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0 v 0 r F-1 m 36th Olimpiade Internazionale di Fisica. Salamanca (Spagna) 2005 Problema Teorico n. 1 - UN SATELLITE DESTINATO A FINIR MALE Le manovre eseguite più frequentemente su una navicella in orbita consistono nel far variare la velocità lungo la direzione di volo, cioè nel produrre accelerazioni per raggiungere orbite più alte o frenate per iniziare il rientro nell’atmosfera. In questo problema studieremo invece le variazioni d’orbita quando la spinta del motore è applicata in direzione radiale. Per i calcoli numerici usare i seguenti dati: raggio terrestre , accelerazione di gravità sulla superficie terrestre . Assumere, inoltre, che la durata di un giorno siderale sia . Consideriamo un satellite geostazionario1 per telecomunicazioni, di massa m, posto in orbita equatoriale circolare di raggio . Questi satelliti sono dotati di un “motore d’apogeo”, che dovrebbe produrre la spinta tangenziale necessaria per raggiungere l’orbita finale. Parte 1 1.1 Calcolare il valore numerico di . 1.2 Scrivere prima l’espressione analitica della velocità del satellite espressa in funzione di g, e , successivamente calcolare il suo valore numerico. 1.3 Ricavare, in funzione di , m, g e , le espressioni del momento angolare e dell’energia meccanica . Una volta raggiunta l’orbita circolare geostazionaria (vedi Figura F-1), con il satellite stabilizzato nella posizione voluta, pronto a svolgere la propria funzione, un errore dei controllori a terra fa sì che il motore d’apogeo si accenda nuovamente. La spinta che viene data è diretta verso la Terra e nonostante la pronta reazione dei controllori a terra per spegnere subito il motore, una variazione di velocità , non voluta, viene impressa al satellite. Caratterizziamo questa spinta con il parametro . La durata dell’accensione del motore è trascurabile rispetto a qualunque tempo caratteristico del moto, cosicché può essere considerata come istantanea. Parte 2 Supporre che sia . 2.1 Determinare, in funzione di e , i parametri della nuova orbita2: il semilato retto e l’eccentricità . 2.2 Calcolare l’angolo tra l’asse maggiore della nuova orbita ed il vettore posizione del punto in cui è avvenuta per errore l’accensione del motore. 2.3 Fornire, in funzione di e , un’espressione analitica delle distanze di perigeo e di apogeo dal centro della Terra, quindi calcolarne i valori numerici per . 2.4 Determinare il periodo della nuova orbita, T, in funzione di e quindi calcolarne il valore numerico per . 1 Il suo periodo di rivoluzione è . 2 Vedere il “suggerimento”. Th 1- Pagina 1 di 4 R.S.E.F. Image: ESA
36th Olimpiade Internazionale di Fisica. Salamanca (Spagna) 2005 Parte 3 3.1 Calcolare il valore minimo di (indicato con ) necessario perché il satellite sfugga all’attrazione gravitazionale terrestre. 3.2 Determinare in tale condizione, in funzione di , la minima distanza, , del satellite dal centro della Terra lungo la nuova traiettoria. Parte 4 Supporre ora . 4.1 Determinare, in funzione di e , la velocità, , del satellite quando si trova a distanza infinita. 4.2 Ricavare, in funzione di e , il “parametro d’impatto” b della direzione asintotica di fuga. (Vedere Figura F-2). 4.3 Determinare l’angolo della direzione asintotica di fuga in funzione di ; quindi calcolarne il valore numerico per . SUGGERIMENTO Per effetto di una forza centrale inversamente proporzionale al quadrato della distanza, i corpi descrivono traiettorie rappresentate da ellissi, parabole, iperboli. Nell’approssimazione m << M la massa M si trova in uno dei due fuochi. Assumendo come origine delle coordinate questo fuoco, l’equazione polare generale di queste curve può essere scritta come (vedere Figura F-3)
dove l è una costante positiva chiamata semilato retto e è l’eccentricità della curva. In funzione delle costanti del moto: e dove G è la costante di gravitazione universale, L è il modulo del momento angolare (o momento della quantità di moto) della massa orbitante rispetto all’origine delle coordinate ed E è la sua energia meccanica, avendo assunto che l’energia potenziale valga zero a distanza infinita. Si possono avere i seguenti casi: i) Se , la curva è un’ellisse (in particolare una circonferenza per ). ii) Se , la curva è una parabola. iii) Se , la curva è un’iperbole. Th 1- Pagina 2 di 4 R.S.E.F. m M
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36th Olimpiade Internazionale di Fisica. Salamanca (Spagna) 2005 CODICE DEL PAESE CODICE DELLO STUDENTE NUMERO DI PAGINA NUMERO TOTALE DI PAGINE Problema Teorico n. 1 - FOGLIO RISPOSTE Domanda Formule e idee fondamentali utilizzate Risultati in forma analitica Risultati numerici Punti 1.1 0.3 1.2 0.4 1.3 0.4 0.4 2.1 0.4 0.5 2.2 1.0 2.3 1.2 2.4 0.7 3.1 0.5 3.2 1.0 4.1 1.0 4.2 1.0 4.3 1.2 Th 1- Pagina 3 di 4 R.S.E.F.
36th Olimpiade Internazionale di Fisica. Salamanca (Spagna) 2005 Th 1- Pagina 4 di 4 R.S.E.F.
p.1 — Orbita del satellite attorno alla Terra
p.1 — Geometria orbita con velocita v0 e r0
p.2 — Variazione di velocita in direzione gravitazionale
p.2 — Suggerimento: orbita ellittica con fuoco
Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation Laws, Conservation of Energy, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.1
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36th International Physics Olympiad. Salamanca (Spain) 2005 Theoretical Problem No. 1 – A SATELLITE DESTINED TO END BADLY
The most frequently performed maneuvers on a spacecraft in orbit consist of changing the velocity along the direction of flight, i.e., applying accelerations to reach higher orbits or to brake and initiate atmospheric re-entry. In this problem, however, we will study orbital changes when the engine thrust is applied in a radial direction.
For numerical calculations, use the following data: Earth’s radius , gravitational acceleration at Earth’s surface . Additionally, assume that the duration of a sidereal day is .
Consider a geostationary1 communication satellite of mass m, located in a circular equatorial orbit of radius . These satellites are equipped with an “apogee motor,” which should produce the tangential thrust necessary to reach the final orbit.
Part 1
1.1 Calculate the numerical value of .
1.2 First write the analytical expression for the satellite’s velocity in terms of g, and ; then compute its numerical value.
1.3 Derive, in terms of , m, g, and , the expressions for angular momentum and mechanical energy . After reaching the geostationary circular orbit (see Figure F-1), with the satellite stabilized at the desired position and ready to perform its function, a ground controller error causes the apogee motor to reignite. The thrust applied is directed toward Earth, and despite the prompt corrective action by ground controllers to immediately shut off the motor, an unintended change in velocity is imparted to the satellite.
We characterize this thrust by the parameter . The duration of motor ignition is negligible compared to any characteristic timescale of the motion, so it may be considered instantaneous.
Part 2 Assume that .
2.1 Determine, in terms of and , the parameters of the new orbit: the semi-latus rectum and the eccentricity .
2.2 Calculate the angle between the major axis of the new orbit and the position vector at the point where the motor ignition occurred by mistake.
2.3 Provide, in terms of and , analytical expressions for the distances to perigee and apogee from Earth’s center, then compute their numerical values for .
2.4 Determine the period of the new orbit, T, in terms of and then compute its numerical value for .
1 Its orbital period is . 2 See the “hint”.
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36th International Physics Olympiad. Salamanca (Spain) 2005 Part 3 3.1 Calculate the minimum value of (denoted by ) required for the satellite to escape the Earth’s gravitational attraction. 3.2 Determine under this condition, as a function of , the minimum distance, , of the satellite from the center of the Earth along the new trajectory. Part 4 Assume now . 4.1 Determine, as a function of and , the velocity, , of the satellite when it is at infinite distance. 4.2 Derive, as a function of and , the “impact parameter” b of the asymptotic escape direction. (See Figure F-2). 4.3 Determine the angle of the asymptotic escape direction as a function of ; then calculate its numerical value for . HINT Due to a central force inversely proportional to the square of the distance, bodies describe trajectories represented by ellipses, parabolas, hyperbolas. In the approximation m << M the mass M is located at one of the two foci. Assuming this focus as the origin of coordinates , the general polar equation of these curves can be written as (see Figure F-3)
where l is a positive constant called the semi-latus rectum and e is the eccentricity of the curve. In terms of the constants of motion: and where G is the universal gravitational constant, L is the magnitude of the angular momentum (or moment of momentum) of the orbiting mass with respect to the origin of coordinates, and E is its mechanical energy, assuming that the potential energy vanishes at infinite distance.
The following cases may occur: i) If , the curve is an ellipse (in particular a circle for ). ii) If , the curve is a parabola. iii) If , the curve is a hyperbola.
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36th International Physics Olympiad. Salamanca (Spain) 2005 COUNTRY CODE STUDENT CODE PAGE NUMBER TOTAL PAGES Theoretical Problem No. 1 - ANSWER SHEET Question Fundamental formulas and ideas used Analytical results Numerical results Points 1.1 0.3 1.2 0.4 1.3 0.4 0.4 2.1 0.4 0.5 2.2 1.0 2.3 1.2 2.4 0.7 3.1 0.5 3.2 1.0 4.1 1.0 4.2 1.0 4.3 1.2
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36th International Physics Olympiad. Salamanca (Spain) 2005
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p.1 — Satellite orbit around Earth
p.1 — Orbit geometry with velocity v₀ and distance r₀
p.2 — Velocity change in the gravitational direction
p.2 — Hint: elliptical orbit with focus