OII na Teorica

1. (1.5) Calcolare, secondo la fisica classica, l’intervallo delle velocità verticali $v_z(z)$ dei neutroni che, entrati ad altezza $z$, possono arrivare al rilevatore D. Assumere che $L$ sia molto maggiore di ogni altra lunghezza presente nel problema.

p.1 — Schema apparato cavita neutroni specchio assorbitore rivelatore

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.1

1. (1.5) Calcolare, secondo la fisica classica, l’intervallo delle velocità verticali $v_z(z)$ dei neutroni che, entrati ad The height $z$ can reach detector D. Assume that $L$ is much larger than any other length The Commission has already taken a number of measures.

p.1 — Schema apparato cavita neutroni specchio assorbitore rivelatore

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2. (1.5) Calcolare, secondo la fisica classica, la minima lunghezza $L_c$ della cavità per cui tutti i neutroni con velocità verticale al di fuori del precedente intervallo, indipendentemente dal valore di $z$, siano assorbiti da A. Utilizzare $v_x=10{\text{m s}}^{-1}$ e $H=50\mu \text{m}$. Il tasso di trasmissione dei neutroni $N(H)$ viene misurato in D. Ci si aspetta che esso aumenti in maniera sempre crescente con $H$.

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2. (1.5) Calculate, according to classical physics, the minimum length $L_c$ of the cavity for which all neutrons with Vertical speeds outside the previous range, irrespective of the value of $z$, are absorbed by A. Use $v_x=10{\text{m s}}^{-1}$ and $H=50\mu \text{m}$. The neutron transmission rate $N(H)$ is measured in D. It is expected to increase steadily crescente con $H$.

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3. (2.5) Calcolare, secondo la fisica classica, il tasso $N_c(H)$ assumendo che i neutroni entrino nella cavità con velocità verticale $v_z$ ad un’altezza $z$, nell’ipotesi che tutti i valori di $v_z$ e $z$ siano ugualmente probabili.

Esprimere la risposta in funzione di $\rho$ che è il numero costante di neutroni che, per unità di tempo, per unità di velocità verticale, per unità d’altezza, entrano nella cavità con velocità verticale $v_z$ e ad un’altezza $z$. I risultati sperimentali ottenuti dal gruppo di Grenoble sono in disaccordo con le precedenti previsioni della fisica classica, evidenziando invece che il valore di $N(H)$ mostra ripidi aumenti quando $H$ attraversa alcuni valori critici di altezza $H_1$, $H_2$ $\dots$ (La Figura F-2 ne mostra schematicamente l’andamento). In altre parole, l’esperimento ha mostrato che il moto verticale dei neutroni che rimbalzano sullo specchio è quantizzato. Nel linguaggio di Bohr e Sommerfeld usato per ricavare i livelli energetici dell’atomo di idrogeno, ciò può essere descritto come segue: “L’azione $S$ di questi neutroni lungo la direzione verticale è un multiplo intero della costante di azione di Planck, $h$”. Qui $S$ è definito dall’integrale $S=\int p_z(z)dz=nh,n=1,2,3\dots$ (regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld) dove $p_z$ è la componente verticale della quantità di moto classica e l’integrale è esteso nell’intero ciclo del moto. Solamente i neutroni con questi valori di $S$ possono attraversare la cavità.

p.2 — Grafico tasso trasmissione N(H) in funzione di H

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Kinematic Equations, Statistical Averaging, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.1

3. (2.5) Calculate, according to classical physics, the rate $N_c(H)$ assuming that the neutrons enter the cavity with The vertical speed $v_z$ at a height $z$, assuming that all the values of $v_z$ and $z$ are equally likely.

Express the response as a function of $\rho$ which is the constant number of neutrons that, per unit of time, per unit of time The maximum height of the cavity is the maximum height of the cavity at the vertical speed $v_z$ and at the height $z$. The experimental results obtained by the Grenoble group are: In disagreement with previous predictions of classical physics, whereas the value of $N(H)$ shows sharp increases When $H$ crosses some critical height values $H_1$, $H_2$ $\dots$ (The Figure F-2 shows the trend schematically). Other In other words, the experiment showed that the vertical motion of the neutrons The rebound on the mirror is quantified. In the language of Bohr and Sommerfeld used to obtain energy levels The hydrogen atom, this can be described as follows: “L’azione $S$ di questi neutroni lungo la direzione verticale è un multiplo intero della costante di azione di Planck, $h$”. Here $S$ is defined by the integral $S=\int p_z(z)dz=nh,n=1,2,3\dots$ (Bohr-Sommerfeld quantization rule) where $p_z$ is the vertical component of the classical engine quantity and the integral is extended throughout the engine cycle. Just neutrons with these values of $S$ can pass through the cavity.

p.2 — Grafico tasso trasmissione N(H) in funzione di H

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4. (2.5) Calcolare le altezze di inversione $H_n$ e i livelli energetici $E_n$ (associati al moto verticale) utilizzando la regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld. Esprimere il risultato numerico per $H_1$ in m e per $E_1$ in eV. La distribuzione uniforme iniziale $\rho$ dei neutroni all’ingresso cambia, durante l’attraversamento della lunga cavità, in una distribuzione a forma di gradino rivelata in D (vedi Figura F-2). D’ora in poi, si consideri per semplicità il caso di una lunga cavità con una lunghezza $H<H_2$. Secondo la fisica classica, tutti i neutroni con energia nell’intervallo considerato nella domanda 1 possono attraversarla; mentre secondo la fisica quantistica ciò è possibile solamente per i neutroni che si trovano nel livello energetico $E_1$. Secondo il principio d’indeterminazione di Heisenberg espresso in termini di energia e tempo, questa ridistribuzione ha bisogno di un tempo minimo di moto. L’indeterminazione dell’energia relativa al moto verticale sarà significativa se la lunghezza della cavità è piccola. Questo fenomeno darà origine ad un allargamento dei livelli energetici.

Topic: Modern-Quantum Physics, Gravitation Metodi: Bohr Model & Quantization, Calculus-Integration, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

4. (2.5) Calculate the inversion heights $H_n$ and the energy levels $E_n$ (associated with vertical motion) using the following formula: The quantum-scale method is the Bohr-Sommerfeld quantum-scale method. Express the numerical result for $H_1$ in m and for $E_1$ in eV. La distribuzione uniforme iniziale $\rho$ dei neutroni all’ingresso cambia, durante l’attraversamento della lunga cavità, in a step-shaped distribution revealed in D (see Figure F-2). From now on, the case of a long cavity with a length $H<H_2$. According to classical physics, all neutrons with energy in the range The first question is whether the quantum physics is possible. neutron in the energy level $E_1$. The Heisenberg principle of determination, expressed in terms of the energy and time, this redistribution needs a minimum of motor time. The determination of the relative energy the vertical motion will be significant if the length of the cavity is small. This will lead to an expansion of the Community’s energy levels.

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5. (2.0) Stimare il tempo minimo di moto $t_q$ e la minima lunghezza $L_q$ della cavità necessari per osservare il primo rapido aumento nel numero dei neutroni in D. Utilizzare $v_x=10{\text{m s}}^{-1}$. Dati: Costante di azione di Planck — $h=6.63\cdot 10^{-34}\text{J s}$ Velocità della luce nel vuoto — $c=3.00\cdot 10^8{\text{m s}}^{-1}$ Carica elementare — $e=1.60\cdot 10^{-19}\text{C}$ Massa del neutrone — $M=1.67\cdot 10^{-27}\text{kg}$ Accelerazione di gravità sulla Terra — $g=9.81{\text{m s}}^{-2}$

Se necessario, usare l’espressione: $\int (1-x{)}^{1/2}dx=-\frac{2(1-x{)}^{3/2}}{3}$

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5. The minimum motion time $t_q$ and the minimum cavity length $L_q$ required to observe the The first rapid increase in the number of neutrons in D. Use $v_x=10{\text{m s}}^{-1}$. The following data: Costante di azione di Planck — $h=6.63\cdot 10^{-34}\text{J s}$ The speed of light in vacuum $c=3.00\cdot 10^8{\text{m s}}^{-1}$ Carica elementare — $e=1.60\cdot 10^{-19}\text{C}$ The mass of the neutron $M=1.67\cdot 10^{-27}\text{kg}$ The acceleration of gravity on Earth $g=9.81{\text{m s}}^{-2}$

If necessary, use the following expression: $\int (1-x{)}^{1/2}dx=-\frac{2(1-x{)}^{3/2}}{3}$

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