. Per fare ciò serve calcolare il momento d’inerzia della Terra. 2d Ricava la formula del momento d’inerzia, $I_E$, della Terra, supponendo che sia una sfera avente densità omogenea ${\rho }_i$ nei punti che vanno dalla distanza 0 fino ad una distanza $r_i$ dal centro e avente la densità omogenea ${\rho }_o$ per i punti con distanza dal centro compresa fra $r_i$ e $r_o$, il raggio della superficie terrestre (vedi la figura 3). 0.5

Si richiede di calcolare i valori numerici in tutto il problema sempre con due cifre significative. 2e Calcola il momento d’inerzia della terra, $I_E$, usando ${\rho }_i=1.3\times 10^4{\text{kg/m}}^3$, $r_i=3.5\times 10^6\text{m}$, ${\rho }_o=4.0\times 10^3{\text{kg/m}}^3$, e $r_o=6.4\times 10^6\text{m}$. 0.2 Le masse della Terra e della Luna sono, rispettivamente, $M_E=6.0\times 10^{24}\text{kg}$ ed $M_M=7.3\times 10^{22}\text{kg}$. La distanza Terra-Luna in questo momento di tempo è $D_1=3.8\times 10^8\text{m}$. La velocità di rotazione della Terra è, in questo momento, ${\omega }_{E1}=7.3\times 10^{-5}{\text{s}}^{-1}$. La velocità con cui la Luna ruota attualmente attorno alla Terra è ${\omega }_{M1}=2.7\times 10^{-6}{\text{s}}^{-1}$, la costante di gravitazione universale è $G=6.7\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$. 2f Calcola il valore numerico del momento angolare totale, $L_1$, del sistema. 0.2 2g Calcola il valore numerico della distanza finale, $D_2$, che separa Terra e Luna esprimendo il risultato sia in metri che in unità pari alla distanza attuale $D_1$. 0.3 2h Calcola il valore numerico della velocità angolare finale, ${\omega }_2$, esprimendo il risultato in ${\text{s}}^{-1}$ e calcola la durata del giorno usando la durata del giorno attuale come unità di misura. 0.3 Figura 3. La Terra è una sfera avente due densità ${\rho }_i$ and ${\rho }_o$. A questo punto si chiede di verificare che l’approssimazione fatta di trascurare la rotazione terrestre nel calcolo del momento angolare totale finale è accettabile. Per farlo si calcola il rapporto tra il momento angolare della Terra e quello della luna: dovrebbe risultarne una quantità piccola. 2i Calcola il valore numerico del rapporto tra i momenti angolari finali della Terra e della Luna. 0.2

p.4 — Terra sferica con densita r1 e r2

Topic: Rotational Dynamics, Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Momentum, Calculus-Integration, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Significant Figures Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

2. Final distance and final angular velocity of the Earth-Moon system. It is assumed that the equations of universal gravitation and Newtonian mechanics always hold for a circular orbit, in particular for the Moon’s orbit around Earth. The contribution of Earth’s rotation to the total final angular momentum is neglected.

2a Derive, in the final state, the formula for the circular motion of the Moon around Earth due to gravitational force. Express the result in terms of $M_E$, ${\omega }_2$, $G$ and the final Earth-Moon distance $D_2$. $M_E$ is the mass of Earth and $G$ the gravitational constant. 0.2

2b Derive the expression for the distance, $D_2$, between Earth and Moon at the end of the process. Express the result in terms of the known parameters $L_1$ (total angular momentum), $M_E$ and $M_M$ (respectively the masses of Earth and Moon) and the gravitational constant $G$. 0.5

2c Derive the expression for the final angular velocity, ${\omega }_2$, of Earth and Moon at the end of the process. Express the result in terms of the known parameters $L_1$, $M_E$, $M_M$ and $G$. 0.5

Below, numerical values of $D_2$ and ${\omega }_2$ are to be calculated. To do so, the moment of inertia of Earth must first be computed.

2d Derive the formula for the moment of inertia, $I_E$, of the Earth, assuming it is a sphere with uniform density ${\rho }_i$ for points at distances from the center ranging from 0 to $r_i$, and with uniform density ${\rho }_o$ for points at distances from the center between $r_i$ and $r_o$, which is the radius of the Earth’s surface (see Figure 3). 0.5

It is required to calculate all numerical values in the problem using two significant figures.

2e Calculate the moment of inertia of the Earth, $I_E$, using ${\rho }_i=1.3\times 10^4{\text{kg/m}}^3$, $r_i=3.5\times 10^6\text{m}$, ${\rho }_o=4.0\times 10^3{\text{kg/m}}^3$, and $r_o=6.4\times 10^6\text{m}$.

0.2 The masses of the Earth and Moon are, respectively, $M_E=6.0\times 10^{24}\text{kg}$ and $M_M=7.3\times 10^{22}\text{kg}$. The Earth-Moon distance at this instant is $D_1=3.8\times 10^8\text{m}$. The current rotational speed of the Earth is ${\omega }_{E1}=7.3\times 10^{-5}{\text{s}}^{-1}$. The current orbital speed of the Moon around the Earth is ${\omega }_{M1}=2.7\times 10^{-6}{\text{s}}^{-1}$, and the universal gravitational constant is $G=6.7\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$.

2f Calculate the numerical value of the total angular momentum, $L_1$, of the system.

0.2 2g Calculate the numerical value of the final distance, $D_2$, separating Earth and Moon, expressing the result both in meters and in units equal to the current distance $D_1$.

0.3 2h Calculate the numerical value of the final angular velocity, ${\omega }_2$, expressing the result in ${\text{s}}^{-1}$ and calculate the length of the day using the current length of the day as the unit of measurement.

0.3 Figure 3. The Earth is a sphere with two densities ${\rho }_i$ and ${\rho }_o$. At this point, it is required to verify that the approximation of neglecting Earth’s rotation in calculating the final total angular momentum is acceptable. To do so, compute the ratio between Earth’s and Moon’s angular momenta: it should result in a small quantity.

2i Calculate the numerical value of the ratio between the final angular momenta of Earth and Moon.

0.2

p.4 — Spherical Earth with densities r1 and r2

Solution: Soluzioni (PDF)

3. Quanto si allontana la Luna in un anno? Adesso si chiede di calcolare quanto la Luna si allontana dalla Terra in un anno. Per prima cosa è necessario ricavare una formula per calcolare il momento delle forze che agiscono in questo momento sulla Luna. A tale scopo si supponga che i due rigonfiamenti sulla Terra generati dai due massimi di marea si possano considerare come due punti materiali di massa m ciascuno situato sulla superficie della Terra (vedi la figura 4). Sia $\theta$ l’angolo tra la retta che congiunge i punti di massa m e la retta che congiunge i centri della Terra e della Luna. 3a Calcola $F_c$, il modulo della forza generata sulla Luna dalla massa puntiforme m ad essa più vicina procedendo algebricamente senza approssimazioni. 0.4 3b Calcola $F_f$, il modulo della forza generata sulla Luna dalla massa 0.4 Figura 4. Disegno schematico da utilizzare per calcolare il momento delle forze sulla Luna generato dalle due masse m sulla superficie terrestre. Il disegno non è in scala. puntiforme m da essa più lontana procedendo algebricamente senza approssimazioni. A questo punto si può calcolare il momento prodotto dalle due masse m per via algebrica e, per ora, senza fare approssimazioni. 3c Calcola il modulo di ${\tau }_c$, il momento prodotto dalla massa più vicina alla Luna. 0.4 3d Calcola il modulo di ${\tau }_f$, il momento prodotto dalla massa più lontana dalla Luna. 0.4 3e Calcola un’espressione algebrica per il modulo del momento risultante, $\tau$, prodotto dalle due masse. Poiché $r_o\ll D_1$, a questo punto si deve approssimare il risultato ottenuto al più piccolo ordine significativo $r_o/D_1$ utilizzando la formula $(1+x{)}^a\approx 1+ax$, valida se $x\ll 1$. 1.0 3f Calcola ora il valore numerico del modulo del momento risultante $\tau$, sapendo che $\theta =3$ ed $m=3.6\times 10^{16}\text{kg}$ (si noti che questa massa è circa $10^{-8}$ volte la massa della Terra). 0.5 Poiché il momento di una forza è la derivata del momento angolare rispetto al tempo, si richiede di calcolare l’aumento della distanza Terra-Luna in un anno, nel momento attuale del moto. Perciò è necessario esprimere il momento angolare della Luna nel momento attuale del moto in funzione solo di $M_M$, $M_E$, $D_1$ e $G$. 3g Trova di quanto aumenta la distanza Terra-Luna in un anno a partire dalla configurazione attuale del sistema. 1.0 Infine si procede a determinare di quanto aumenta la durata di un giorno in un anno a partire dallo stato attuale. 3h Trova di quanto diminuisce la velocità angolare della Terra, ${\omega }_{E1}$, in un anno e di quanto aumenta di conseguenza la durata di un giorno. 1.0

p.5 — Schema rotazione Terra e moto Luna

Topic: Rotational Dynamics, Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Approximation & Series Expansion, Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

3. How far does the Moon recede in one year? Now we are asked to calculate how much the Moon moves away from Earth in one year. First, it is necessary to derive a formula for calculating the torque due to the forces acting on the Moon at this moment. To this end, suppose that the two bulges on Earth generated by the two tidal maxima can be considered as two point masses of mass m each, located on Earth’s surface (see Figure 4). Let $\theta$ be the angle between the line connecting the two point masses m and the line joining the centers of Earth and Moon.

3a Calculate $F_c$, the magnitude of the force exerted on the Moon by the point mass m that is closer to it, proceeding algebraically without approximations. 0.4

3b Calculate $F_f$, the magnitude of the force exerted on the Moon by the point mass m that is farther from it, proceeding algebraically without approximations. 0.4

Figure 4. Schematic diagram to be used for calculating the torque on the Moon due to the two masses m located on Earth’s surface. The drawing is not to scale.

3c Calculate the magnitude of ${\tau }_c$, the torque produced by the mass closer to the Moon. 0.4

3d Calculate the magnitude of ${\tau }_f$, the torque produced by the mass farther from the Moon. 0.4

3e Derive an algebraic expression for the magnitude of the resultant torque, $\tau$, resulting from the two masses. Since $r_o\ll D_1$, at this point the result obtained must be approximated to the smallest significant order $r_o/D_1$ using formula $(1+x{)}^a\approx 1+ax$, valid if $x\ll 1$. 1.0 3f Now calculate the numerical value of the magnitude of the resultant torque $\tau$, knowing that $\theta =3$ and $m=3.6\times 10^{16}\text{kg}$ (note that this mass is approximately $10^{-8}$ times the mass of Earth). 0.5 Since the torque of a force is the time derivative of angular momentum, it is required to compute the increase in Earth-Moon distance over one year, at the current moment of motion. Therefore, it is necessary to express the Moon’s angular momentum at the present moment of motion as a function only of $M_M$, $M_E$, $D_1$ and $G$. 3g Determine by how much the Earth-Moon distance increases over one year, starting from the current configuration of the system. 1.0 Finally, proceed to determine by how much the length of a day increases over one year, starting from the current state. 3h Find by how much the Earth’s angular velocity ${\omega }_{E1}$ decreases over one year, and consequently by how much the length of a day increases. 1.0

p.5 — Earth rotation and Moon motion diagram

Solution: Soluzioni (PDF)

4. Dov’è l’energia meccanica che manca al bilancio? Mentre il momento angolare del sistema si conserva, l’energia meccanica totale (la somma dell’energia rotazionale e di quella gravitazionale) non resta costante. Si analizza questo aspetto del problema in questa sezione. 4a Ricava un’espressione per l’energia meccanica totale, E, (rotazionale e gravitazionale) del sistema Terra-Luna nel momento attuale del moto. Esprimi il risultato solo in funzione di $I_E$, ${\omega }_{E1}$, $M_M$, $M_E$, $D_1$ e $G$. 0.4 4b Ricava un’espressione per esprimere la variazione di energia $E$, $\Delta E$, in funzione delle variazioni di $D_1$ e di ${\omega }_{E1}$. Calcola il valore numerico di $\Delta E$ in un anno, adoperando le variazioni di $D_1$ e di ${\omega }_{E1}$ calcolate nei punti 3g e 3h. 0.4 La prossima parte del problema consente di verificare che la diminuzione di energia meccanica è consistente con una stima dell’energia dissipata in calore nelle maree che la Luna produce sulla Terra. In questa stima si assume che l’aumento medio del livello marino per effetto della marea sia 0.5 m, cioè che uno strato d’acqua di $h=0.5\text{m}$ copra tutta la superficie della Terra (per semplicità si suppone che tutta la superficie della terra sia ricoperta d’acqua). Inoltre questo accade due volte al giorno. Si suppone, anche, che il 10% dell’energia gravitazionale venga dissipato come calore generato per viscosità quando la marea decresce. La densità dell’acqua è ${\rho }_{water}=10^3{\text{kg/m}}^3$, e l’accelerazione di gravità sulla superficie della Terra è $g=9.8{\text{m/s}}^2$. 4c Quanto vale la massa di questo strato superficiale di acqua? 0.2 4d Calcola quanta energia viene dissipata in un anno. Confronta questo valore con l’energia meccanica persa in un anno dal sistema Terra-Luna mel momento di moto attuale. 0.3

Topic: Conservation of Energy, Rotational Dynamics, Gravitation Metodi: Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

4. Where is the missing mechanical energy in the balance?

While the angular momentum of the system is conserved, the total mechanical energy (the sum of rotational and gravitational energy) does not remain constant. This aspect of the problem is analyzed in this section.

4a Derive an expression for the total mechanical energy, E (rotational and gravitational), of the Earth-Moon system at the current moment in time. Express the result solely in terms of $I_E$, ${\omega }_{E1}$, $M_M$, $M_E$, $D_1$, and $G$. 0.4

4b Derive an expression for the change in energy $E$, $\Delta E$, as a function of the changes in $D_1$ and ${\omega }_{E1}$. Calculate the numerical value of $\Delta E$ over one year, using the changes in $D_1$ and ${\omega }_{E1}$ computed in parts 3g and 3h. 0.4

The next part of the problem allows verifying that the decrease in mechanical energy is consistent with an estimate of the energy dissipated as heat by tides generated by the Moon on Earth. In this estimation, it is assumed that the average increase in sea level due to tides is 0.5 m, meaning a water layer of thickness $h=0.5\text{m}$ covers the entire surface of Earth (for simplicity, it is assumed that the whole Earth’s surface is covered by water). Moreover, this occurs twice per day. It is also assumed that 10% of the gravitational energy is dissipated as heat due to viscosity during tidal recession. The density of water is ${\rho }_{water}=10^3{\text{kg/m}}^3$, and the acceleration due to gravity at Earth’s surface is $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

4c What is the mass of this surface layer of water? 0.2 4d

Calculate how much energy is dissipated in one year. Compare this value with the mechanical energy lost by the Earth-Moon system in one year due to the current angular momentum. 0.3

Solution: Soluzioni (PDF)