Argentina 1999

Un cuerpo que puede oscilar libremente alrededor de un eje de suspensión, bajo la acción de su propio peso, constituye un péndulo físico. Si el cuerpo tiene masa $M$ y la aceleración de la gravedad en el lugar en que se encuentra es $g$ , se demuestra que el período de oscilación, para pequeños apartamientos de la posición de equilibrio está dado por

$T = 2 π \frac{I}{M g d} (1)$

donde $I$ es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de suspensión, y $d$ es la distancia del eje al centro de masa del cuerpo. Un ejemplo simple está dado por una varilla homogénea de longitud $l$ , suspendida por uno de sus extremos, tal como muestra la figura 1.

EJE DE OSCILACION

$l$

Figura 1

Si las dimensiones transversales de la varilla son pequeñas respecto de $l$ , el momento de inercia respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por uno de sus extremos es:

$I = \frac{M l ^{2}}{3}$

Pregunta 1: Para una varilla de cobre de $55 cm$ de longitud, cuya masa $M = 500 g$ , ¿cuál es el período de oscilación si la gravedad en el lugar es $g = 9.79 m/s^{2}$ ?

Hoy sabemos que los primeros relojes de precisión se construyeron basándose en la regularidad del período de un péndulo que está en la práctica constituido por un cuerpo metálico, y para el cual el período está dado por la ecuación (1). Cuando se requiere gran estabilidad en el período de oscilación, ante cambios en las condiciones exteriores, es necesario tener en cuenta que las dimensiones de un cuerpo se alteran al variar la temperatura ambiente, de acuerdo con la ley de dilatación lineal para un cuerpo homogéneo:

$Δ l = α l Δ t$

donde $l$ es la longitud inicial, $Δ l$ su variación ante un cambio $Δ t$ en la temperatura y $α$ es el coeficiente de dilatación lineal.

Pregunta 2 Si el valor del período calculado anteriormente corresponde a una temperatura ambiente de $20^{\circ} C$ , ¿cuál es el nuevo período del péndulo si la temperatura ambiente subió hasta los $30^{\circ} C$ y el coeficiente de dilatación lineal del cobre es $α = 0.0000165^{\circ} C^{- 1}$ ?

Pregunta 3 ¿Cuál es el cambio en el número de períodos en un lapso de $24$ horas, ante este cambio temperatura?

El problema que implica la dilatación térmica para la estabilidad del período del péndulo puede mejorarse, mediante un diseño que hace uso de este mismo efecto para compensarlo. Consideremos como ejemplo el péndulo físico de la figura 2, el que está constituido por dos varillas de distinto material unidos por sus extremos, con el eje de suspensión pasando por la unión de las dos varillas, en forma perpendicular a esta. Por simplicidad suponemos que las dos varillas tienen igual masa $M$ , sus longitudes a $20^{\circ} C$ son $l_{1}$ y $l_{2}$ y $α_{1}$ y $α_{2}$ son sus coeficientes de dilatación lineal. Las dimensiones transversales de ambas varillas son pequeñas con respecto a sus longitudes.

$l_{2}$

EJE DE OSCILACION

$l_{1}$

Figura 2

Pregunta 4 Muestre que la expresión del período de oscilación de este péndulo para $l_{1} > l_{2}$ está dada por

$T = 2 π k \frac{( l _{1}^{2} + l _{2}^{2} )}{g ( l _{1} - l _{2} )}$

y encuentre el valor numérico de la constante $k$ Ayuda: el momento de inercia de un cuerpo respecto de un cierto eje es la suma de los momentos de inercia de cada una de las partes del cuerpo, respecto de ese mismo eje.

Pregunta 5 ¿Cuál es la dependencia con la temperatura, del período calculado en el punto anterior, en la aproximación lineal en $Δ t = (t - 20^{\circ} C)$ ?. Para esto tenga en cuenta que $α_{1} Δ t ≪ 1$ y $α_{2} Δ t ≪ 1$ ( $≪$ significa mucho menor).

Ayuda: Si $x ≪ 1$ entonces se verifica aproximadamente que para cualquier $r$ entero

$(1 + x)^{r} \approx 1 + r x$

Pregunta 6 Para el caso que $l_{1} = 2 l_{2}$ , ¿cuál es la condición que se debe cumplir entre $α_{1}$ y $α_{2}$ para que el período $T$ no dependa de $Δ t$ en la aproximación lineal?

Topic: Oscillations & Waves, Rotational Dynamics, Thermodynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.2

Un corpo che può oscillare liberamente attorno a un asse di sospensione, sotto l’azione del proprio peso, costituisce un pendolo fisico. Se il corpo ha massa $M$ e l’accelerazione di gravità nel luogo in cui si trova è $g$ , si dimostra che il periodo di oscillazione, per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio, è dato da

$T = 2 π \frac{I}{M g d} (1)$

dove $I$ è il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di sospensione, e $d$ è la distanza dell’asse dal centro di massa del corpo. Un esempio semplice è dato da una bacchetta omogenea di lunghezza $l$ , sospesa per una delle sue estremità, come mostra la figura 1.

ASSE DI OSCILLAZIONE

$l$

Figura 1

Se le dimensioni trasversali della bacchetta sono piccole rispetto a $l$ , il momento d’inerzia rispetto a un asse perpendicolare alla bacchetta e passante per una delle sue estremità è:

$I = \frac{M l ^{2}}{3}$

Domanda 1: Per una bacchetta di rame di $55 cm$ di lunghezza, la cui massa è $M = 500 g$ , qual è il periodo di oscillazione se la gravità nel luogo è $g = 9.79 m/s^{2}$ ?

Oggi sappiamo che i primi orologi di precisione furono costruiti basandosi sulla regolarità del periodo di un pendolo che in pratica è costituito da un corpo metallico, e per il quale il periodo è dato dall’equazione (1). Quando si richiede grande stabilità nel periodo di oscillazione, di fronte a cambiamenti delle condizioni esterne, è necessario tenere conto che le dimensioni di un corpo si alterano al variare della temperatura ambiente, secondo la legge di dilatazione lineare per un corpo omogeneo:

$Δ l = α l Δ t$

dove $l$ è la lunghezza iniziale, $Δ l$ la sua variazione di fronte a un cambiamento $Δ t$ della temperatura e $α$ è il coefficiente di dilatazione lineare.

Domanda 2 Se il valore del periodo calcolato precedentemente corrisponde a una temperatura ambiente di $20^{\circ} C$ , qual è il nuovo periodo del pendolo se la temperatura ambiente è salita fino a $30^{\circ} C$ e il coefficiente di dilatazione lineare del rame è $α = 0.0000165^{\circ} C^{- 1}$ ?

Domanda 3 Qual è la variazione del numero di periodi in un intervallo di $24$ ore, di fronte a questo cambiamento di temperatura?

Il problema che implica la dilatazione termica per la stabilità del periodo del pendolo può essere migliorato, mediante un progetto che fa uso di questo stesso effetto per compensarlo. Consideriamo come esempio il pendolo fisico della figura 2, il quale è costituito da due aste di materiale diverso unite per i loro estremi, con l’asse di sospensione passante per l’unione delle due aste, in modo perpendicolare a questa. Per semplicità supponiamo che le due aste abbiano uguale massa $M$ , le loro lunghezze a $20^{\circ} C$ siano $l_{1}$ e $l_{2}$ e $α_{1}$ e $α_{2}$ siano i loro coefficienti di dilatazione lineare. Le dimensioni trasversali di entrambe le aste sono piccole rispetto alle loro lunghezze.

$l_{2}$

ASSE DI OSCILLAZIONE

$l_{1}$

Figura 2

Domanda 4 Mostrare che l’espressione del periodo di oscillazione di questo pendolo per $l_{1} > l_{2}$ è data da

$T = 2 π k \frac{( l _{1}^{2} + l _{2}^{2} )}{g ( l _{1} - l _{2} )}$

e trovare il valore numerico della costante $k$ Aiuto: il momento d’inerzia di un corpo rispetto a un certo asse è la somma dei momenti d’inerzia di ciascuna delle parti del corpo, rispetto a quello stesso asse.

Domanda 5 Qual è la dipendenza dalla temperatura del periodo calcolato nel punto precedente, nell’approssimazione lineare in $Δ t = (t - 20^{\circ} C)$ ?. Per questo si tenga conto che $α_{1} Δ t ≪ 1$ e $α_{2} Δ t ≪ 1$ ( $≪$ significa molto minore).

Aiuto: Se $x ≪ 1$ allora si verifica approssimativamente che per qualsiasi $r$ intero

$(1 + x)^{r} \approx 1 + r x$

Quesito 6 Per il caso in cui $l_{1} = 2 l_{2}$ , qual è la condizione che deve essere soddisfatta tra $α_{1}$ e $α_{2}$ affinché il periodo $T$ non dipenda da $Δ t$ nell’approssimazione lineare?

A body that can oscillate freely around a suspension axis, under the action of its own weight, constitutes a physical pendulum. If the body has mass $M$ and the acceleration due to gravity at the place where it is located is $g$ , it is shown that the period of oscillation, for small displacements from the equilibrium position, is given by

$T = 2 π \frac{I}{M g d} (1)$

where $I$ is the moment of inertia of the body with respect to the suspension axis, and $d$ is the distance from the axis to the center of mass of the body. A simple example is given by a homogeneous rod of length $l$ , suspended by one of its ends, as shown in figure 1.

OSCILLATION AXIS

$l$

Figure 1

If the transverse dimensions of the rod are small compared to $l$ , the moment of inertia with respect to an axis perpendicular to the rod and passing through one of its ends is:

$I = \frac{M l ^{2}}{3}$

Question 1: For a copper rod of length $55 cm$ , whose mass is $M = 500 g$ , what is the period of oscillation if gravity at the location is $g = 9.79 m/s^{2}$ ?

Today we know that the first precision clocks were built based on the regularity of the period of a pendulum that is in practice constituted by a metallic body, and for which the period is given by equation (1). When great stability in the oscillation period is required, in the face of changes in external conditions, it is necessary to take into account that the dimensions of a body change when the ambient temperature varies, in accordance with the law of linear expansion for a homogeneous body:

$Δ l = α l Δ t$

where $l$ is the initial length, $Δ l$ its variation upon a change $Δ t$ in temperature, and $α$ is the coefficient of linear expansion.

Question 2 If the value of the period calculated previously corresponds to an ambient temperature of $20^{\circ} C$ , what is the new period of the pendulum if the ambient temperature rose to $30^{\circ} C$ and the coefficient of linear expansion of copper is $α = 0.0000165^{\circ} C^{- 1}$ ?

Question 3 What is the change in the number of periods over a span of $24$ hours, given this temperature change?

The problem involving thermal expansion for the stability of the pendulum period can be improved by means of a design that makes use of this same effect to compensate for it. Let us consider as an example the physical pendulum in figure 2, which consists of two rods of different material joined at their ends, with the suspension axis passing through the junction of the two rods, perpendicular to it. For simplicity we assume that the two rods have equal mass $M$ , their lengths a $20^{\circ} C$ are $l_{1}$ and $l_{2}$ and $α_{1}$ and $α_{2}$ are their coefficients of linear expansion. The transverse dimensions of both rods are small compared with their lengths.

$l_{2}$

AXIS OF OSCILLATION

$l_{1}$

Figure 2

Question 4 Show that the expression for the oscillation period of this pendulum for $l_{1} > l_{2}$ is given by

$T = 2 π k \frac{( l _{1}^{2} + l _{2}^{2} )}{g ( l _{1} - l _{2} )}$

and find the numerical value of the constant $k$ Hint: the moment of inertia of a body about a certain axis is the sum of the moments of inertia of each of the parts of the body about that same axis.

Question 5 What is the dependence on temperature of the period calculated in the previous point, in the linear approximation in $Δ t = (t - 20^{\circ} C)$ ? For this, take into account that $α_{1} Δ t ≪ 1$ and $α_{2} Δ t ≪ 1$ ( $≪$ means much less).

Hint: If $x ≪ 1$ then it is approximately true that for any integer $r$

$(1 + x)^{r} \approx 1 + r x$

Question 6 For the case where $l_{1} = 2 l_{2}$ , what is the condition that must be satisfied between $α_{1}$ and $α_{2}$ so that the period $T$ does not depend on $Δ t$ in the linear approximation?

Una tradicional familia inglesa ha decidido reciclar su castillo del siglo XII contratando a tal fin a un afamado estudio de arquitectos. El principal inconveniente que enfrentan los encargados de la obra es la automatización del puente levadizo que permite el acceso al castillo sobre un foso con cocodrilos. Debido al deterioro que presenta es necesario reemplazar las cadenas que sirven para izarlo e incorporar un motor eléctrico para levantar o bajar el puente levadizo. Los arquitectos eligieron unas hermosas cadenas doradas y agregaron un motor cuyo color de carcaza estaba a tono con las cadenas; sin embargo en su primer intento quemaron el motor y luego las cadenas se rompieron.

Para solucionar este problema el estudio de arquitectos decide encarar el problema de una manera más científica y decide subcontratarlo a usted con el propósito que les realice todos los cálculos necesarios para realizar la elección de la cadena y el dispositivo de motor más conveniente. A tal fin ellos le efectúan una serie de preguntas que usted debe responder:

a) El puente levadizo está construido con madera maciza, siendo sus dimensiones $5 m$ de largo, $2 m$ de ancho y $20 cm$ de espesor (la densidad de la madera es $1.2 gr/cm^{3}$ ). El puente puede rotar alrededor un eje que se apoya en la base de la entrada al castillo, y a cada lado del otro extremo están sujetas sendas cadenas que permiten izarlo y ponerlo en posición vertical u horizontal. Suponiendo que el puente debe izarse muy lentamente:

a1) ¿cuál es la fuerza que deben ser capaces de soportar las cadenas en función del ángulo de inclinación del puente?

a2) ¿cuál es la máxima tensión que soportarán las cadenas?

a3) Grafique aproximadamente la expresión obtenida en el punto a1).

b) El sistema de elevación del puente está constituido por un cilindro (A) de $5 cm$ de radio, en el cual se enrollan las cadenas, y tiene adosado una polea (B) de $40 cm$ de radio. La transmisión se realiza por medio de esta polea y otra en el motor (C) unidas a través de una correa inextensible y que no desliza sobre las poleas (B) o (C)

Si la máxima cupla (o torque) que puede aportar el motor sin quemarse es de $60 N m$

¿cuál es el máximo radio que puede tener la polea (C) adosada al motor de manera tal que no se supere la cupla máxima?

c) Todo el sistema está montado utilizando un motor alimentado por una fuente de corriente continua, con una diferencia de potencial de $220 V$ ; se observa que al elevar el puente la corriente suministrada al motor, en función del tiempo, tiene la forma observada en la figura.

c1) ¿cuál es la potencia máxima suministrada al motor?

c2) ¿cuál es el consumo total de energía eléctrica para elevar el puente desde su posición horizontal hasta que esté vertical?

c3) ¿cuánto es la energía perdida, de la energía suministrada de acuerdo con el punto anterior, cada vez que se eleva el puente? NOTA: CONSIDERE DESPRECIABLE LA ENERGÍA CINÉTICA DEL PUENTE EN TODO MOMENTO

Corriente [A] tiempo [s]

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy, Circuits Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Beam, String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.5

Una famiglia inglese tradizionale ha deciso di riciclare il suo castello del XII secolo controllando Un’impresa di architetti di fama. Il principale inconveniente che i cittadini devono affrontare è quello di La funzione di gestione del ponte è di automatizzare l’accesso al ponte di levamento. Castello su una fossa di coccodrilli. A causa del deterioramento che presenta è necessario sostituire le catene che lo fanno salire e incorporare un motore elettrico per alzare o abbassare il ponte levato. Gli architetti hanno scelto delle bellissime catene Le macchine sono state dotate di un’aria di calcolo di cui all’interno sono state riportate le macchine. Ma il primo tentativo ha bruciato il motore e poi le catene si sono rotte.

Per risolvere questo problema lo studio di architetti decide di affrontare il problema di una In modo più scientifico e decide di sottuococare a voi per il fine di realizzarli tutti i calcoli necessari per scegliere la catena e il dispositivo di un motore più conveniente. Per questo motivo, gli intervistatori ti fanno una serie di domande che devi fare. rispondere:

a) Il ponte levigante è costruito in legno massiccio, le sue dimensioni $5 m$ lunghezza, $2 m$ di larghezza e $20 cm$ di spessore (densità del legno è $1.2 gr/cm^{3}$ ). Il ponte può ruotare attorno ad un asse che si appoggia alla base dell’ingresso al Il castello, e a ogni lato dell’altra estremità sono tenuti sentieri catena che permettono alzare e posizionarlo in posizione verticale o orizzontale. Supponendo che il ponte debba alzare molto lentamente:

a1) quale forza devono essere capaci di supportare le catene in funzione dell’angolo di inclinamento del ponte?

a2) Qual è la tensione massima che le catene supporteranno?

a3) Graficare approssimativamente l’espressione ottenuta al punto a1).

b) Il sistema di sollevamento del ponte è costituito da un cilindro (A) di $5 cm$ di radio, in cui si avvolgono le catene, e ha adatta un pole (B) di $40 cm$ di radio. La trasmissione è effettuata tramite questa polea e un’altra nel motore (C) unito attraverso una corda inestensibile e non scivolante sulle pole (B) o (C)

Se la coppia massima (o torque) che il motore può fornire senza bruciare è $60 N m$

Qual è il radio massimo che può avere il pole (C) collegato al motore di In modo tale che non si superino le coppie massime?

c) L’intero sistema è montato utilizzando un motore alimentato da una fonte di corrente continua, con una differenza di potenziale di $220 V$ ; si osserva che al rialzo Il ponte, il corrente fornita al motore, a seconda del tempo, ha la forma La situazione è stata osservata nella figura.

c1) Qual è la potenza massima fornita al motore?

c2) Qual è il consumo totale di energia elettrica per alzare il ponte dal suo posizioni orizzontali fino a quando non sono verticali?

c3) quanto è l’energia persa, dell’energia fornita in conformità del punto precedente, ogni volta che il ponte si alza? NOTA: CONSIDERARE SEGUATIVO L’energia cinetica del Può essere in ogni momento

Corrent [A] tempo [s]

A traditional English family has decided to recycle its 12th-century castle by hiring a famous architecture firm for that purpose. The main drawback faced by those in charge of the work is the automation of the drawbridge that allows access to the castle over a moat with crocodiles. Due to the deterioration it presents, it is necessary to replace the chains used to raise it and to install an electric motor to raise or lower the drawbridge. The architects chose some beautiful golden chains and added a motor whose casing color matched the chains; however, on their first attempt they burned out the motor and then the chains broke.

To solve this problem, the architecture firm decides to approach the problem in a more scientific way and decides to subcontract you for the purpose of carrying out all the necessary calculations to choose the most suitable chain and motor device. To that end, they ask you a series of questions that you must answer:

a) The drawbridge is built of solid wood, with dimensions $5 m$ long, $2 m$ wide, and $20 cm$ thick (the density of the wood is $1.2 gr/cm^{3}$ ). The bridge can rotate around an axis that rests on the base of the castle entrance, and on each side of the other end, respective chains are attached that allow it to be raised and placed in a vertical or horizontal position. Assuming that the bridge must be raised very slowly:

a1) What is the force that the chains must be able to withstand as a function of the angle of inclination of the bridge?

a2) What is the maximum tension that the chains will withstand?

a3) Approximately graph the expression obtained in point a1).

b) The bridge lifting system consists of a cylinder (A) of radius $5 cm$ , on which the chains are wound, and attached to it is a pulley (B) of radius $40 cm$ . The transmission is carried out by means of this pulley and another one on the motor (C) joined by a belt that is inextensible and does not slip on pulleys (B) or (C)

If the maximum torque that the motor can provide without burning out is $60 N m$

what is the maximum radius that pulley (C) attached to the motor can have so that the maximum torque is not exceeded?

c) The entire system is assembled using a motor powered by a direct current source, with a potential difference of $220 V$ ; it is observed that when lifting the bridge, the current supplied to the motor, as a function of time, has the form observed in the figure.

c1) What is the maximum power supplied to the motor?

c2) What is the total electrical energy consumption to lift the bridge from its horizontal position until it is vertical?

c3) How much is the energy lost, of the energy supplied according to the previous point, each time the bridge is lifted? NOTE: CONSIDER THE KINETIC ENERGY OF THE BRIDGE NEGLIGIBLE AT ALL TIMES

Current [A] time [s]

Uno de los posibles estados finales de la evolución de una estrella, es una estrella de neutrones. En dicho cuerpo, la materia se encuentra en un estado de muy alta densidad, por lo que su extensión espacial es muy pequeña comparada con la de una estrella normal, como el Sol. Según los modelos aceptados en la actualidad, los valores típicos para el radio $R$ y la masa $M$ de una estrella de neutrones son $R = 10 km$ y $M = 3 \times 1 0^{30} kg$ , respectivamente.

Pregunta a: ¿Cuál es la densidad media de tal estrella de neutrones?

Pregunta b: ¿Qué volumen ocuparía $1 m^{3}$ de agua, si se la comprimiera hasta alcanzar la densidad de la materia de una estrella de neutrones?

De acuerdo con la ley de la gravitación universal de Newton, dos cuerpos esféricos de masas $M_{1}$ y $M_{2}$ , separados por una distancia $r$ entre sus centros, se atraen entre si con una fuerza $F$ , cuya magnitud está dada por:

$F = \frac{G M _{1} M _{2}}{r ^{2}}$

donde $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} / kg^{2}$ es la constante de la gravitación. Esta misma ley es válida si uno de los cuerpos es esférico y el otro es pequeño comparado con el primero.

Sabemos también que el peso de un cuerpo es la fuerza neta que se ejerce sobre este, cuando está en reposo sobre la superficie de un planeta o estrella.

Pregunta c: ¿Cuál sería el peso de un estudiante cuya masa es de $60 kg$ en la superficie de la estrella de neutrones?

Si la estrella o planeta está en rotación, el peso de un cuerpo es distinto al que tendría de no haber rotación, ya que aparece la fuerza centrífuga. (Recuerde que esta fuerza sólo existe para el observador que rota con la tierra).

Pregunta d: ¿Cuál sería el peso del estudiante del punto c), ubicado sobre La Tierra, supuesta esférica, en las siguientes situaciones:?

i) Estudiante en el ecuador. Tierra que no rota. ii) Estudiante en el ecuador. Tierra rotando normalmente alrededor de su eje. iii) Estudiante en el polo. Tierra que no rota. iv) Estudiante en el polo. Tierra rotando normalmente alrededor de su eje.

Nota: Masa de la Tierra $M_{T} = 5.98 \times 1 0^{24} kg$ . Radio de la Tierra $R_{T} = 6.37 \times 1 0^{3} km$ .

La teoría de formación de las estrellas de neutrones indica que estas, en general, deben estar dotadas de una alta velocidad de rotación sobre su eje. Sin embargo, esta velocidad no puede sobrepasar ciertos límites ya que de hacerlo la estrella se desarmaría.

Pregunta e: ¿cuál sería la velocidad angular máxima para la estrella de neutrones de nuestro ejemplo, suponiendo que la misma mantiene su forma esférica y su densidad constante?

Las estrellas de neutrones se observan detectando las ondas de radio que emiten. Dicha emisión tiene una intensidad que varía en forma periódica entre un valor máximo y cero. La explicación más simple de este fenómeno es que la emisión se produce en una región limitada de la superficie de la estrella, en forma esencialmente constante. De este modo, si la estrella gira, sólo se observa cuando la zona emisora apunta en nuestra dirección y desaparece al ocultarse. Entonces, el período de variación de la intensidad, $τ$ , es igual al período de rotación de la estrella.

Esta pulsación en la intensidad de la emisión es la razón por la que estos objetos se conocen como pulsares.

Para el púlsar PSR1913+16, se ha observado que el período de las pulsaciones, $τ$ , además varía periódicamente, aumentando y disminuyendo, con un período $T = 8 hrs$ . La explicación más simple de este fenómeno es que el púlsar (estrella) se acerca a nosotros en los intervalos en que el período, $τ$ , decrece y se aleja cuando aumenta (fenómeno conocido como efecto Doppler). Esto lleva a la conclusión de que el púlsar, además de girar sobre si mismo, describe una órbita debido a la presencia de otra estrella de neutrones, similar al pulsar. Estas dos estrellas forman lo que se conoce con el nombre de sistema binario. Cada uno de los cuerpos que lo componen gira en órbitas alrededor del centro de masa del sistema.

Si hacemos la suposición de que las órbitas son circulares y que las estrellas (una un pulsar y la otra no) tienen la misma masa,

Pregunta f: ¿cuál sería el radio de la órbita del púlsar?

OLIMPIADA ARGENTINA DE FISICA 1999

OAF’99

PRUEBA EXPERIMENTAL - 11 de Octubre de 1999

• Escriba su nombre en todas las hojas y enumere las mismas. • Recuerde que no se puede utilizar calculadoras programables ni ningún otro material que no esté incluido en la prueba, aparte de los útiles de escritura. • Antes de empezar a trabajar en la prueba experimental, lea cuidadosamente TODO el enunciado de la misma.

Nombre:

Número de hojas entregadas: Olimpiada Argentina de Física 1999 Prueba Experimental

Péndulo Físico - Constante de Amortiguamiento – Viscosidad del Aire

1.- Objetivo:

Determinar experimentalmente el valor del coeficiente de la viscosidad del aire.

2.- Introducción

Un cuerpo que puede oscilar libremente alrededor de un eje de suspensión, bajo la acción de su propio peso, constituye un péndulo físico. El movimiento de un péndulo físico ideal (en el vacío y sin rozamiento en su eje), se caracteriza por tener una amplitud de oscilación constante con respecto al tiempo y un período $T$ dado por:

$T = 2 π \frac{I}{M g h} (1)$

donde: $I$ es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión, $M$ , la masa total del péndulo $g$ , el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar $h$ , la distancia del centro de masa al eje de suspensión.

Nota: Esta expresión es válida para amplitudes inferiores a 8 en la escala del aparato que Ud. dispone.

Sin embargo, la amplitud y el período de un péndulo físico real usualmente se ven afectados por la resistencia que ofrece el aire. Esto hace que la amplitud de las sucesivas oscilaciones disminuya, a medida que transcurre el tiempo, de la forma:

$A (t) = A_{o} e^{- c t}$

donde: $c$ es la constante de amortiguamiento y $A_{o}$ , es la amplitud inicial de oscilación.

En este caso, el período está dado por:

$T = \frac{2 π}{\frac{M g h}{I} - c ^{2}}$

El presente experimento se realizará con un péndulo físico, como el representado en la Figura 1. En él se han colocado pantallas de cartón para incrementar el efecto de amortiguamiento de la amplitud de oscilación, debido a la acción del aire.

La constante de amortiguamiento, $c$ , bajo las presentes condiciones experimentales está dada por:

$c = \frac{1000 x _{o} η S}{2 I} (2)$

donde: $S$ es la superficie total que presenta el péndulo perpendicularmente a la dirección de movimiento, $η$ , el coeficiente de la viscosidad del aire y $x_{o}$ , la distancia desde el centro de masa de los cartones al eje de oscilación.

3.- Lista de Materiales

• Un péndulo físico. • Un soporte para el péndulo con escala graduada. • Un cronómetro. • 1 sobre con 4 pares de cartones cuadrados de distintas dimensiones. • Regla. • Taco con cuchilla. (OJO!! No tocar las cuchillas) • 2 pesas con forma de tuercas • Papel milimetrado. • Un destornillador.

4.- Procedimiento Experimental

4.1.- Decaimiento de la amplitud en función del tiempo

a) Monte el péndulo en el soporte cuidando que el borde filoso de la cuchilla asiente en las muescas marcadas en el soporte. b) Utilice el tornillo para balancear el péndulo (ver Figura 1) de modo que la aguja indique la posición del cero. c) Tome dos cartones de igual área y sujételos, uno a cada lado del péndulo, como se indica en la Figura 1, usando los tornillos provistos a tal efecto. d) Monte el péndulo en el soporte cuidando que el borde filoso de la cuchilla asiente en las muescas marcadas en el soporte. e) Haga oscilar el péndulo y mida la amplitud $A (t)$ en función del tiempo $t$ . f) Confeccione una tabla con los valores medidos de la amplitud $A (t)$ y los correspondientes valores de tiempo $t$ . g) Grafique el logaritmo natural de $A$ en función del tiempo. h) Trace la recta que mejor ajuste a los puntos marcados. i) El valor absoluto de la pendiente de esa recta es $c$ . Determine el valor

Topic: Astrophysics, Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kepler’s Laws, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.7

Uno degli stati finali possibili dell’evoluzione di una stella è una stella di

I neutroni. In questo corpo, la materia si trova in uno stato molto alto La densità di questa superficie è così piccola rispetto a quella di una Una normale stella, come il Sole. Secondo i modelli attualmente accettati, i valori típicos para el radio $R$ y la masa $M$ de una estrella de neutrones son $R = 10 km$ y $M = 3 \times 1 0^{30} kg$ , rispettivamente.

Domanda: Qual è la densità media di una stella di neutroni?

Domanda b: Che volume di acqua occuperebbe $1 m^{3}$ se viene compressa fino a raggiungere la la densità della materia di una stella di neutroni?

Secondo la legge di gravitazione universale di Newton, due corpi sfere di massa $M_{1}$ e $M_{2}$ , separate da una distanza $r$ tra i loro centri, si attraggono con una forza $F$ , la cui magnitudine è data da:

$F = \frac{G M _{1} M _{2}}{r ^{2}}$

dove $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} / kg^{2}$ è la costante di gravità. Questa stessa legge è vale se uno dei corpi è sferico e l’altro è piccolo rispetto al primo.

Sappiamo anche che il peso di un corpo è la forza netta che si esercita su di esso, quando si trova a riposo sulla superficie di un pianeta o di una stella.

Domanda c: Qual sarebbe il peso di uno studente il cui peso è $60 kg$ sulla superficie della stella di neutroni?

Se una stella o un pianeta è in rotazione, il peso di un corpo è diverso da quello di un altro. non ci sarà rotazione, visto che la forza centrifugante appare. (Ricorda che questa forza solo esiste per l’osservatore che si spezza con la terra).

Domanda d: Qual sarebbe il peso dello studente del punto c), situato sulla Terra, supposto sferica, nelle seguenti situazioni:

i) Studente all’equatore. Terra che non si rompe. ii) Studente all’equatore. Terra che ruota normalmente attorno al suo asse. (iii) Studente al polo. Terra che non si rompe. iv) Studente al polo. Terra che ruota normalmente attorno al suo asse.

Nota: Massa della Terra $M_{T} = 5.98 \times 1 0^{24} kg$ . Radio della Terra $R_{T} = 6.37 \times 1 0^{3} km$ .

La teoria della formazione delle stelle di neutroni indica che queste, in generale, devono essere essere dotati di una velocità di rotazione elevata sull’asse. Tuttavia, questa velocità Non può superare determinati limiti, perché se lo facesse, la stella si disarmerebbe.

E’ la domanda: qual sarebbe la velocità angolare massima per la stella di neutroni di Il nostro esempio, supponendo che la stessa sia ancora spherico e densità. costante?

Le stelle di neutroni sono osservate rilevando le onde radio che emettono. Dichiarazione l’emissione ha un’intensità che varia periodicamente tra un valore massimo e zero. L’esposizione più semplice di questo fenomeno è che l’emissione si verifica in una regione limitato dalla superficie della stella, in una forma essenzialmente costante. In questo modo, se la stella gira, si osserva solo quando la zona emittente punta nella nostra direzione e E’ scomparsa quando si nasconde. Quindi il periodo di variazione dell’intensità, $τ$ , è uguale a periodo di rotazione della stella.

Questa pulsazione nell’intensità dell’emissione è la ragione per cui questi oggetti sono conosciuti come pulsari.

Per il pulsare PSR1913+16, è stato osservato che il periodo di pulsazioni, $τ$ , inoltre varia periodicamente, aumentando e diminuendo, con un periodo di $T = 8 hrs$ . L’esplicazione più semplice di questo fenomeno è che il pulsare (la stella) si avvicina a noi negli intervalli in cui il periodo, $τ$ , diminuisce e si allontana quando aumenta (Fenomeno noto come effetto Doppler). Questo porta alla conclusione che il pulsare, oltre a girare su se stesso, descrive un’orbita a causa della presenza di un’altra stella di neutroni, simili al pulsare. Queste due stelle formano ciò che è noto come il nome di sistema binario. Ogni corpo che lo compone gira in orbita intorno del centro di massa del sistema.

Se supponiamo che le orbite siano circolari e che le stelle (una a una) pulsar e l’altra non) hanno la stessa massa,

Domanda f: Qual sarebbe il raggio di orbita del pulsare?

L’OLIMPIADA ARGENTINA FISICA 1999

OAF’99

PROBRAZIONE ESPERIMENTE - 11 ottobre 1999

• Scrivi il tuo nome su tutti i fogli e elencati. • Ricorda che non puoi usare calcolatori programmabili né calcolatori di tipo altri materiali non inclusi nella prova, diversi dagli utensili di Scrittura. • Prima di iniziare a lavorare sul test sperimentale, leggere: attentamente ogni sua frase.

Nome:

Numero di fogli consegnati: Olimpiada Argentina di Fisica 1999 Prova sperimentale

Pendale fisico - Costante di ammortizzazione Viscosità dell’aria

1.- Obiettivo:

Determinare sperimentalmente il valore del coefficiente di viscosità dell’aria.

2.- Introduzione

Un corpo che può oscillare liberamente attorno ad un asse di sospensione, sotto l’azione di peso, costituisce un pendolo fisico. Il movimento di un pendolo fisico ideale (in vuoto e senza rottura sul suo asse), è caratterizzata da una larghezza di oscillazione costante rispetto al tempo e al periodo $T$ dato da:

$T = 2 π \frac{I}{M g h} (1)$

dove: $I$ è il momento di inerzia del pendolo rispetto all’asse di sospensione, $M$ , massa totale del pendolo $g$ , il valore dell’accelerazione della gravità in loco $h$ , la distanza dal centro di massa all’asse di sospensione.

Nota: questa espressione è valida per amplitudini inferiori a 8 sulla scala dell’apparecchio che Ud. - Sì, è disponibile.

Tuttavia, l’ampiezza e il periodo di un pendolo fisico reale sono solitamente visti Le persone che si trovano in questo paese sono colpite dalla resistenza dell’aria. Ciò rende l’ampiezza delle successive le oscillazioni diminuiscono, nel tempo, in modo che:

$A (t) = A_{o} e^{- c t}$

dove: $c$ è la costante di ammortizzazione e $A_{o}$ , è l’ampiezza iniziale di oscillazione.

In questo caso, il periodo è dato da:

$T = \frac{2 π}{\frac{M g h}{I} - c ^{2}}$

Il presente esperimento sarà condotto con un pendolo fisico, come quello rappresentato nella Figura 1. In esso sono stati installati schermi di cartone per aumentare l’effetto di l’ampiezza di oscillazione ammorbidita, a causa dell’azione dell’aria.

La costante ammortizzazione, $c$ , sotto le presenti condizioni sperimentali è data da:

$c = \frac{1000 x _{o} η S}{2 I} (2)$

dove: $S$ è la superficie totale del pendolo perpendicolare alla direzione di movimento, $η$ , il coefficiente di viscosità dell’aria e $x_{o}$ , la distanza dal centro di massa dei cartoni all’asse di oscillazione.

3.- Lista dei materiali

• Un pendolo fisico. • Un supporto per il pendolo a scala graduata. • Un cronometro. • 1 con 4 paia di cartoni quadrati di diverse dimensioni. • Regola. •

Stacco con un coltello. (OJO!!) Non toccare le cucchiaie) • 2 pesci a forma di noci • Papero millimetrico. • Un torchista.

4.- Procedura sperimentale

4.1.- Decadimento dell’ampiezza in funzione del tempo

a) Mantenere il pendolo sul supporto, assicurando che il bordo della lama sia viscibile seduta sulle candele segnate sul supporto. b) Usa lo scrocio per sbalzare il pendolo (vedi Figura 1) in modo che la Aglio indica la posizione dello zero. c) Prendi due cartoni di pari area e stringili, uno su ciascun lato del pendolo, come indicato in figura 1, utilizzando gli schegge forniti per tale scopo. d) Mantenere il pendolo sul supporto, assicurando che il bordo della cuchetta si vischi seduta sulle candele segnate sul supporto. e) Oscilla il pendolo e misura l’ampiezza $A (t)$ in funzione del tempo $t$ . f) Confezionare una tabella con i valori misurati di ampiezza $A (t)$ e i valori di i corrispondenti valori di tempo $t$ . g) Graficare il logaritmo naturale di $A$ in funzione del tempo. h) Tracciare la linea che meglio si adatta ai punti segnati. (i) Il valore assoluto della pendenza di tale retta è $c$ . Determina il valore

One of the possible final states of the evolution of a star is a neutron star. In such a body, matter is in a state of very high density, so its spatial extent is very small compared to that of a normal star, such as the Sun. According to currently accepted models, the typical values for the radius $R$ and the mass $M$ of a neutron star are $R = 10 km$ and $M = 3 \times 1 0^{30} kg$ , respectively.

Question a: What is the average density of such a neutron star?

Question b: What volume would $1 m^{3}$ of water occupy, if it were compressed until reaching the density of the matter of a neutron star?

According to Newton’s law of universal gravitation, two spherical bodies of masses $M_{1}$ and $M_{2}$ , separated by a distance $r$ between their centers, attract each other with a force $F$ , whose magnitude is given by:

$F = \frac{G M _{1} M _{2}}{r ^{2}}$

where $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} / kg^{2}$ is the gravitational constant. This same law is valid if one of the bodies is spherical and the other is small compared to the first.

We also know that the weight of a body is the net force exerted on it, when it is at rest on the surface of a planet or star.

Question c: What would be the weight of a student whose mass is $60 kg$ on the surface of the neutron star?

If the star or planet is rotating, the weight of a body is different from what it would have if there were no rotation, since the centrifugal force appears. (Remember that this force only exists for the observer rotating with the Earth).

Question d: What would be the weight of the student from point c), located on the Earth, assumed spherical, in the following situations:?

i) Student at the equator. Earth not rotating. ii) Student at the equator. Earth rotating normally around its axis. iii) Student at the pole. Earth not rotating. iv) Student at the pole. Earth rotating normally around its axis.

Note: Mass of the Earth $M_{T} = 5.98 \times 1 0^{24} kg$ . Radius of the Earth $R_{T} = 6.37 \times 1 0^{3} km$ .

The theory of neutron star formation indicates that these, in general, must be endowed with a high rotation speed around their axis. However, this speed cannot exceed certain limits, since if it did the star would fall apart.

Question e: what would be the maximum angular velocity for the neutron star in our example, assuming that it maintains its spherical shape and its constant density?

Neutron stars are observed by detecting the radio waves they emit. This emission has an intensity that varies periodically between a maximum value and zero. The simplest explanation of this phenomenon is that the emission is produced in a limited region of the star’s surface, in an essentially constant form. Thus, if the star rotates, it is only observed when the emitting zone points in our direction and disappears when it is hidden. Therefore, the period of variation of the intensity, $τ$ , is equal to the rotation period of the star.

This pulsation in the emission intensity is the reason why these objects are known as pulsars.

For the pulsar PSR1913+16, it has been observed that the period of the pulsations, $τ$ , also varies periodically, increasing and decreasing, with a period $T = 8 hrs$ . The simplest explanation of this phenomenon is that the pulsar (star) approaches us during the intervals in which the period, $τ$ , decreases and moves away when it increases (a phenomenon known as the Doppler effect). This leads to the conclusion that the pulsar, in addition to rotating about itself, describes an orbit due to the presence of another neutron star, similar to the pulsar. These two stars form what is known as a binary system. Each of the bodies that compose it rotates in orbits around the center of mass of the system.

If we make the assumption that the orbits are circular and that the stars (one a pulsar and the other not) have the same mass,

Question f: what would be the radius of the pulsar’s orbit?

ARGENTINE OLYMPIAD OF PHYSICS 1999

OAF’99

EXPERIMENTAL TEST - October 11, 1999

• Write your name on all the sheets and number them. • Remember that programmable calculators or any other material not included in the test, apart from writing utensils, may not be used. • Before starting to work on the experimental test, carefully read ALL the statement of the test.

Name:

Number of sheets handed in: Argentine Olympiad of Physics 1999 Experimental Test

Physical Pendulum - Damping Constant – Air Viscosity

1.- Objective:

Experimentally determine the value of the coefficient of air viscosity.

2.- Introduction

A body that can oscillate freely around a suspension axis, under the action of its own weight, constitutes a physical pendulum. The motion of an ideal physical pendulum (in a vacuum and without friction at its axis) is characterized by having a constant oscillation amplitude with respect to time and a period $T$ given by:

$T = 2 π \frac{I}{M g h} (1)$

where: $I$ is the moment of inertia of the pendulum with respect to the suspension axis, $M$ , the total mass of the pendulum $g$ , the value of the acceleration due to gravity at the location $h$ , the distance from the center of mass to the suspension axis.

Note: This expression is valid for amplitudes lower than 8 on the scale of the apparatus you have.

However, the amplitude and period of a real physical pendulum are usually affected by the resistance offered by the air. This causes the amplitude of successive oscillations to decrease as time passes, in the form:

$A (t) = A_{o} e^{- c t}$

where: $c$ is the damping constant and $A_{o}$ is the initial oscillation amplitude.

In this case, the period is given by:

$T = \frac{2 π}{\frac{M g h}{I} - c ^{2}}$

This experiment will be carried out with a physical pendulum, such as the one shown in Figure 1. Cardboard screens have been placed on it to increase the effect of damping of the oscillation amplitude due to the action of the air.

The damping constant, $c$ , under the present experimental conditions is given by:

$c = \frac{1000 x _{o} η S}{2 I} (2)$

where: $S$ is the total surface that the pendulum presents perpendicular to the direction of motion, $η$ is the coefficient of air viscosity and $x_{o}$ is the distance from the center of mass of the cardboard pieces to the oscillation axis.

3.- List of Materials

• A physical pendulum. • A support for the pendulum with a graduated scale. • A stopwatch. • 1 envelope with 4 pairs of square cardboard pieces of different dimensions. • Ruler. • Block with a blade. (CAREFUL!! Do not touch the blades) • 2 weights shaped like nuts • Graph paper. • A screwdriver.

4.- Experimental Procedure

4.1.- Decay of amplitude as a function of time

a) Mount the pendulum on the support, taking care that the sharp edge of the knife rests in the notches marked on the support. b) Use the screw to balance the pendulum (see Figure 1) so that the needle indicates the zero position. c) Take two pieces of cardboard of equal area and attach them, one on each side of the pendulum, as shown in Figure 1, using the screws provided for that purpose. d) Mount the pendulum on the support, taking care that the sharp edge of the knife rests in the notches marked on the support. e) Set the pendulum oscillating and measure the amplitude $A (t)$ as a function of time $t$ . f) Prepare a table with the measured values of the amplitude $A (t)$ and the corresponding values of time $t$ . g) Plot the natural logarithm of $A$ as a function of time. h) Draw the line that best fits the plotted points. i) The absolute value of the slope of that line is $c$ . Determine the value

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Argentina 1999

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